↑

Properties

Label 38.38.2242277458...8125.1
Degree $38$
Signature $[38, 0]$
Discriminant $5^{19}\cdot 19^{72}$
Root discriminant $592.09$
Ramified primes $5, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![14911143898147099, 40067232399563857, -641666806588881139, 219641714027477785, 3307037404639155292, -2388621891807945980, -6066136922383939789, 5024712299211630779, 5844343521008310247, -4978197957785195915, -3477750883069386065, 2872799715815077105, 1387879177866434969, -1065553844073230755, -387932611852231165, 268901707689505353, 77654230949000120, -47909517088369504, -11252186392848870, 6181335356273740, 1185165731831058, -587394556501288, -90602195976460, 41507384238113, 4980640240893, -2186062812785, -192448926397, 85311795747, 4963339201, -2427590879, -74272197, 48829164, 271263, -655956, 10963, 5263, -190, -19, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - 19*x^37 - 190*x^36 + 5263*x^35 + 10963*x^34 - 655956*x^33 + 271263*x^32 + 48829164*x^31 - 74272197*x^30 - 2427590879*x^29 + 4963339201*x^28 + 85311795747*x^27 - 192448926397*x^26 - 2186062812785*x^25 + 4980640240893*x^24 + 41507384238113*x^23 - 90602195976460*x^22 - 587394556501288*x^21 + 1185165731831058*x^20 + 6181335356273740*x^19 - 11252186392848870*x^18 - 47909517088369504*x^17 + 77654230949000120*x^16 + 268901707689505353*x^15 - 387932611852231165*x^14 - 1065553844073230755*x^13 + 1387879177866434969*x^12 + 2872799715815077105*x^11 - 3477750883069386065*x^10 - 4978197957785195915*x^9 + 5844343521008310247*x^8 + 5024712299211630779*x^7 - 6066136922383939789*x^6 - 2388621891807945980*x^5 + 3307037404639155292*x^4 + 219641714027477785*x^3 - 641666806588881139*x^2 + 40067232399563857*x + 14911143898147099)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - 19*x^37 - 190*x^36 + 5263*x^35 + 10963*x^34 - 655956*x^33 + 271263*x^32 + 48829164*x^31 - 74272197*x^30 - 2427590879*x^29 + 4963339201*x^28 + 85311795747*x^27 - 192448926397*x^26 - 2186062812785*x^25 + 4980640240893*x^24 + 41507384238113*x^23 - 90602195976460*x^22 - 587394556501288*x^21 + 1185165731831058*x^20 + 6181335356273740*x^19 - 11252186392848870*x^18 - 47909517088369504*x^17 + 77654230949000120*x^16 + 268901707689505353*x^15 - 387932611852231165*x^14 - 1065553844073230755*x^13 + 1387879177866434969*x^12 + 2872799715815077105*x^11 - 3477750883069386065*x^10 - 4978197957785195915*x^9 + 5844343521008310247*x^8 + 5024712299211630779*x^7 - 6066136922383939789*x^6 - 2388621891807945980*x^5 + 3307037404639155292*x^4 + 219641714027477785*x^3 - 641666806588881139*x^2 + 40067232399563857*x + 14911143898147099, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{38} - 19 x^{37} - 190 x^{36} + 5263 x^{35} + 10963 x^{34} - 655956 x^{33} + 271263 x^{32} + 48829164 x^{31} - 74272197 x^{30} - 2427590879 x^{29} + 4963339201 x^{28} + 85311795747 x^{27} - 192448926397 x^{26} - 2186062812785 x^{25} + 4980640240893 x^{24} + 41507384238113 x^{23} - 90602195976460 x^{22} - 587394556501288 x^{21} + 1185165731831058 x^{20} + 6181335356273740 x^{19} - 11252186392848870 x^{18} - 47909517088369504 x^{17} + 77654230949000120 x^{16} + 268901707689505353 x^{15} - 387932611852231165 x^{14} - 1065553844073230755 x^{13} + 1387879177866434969 x^{12} + 2872799715815077105 x^{11} - 3477750883069386065 x^{10} - 4978197957785195915 x^{9} + 5844343521008310247 x^{8} + 5024712299211630779 x^{7} - 6066136922383939789 x^{6} - 2388621891807945980 x^{5} + 3307037404639155292 x^{4} + 219641714027477785 x^{3} - 641666806588881139 x^{2} + 40067232399563857 x + 14911143898147099 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $38$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[38, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2242277458404766702002557226129081814951173635373007362690887769154380596585299665301923770160675048828125=5^{19}\cdot 19^{72}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $592.09$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1805=5\cdot 19^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1805}(1,·)$, $\chi_{1805}(514,·)$, $\chi_{1805}(134,·)$, $\chi_{1805}(1426,·)$, $\chi_{1805}(1046,·)$, $\chi_{1805}(1559,·)$, $\chi_{1805}(666,·)$, $\chi_{1805}(1179,·)$, $\chi_{1805}(286,·)$, $\chi_{1805}(799,·)$, $\chi_{1805}(419,·)$, $\chi_{1805}(39,·)$, $\chi_{1805}(1711,·)$, $\chi_{1805}(1331,·)$, $\chi_{1805}(951,·)$, $\chi_{1805}(1464,·)$, $\chi_{1805}(571,·)$, $\chi_{1805}(1084,·)$, $\chi_{1805}(191,·)$, $\chi_{1805}(704,·)$, $\chi_{1805}(324,·)$, $\chi_{1805}(1616,·)$, $\chi_{1805}(1236,·)$, $\chi_{1805}(1749,·)$, $\chi_{1805}(856,·)$, $\chi_{1805}(1369,·)$, $\chi_{1805}(476,·)$, $\chi_{1805}(989,·)$, $\chi_{1805}(96,·)$, $\chi_{1805}(609,·)$, $\chi_{1805}(229,·)$, $\chi_{1805}(1521,·)$, $\chi_{1805}(1141,·)$, $\chi_{1805}(1654,·)$, $\chi_{1805}(761,·)$, $\chi_{1805}(1274,·)$, $\chi_{1805}(381,·)$, $\chi_{1805}(894,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $\frac{1}{1571} a^{35} - \frac{92}{1571} a^{34} - \frac{694}{1571} a^{33} + \frac{766}{1571} a^{32} - \frac{157}{1571} a^{31} - \frac{308}{1571} a^{30} - \frac{716}{1571} a^{29} + \frac{731}{1571} a^{28} + \frac{432}{1571} a^{27} + \frac{267}{1571} a^{26} - \frac{309}{1571} a^{25} - \frac{333}{1571} a^{24} - \frac{243}{1571} a^{23} - \frac{642}{1571} a^{22} - \frac{79}{1571} a^{21} - \frac{669}{1571} a^{20} - \frac{435}{1571} a^{19} + \frac{23}{1571} a^{18} - \frac{54}{1571} a^{17} - \frac{358}{1571} a^{16} + \frac{338}{1571} a^{15} - \frac{701}{1571} a^{14} - \frac{374}{1571} a^{13} - \frac{452}{1571} a^{12} - \frac{356}{1571} a^{11} + \frac{377}{1571} a^{10} + \frac{581}{1571} a^{9} + \frac{333}{1571} a^{8} - \frac{525}{1571} a^{7} - \frac{440}{1571} a^{6} + \frac{749}{1571} a^{5} - \frac{614}{1571} a^{4} - \frac{424}{1571} a^{3} - \frac{462}{1571} a^{2} - \frac{361}{1571} a - \frac{23}{1571}$, $\frac{1}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{36} + \frac{247611749145459223491510938706767342848042220191959922122497196198979738}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{35} + \frac{272946847028218688161639364620003047704970995644023963518945268369276797223}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{34} + \frac{12414940058383320938792753778550508228646790168458319695262824850563320091}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{33} - \frac{104317966156429131856009311632294382855354731076964064245657847338708838617}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{32} + \frac{83452230683834494361089960061074838924332829780248789246715824251170062090}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{31} + \frac{54875216152430191452789829132776677069399110917082153823998650319233832124}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{30} + \frac{235315338420165890424245870717924269081344575461403079616183366942576051815}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{29} - \frac{225258902502738518262224403583731711206412769902273196659408505578900118801}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{28} - \frac{211036253401612978650753106764025815219169040004483948362011050334112683232}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{27} - \frac{265430622654269269517080626348276657563518166814758458027642567222651958078}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{26} + \frac{10264705325039315680226833203452161094756885499146857251765511408477270102}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{25} + \frac{367802415900235980985452885427191004873527847042131686989155463957048755974}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{24} - \frac{323225769808446968985375761400101231582869310161319382984938937076411567983}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{23} - \frac{269668764514641574425410475218303435617274035638181926783306656160269804875}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{22} - \frac{271567679972110283159260065495167593626517841845125220547242455443595377753}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{21} - \frac{240593001966886199339247860794307291306841627744600547355151944865977340903}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{20} + \frac{291971424640413196973230943540269136190951665232207696388235184950758557743}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{19} - \frac{274165776127084074871915084079258643442619710394181394209129251201471957394}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{18} + \frac{372078408402834482985139333653534459693903214063874116367230057532717388069}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{17} - \frac{362948447541118874634792722012125435535227883000700110448454842361053710553}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{16} + \frac{35794339757379396922826976822543884264532736311287467048809232020588823712}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{15} - \frac{364452126894573488098987946794148049845990305823169618741417530970732288857}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{14} + \frac{189602785514180385119237817321785902116829693782348241982701962861448722640}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{13} - \frac{148668317130455387590950202298917981001714744838587358532772493551974363299}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{12} - \frac{426880576079951068985985963593230585474929848250499189044626893023123838367}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{11} + \frac{331404237273252326924001229513528108596402767283115220261958618523625896207}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{10} - \frac{168904985782006226410190926155220565274600203255427256630571909823889712200}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{9} - \frac{395104728936061245513050406752931607378134170825726673033803409517389265621}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{8} - \frac{422238246377477793079025810260624705866526174226914563905789778210108510130}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{7} - \frac{271140085549570326519702653869190277649416113691134702233091052439890920548}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{6} - \frac{106961076456517063450262937887075402019194786590149928393119805348339296064}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{5} + \frac{151614409993196375050068447120383614210691903817719746525450886805294111175}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{4} + \frac{133259781324140479722672732677209196710734499345366688847944157462773894653}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{3} + \frac{171707222452290518684394153010128680246164243090086494083771930202844372348}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{2} + \frac{399364715901679443035036999758777567917368911014722044220098758193127485395}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a + \frac{113108865757163718174874206501444509234294636137617641863391506139707202}{2280334980067693771434351066776302999894164951936224559511748615619747101}$, $\frac{1}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{37} - \frac{2272994571962423683151522968420153012000101829088102911912020171441756665830013702053664700608521288823742170348532939997363861239167380674014311833623364900571889799224019926020405720729644}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{36} + \frac{3186529783752366115883022780997131339756226725768032988543115244410426799824411874870195556526593962309330909114165364858121698370969078700012591001149296124571502972260351640692934999642987008868724920933859514561721600929200110341339657726442084486583351241971}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{35} + \frac{820209607618987866545718247765596043008768860906522977923638146719988709042386607893082917753336434143427072704346007225598570884611094486046480148238065228774266219207322830138959685948062417738963667660332827325508878652494595955451427354416894457219093077177019}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{34} + \frac{3882214455998897821066631802271402436627701579934028262974386080838808726465118241215179797981341830440079593785534162985720767741965814563460575283219010061611022705621665246246114730743071066128214035215289065558776952918883839192353299803830293237350300068354990}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{33} - \frac{1838261117638328199168595855961805429240005083791475250800058947647167575639047909603916301774817166521263488122823920380651765013568654858476743209478706660963724401585595714376473344682293677203433434828565928841669630225534042351253172874570934833454340333144283}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{32} - \frac{6830808185973648079286107968263778498804254204795286820919738420726700901694554100749114506133249205937220119703454223401961562076883960697132207430891876158294361749342553183505897808915460995685450068085240213167737164591826706720296461610451011087870047668961715}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{31} + \frac{4432308559067869011064724432812674127633488126077990591374317115507318131986907186006336432440997782136136208387602191796720708450637467882409702510279567740206133313841736748042089952600687130635030956796805017528954982351848494562799247258028397361410722048908665}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{30} - \frac{7353439799034532813263525474212044154068536049287228863694725631855863405362651668165813500876008115256885880353863205498970749376955403997060501586183374728119545920894995700170559431075285793655471497318259444762295626307786318718475125323915280297667138069572425}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{29} + \frac{1053503740522521816947394503517425942964498687490637728420264569556060715215640805115412184827909758351106933124143984770564796904182827199758915607467346650440467671907335803963234554828111242740212084640065646877886593309632419671912016702192553530552665247803460}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{28} + \frac{305483850201867491099999254926116361396323809764838242801112311160842744228663614038155233769726832909384676695219181379221875486216878043779310757792640262376849752467507015690403792011208687151249060000991746778355640774429467985262638755279508858769582879809736}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{27} + \frac{2964105531616294921999677176157854694471346967139167323743960810112903243399156264943223833046940663876727162708540348672089487421026500086594619323809265857125513029125298728796505301560931868511835925278214850044400913506052484801382339995251142694375825234035797}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{26} - \frac{6746228020978099394968863292409215099132225655059327246138069483703112969374270758032387831846289024685300806506281830862831054302430833104461115841149960092431330806417545591912901862217892488575442346501288982897415142575935062169021441544670454359592667449877921}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{25} - \frac{2725470616616514042294148577371765482708971631194427259588167363865013274195615316268573597137527768374774074143323018273872298834422195482930514059993515787771031830958038686465503545210155711516269188164723502142440550213843282086350296872043948294291459046504092}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{24} - \frac{1822400154645159779035467479447305197297528363489245504632218465261456834258614356068793799155632574573273100978325290783079433848131427703774283732751065627527242025507417716907906761324450049302075818755203482326070911882490409478896176551943240003090945869418807}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{23} - \frac{2490034453095378713567685014523638531146427344728064749594216303743470392520644974948714233306556508229535273035205686851882561009816095592554168177523554197582311522026465158242612165262220781957500550340177411858931264774525139841228236627283337861673726080938443}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{22} + \frac{3981212547667330414145235567698310740760577217562100839404833873153845478777593776643117620311690070566670743835473616113326577915675492501874613887666588695722365278379480599762178561268991322163568799445861601204611874681046609666009904104855810132144789039504731}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{21} - \frac{6812713186366417814007141389794517098654901078280738978285325658207920902957015427409444329311996110974863185109782913451909032944200897464715778881219171706896977285552478101148270055192103203002037812119383426286135738254548485326900488994425796237643851142028728}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{20} - \frac{7640981771256077541978778166266122517438490886392382307211917926037358967955522219693695642919613697265607692090198016789561115504199464865899393435249098275746686677567318472515678070728565200118965132958261679699780758938754773354260347545851547520314443325411651}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{19} + \frac{1168678547747095109885854888017618601857267364238324978805493876383562834206034768041522307391873851456538075725071072097265192791524244254734269766425425893828887455100204718797834439158436436030493947483256648836443666466234070233960069144003041225259077133813706}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{18} + \frac{5773479817910715840761888760991921099950340704392979660833954337094476848017534151194963942585139015801003608409580801863425410765288087546033320247010632168125666708763139746888111009898722362178528895577169529019223110472377541494059638264137046503740004218043490}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{17} - \frac{7150518296616167237131106276021148496481343725495415261963375383821872557606982755213816998212627250458171108762041660510666280211639845614845376691148167051811914627383228566022829667498138006410050072952366803027397541260086726515273335379472300456607357936031400}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{16} - \frac{2485281028816655454510725005768527105183518503071431690892253015455791376963858388075662448377300421940131442582148952275335438570603932615059326666109983919409045130468937081240018829409448460102285221068687275790679759886315512663842372389642459718737564426971771}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{15} + \frac{4780057384166797768977573303135790382903089965537683160834330595216168995727992867078927649605365647884219102485359702447639776384909431605802756326799496218684573996456304323691357645388245546037113280940438306414196208475597430755981839437992233519180235720462881}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{14} + \frac{3763813827965432879213047129178045309885097287970023369014835870290241550337981647224758552241563633276659664305708849581652213199384640630715287788978872591902400121269686198669896400306293928454514122587190163210843968965585210741228111542464929900732477238075505}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{13} - \frac{1035675469041430572890275029981388558127568373116615500306967068474311898716035918786054798425197293388184709315313878891660035119229965746454724885937296228708622926436145122752617914779831704721899979472635227524274773809487321423176786886498675537790808402121043}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{12} + \frac{7563663287546509458306894422505700634715286422267036888093918494512992766550606300003489632854055166267527538665925382193266585993757167153632736016637762182292503005977182569885229302846833631006135753858305448179750760073833199493651117068944907197297446372471169}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{11} - \frac{3251796590432591403775599516376788497782242591311323878126179775572197393456707977993125333357150881393452064146912449392171652927813786492170397733554619143966454013973203095778238194994880723094684116351618586286322929813576609510443570012484427768618039182196424}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{10} - \frac{1863739381890203998760113969049700653184310383180232187086901363848492574581370070254522032595925522452278515305666452177408914393089670924319311185872560259194444971888410453344758151214631057499381198417361315225604653393456108699299937405402344539342378776565058}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{9} + \frac{7085369464444332189289920943047242740125831330849896754404613913201652664796471580815546391907519408838060700061025408075339776965584414744595741809290860997694791212878914822015611525860742975550636360772550479070048929925946356279734514044071893426267318453797443}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{8} + \frac{1374392133213019680981884974122345463231018590955951619492921026394329633711810183595235832008047841885778324412821121100134921828947951710870436539608884907579521152490393825851140760461267886848025362848998195426774161753003525140249346908579668054685106508843125}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{7} - \frac{4597237379983055211085614665102877045449275663624123781899458156409701114571296787939493159594951305233741061284488493815099849827278337325629281150655116151491253622857680970997427038220707391745036405845795549168015013928154800278216633606466444059581978773165160}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{6} - \frac{2022550480282074567012730293214656784975793593879960137242540195420383617509498768486347279449808105598149733024812106247260276505572693162466502350957433747873134061481177593714203383036209566063481273672932834563146779197742506053288670061545208144816043382429852}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{5} - \frac{4313339488181230700744900229673196379949854623481386460033397025454196335376378326678118310815030704104025112531648474372277909181281458595202777302851225998503358273712781908948312099573936656367451850811336992312075243631650781600479955627574416998468920484293195}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{4} + \frac{3609972805085864278907137775962637160685009815575589372019998981444468973133215723016379312271275007360457950978279539073358055433118658403433014326591068149760186084570645906048416424890861989450674552711799050587264103302079356580833958000271188095798464590660432}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{3} + \frac{3207755191556476551869448488625515811892296761924540752943193117035828431985608391367754398493091737899658021982073985924644733466266163029537671833940256245618307884978900410171894369535977554856920934921751746685859369083998263348834858769386602550591022306858684}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a^{2} - \frac{5510931745866413695189795863802084888115505846486958416653629804727318695303619536066202132762722070145141051346232362371049725435010296279601421218067795679077679239328861327222439567518894750807596316467120009965042274516289797868663920618323395021784367353691878}{16368979619501333002614349969709831152875826136174926153169075445297745349279095210446826624127820037592794926906413455918876639461447453255043945199698641701042152741279142208051136265000632651832186915930231221720419038955649564707444262591524564827111837213072719} a - \frac{19100399644112291110578266239417578983036018240222486456299238415645060281846878994092745789809447253629863208871484476152810528713860339903871948994534381919140146348718338450382973415091303602629874539395262809342391297201138760539757207962458160664447566225989}{42079639124682089981013753135500851292739912946465105792208420167860527890177622648963564586446838142912069220839109141179631463911175972378005000513364117483398850234650751177509347724937359002139297984396481289769714753099356207474149775299549009838333771755971}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $37$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 19.19.10842505080063916320800450434338728415281531281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $38$ $38$ R $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ R $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $38$ $19^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
19Data not computed