↑

Properties

Label 38.38.2596071857...5953.1
Degree $38$
Signature $[38, 0]$
Discriminant $3^{19}\cdot 19^{73}$
Root discriminant $495.58$
Ramified primes $3, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![3147242965861, -220961136770617, -44929929487917, 4327841312665199, -6273911703229422, -17432350286733448, 44420642090413847, 2939626320084510, -81482325904062986, 39381849534000508, 69626900587988757, -55529864053483792, -33369608975838046, 37228914395189218, 9967315841901733, -15265383022918127, -2088691296591085, 4205390929184442, 375013687116124, -811070932087692, -67774979212045, 110692914430763, 11003488266809, -10588090616078, -1319990424275, 694403262546, 106432357475, -30311258771, -5581898660, 847596384, 187333407, -14319996, -3935147, 131024, 49571, -494, -342, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - 342*x^36 - 494*x^35 + 49571*x^34 + 131024*x^33 - 3935147*x^32 - 14319996*x^31 + 187333407*x^30 + 847596384*x^29 - 5581898660*x^28 - 30311258771*x^27 + 106432357475*x^26 + 694403262546*x^25 - 1319990424275*x^24 - 10588090616078*x^23 + 11003488266809*x^22 + 110692914430763*x^21 - 67774979212045*x^20 - 811070932087692*x^19 + 375013687116124*x^18 + 4205390929184442*x^17 - 2088691296591085*x^16 - 15265383022918127*x^15 + 9967315841901733*x^14 + 37228914395189218*x^13 - 33369608975838046*x^12 - 55529864053483792*x^11 + 69626900587988757*x^10 + 39381849534000508*x^9 - 81482325904062986*x^8 + 2939626320084510*x^7 + 44420642090413847*x^6 - 17432350286733448*x^5 - 6273911703229422*x^4 + 4327841312665199*x^3 - 44929929487917*x^2 - 220961136770617*x + 3147242965861)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - 342*x^36 - 494*x^35 + 49571*x^34 + 131024*x^33 - 3935147*x^32 - 14319996*x^31 + 187333407*x^30 + 847596384*x^29 - 5581898660*x^28 - 30311258771*x^27 + 106432357475*x^26 + 694403262546*x^25 - 1319990424275*x^24 - 10588090616078*x^23 + 11003488266809*x^22 + 110692914430763*x^21 - 67774979212045*x^20 - 811070932087692*x^19 + 375013687116124*x^18 + 4205390929184442*x^17 - 2088691296591085*x^16 - 15265383022918127*x^15 + 9967315841901733*x^14 + 37228914395189218*x^13 - 33369608975838046*x^12 - 55529864053483792*x^11 + 69626900587988757*x^10 + 39381849534000508*x^9 - 81482325904062986*x^8 + 2939626320084510*x^7 + 44420642090413847*x^6 - 17432350286733448*x^5 - 6273911703229422*x^4 + 4327841312665199*x^3 - 44929929487917*x^2 - 220961136770617*x + 3147242965861, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{38} - 342 x^{36} - 494 x^{35} + 49571 x^{34} + 131024 x^{33} - 3935147 x^{32} - 14319996 x^{31} + 187333407 x^{30} + 847596384 x^{29} - 5581898660 x^{28} - 30311258771 x^{27} + 106432357475 x^{26} + 694403262546 x^{25} - 1319990424275 x^{24} - 10588090616078 x^{23} + 11003488266809 x^{22} + 110692914430763 x^{21} - 67774979212045 x^{20} - 811070932087692 x^{19} + 375013687116124 x^{18} + 4205390929184442 x^{17} - 2088691296591085 x^{16} - 15265383022918127 x^{15} + 9967315841901733 x^{14} + 37228914395189218 x^{13} - 33369608975838046 x^{12} - 55529864053483792 x^{11} + 69626900587988757 x^{10} + 39381849534000508 x^{9} - 81482325904062986 x^{8} + 2939626320084510 x^{7} + 44420642090413847 x^{6} - 17432350286733448 x^{5} - 6273911703229422 x^{4} + 4327841312665199 x^{3} - 44929929487917 x^{2} - 220961136770617 x + 3147242965861 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $38$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[38, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2596071857261356353343069145711378949501369631563408367246132297653804182620484194163230531206681625953=3^{19}\cdot 19^{73}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $495.58$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1083=3\cdot 19^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1083}(512,·)$, $\chi_{1083}(1,·)$, $\chi_{1083}(514,·)$, $\chi_{1083}(1027,·)$, $\chi_{1083}(1025,·)$, $\chi_{1083}(398,·)$, $\chi_{1083}(911,·)$, $\chi_{1083}(400,·)$, $\chi_{1083}(913,·)$, $\chi_{1083}(284,·)$, $\chi_{1083}(797,·)$, $\chi_{1083}(286,·)$, $\chi_{1083}(799,·)$, $\chi_{1083}(170,·)$, $\chi_{1083}(683,·)$, $\chi_{1083}(172,·)$, $\chi_{1083}(685,·)$, $\chi_{1083}(56,·)$, $\chi_{1083}(569,·)$, $\chi_{1083}(58,·)$, $\chi_{1083}(571,·)$, $\chi_{1083}(455,·)$, $\chi_{1083}(968,·)$, $\chi_{1083}(457,·)$, $\chi_{1083}(970,·)$, $\chi_{1083}(341,·)$, $\chi_{1083}(854,·)$, $\chi_{1083}(343,·)$, $\chi_{1083}(856,·)$, $\chi_{1083}(1082,·)$, $\chi_{1083}(227,·)$, $\chi_{1083}(740,·)$, $\chi_{1083}(229,·)$, $\chi_{1083}(742,·)$, $\chi_{1083}(113,·)$, $\chi_{1083}(626,·)$, $\chi_{1083}(115,·)$, $\chi_{1083}(628,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $a^{36}$, $\frac{1}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{37} + \frac{198193422263668972671352088686022041986826050610271791524860098749715820623070030752139758794779588246616086623369785453307852415607235464032906736121254668328835627681343839065639836989088352828123553506479834600694736176361646693608415667773687045467478094140008447293503272791230718323206173648815}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{36} - \frac{288222177188446059893713384671854811097271967487697901959900055243687659259432595871103181044664290502958614126076686650694140113709184440875240107610094109047424297687489895719810751390543543494333882140795831342966199383858558942211501768985219540633988302638641336509670681136956228155165930641578}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{35} + \frac{2885900377428021201759062026612834864308909494968318986384731051892095761989510467063729709317060571287076774557899378458015384866856844577045167559822577963965706906372303093551871848642206572066986751882996292881610181360313791501701300253288164619035918888385364655175513686270039175758032991037}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{34} + \frac{102333158544664737238607514031493985952905949005491561691678772586236884537235362722043063947070541981435935960686597973168921316245886561396073618674720151564586395850459209980323095302545111437758856778314569140654895995149362048324339123355871237744144789825241419483436546026224428903196082707125}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{33} + \frac{93413304505833458424198472860277571703438667802091745792084496027076837553745406673733113812018284220336426655822935467571639892207248769409312352313931743190601764534617281504706222996775572589077726386890928109521363948113084581214622357740807179950833133667442882575907035250917306391589558798571}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{32} + \frac{568710759061690048671175652748877501537645592189183658913875511767470574468927072756150714716996413867761399459597887288506942325632396795789624280430033991548039275210052524676264948157209218564053756481006848862025031722212236466674327728642165411675074428411492976452057553431562264843781814092}{2347295003422594688057003595146449138934780386930306296193680056333992578567677900231688646769889313337370392591677056593033937046780307781190116519998892408264582653396635248243282131729327447258508596844921271469769156790443757131017826102376836125980242667232955233683185836917875866261978542673} a^{31} + \frac{27024536160295961453280583342919540117709711004333766304154647431829890530577936022904014118289757858710099464331142875165238068866657593744394594324695933477551018735711355079883402253627418921756930826903187174301576966667809594852159181678145487020969350357202749277533195474493569678214236775699}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{30} - \frac{179070245263123822542604350943008854380847023198811374763563615047561595799121089099193801852652507427790724880914965943587983022420786619628299950303647821577393384781273522589341401837619039484928094220202576413913073096184745281486400710759681526283625308880221461617259060993068482365039400010440}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{29} - \frac{24217747645333681494419313518016872350812761491222601229552074803461074359871660236281916706756461322201305599818763953193875409647053219722899429520564002400747887322957108880656381101199162020707282094832162072542626658883257221063465526219982302016697350960550442052786874967169507652425737620438}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{28} - \frac{57581602435765136878264652374280601715352738538122053837303172377156010993596187859565521792675852669073208463104217058473221951877709296967438575713456642892194325145799261452618361029216886562101573757034219299000812715120675439420139868252672859076562893217786642372908423719676178501809422456495}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{27} + \frac{60582577897107665083670404191885317139135264526702678598506493399662463871323906965775185665978708330686837051020329107694141805163118609256657756759727627838206484084834742177985467182560792565599044015151330286290001001858637182367164927042374880178491360714675186689786217468925261445232797776730}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{26} - \frac{261720297967525066614782706562072905020342066500989865785423616872565423847461991510509263683681882160634281880854916114810633119508079316420373046534405797328064477736940495576164302952639314116487919726415123272557455550227212244804136239837268596873942481405147859563062902694212085425905249228519}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{25} + \frac{288631903025729035705432350291113542407653839366361635556610560206027584364476075831282916672755076495489124502976249379366705615360781435967540820611240546267724325022183894072640510975645236434687455117812096280798491265473626669880028544196173132326598446553887202671464307346853951196742171274834}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{24} - \frac{8665293457179890398638237405565972572336378678216051863181842096057383935375078926142071724672815751648724009276847426426394470686305840217136308274101804227954766550385872394560286699729687992439330148289976728057124284681616929980848020508906751719132152748213288593073821994579806926146838086363}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{23} + \frac{128867022900536509201456322393228886197644697894351717161869845115446881068612747218947530372503042240260115104348135468225354873734600865247543511701641049489841079953401155226603004199701354220955792405371562152087827277324793355493040409315112150460035678675305736849859395816462787083425535285568}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{22} - \frac{139475086440179707807391507905557197787356614340083087065258938511220979980499375005342506436485474768964606794904499762131723739516186204148890865484573424070249828042791609452024874097354939375887630035908712141779739238033448874527788778473950945404634208173509297470122158481348191161668594507984}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{21} - \frac{259993621597468784405844102448326264141667790755944131575822489403126527825738540902193932006099850078391655047945947662430987240312306877357736582798353093808972391912627027563891252703462470500607996559734753943142872947136698923840968268620463773907693325430080483334224423945448317054852691469366}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{20} + \frac{281586537890052860186549218607128971779268296439454016387725063330651275740379432418618744276108485681103298453305964063358284791132983411059729789935938617825470447307757192669290532230719830970503131348184506598874280388781396687917959849973642125795874439071543090417448920545546505083796753604800}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{19} + \frac{180834799629716204257057187190624467588188062595881410770055082327116973767339092284947144150529378610273327371510473741374658224771347025903944021650620814451541455198404974498294636653495833009544610539929437076356103858543772906181596151461779760614815372694667071049704352800545222846717707426314}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{18} - \frac{13583817475399043990427582894189193563379310585875076788030960987772640963839108812586447465798169517488224611563794315243741604632342445890581540649045660386686767583371328625007532839057904964974965192194756963485276979635808643852254119030122915328936904580043994671937892587853191913093330769026}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{17} + \frac{332272663883667320902363598528836035974263103975647152368158103056802827709139744193439193883312603212732928489700933687277916009075753433556783929767887671386010036957223611649872175055226173263300686203290257090261424413220246053616925381589832501970275060623984872247400603964771295932820400209171}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{16} + \frac{209658238550878057494127072780777075088630482045676244652213978214421413638494049317577146718387719253237884436699977460338023145800707158828412227103591612726544474456621917368491359863223035158368880623133014562352681586352292971208252001621089784273744953565839602946653611309546566383315519496933}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{15} + \frac{288034098896014011332973735704239058067078166763526327294433912966765047756981577588922419115960005247582664272532391402226481690464891888198677278187511304299821200102462076238447321247066916017142675955601833793133184929903102403893423862283013074993863480586308417359256079743185943581876291238582}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{14} + \frac{96502715527108754576011082945584665771443285701433704054915637076525591522930594232275053411439545919626805675883083716940068425408781481239737458318036453818498650253593740448906958043898497103677438386210368839091988540468623045579898765185168666449714820546860071753797506980449231735839683107165}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{13} - \frac{87535095498631385809204024347269341889129605745097745677260414713379074931927130702215159273181126998574413804229554165078198399741925597503529831316376187852216833210698486688863742545506304677017801521036681023394732589904596338716604008938659978365742551513976587511154018461146571656282512243034}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{12} - \frac{26546184131920419126870960678763581993034036008109081113834408771576594708022153276086834757305566969010822995068517149518984085754489774495494381927871591985861698917863700910796720684014854731311046157698368851745923752459506487927810043711182302881893930476391908192896198320702757967119668402147}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{11} - \frac{270260768568030906670614046117465945801283343677631060979746399657595935811827305716695130669599406074038486242607413729297473496238846744485354212417736035624588947218164670639084943499833523265504341937595042606325018284590687841051933083827826485239911938805608390792491567794778477890246151111318}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{10} + \frac{151145257178983952589353462109820091042734194857192472065613553543065790624525393743880456485148261401731733885024330650602754122152498580238838104118539514978681889328083598547833717079506485732331630011083381076477088872278959623059519518157255256812569657071255660941256897411590430371118145119764}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{9} - \frac{306167061004302666670220731937527895311655171516194699013972908261548293390929955600881298737599567410370969372941022460055608190291780409408669709777573193590996201712527548484055525733068543790829088390944698611526795776042949163501813797798305664494726854810937419427170920141667626968883172404925}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{8} - \frac{207944749685837513174508176602562881877305997320096058955938912467775715974129845116958607606669872467186452457804908601223926191793866997662549171898098337740363892289845235570520427849645789321820320836031797956533652178282626761491209160258635656943805001970832638739833908888043064289001393000983}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{7} - \frac{43330214106538308010895501570003301020437391299986343310379676073771198404889851902937541899252134506245017559350603552745565677701943975749901024061938973604835805825193104290595291701708107392458419039963497244340982099466807476476834804219971784266115275618328540851610804080278042651700552940483}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{6} + \frac{241687273433412088940712893697415716155849181154431051529630412657895570646486828494901560007615466691911902856252341922031886247386693849668424891515666352057311408607445052949021961293245460175382977396223440397963820200576716642181131337342210747291222008888606130136630073378792583826534476818790}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{5} - \frac{231946821618376327885190499283658501719621949300717764248155228610244982962886400542815941788971107220651491921221722231180185836710541969943678843517887019293729102110335957768953170324079918200886864523436563362741639887665350334689279646418738004558140253365553259248748907968067914603135576048632}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{4} - \frac{10970037669183146253803306365897566856076640721385424061780589787622481283234618675132617969600313339364853814326212426216924727964897540037675371744834112675531267127514593725617632731417996303110599207642786644985472203338633998094346178534689855209131208247422306461822802118726811233021592551422}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{3} - \frac{310409369346832992411670055079946565376575735181312134511373697984675537194582286045693936881048307849895098049744795897359310009266045823772852690477917366136752827313401238390332769258645896675759880041574965463277938460756247961185977364311945393614436836050389863906928121972095483984083610405961}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a^{2} + \frac{292718988387246776802219952629733381787767045475790782538010670690216913033215038608858484166081709542086666857496488728160329933806009002295475116191593415770018847388993497808553860790037285582379883021355532444326223247407768061504025708390206306042523501415856371866296434745430876222114060378284}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189} a + \frac{313595809970226235703359383421874929809689995318461341305466721582029891090799623323529587214255001665934277481787183601718172146460160132173930777916635467736779633876934794748403959936593191062101502924084223311048386716077658327676376268912662766527901467465434969683648094426101937858221362459765}{687757436002820243600702053377909597707890653370579744784748256505859825520329624767884773503577568807849525029361377581758943554706630179888704140359675475621522717445214127735281664596692942046743018875561932540642362939600020839388223047996412984912211101499255883469173450216937628814759713003189}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $37$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{57}) \), 19.19.10842505080063916320800450434338728415281531281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $19^{2}$ R $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $38$ R $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
19Data not computed