Properties

Label 38.38.249...125.1
Degree $38$
Signature $[38, 0]$
Discriminant $2.498\times 10^{95}$
Root discriminant $323.94$
Ramified primes $5, 191$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - 17*x^37 - 64*x^36 + 2589*x^35 - 5411*x^34 - 156768*x^33 + 733103*x^32 + 4788192*x^31 - 35074270*x^30 - 69778288*x^29 + 937716801*x^28 - 3988006*x^27 - 15662818901*x^26 + 18940301798*x^25 + 169186329709*x^24 - 366424944806*x^23 - 1167394423359*x^22 + 3780063487716*x^21 + 4693995261962*x^20 - 24515638087910*x^19 - 6315614627194*x^18 + 103828189076722*x^17 - 36155927083660*x^16 - 285274970106320*x^15 + 223944436674986*x^14 + 486329219734937*x^13 - 571966582999537*x^12 - 458764738319995*x^11 + 781485719820911*x^10 + 160103399248715*x^9 - 557488639455834*x^8 + 53135732479684*x^7 + 180915511892981*x^6 - 38184876354047*x^5 - 25486623807243*x^4 + 6173666606950*x^3 + 1214949029058*x^2 - 273982926995*x + 184740541)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - 17*x^37 - 64*x^36 + 2589*x^35 - 5411*x^34 - 156768*x^33 + 733103*x^32 + 4788192*x^31 - 35074270*x^30 - 69778288*x^29 + 937716801*x^28 - 3988006*x^27 - 15662818901*x^26 + 18940301798*x^25 + 169186329709*x^24 - 366424944806*x^23 - 1167394423359*x^22 + 3780063487716*x^21 + 4693995261962*x^20 - 24515638087910*x^19 - 6315614627194*x^18 + 103828189076722*x^17 - 36155927083660*x^16 - 285274970106320*x^15 + 223944436674986*x^14 + 486329219734937*x^13 - 571966582999537*x^12 - 458764738319995*x^11 + 781485719820911*x^10 + 160103399248715*x^9 - 557488639455834*x^8 + 53135732479684*x^7 + 180915511892981*x^6 - 38184876354047*x^5 - 25486623807243*x^4 + 6173666606950*x^3 + 1214949029058*x^2 - 273982926995*x + 184740541, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![184740541, -273982926995, 1214949029058, 6173666606950, -25486623807243, -38184876354047, 180915511892981, 53135732479684, -557488639455834, 160103399248715, 781485719820911, -458764738319995, -571966582999537, 486329219734937, 223944436674986, -285274970106320, -36155927083660, 103828189076722, -6315614627194, -24515638087910, 4693995261962, 3780063487716, -1167394423359, -366424944806, 169186329709, 18940301798, -15662818901, -3988006, 937716801, -69778288, -35074270, 4788192, 733103, -156768, -5411, 2589, -64, -17, 1]);
 

\( x^{38} - 17 x^{37} - 64 x^{36} + 2589 x^{35} - 5411 x^{34} - 156768 x^{33} + 733103 x^{32} + 4788192 x^{31} - 35074270 x^{30} - 69778288 x^{29} + 937716801 x^{28} - 3988006 x^{27} - 15662818901 x^{26} + 18940301798 x^{25} + 169186329709 x^{24} - 366424944806 x^{23} - 1167394423359 x^{22} + 3780063487716 x^{21} + 4693995261962 x^{20} - 24515638087910 x^{19} - 6315614627194 x^{18} + 103828189076722 x^{17} - 36155927083660 x^{16} - 285274970106320 x^{15} + 223944436674986 x^{14} + 486329219734937 x^{13} - 571966582999537 x^{12} - 458764738319995 x^{11} + 781485719820911 x^{10} + 160103399248715 x^{9} - 557488639455834 x^{8} + 53135732479684 x^{7} + 180915511892981 x^{6} - 38184876354047 x^{5} - 25486623807243 x^{4} + 6173666606950 x^{3} + 1214949029058 x^{2} - 273982926995 x + 184740541 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[38, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(249\!\cdots\!125\)\(\medspace = 5^{19}\cdot 191^{36}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $323.94$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $5, 191$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(955=5\cdot 191\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{955}(1,·)$, $\chi_{955}(6,·)$, $\chi_{955}(769,·)$, $\chi_{955}(136,·)$, $\chi_{955}(344,·)$, $\chi_{955}(914,·)$, $\chi_{955}(579,·)$, $\chi_{955}(789,·)$, $\chi_{955}(536,·)$, $\chi_{955}(794,·)$, $\chi_{955}(796,·)$, $\chi_{955}(154,·)$, $\chi_{955}(414,·)$, $\chi_{955}(69,·)$, $\chi_{955}(816,·)$, $\chi_{955}(36,·)$, $\chi_{955}(924,·)$, $\chi_{955}(941,·)$, $\chi_{955}(559,·)$, $\chi_{955}(944,·)$, $\chi_{955}(434,·)$, $\chi_{955}(694,·)$, $\chi_{955}(316,·)$, $\chi_{955}(574,·)$, $\chi_{955}(451,·)$, $\chi_{955}(196,·)$, $\chi_{955}(709,·)$, $\chi_{955}(341,·)$, $\chi_{955}(726,·)$, $\chi_{955}(121,·)$, $\chi_{955}(216,·)$, $\chi_{955}(221,·)$, $\chi_{955}(351,·)$, $\chi_{955}(609,·)$, $\chi_{955}(871,·)$, $\chi_{955}(489,·)$, $\chi_{955}(371,·)$, $\chi_{955}(889,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{7} a^{14} - \frac{2}{7} a^{8} + \frac{1}{7} a^{2} + \frac{2}{7}$, $\frac{1}{7} a^{15} - \frac{2}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{3} + \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{16} - \frac{2}{7} a^{10} + \frac{1}{7} a^{4} + \frac{2}{7} a^{2}$, $\frac{1}{7} a^{17} - \frac{2}{7} a^{11} + \frac{1}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{3}$, $\frac{1}{7} a^{18} - \frac{2}{7} a^{12} + \frac{1}{7} a^{6} + \frac{2}{7} a^{4}$, $\frac{1}{7} a^{19} - \frac{2}{7} a^{13} + \frac{1}{7} a^{7} + \frac{2}{7} a^{5}$, $\frac{1}{7} a^{20} - \frac{3}{7} a^{8} + \frac{2}{7} a^{6} + \frac{2}{7} a^{2} - \frac{3}{7}$, $\frac{1}{7} a^{21} - \frac{3}{7} a^{9} + \frac{2}{7} a^{7} + \frac{2}{7} a^{3} - \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{22} - \frac{3}{7} a^{10} + \frac{2}{7} a^{8} + \frac{2}{7} a^{4} - \frac{3}{7} a^{2}$, $\frac{1}{7} a^{23} - \frac{3}{7} a^{11} + \frac{2}{7} a^{9} + \frac{2}{7} a^{5} - \frac{3}{7} a^{3}$, $\frac{1}{49} a^{24} - \frac{3}{49} a^{23} + \frac{3}{49} a^{22} - \frac{1}{49} a^{21} - \frac{1}{49} a^{20} - \frac{1}{49} a^{19} + \frac{2}{49} a^{18} - \frac{2}{49} a^{17} - \frac{1}{49} a^{16} - \frac{3}{49} a^{15} + \frac{3}{49} a^{14} - \frac{19}{49} a^{13} + \frac{2}{7} a^{12} - \frac{1}{49} a^{11} - \frac{5}{49} a^{10} + \frac{17}{49} a^{9} + \frac{10}{49} a^{8} + \frac{11}{49} a^{7} + \frac{9}{49} a^{6} - \frac{10}{49} a^{5} + \frac{20}{49} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} + \frac{18}{49} a^{2} + \frac{4}{49} a + \frac{23}{49}$, $\frac{1}{49} a^{25} + \frac{1}{49} a^{23} + \frac{1}{49} a^{22} + \frac{3}{49} a^{21} + \frac{3}{49} a^{20} - \frac{1}{49} a^{19} - \frac{3}{49} a^{18} + \frac{1}{49} a^{16} + \frac{1}{49} a^{15} - \frac{3}{49} a^{14} + \frac{6}{49} a^{13} + \frac{6}{49} a^{12} + \frac{6}{49} a^{11} + \frac{9}{49} a^{10} - \frac{9}{49} a^{9} - \frac{8}{49} a^{8} + \frac{1}{7} a^{7} + \frac{24}{49} a^{6} + \frac{11}{49} a^{5} - \frac{3}{49} a^{4} + \frac{4}{49} a^{3} + \frac{16}{49} a^{2} - \frac{3}{7} a + \frac{13}{49}$, $\frac{1}{49} a^{26} - \frac{3}{49} a^{23} - \frac{3}{49} a^{21} - \frac{2}{49} a^{19} - \frac{2}{49} a^{18} + \frac{3}{49} a^{17} + \frac{2}{49} a^{16} + \frac{3}{49} a^{14} - \frac{24}{49} a^{13} - \frac{8}{49} a^{12} - \frac{18}{49} a^{11} - \frac{4}{49} a^{10} - \frac{18}{49} a^{9} - \frac{3}{49} a^{8} - \frac{1}{49} a^{7} + \frac{2}{49} a^{6} - \frac{1}{7} a^{5} - \frac{16}{49} a^{4} + \frac{16}{49} a^{3} + \frac{10}{49} a^{2} - \frac{19}{49} a - \frac{23}{49}$, $\frac{1}{49} a^{27} - \frac{2}{49} a^{23} - \frac{1}{49} a^{22} - \frac{3}{49} a^{21} + \frac{2}{49} a^{20} + \frac{2}{49} a^{19} + \frac{2}{49} a^{18} + \frac{3}{49} a^{17} - \frac{3}{49} a^{16} + \frac{1}{49} a^{15} - \frac{1}{49} a^{14} + \frac{19}{49} a^{13} - \frac{11}{49} a^{12} + \frac{1}{7} a^{11} - \frac{12}{49} a^{10} - \frac{1}{49} a^{9} + \frac{15}{49} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} - \frac{22}{49} a^{6} - \frac{11}{49} a^{5} - \frac{1}{49} a^{4} - \frac{18}{49} a^{3} - \frac{2}{7} a^{2} + \frac{3}{49} a - \frac{22}{49}$, $\frac{1}{49} a^{28} + \frac{3}{49} a^{22} - \frac{1}{49} a^{16} - \frac{3}{49} a^{14} - \frac{11}{49} a^{10} + \frac{20}{49} a^{8} + \frac{8}{49} a^{4} + \frac{11}{49} a^{2} - \frac{10}{49}$, $\frac{1}{49} a^{29} + \frac{3}{49} a^{23} - \frac{1}{49} a^{17} - \frac{3}{49} a^{15} - \frac{11}{49} a^{11} + \frac{20}{49} a^{9} + \frac{8}{49} a^{5} + \frac{11}{49} a^{3} - \frac{10}{49} a$, $\frac{1}{343} a^{30} - \frac{1}{343} a^{29} - \frac{2}{343} a^{28} - \frac{1}{343} a^{27} + \frac{3}{343} a^{26} + \frac{3}{343} a^{25} - \frac{19}{343} a^{23} + \frac{3}{343} a^{22} + \frac{6}{343} a^{21} + \frac{3}{343} a^{20} - \frac{15}{343} a^{19} - \frac{24}{343} a^{18} - \frac{22}{343} a^{17} + \frac{2}{49} a^{15} - \frac{23}{343} a^{14} + \frac{47}{343} a^{13} + \frac{50}{343} a^{12} + \frac{55}{343} a^{11} - \frac{18}{49} a^{10} - \frac{144}{343} a^{9} - \frac{27}{343} a^{8} - \frac{15}{343} a^{7} + \frac{18}{343} a^{6} - \frac{144}{343} a^{5} - \frac{58}{343} a^{4} - \frac{157}{343} a^{3} - \frac{1}{343} a^{2} + \frac{71}{343} a + \frac{167}{343}$, $\frac{1}{343} a^{31} - \frac{3}{343} a^{29} - \frac{3}{343} a^{28} + \frac{2}{343} a^{27} - \frac{1}{343} a^{26} + \frac{3}{343} a^{25} + \frac{2}{343} a^{24} - \frac{9}{343} a^{23} + \frac{23}{343} a^{22} + \frac{9}{343} a^{21} + \frac{16}{343} a^{20} + \frac{3}{343} a^{19} + \frac{10}{343} a^{18} + \frac{13}{343} a^{17} - \frac{3}{49} a^{16} - \frac{23}{343} a^{15} + \frac{17}{343} a^{14} + \frac{111}{343} a^{13} + \frac{16}{49} a^{12} + \frac{34}{343} a^{11} + \frac{143}{343} a^{10} - \frac{31}{343} a^{9} + \frac{6}{49} a^{8} - \frac{53}{343} a^{7} + \frac{3}{7} a^{6} - \frac{69}{343} a^{5} - \frac{124}{343} a^{4} - \frac{25}{343} a^{3} - \frac{16}{49} a^{2} - \frac{19}{49} a - \frac{120}{343}$, $\frac{1}{343} a^{32} + \frac{1}{343} a^{29} + \frac{3}{343} a^{28} + \frac{3}{343} a^{27} - \frac{2}{343} a^{26} - \frac{3}{343} a^{25} - \frac{2}{343} a^{24} - \frac{20}{343} a^{23} - \frac{10}{343} a^{22} + \frac{6}{343} a^{21} - \frac{23}{343} a^{20} + \frac{2}{49} a^{19} - \frac{10}{343} a^{18} + \frac{18}{343} a^{17} - \frac{2}{343} a^{16} + \frac{10}{343} a^{15} - \frac{2}{49} a^{14} + \frac{162}{343} a^{13} - \frac{12}{343} a^{12} + \frac{3}{7} a^{11} - \frac{38}{343} a^{10} - \frac{103}{343} a^{9} - \frac{8}{343} a^{8} + \frac{46}{343} a^{7} + \frac{167}{343} a^{6} + \frac{130}{343} a^{5} + \frac{158}{343} a^{4} + \frac{117}{343} a^{3} - \frac{101}{343} a^{2} - \frac{54}{343} a + \frac{137}{343}$, $\frac{1}{343} a^{33} - \frac{3}{343} a^{29} - \frac{2}{343} a^{28} - \frac{1}{343} a^{27} + \frac{1}{343} a^{26} + \frac{2}{343} a^{25} + \frac{1}{343} a^{24} + \frac{9}{343} a^{23} + \frac{3}{343} a^{22} - \frac{1}{343} a^{21} + \frac{11}{343} a^{20} + \frac{12}{343} a^{19} + \frac{6}{343} a^{17} + \frac{17}{343} a^{16} - \frac{2}{49} a^{15} + \frac{24}{343} a^{14} + \frac{4}{343} a^{13} + \frac{132}{343} a^{12} - \frac{72}{343} a^{11} - \frac{166}{343} a^{10} + \frac{115}{343} a^{9} + \frac{115}{343} a^{8} - \frac{12}{49} a^{7} + \frac{13}{49} a^{6} + \frac{15}{343} a^{5} - \frac{19}{49} a^{4} + \frac{17}{49} a^{3} - \frac{11}{343} a^{2} - \frac{109}{343} a + \frac{169}{343}$, $\frac{1}{49986157291} a^{34} - \frac{8170266}{49986157291} a^{33} - \frac{126930}{145732237} a^{32} + \frac{67581368}{49986157291} a^{31} - \frac{62499945}{49986157291} a^{30} - \frac{67397843}{7140879613} a^{29} - \frac{242281610}{49986157291} a^{28} - \frac{177430845}{49986157291} a^{27} + \frac{338150588}{49986157291} a^{26} - \frac{111125508}{49986157291} a^{25} + \frac{284272119}{49986157291} a^{24} + \frac{1392718195}{49986157291} a^{23} - \frac{556681089}{49986157291} a^{22} + \frac{2240378615}{49986157291} a^{21} + \frac{2387223196}{49986157291} a^{20} - \frac{747213801}{49986157291} a^{19} - \frac{3080610577}{49986157291} a^{18} + \frac{246929174}{49986157291} a^{17} - \frac{1709246319}{49986157291} a^{16} - \frac{1448724780}{49986157291} a^{15} + \frac{801944743}{49986157291} a^{14} + \frac{13773369068}{49986157291} a^{13} - \frac{24482876779}{49986157291} a^{12} - \frac{1887801043}{7140879613} a^{11} + \frac{16057106255}{49986157291} a^{10} + \frac{1473297517}{7140879613} a^{9} - \frac{22058241308}{49986157291} a^{8} + \frac{2556859505}{49986157291} a^{7} - \frac{3143748408}{49986157291} a^{6} - \frac{8595764192}{49986157291} a^{5} + \frac{223837072}{49986157291} a^{4} + \frac{9060208362}{49986157291} a^{3} + \frac{19907801}{145732237} a^{2} - \frac{1304812191}{49986157291} a + \frac{22843977535}{49986157291}$, $\frac{1}{21544033792421} a^{35} - \frac{90}{21544033792421} a^{34} - \frac{1864649}{4033707881} a^{33} + \frac{22632392070}{21544033792421} a^{32} + \frac{6700927992}{21544033792421} a^{31} + \frac{2140340473}{3077719113203} a^{30} - \frac{212024293156}{21544033792421} a^{29} + \frac{137596888789}{21544033792421} a^{28} - \frac{66669172711}{21544033792421} a^{27} + \frac{215321422522}{21544033792421} a^{26} + \frac{100777953218}{21544033792421} a^{25} - \frac{203868943893}{21544033792421} a^{24} - \frac{295555355514}{21544033792421} a^{23} - \frac{270009964001}{21544033792421} a^{22} + \frac{726584025007}{21544033792421} a^{21} + \frac{789650244595}{21544033792421} a^{20} - \frac{221968455949}{21544033792421} a^{19} - \frac{463162995951}{21544033792421} a^{18} - \frac{980642930425}{21544033792421} a^{17} + \frac{1511780978982}{21544033792421} a^{16} + \frac{561881905611}{21544033792421} a^{15} + \frac{17982245782}{21544033792421} a^{14} + \frac{4773148118007}{21544033792421} a^{13} - \frac{862419559766}{3077719113203} a^{12} + \frac{667362722314}{21544033792421} a^{11} - \frac{1463702880732}{3077719113203} a^{10} + \frac{7800510324567}{21544033792421} a^{9} - \frac{8917399719903}{21544033792421} a^{8} - \frac{1306585949840}{21544033792421} a^{7} + \frac{4982793864341}{21544033792421} a^{6} - \frac{9402609135979}{21544033792421} a^{5} + \frac{2022466071432}{21544033792421} a^{4} - \frac{1505278649950}{3077719113203} a^{3} - \frac{10468399747565}{21544033792421} a^{2} - \frac{3296167132215}{21544033792421} a - \frac{26336333741}{439674159029}$, $\frac{1}{6443235293461208177964078530355154349} a^{36} + \frac{118163385389847380540865}{6443235293461208177964078530355154349} a^{35} - \frac{44194055155693398096839343}{6443235293461208177964078530355154349} a^{34} + \frac{5783804596118772085927394017558264}{6443235293461208177964078530355154349} a^{33} + \frac{1300832865560189923095995352103365}{920462184780172596852011218622164907} a^{32} + \frac{9169771295224300721955412107707569}{6443235293461208177964078530355154349} a^{31} + \frac{3896031660786877395531447139358113}{6443235293461208177964078530355154349} a^{30} - \frac{44485072523996032170087685739031341}{6443235293461208177964078530355154349} a^{29} - \frac{7976387511234346758858088046572771}{920462184780172596852011218622164907} a^{28} - \frac{27264517408715478665911646787994742}{6443235293461208177964078530355154349} a^{27} + \frac{491667137651690032543416305839380}{59112250398726680531780536975735361} a^{26} + \frac{65190390711714902159276154174522076}{6443235293461208177964078530355154349} a^{25} + \frac{37232735018056363659161289487821758}{6443235293461208177964078530355154349} a^{24} + \frac{409002103152437089722554852272248285}{6443235293461208177964078530355154349} a^{23} - \frac{310271614511873183831713688837110325}{6443235293461208177964078530355154349} a^{22} - \frac{208865991605906801538336136418676705}{6443235293461208177964078530355154349} a^{21} - \frac{8318342331763268176630201649385221}{131494597825738942407430174088880701} a^{20} + \frac{281492956292235541425507755791125836}{6443235293461208177964078530355154349} a^{19} + \frac{108802752469265682473183936779521226}{6443235293461208177964078530355154349} a^{18} + \frac{695203192361264460554059679386997}{15304596896582442227943179407019369} a^{17} + \frac{388466742839531431218248062675667745}{6443235293461208177964078530355154349} a^{16} + \frac{370813098852912224026208112038680081}{6443235293461208177964078530355154349} a^{15} + \frac{340133570565828876626849172013710029}{6443235293461208177964078530355154349} a^{14} + \frac{758715070037789208275682041833543206}{6443235293461208177964078530355154349} a^{13} - \frac{2164431603554157201521003305781353834}{6443235293461208177964078530355154349} a^{12} + \frac{2416632355506884903202972719883974517}{6443235293461208177964078530355154349} a^{11} - \frac{411735018719134445879870541910593357}{6443235293461208177964078530355154349} a^{10} - \frac{684732979119831395180629791612841568}{6443235293461208177964078530355154349} a^{9} - \frac{1640660129476801336830297080080406468}{6443235293461208177964078530355154349} a^{8} - \frac{121523323517061686628295370351866251}{6443235293461208177964078530355154349} a^{7} - \frac{2147108504987749703168326403881069961}{6443235293461208177964078530355154349} a^{6} + \frac{135120574601642341952630885150434628}{6443235293461208177964078530355154349} a^{5} - \frac{2333006790438836537979383957684399650}{6443235293461208177964078530355154349} a^{4} - \frac{83245115363667884251132145853517276}{6443235293461208177964078530355154349} a^{3} + \frac{1834856637574317260869570454499061320}{6443235293461208177964078530355154349} a^{2} - \frac{455860039786960126513634725615912399}{920462184780172596852011218622164907} a - \frac{3209851182454251411035726910984773393}{6443235293461208177964078530355154349}$, $\frac{1}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{37} + \frac{14778508141640260466288731068194577567021396157075781155266373963239913628893708879375275028050335064221401976211533497753947}{1509518006548249024927840988148967593937425117264282688179241665564007780294025728424138842189439173611176361514243271738878703132379903658334068728090786170854027} a^{36} + \frac{61099087506811401367313757893055243282933783213102994320990329468279858993406821659563902092544920550428593043249746942669862137729550267718865339988}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{35} + \frac{4767213149458235817649385144858757178574990126573339904479778332348593372390036942223501332554776384764330286993023189464175001815942429478085459397091}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{34} + \frac{728711198568655592582895497981335330863768284145365564640066774861253109800172871869278318387295911701670838174514002647561321671126494497056031174838674326925}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{33} - \frac{6254004847852849266179039937347691385254284562867077119817414850676190399135318873858058543818932918747036031855895656957162150305657299712827684329354578686835}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{32} - \frac{3484930640120834953379290849019278509095777996701347647303246056926769284614930716731188853420123598223318173740043604641808145364453747110062446683554924847551}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{31} - \frac{4881061497332266509271047573223832891324365787257246629442179901989647990545865114960011623924699280720676028221587321493505843008175210597858456200783491243482}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{30} + \frac{82378127725177430414798662405890824211231486303577610859747789470142077702476035911717217018438217084468499240086300922336687365257558607950262413319664401040782}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{29} - \frac{70483800559629401046093980597373819108621774213066234809785962538584717859193195611788102407266469455653074024503280558795616673521255423500976245795297334915969}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{28} - \frac{82795750455380867187664535478358918499297062612995166005861194084168569251508197445110560526247778529995434902278492424849446435983672226477082108899761921307085}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{27} - \frac{14090635243779881792807663528916834263096475268251450087653858784059130672183815756409529552810079587196791075154579957855669115097990768178913248242999607306543}{1509518006548249024927840988148967593937425117264282688179241665564007780294025728424138842189439173611176361514243271738878703132379903658334068728090786170854027} a^{26} + \frac{69672487272437124167223985625457846756073808513502447236510774978333682502109017153054169383246742943078378248840469309969953009251861751633902051044207290363444}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{25} - \frac{86193907924039983047059674654485136550929694842882025872227433322909760396132717205817257570567981521608364659994453684125205114740304729485177502956254600568551}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{24} + \frac{666778903838072154797783219159046690417188743613218375020152117329436006546438914256597555383319660591437397071340204797982713518282257660662903414630417802028381}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{23} - \frac{737946773990722322869513090455631418635493927982700967575640143030711338002167249042521271461791081680870320043901469725661654664317547406247004826227683135010832}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{22} - \frac{63779164436454629027502115705819677299252427508790500629833636218252801714428569404802379399396575524136747400851833449399116614924506847724572762030661933687504}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{21} + \frac{187396142455893166165094987203351348051105864213312149289481446231042333802398926469837175165205936731095959216622764020538424226900256437877192480452435380769954}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{20} - \frac{616542588167934481716371567937145109196221821122274144607373056118016266754397507030788407689237117728849010938902467170489023141391079174058907680076209678642846}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{19} - \frac{352554754008812189755175763425246478723249567399765666234502027395523156863304373451215637827159375758003381613011444944291374307867923960394816102874397254474928}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{18} - \frac{51468721734471281967937622296635282815065756718199319541060073349909419575898227936728229823047867340581664523153415807091132839697520657715752926554202466482038}{1509518006548249024927840988148967593937425117264282688179241665564007780294025728424138842189439173611176361514243271738878703132379903658334068728090786170854027} a^{17} - \frac{7825855990079439611338326040380771390114585573523130796089252676493170186800636328843284550104111397393660133961967212384989008841403511125260585566308146947361}{1509518006548249024927840988148967593937425117264282688179241665564007780294025728424138842189439173611176361514243271738878703132379903658334068728090786170854027} a^{16} + \frac{117756074667588878273795676554761028956930005856546820799835063033039241361628082929498692351410419190151104179569589860317980771471180805423070391705415419546809}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{15} + \frac{576856610304809669532665042499013031845052008926487935254959254352845035974422039479050534256902154393892194214691187004720297281867787686002527098153372166473515}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{14} - \frac{4552892477891682345586971578058616044485176317612451755537793718693326081524743388997094449054137959250095544922166472832742783077526999573624444097644217575379193}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{13} + \frac{2523648625681208162045314884914426538312471766832484054977900982438737151386531331786935959287047830754920318938538156190397053194880313863111228511897125835196929}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{12} + \frac{4451081373646080955051562153749405384319851722548934024761568864816858924591893067040042850569506381382555103372350453588878952979036742180471602388130176099467479}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{11} + \frac{3609394002443882963831494331450977210338177913759500751940337135959164994832645292349806678479700936288676439686984098555089571085244436298608717536926337767013995}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{10} - \frac{1120731195871528208283812773439602541810890073865332862658747950534567451349433639751874254986171954724988341229536642704671768693258265377239536589871968713395049}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{9} + \frac{334246256539765658020388740962418238312070478068952991755260363662483545810471722714780751925179188736462134218607297956133152636646696160180014189079431053721807}{1509518006548249024927840988148967593937425117264282688179241665564007780294025728424138842189439173611176361514243271738878703132379903658334068728090786170854027} a^{8} + \frac{737394076509425088395631580836617732309100959317171495164104577190612913639542309435469772160270791346541785764248175460134824043728222864769028382023703621436995}{1509518006548249024927840988148967593937425117264282688179241665564007780294025728424138842189439173611176361514243271738878703132379903658334068728090786170854027} a^{7} + \frac{3948516988652003496868489631074201420354323076037807033900198572692886126050244383428167813703981166131308661406834987278909343955774320409328990643384048424232179}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{6} + \frac{4086161994617508208142847120151148983822581646590951477417891671536597504788480429839605897471392482176598216687263271265164771810458068263614483365076679867203309}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{5} - \frac{3865488425463479803533438823503585724731899478550552349303591410847575831014490642724203680213485906980185827741763055382096057857159714461541121295731389348165233}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{4} - \frac{1023047809067599944632571133836443058799616751517019925076018987834274877413227185262362416155778916464061340544484208161952739380547787990816547333221007557676435}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{3} - \frac{4455155541974679866446095677691575088694771455567865461471544867291715897035545948317838232265415485181673758549545120760118233556945735683850783080075582133249424}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a^{2} - \frac{3924345426995500351988198819527652118063811016566416258708270551603539350333488406263955401832145679119038236380063758298940390106242547897401659576017750963073026}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189} a - \frac{5152897331807469314419626991736947047074626530894695820351646604385741454435619192478615702149975910361492476266896350189402498208916573929583821139887034535688720}{10566626045837743174494886917042773157561975820849978817254691658948054462058180098968971895326074215278234530599702902172150921926659325608338481096635503195978189}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $37$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 19.19.114445997944945591651333831028437092270721.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $38$ $38$ R ${\href{/LocalNumberField/7.2.0.1}{2} }^{19}$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $38$ $19^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
191Data not computed