↑

Properties

Label 38.38.1694216946...2992.1
Degree $38$
Signature $[38, 0]$
Discriminant $2^{57}\cdot 19^{72}$
Root discriminant $748.94$
Ramified primes $2, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![235154409794327, -17577545764044434, 351031993292846127, -932207154547761420, -1085560138598806567, 4733302683037712926, 741757919696912561, -9072513198006007128, 314377081540580004, 9047670021382744322, -251894410670678806, -5351384399064377994, -176595262606149922, 1983828013159641414, 189419547579075974, -479863268077305974, -70364895826642358, 78472602229296616, 14710496794203337, -8914335341014098, -1976012600481636, 715727405895534, 181005604480888, -40923179473256, -11647648756634, 1662473883930, 533314140719, -47344848052, -17380907210, 918656194, 398509458, -11509288, -6256643, 83562, 63821, -266, -380, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - 380*x^36 - 266*x^35 + 63821*x^34 + 83562*x^33 - 6256643*x^32 - 11509288*x^31 + 398509458*x^30 + 918656194*x^29 - 17380907210*x^28 - 47344848052*x^27 + 533314140719*x^26 + 1662473883930*x^25 - 11647648756634*x^24 - 40923179473256*x^23 + 181005604480888*x^22 + 715727405895534*x^21 - 1976012600481636*x^20 - 8914335341014098*x^19 + 14710496794203337*x^18 + 78472602229296616*x^17 - 70364895826642358*x^16 - 479863268077305974*x^15 + 189419547579075974*x^14 + 1983828013159641414*x^13 - 176595262606149922*x^12 - 5351384399064377994*x^11 - 251894410670678806*x^10 + 9047670021382744322*x^9 + 314377081540580004*x^8 - 9072513198006007128*x^7 + 741757919696912561*x^6 + 4733302683037712926*x^5 - 1085560138598806567*x^4 - 932207154547761420*x^3 + 351031993292846127*x^2 - 17577545764044434*x + 235154409794327)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - 380*x^36 - 266*x^35 + 63821*x^34 + 83562*x^33 - 6256643*x^32 - 11509288*x^31 + 398509458*x^30 + 918656194*x^29 - 17380907210*x^28 - 47344848052*x^27 + 533314140719*x^26 + 1662473883930*x^25 - 11647648756634*x^24 - 40923179473256*x^23 + 181005604480888*x^22 + 715727405895534*x^21 - 1976012600481636*x^20 - 8914335341014098*x^19 + 14710496794203337*x^18 + 78472602229296616*x^17 - 70364895826642358*x^16 - 479863268077305974*x^15 + 189419547579075974*x^14 + 1983828013159641414*x^13 - 176595262606149922*x^12 - 5351384399064377994*x^11 - 251894410670678806*x^10 + 9047670021382744322*x^9 + 314377081540580004*x^8 - 9072513198006007128*x^7 + 741757919696912561*x^6 + 4733302683037712926*x^5 - 1085560138598806567*x^4 - 932207154547761420*x^3 + 351031993292846127*x^2 - 17577545764044434*x + 235154409794327, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{38} - 380 x^{36} - 266 x^{35} + 63821 x^{34} + 83562 x^{33} - 6256643 x^{32} - 11509288 x^{31} + 398509458 x^{30} + 918656194 x^{29} - 17380907210 x^{28} - 47344848052 x^{27} + 533314140719 x^{26} + 1662473883930 x^{25} - 11647648756634 x^{24} - 40923179473256 x^{23} + 181005604480888 x^{22} + 715727405895534 x^{21} - 1976012600481636 x^{20} - 8914335341014098 x^{19} + 14710496794203337 x^{18} + 78472602229296616 x^{17} - 70364895826642358 x^{16} - 479863268077305974 x^{15} + 189419547579075974 x^{14} + 1983828013159641414 x^{13} - 176595262606149922 x^{12} - 5351384399064377994 x^{11} - 251894410670678806 x^{10} + 9047670021382744322 x^{9} + 314377081540580004 x^{8} - 9072513198006007128 x^{7} + 741757919696912561 x^{6} + 4733302683037712926 x^{5} - 1085560138598806567 x^{4} - 932207154547761420 x^{3} + 351031993292846127 x^{2} - 17577545764044434 x + 235154409794327 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $38$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[38, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(16942169463783688515274712980459055357466629107345696737681001440761438215014074919167299388239251805665492992=2^{57}\cdot 19^{72}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $748.94$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(2888=2^{3}\cdot 19^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{2888}(1,·)$, $\chi_{2888}(2053,·)$, $\chi_{2888}(2433,·)$, $\chi_{2888}(1673,·)$, $\chi_{2888}(1293,·)$, $\chi_{2888}(913,·)$, $\chi_{2888}(533,·)$, $\chi_{2888}(2585,·)$, $\chi_{2888}(153,·)$, $\chi_{2888}(2205,·)$, $\chi_{2888}(1825,·)$, $\chi_{2888}(1445,·)$, $\chi_{2888}(305,·)$, $\chi_{2888}(1065,·)$, $\chi_{2888}(685,·)$, $\chi_{2888}(2737,·)$, $\chi_{2888}(2357,·)$, $\chi_{2888}(1977,·)$, $\chi_{2888}(1597,·)$, $\chi_{2888}(1217,·)$, $\chi_{2888}(837,·)$, $\chi_{2888}(457,·)$, $\chi_{2888}(77,·)$, $\chi_{2888}(2509,·)$, $\chi_{2888}(2129,·)$, $\chi_{2888}(1749,·)$, $\chi_{2888}(1369,·)$, $\chi_{2888}(989,·)$, $\chi_{2888}(229,·)$, $\chi_{2888}(609,·)$, $\chi_{2888}(2661,·)$, $\chi_{2888}(2281,·)$, $\chi_{2888}(1901,·)$, $\chi_{2888}(381,·)$, $\chi_{2888}(1521,·)$, $\chi_{2888}(1141,·)$, $\chi_{2888}(761,·)$, $\chi_{2888}(2813,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{36} - \frac{23178811689822599249457572304993203875895176882612594964768540934569954219853}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{35} + \frac{49261541863294608009430803440905013044810409072053563722502709628872783754009}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{34} - \frac{29997424011854528561567880539784726182638889878245004892582100171228637883821}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{33} - \frac{31188514125113492999867093191528819300636793998476878065083052202806617604037}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{32} + \frac{29231626024839207546343160166479761907293404249305296022742408644335980071753}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{31} + \frac{34690259299522076449118755199737810414245346263037804540048633436492935148010}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{30} + \frac{26590888448953640340695420351735437176462959264784466884894010126110986144816}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{29} + \frac{50531916612366864891969145642731062952895452064626521894075046230008847704008}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{28} + \frac{42930175715846433837266613905991031973541232386091810019099439869975051682290}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{27} - \frac{35614081920975149896307090052830004573170246076154316725595222318520771437575}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{26} + \frac{40595881947351060139787481920953536852481286568071307392254047895149194654348}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{25} - \frac{10799939807719203356060393414247255113789044765181696291161557481437680837822}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{24} - \frac{21827549350217241650815380619357717542344832226744151526293404418012997671261}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{23} - \frac{10325702579835053847974666229642142534697005544223700834967175664383710783543}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{22} - \frac{34252738852622650951561227198995859220411687665220074964076330070035322366575}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{21} + \frac{2145731458655238728428122988356549047976232695105961307966814197415498400890}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{20} + \frac{31086729870491807317128574170577173138842793027218862587161349966372487783610}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{19} + \frac{29274461396263230806478595480040584941550330713838338699821617705547016642992}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{18} - \frac{28092800722116132171804854153845596863373639828996719792765664231047034842377}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{17} - \frac{8135171809934516826064623123645227598292052511755613295270042654694913319609}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{16} - \frac{19707871497438163083725276840096657376512825178814323632334243251105639008641}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{15} - \frac{8484229504336928376733488760459599528766405861604296848087818701605972095754}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{14} - \frac{21987023014666725667559150690013105907838986187346921381874167637561248296396}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{13} - \frac{97911559220581078455699650771537097034048288322932473713520122317198215187}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{12} - \frac{13718898900589543216404251851810039887837947010577833779605434743160034151088}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{11} + \frac{43078573352432759736115593474321819045993745540456278102872854274060921744831}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{10} - \frac{15892300414930131625929836880329516291107709246372045420952766423002297016631}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{9} - \frac{36577100387310923767530442619059902780524547822719545331082446746205719449431}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{8} - \frac{16938262470680065401702524991452708185198950374295104030330085656039116507422}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{7} - \frac{36301679109281321646105295877731404359815201441181500212072004223317894094573}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{6} + \frac{28963652209977971168798604810377761127937491032702403563809317752244615421008}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{5} + \frac{53802432448261864708777279180498388540316389342178505137547104534333104497857}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{4} - \frac{38453216799847187190031514151161315393288220612201103194862985793140030597474}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{3} - \frac{3082721573533957682841928844485853817940907260967130655766209702368329362578}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{2} - \frac{16363361948080689768203880886180773957025768125026947787412923236213201028764}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a - \frac{45795485244457787455505241960010597496709801735415360287999461678753107453974}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703}$, $\frac{1}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{37} - \frac{52331636100086571015144438591792894033379373446064161957314112193580262657766722759217537489811252160678530843779955781665705632158202146333695886986510031248008669321491282788243515991950}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{36} - \frac{351787025256775421364473585768430548687514929739001226983507641842781891222352377859157666645480480110214818963836230734986832625124205882263440706439967190898154470045312468333666737269275910237690457883600790576966728631587653660738465875558040977885599657081986}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{35} + \frac{8125622758102476560265100760042116429460018264897061158968746111830253628896753593234161079967938567384778588844022254339761309924427471928852560293241224734747463972156249528738980626450638723165402240999117131227421452278282786892348236475034200603579208271018381}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{34} + \frac{5707090768602166003871672058409533183450045953659840627769594198081826736878565823825938826000249581993741803727666451021970864930643443686014928732586812546785174042034101969522000519935359882401065191923823906756491676618803682259795982703878308305426414472971548}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{33} - \frac{4512187359765603118185188609799180515310217899307807264256349218811897359548408555068568787322463035992262234451859702528195114710330619499971527932145226996187437347074744073237291936603223270659624985054320032444570399676199515582937966847973661416453194792057798}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{32} - \frac{8858455381033174652586483467508072043961656238088708548360602835353099981831256335242137318629726789089862681814392109612233357449821644306100199366630620891989895474708533842040313519564566629927991386953727979702817560136815431480613694729159618566688733092482288}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{31} + \frac{1066624172422607221124359084736916442910731935519205036033593356602699440617185669568299474864912411349096676323977714381115162124545578955517452922005653739309489319400147518773749891168360188210744855892639814837759257073046115352731737880801991524019194173128945}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{30} + \frac{1791992350964995948558962212808253892965042088284200982895722443825646167586164502995772561540377249747463420523586829412971208823602817877343792765286017758528499177305192708549004842876864634773197881577874597468019343218707274688742099588949962886743674953672813}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{29} - \frac{4066904193104702780908027993095932219691418244516904964237989521051212867562891322188512098207819060218313556367368025208819449191904664315895450399260270795421665137691852178480907250554755451557841168802081917741704337009669478440002445638900218214371256472245483}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{28} - \frac{4702401521014390721923990313191564352483040127880169080197274271768857033972098195688692784082450280345248014669311786146263702691157041597275749265688194494955926856408892590860144181308624852590876017502425576258549194057739548744831906087920824727934702062467662}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{27} + \frac{2814187181992835943079030324283672235720571591834388129076441259041055598044441358994111370931670808686939493509104294334987518193033616353821179176825151582303948134847643942485024153803758192291943384181167654871214465183958185594326009504932176074712578298956950}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{26} - \frac{5846032261669018968478476906005868209992528194635204899116162778018757826532487678016778927185449583782867145700122894097417991184168503396926325657456054543406883290174428737444712347016272893553051888630808827451805023087353358335071223188010159961261627107506404}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{25} + \frac{2188785495343752619692612194696987543700139248986593287355465498483551996567984885582721366264079963264625907132960153232640476430456965878617539985825585922266396950856063487502686812282172616209666548184364228643126243466015573807565040308606480331853283709477519}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{24} + \frac{7364931139786977530273140786062988788969483680099432327813876656154796139815049717476648885545951324237504847366350262750094107755093633558806177064631872174457401960855740963177059121296700645831467251146425832883870217996056043205954434796207837766721626877845669}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{23} - \frac{834595192648291829648943474389672168462287240637229979358709064982656694373128630495703251033072707470633405732024593752677831371287000838655659887598170528487434082738744795894230558066671956036935205833860107193563871186901014826145184604654657802868766967623997}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{22} + \frac{7961635362031918595267817148331019541024863217938041952956461191793773793489926937905841716207956655636893259331526433321128591799785585890899037202822484117054779257827841672700437387170469509928965352407100232362452744739525962485044787491124995273763165912779964}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{21} - \frac{8095441944393089419093202992289050905163700305606890447053043204917152436881009644489363999118956097309860505788381025288221902152312522213399998261949320370837266029762636837579548381296102070739757017233151657432645399367739032021436474191541166866089042161223308}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{20} - \frac{5015340201765696046552563191169908365866456519850733962305935249936507501333052890567632253578825931479505187447582151938575812641852998660249467722577680738638348152291897515034499370797311686187114082109838357419143593276044669019302168321815861295007981501161065}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{19} + \frac{510592219385333070634548693450199451686850570222755899759385936599640919090275614654149528857605590400546386967002107672969173633841281980712722658251112712689350563129288027730054260943583390754005828608096842601946144909587259785473131001212440568858497456292086}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{18} - \frac{7832711768553095317954852450860431892156144482084206454185277358116724037100956500120883907609735721627457832715824838176094258570118980297735835200125427267406599184667366172253559672995842807771476795731402292270505222517525446908456142807379792120026077976941937}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{17} - \frac{6996047552563322392069018822876903568484398105174787303401100778221614886515357450916802315910671754714455722605290681419129785130925565548540370690754952128362591787405665893206378957292281013089591920955071268753207394260159169301822190721425257791923091804436085}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{16} + \frac{8381509458415820553558578727820859886778357350497594934597362602658724814500425635463995721022668421699899002853367572704803229312238767824495838409946113785364082442101364352223901735881321518450480507016435350307541451653155809643627118797178922795521570469798965}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{15} - \frac{2920509004022254929826277501956473469898553387598288151838163201475678911954793647803555718164474713432776566542150356208104703172463601048960556446463505261661024304448508189963379405630049851839516408929058809081003908517024016431616264607712198403416150952555151}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{14} - \frac{3095690458689650512309786307635425281993369181269410235769305315057819527399921888674155902642134013941722557927303764097300915088688825129316414062983443419460570787327924370474220492275192784857250393322217837566228087155401381820129715600638494766494406496922161}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{13} - \frac{178986857377296523253323231429396659721403268853417608974078912151796819720375393228954296136212178331074200075861864458677672630404855881696876199770283987760286346751962644815279460197802999969109937552433905936812930280008174725705785906645443662389493039075347}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{12} + \frac{7012438023342028057034139928306187765913176787648503686364986094971489490093148608540750394922891119644189420658642719313937594993964358836554447633334075232884095302943874701289707299982752991444501455274585785983107848825748333893189795151491319727317773167227515}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{11} - \frac{9378348352130576338995361220257766622222844388937317549146142996267299351273545364568382040299339010266160309290389562343025211416384851585697121684859915509529094218418166362966157422616520809464835937122404891160411480827103359202616572418582999010885756679000020}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{10} - \frac{6751411367301559661924942664171748457919218577627302742021085597892508225044734262874778129214391609546637014174752889064836389494537494277669753689768457882545837622335939970238736136392563096370490381297085473018096776066385063330367205630855114049374283737348879}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{9} - \frac{3074984273813390040905876157843785076085129209941831305279578642140331835527105467750169374023855590469233398418177898105720535040839745144999800116643448706199646360915409837412915279977670066171689850063573784254081890788352240895961016144380246297733895745921976}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{8} + \frac{386808821552755846980347721091864901314249757925240013124409508542889730645796871297756200202292982039400339468166596900044013371172257766031157119179549650013276772476653942861681359813024048111463551020045234592145810848509985652622449646287179578727030567353469}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{7} - \frac{8455786503501463360754614605416895888786527177111338797153024462061012102972849262364631095993762743036268149210531920690212246716302203778756075586455330150654459702891078492936472959923282001295802655531892901606008384730424709280402369689533068023233859966041773}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{6} - \frac{9063197502332992452387102731988018681720169632727547053893407582887803713608798674584694069305486786947867212176726623147883845826357957219107653458663028391742422300092170611327540780042006053954235099129600170424913258240247779483724479513212974441452459127644619}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{5} + \frac{8086568521647688047479489612087560600899023079791327182257838479094058287263899204945620929451178577648772016193597858103995693089038748198307688317698361659637402306113426013580106566824921501437031770734570743900290407403316098474894633410979344658433784601385406}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{4} + \frac{8491865387169109788302359688145793656927417693989843509677780879840782075990311347781013417628833014938866466784267041111099728959355442086307436839340347170537752730824687901038610599441012192016634317802283137632645658171342650915902718061313860093677823857329923}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{3} - \frac{5416226084060234266213566189125868618825796211076050039255875320248222485069284681115891195732941567953667321138872153893375745722253523943444130549673861583251660099760294365247021680318420594481419410947361297313479630267163329274317548844155842332581617516828049}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a^{2} + \frac{4497150762330500529590349392185296344514301705902945755846172796988759568890714092828130494205181684416083303753781205784404668377314901114862305295269149818015832085349629730415044439788183816425126724900110444043620485379397227188836155529742573769553846943936166}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713} a + \frac{9239446530656238527180086788388803309131611737082092739182173665361888081420823517441305570676950689308495913766861663774136140541250693821344622355113949702460736148755001930715582648101334749168165180366517678171131251782557659711828715195898421597720525630980628}{19695472440352708605807876557887178298532709133455722415138830926878309274291606379810280100147808628576202520599880519580478957930032922866105864739821239743903438370877570693080452935398876119187747663771101574534912945965399398858679608148618782260389461108900713}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $37$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), 19.19.10842505080063916320800450434338728415281531281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ R $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
19Data not computed