↑

Properties

Label 38.38.261...857.1
Degree $38$
Signature $[38, 0]$
Discriminant $2.612\times 10^{98}$
Root discriminant $388.97$
Ramified prime $457$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 - 222*x^36 + 479*x^35 + 21047*x^34 - 66053*x^33 - 1110228*x^32 + 4495506*x^31 + 35823405*x^30 - 180946047*x^29 - 731415663*x^28 + 4712734359*x^27 + 9238434306*x^26 - 83665939703*x^25 - 59973164681*x^24 + 1044644450973*x^23 - 101098208429*x^22 - 9336414182461*x^21 + 6288159462034*x^20 + 60150648390199*x^19 - 67252981484387*x^18 - 278611442416743*x^17 + 417500804951451*x^16 + 915079337067075*x^15 - 1716002791423036*x^14 - 2065408719688167*x^13 + 4825202788269126*x^12 + 2982003177766905*x^11 - 9269437748788275*x^10 - 2187058821094830*x^9 + 11855288436035595*x^8 - 411608485430453*x^7 - 9515695267587717*x^6 + 2357948299236310*x^5 + 4196479083397002*x^4 - 1892165812751211*x^3 - 650631784472963*x^2 + 526610168112801*x - 83497743723127)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - x^37 - 222*x^36 + 479*x^35 + 21047*x^34 - 66053*x^33 - 1110228*x^32 + 4495506*x^31 + 35823405*x^30 - 180946047*x^29 - 731415663*x^28 + 4712734359*x^27 + 9238434306*x^26 - 83665939703*x^25 - 59973164681*x^24 + 1044644450973*x^23 - 101098208429*x^22 - 9336414182461*x^21 + 6288159462034*x^20 + 60150648390199*x^19 - 67252981484387*x^18 - 278611442416743*x^17 + 417500804951451*x^16 + 915079337067075*x^15 - 1716002791423036*x^14 - 2065408719688167*x^13 + 4825202788269126*x^12 + 2982003177766905*x^11 - 9269437748788275*x^10 - 2187058821094830*x^9 + 11855288436035595*x^8 - 411608485430453*x^7 - 9515695267587717*x^6 + 2357948299236310*x^5 + 4196479083397002*x^4 - 1892165812751211*x^3 - 650631784472963*x^2 + 526610168112801*x - 83497743723127, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-83497743723127, 526610168112801, -650631784472963, -1892165812751211, 4196479083397002, 2357948299236310, -9515695267587717, -411608485430453, 11855288436035595, -2187058821094830, -9269437748788275, 2982003177766905, 4825202788269126, -2065408719688167, -1716002791423036, 915079337067075, 417500804951451, -278611442416743, -67252981484387, 60150648390199, 6288159462034, -9336414182461, -101098208429, 1044644450973, -59973164681, -83665939703, 9238434306, 4712734359, -731415663, -180946047, 35823405, 4495506, -1110228, -66053, 21047, 479, -222, -1, 1]);
 

\(x^{38} - x^{37} - 222 x^{36} + 479 x^{35} + 21047 x^{34} - 66053 x^{33} - 1110228 x^{32} + 4495506 x^{31} + 35823405 x^{30} - 180946047 x^{29} - 731415663 x^{28} + 4712734359 x^{27} + 9238434306 x^{26} - 83665939703 x^{25} - 59973164681 x^{24} + 1044644450973 x^{23} - 101098208429 x^{22} - 9336414182461 x^{21} + 6288159462034 x^{20} + 60150648390199 x^{19} - 67252981484387 x^{18} - 278611442416743 x^{17} + 417500804951451 x^{16} + 915079337067075 x^{15} - 1716002791423036 x^{14} - 2065408719688167 x^{13} + 4825202788269126 x^{12} + 2982003177766905 x^{11} - 9269437748788275 x^{10} - 2187058821094830 x^{9} + 11855288436035595 x^{8} - 411608485430453 x^{7} - 9515695267587717 x^{6} + 2357948299236310 x^{5} + 4196479083397002 x^{4} - 1892165812751211 x^{3} - 650631784472963 x^{2} + 526610168112801 x - 83497743723127\)  Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[38, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(261\!\cdots\!857\)\(\medspace = 457^{37}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $388.97$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $457$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(457\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{457}(256,·)$, $\chi_{457}(1,·)$, $\chi_{457}(4,·)$, $\chi_{457}(389,·)$, $\chi_{457}(257,·)$, $\chi_{457}(393,·)$, $\chi_{457}(215,·)$, $\chi_{457}(16,·)$, $\chi_{457}(17,·)$, $\chi_{457}(403,·)$, $\chi_{457}(407,·)$, $\chi_{457}(283,·)$, $\chi_{457}(415,·)$, $\chi_{457}(289,·)$, $\chi_{457}(168,·)$, $\chi_{457}(42,·)$, $\chi_{457}(114,·)$, $\chi_{457}(174,·)$, $\chi_{457}(200,·)$, $\chi_{457}(50,·)$, $\chi_{457}(54,·)$, $\chi_{457}(440,·)$, $\chi_{457}(185,·)$, $\chi_{457}(64,·)$, $\chi_{457}(441,·)$, $\chi_{457}(68,·)$, $\chi_{457}(453,·)$, $\chi_{457}(456,·)$, $\chi_{457}(201,·)$, $\chi_{457}(343,·)$, $\chi_{457}(216,·)$, $\chi_{457}(218,·)$, $\chi_{457}(347,·)$, $\chi_{457}(272,·)$, $\chi_{457}(110,·)$, $\chi_{457}(239,·)$, $\chi_{457}(241,·)$, $\chi_{457}(242,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $\frac{1}{109} a^{31} - \frac{5}{109} a^{30} - \frac{30}{109} a^{29} + \frac{27}{109} a^{28} + \frac{43}{109} a^{27} + \frac{47}{109} a^{26} - \frac{44}{109} a^{25} - \frac{14}{109} a^{24} + \frac{4}{109} a^{23} + \frac{50}{109} a^{22} + \frac{35}{109} a^{21} - \frac{15}{109} a^{20} + \frac{34}{109} a^{19} - \frac{28}{109} a^{18} + \frac{6}{109} a^{17} + \frac{16}{109} a^{16} - \frac{31}{109} a^{15} + \frac{45}{109} a^{14} + \frac{36}{109} a^{13} - \frac{14}{109} a^{12} + \frac{19}{109} a^{11} - \frac{25}{109} a^{10} - \frac{52}{109} a^{9} - \frac{18}{109} a^{8} + \frac{23}{109} a^{7} + \frac{11}{109} a^{6} - \frac{10}{109} a^{5} - \frac{11}{109} a^{4} - \frac{2}{109} a^{3} + \frac{25}{109} a^{2} + \frac{6}{109} a + \frac{8}{109}$, $\frac{1}{109} a^{32} + \frac{54}{109} a^{30} - \frac{14}{109} a^{29} - \frac{40}{109} a^{28} + \frac{44}{109} a^{27} - \frac{27}{109} a^{26} - \frac{16}{109} a^{25} + \frac{43}{109} a^{24} - \frac{39}{109} a^{23} - \frac{42}{109} a^{22} + \frac{51}{109} a^{21} - \frac{41}{109} a^{20} + \frac{33}{109} a^{19} - \frac{25}{109} a^{18} + \frac{46}{109} a^{17} + \frac{49}{109} a^{16} - \frac{1}{109} a^{15} + \frac{43}{109} a^{14} - \frac{52}{109} a^{13} - \frac{51}{109} a^{12} - \frac{39}{109} a^{11} + \frac{41}{109} a^{10} + \frac{49}{109} a^{9} + \frac{42}{109} a^{8} + \frac{17}{109} a^{7} + \frac{45}{109} a^{6} + \frac{48}{109} a^{5} + \frac{52}{109} a^{4} + \frac{15}{109} a^{3} + \frac{22}{109} a^{2} + \frac{38}{109} a + \frac{40}{109}$, $\frac{1}{13843} a^{33} - \frac{58}{13843} a^{32} + \frac{14}{13843} a^{31} + \frac{3812}{13843} a^{30} - \frac{535}{13843} a^{29} + \frac{3464}{13843} a^{28} + \frac{5729}{13843} a^{27} + \frac{433}{13843} a^{26} - \frac{2719}{13843} a^{25} + \frac{2605}{13843} a^{24} - \frac{4044}{13843} a^{23} + \frac{4520}{13843} a^{22} - \frac{3091}{13843} a^{21} - \frac{2548}{13843} a^{20} + \frac{298}{13843} a^{19} - \frac{8}{127} a^{18} + \frac{520}{13843} a^{17} - \frac{976}{13843} a^{16} + \frac{5810}{13843} a^{15} - \frac{1294}{13843} a^{14} - \frac{1}{13843} a^{13} + \frac{5114}{13843} a^{12} - \frac{419}{13843} a^{11} - \frac{3945}{13843} a^{10} - \frac{1483}{13843} a^{9} + \frac{1244}{13843} a^{8} + \frac{428}{13843} a^{7} - \frac{2130}{13843} a^{6} + \frac{3118}{13843} a^{5} - \frac{6158}{13843} a^{4} - \frac{6218}{13843} a^{3} + \frac{923}{13843} a^{2} + \frac{4681}{13843} a + \frac{35}{109}$, $\frac{1}{13843} a^{34} - \frac{48}{13843} a^{32} + \frac{52}{13843} a^{31} + \frac{6439}{13843} a^{30} - \frac{5849}{13843} a^{29} + \frac{6489}{13843} a^{28} + \frac{4547}{13843} a^{27} - \frac{4783}{13843} a^{26} - \frac{6761}{13843} a^{25} - \frac{6878}{13843} a^{24} - \frac{3337}{13843} a^{23} + \frac{2529}{13843} a^{22} + \frac{6515}{13843} a^{21} - \frac{6643}{13843} a^{20} - \frac{2384}{13843} a^{19} - \frac{4590}{13843} a^{18} + \frac{1371}{13843} a^{17} - \frac{3681}{13843} a^{16} + \frac{3454}{13843} a^{15} - \frac{377}{13843} a^{14} + \frac{992}{13843} a^{13} - \frac{2003}{13843} a^{12} + \frac{5281}{13843} a^{11} + \frac{5546}{13843} a^{10} - \frac{3617}{13843} a^{9} + \frac{2857}{13843} a^{8} + \frac{1358}{13843} a^{7} + \frac{5562}{13843} a^{6} + \frac{5141}{13843} a^{5} - \frac{2956}{13843} a^{4} + \frac{3499}{13843} a^{3} + \frac{2716}{13843} a^{2} + \frac{226}{13843} a - \frac{52}{109}$, $\frac{1}{13843} a^{35} + \frac{62}{13843} a^{32} - \frac{1}{13843} a^{31} + \frac{3645}{13843} a^{30} + \frac{2780}{13843} a^{29} + \frac{5465}{13843} a^{28} + \frac{4271}{13843} a^{27} + \frac{5768}{13843} a^{26} + \frac{6247}{13843} a^{25} - \frac{4662}{13843} a^{24} + \frac{3235}{13843} a^{23} - \frac{299}{13843} a^{22} + \frac{1580}{13843} a^{21} + \frac{5868}{13843} a^{20} - \frac{1462}{13843} a^{19} + \frac{5743}{13843} a^{18} - \frac{3613}{13843} a^{17} - \frac{6437}{13843} a^{16} - \frac{2167}{13843} a^{15} + \frac{1999}{13843} a^{14} - \frac{1924}{13843} a^{13} + \frac{182}{13843} a^{12} + \frac{4357}{13843} a^{11} + \frac{2476}{13843} a^{10} - \frac{4573}{13843} a^{9} + \frac{1888}{13843} a^{8} - \frac{6914}{13843} a^{7} + \frac{5771}{13843} a^{6} + \frac{5865}{13843} a^{5} + \frac{650}{13843} a^{4} - \frac{4283}{13843} a^{3} - \frac{2587}{13843} a^{2} + \frac{4724}{13843} a + \frac{41}{109}$, $\frac{1}{13843} a^{36} + \frac{39}{13843} a^{32} - \frac{17}{13843} a^{31} + \frac{3672}{13843} a^{30} + \frac{6123}{13843} a^{29} - \frac{5265}{13843} a^{28} - \frac{3101}{13843} a^{27} - \frac{533}{13843} a^{26} - \frac{2327}{13843} a^{25} + \frac{4793}{13843} a^{24} + \frac{4176}{13843} a^{23} - \frac{5991}{13843} a^{22} + \frac{1422}{13843} a^{21} - \frac{1855}{13843} a^{20} - \frac{3589}{13843} a^{19} - \frac{3905}{13843} a^{18} + \frac{2471}{13843} a^{17} + \frac{5513}{13843} a^{16} - \frac{5034}{13843} a^{15} - \frac{6532}{13843} a^{14} + \frac{1514}{13843} a^{13} + \frac{4662}{13843} a^{12} + \frac{3308}{13843} a^{11} - \frac{2045}{13843} a^{10} - \frac{4337}{13843} a^{9} - \frac{3143}{13843} a^{8} + \frac{6794}{13843} a^{7} + \frac{2543}{13843} a^{6} - \frac{3182}{13843} a^{5} + \frac{1847}{13843} a^{4} + \frac{2945}{13843} a^{3} - \frac{6782}{13843} a^{2} + \frac{6069}{13843} a + \frac{22}{109}$, $\frac{1}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{37} + \frac{34279968041021413507428384981144608105440894853854588630580836591164500904368727709717715231342706467507998369379218974064508500880809659574090605488447853325555251161610229969228802192057213413607920328422092916557663844936}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{36} - \frac{155491765702459455642572660798172089696453272640912633690435316662460512922586923971442608174331683719213626633412428363477377662974504264953221288103154686843951607365920206878114606237931352729159920879573793224836025540605}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{35} + \frac{61267442031019233086293922909633835047647804629594976961442602822078589608370835031086918968732860469576534685273053076812446001781973626496403115972858758694612105221191317244096391368517904249240237539574816951462151671499}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{34} - \frac{17458564173724850793500949725062518931082228126393317329310702155042788736413758677951012300890386071379201041161363076337478313262315649626629986179615709342439318325818344115267660969734009241451133277546431573726894533745}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{33} + \frac{22315380788120270410892974809977652285210741301080658200719474206289237605124504474246523701192508242118364537639448804051864506333489322814778373598680460800024819732678211565278058366548544473037941895278387509235956930476014}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{32} - \frac{3043497638755914086081132364737351070308695668758823714603086123026947129156068899583841718729586136683536842882288483094442319755894191864075691575342815350759331396715868245106601283806214743355670977781411918879919896201968}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{31} + \frac{1987456194381038171136862919506593291568446782994249989870617304207498146040128844687910288441968348377912495627793277810666461561827215327816254524654300087654068387708142518772425319736522944144906907572803588986152342450727167}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{30} + \frac{1551465468070497752300327682266084550938949469002115451802191175221405789293020997957669384487090252654675957367248127954382990657459484488854171743254937197234925722162122361869755092855419463679119091835719917602279991970736810}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{29} - \frac{1126574960220299100303098625256909182791092338967324883350969713540985524976785236273647679794447951898180421247091905248384971730929949650729090085738408296645926000201304490760445640471202516960446905293887751098912913156733884}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{28} + \frac{1445657256814856851773779588614980445503656847040020387335046145336256184738170979419055140079660013848219560703329175171043512428721276571613205936919032098986787542173548433274945405631546693259375221457969266511061166728552956}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{27} - \frac{2408640178556824947253179685685883792505233797504413769620991791154351717099036209062773384606757691822320763566333823654717773942070874099850563914477424909891239451131554675363650131366470111446413110334529102892094424245279889}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{26} + \frac{2086726521368768821127056292808617487396464659524469228390532834202264742301300680804699244025152371282583932006772787545667822430885690502498900425878022701633131114909394264281537899548875856469827579453950536782119675358626572}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{25} + \frac{1123659447404969123638892896886378738200811283782356380792291905097557836820064244735359736329299481418758657035697624245563727800215207594216955940630324665603893618733951984895740571802088935528456849758040608732543624239273716}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{24} + \frac{435445041677506458254588318004360801778588256222797439611279120616062315876621920419075628137339804658676896938035118400179521919833696749037728028626647710651633354244645166530904765612647255865659751183799029286440316913349588}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{23} - \frac{2484289928577382299074698163137225077905257246227538439619669017297846700337899674509471790541010127627575641595849987874615088275420539168003700392283637874135143022555831393337135602996967672656139513939031212632626658443366131}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{22} + \frac{2420811571256970098089515055930012680386193316842793320786214291949962385184365623324600412811924811149249574788268805669833034607137210719973617954125140396209880334376239961797953176553232796331837278586683408671366224742371232}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{21} - \frac{23533986847820442511224322420737539732695259264254611858035942947656017419633453942202186612499558840852339854323333569918428848793223754916676979756502811678592340910435575567211003092772983941466072308189980649325361706161370}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{20} - \frac{970533221440098198131053053019661138563550434628093845370248540963541866191394770678789233329684555380866785263599260219111414293598261489198654971961632960795328618113225666067514552009774799326065785161268721021202043938353860}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{19} + \frac{31924739064984858699849901264872168076396453552005126533890413586023946448770663805233098882062867882201445420056606534911674046781941079938271843178675247050802348888741279569239914625884820517406237474526082101259161352453390}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{18} + \frac{810667834134575332685325743269712626700561408077826748936200280794779267098689410161566286116789470181520197607823055128847454691335675693402344497009121783332828775650109537017163636933849154427386503951817797229324223969326620}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{17} + \frac{2199619263221362737999654895628094624902402793306770177448578203354047804140111281066408475386937093751452207876137862261734646346910335529712084671893071926519735052547364390669225483751829759302329587975853494824198151399511528}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{16} + \frac{2113281395377074092510460266767890199909035564992459804978067193930924804734717039485112796530826550474058607010265172552863896791778637256909316783039553738644116605964061764470598213351044199619210547180061677202532335022537612}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{15} + \frac{652887689368026833725683597518411731078724028751124511657588838476491989574191861902311848163174032470218258438308077306786847624420187232237200864490847180843523802362096120752434064744073344880073248514093068496014128376921347}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{14} + \frac{1281866499661657618279111958104700294944325937956480915972559418478261044558955589268627473941633971397841975106347926502446779101424889869751887076094408899156300673217260441090610081476444293585089423176712659626470200029301082}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{13} + \frac{223049562298243136601313657324193327452247001846473432998559235257577277248848608239234647945596084352375832918226074456293099711175589308770172787138851723622236863898502657079975753256600777839123436942912345353739242049686013}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{12} - \frac{1309181679637678084245605148379503098586872826891137011604024998229818728215789681537700571540269877923117783747617720235024254813493864170439732290673136516065619543014509312137472435330731547277520299689086519874777795870939475}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{11} + \frac{1382393476346968853547581417730098271845115475441927716714613072241333202698620568706715511321521674113705573880534887884274777502307946786651325015220536885535246192084803665191389381571860895672401064327006072472427556320649967}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{10} + \frac{2288569112663403125363860765042264187705125027575625978754690578756687317373528052436452793499764118108582517712130617976379531165275331040089257747594476050768824262191740266611929795692164264665053133167228358468580529894431794}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{9} - \frac{2348918132741351909187055441621094607031148765778596782634236259300721895631696818737795317728284086050577179457257238976001283541867788542823684347661861691088171241107051566695968767747329987618955812324368689346888390421152385}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{8} - \frac{1338716832120877095537114536684971339463943485288727169016255865735939602833561553128483425801662093629622184812091388175279434324350754394936873221209711240716412181824052604119220594561420220467718587704512138991068522348406281}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{7} - \frac{592054642862406159745050198821985743230301762132476241734655342792033434649224765722548226786352046514355957589506351755084640309790275190171618711012417565861818376947800026369708572715100479974563646007489785415246157357758766}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{6} + \frac{1132907538963905639986539779868312290213888094368681082291503710596531783539666030015487763254376662263776565077544787578408863727625154725655315716874021209653949448406609794808969962340320222283793360732281266345171903152561948}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{5} - \frac{151928195609238248771057959452983121894657369629339159901877169734662572643165172244492893646358309349792411049124144884111618491680370856461212496023862611859071462417252063055926977028368970700052120584892744717580641696550392}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{4} + \frac{1461503039029700746322171788893449398372785414715484413163569938993646210878403197857070106507707536908072294038883125897819118704644718364146827545792258897497261099218315654345768691915188756631795051877141042267059540055057800}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{3} - \frac{2037299251438062622783374606296111342326877284310369765441946455050587616970661116890007751782408373904962713747211390845536543079665829765665133260952495082174526184094503079431136940277620835874471481112644210159463711385158846}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a^{2} - \frac{318939008510086051233863607364374850439177975110332751629952150087652790927675022140416276930653807950965013598405407899648420884301745961305859776596826305609375404390020383364756363299042860332589694314367911695980781293655875}{5015330562908977432108412594036362517930760425204498072909944395106211681290293523335077052946145155651148840354727531966387265654434044975716442713441516069269624508457385451481329236720608286626351366989991360777154682994017013} a + \frac{17362685691967919057943351952080837027740993887398166544525151246168027020729231158796037487916282081477175973432816250365885432617670915436460623180420444031753516594519275862602637552725674837688279307406313408144177459525617}{39490791833928956158333957433357185180557168702397622621338144843355997490474752152244701204300355556308258585470295527294387918538850747840286950499539496608422240224073901192766371942681955012805916275511742998245312464519819}$  Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $37$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)  Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed  Toggle raw display
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{457}) \), 19.19.755947441066272696677489606263668936388276269649.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
457Data not computed