↑

Properties

Label 38.0.98977391747...4491.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-\,571^{37}$
Root discriminant $483.16$
Ramified prime $571$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![20824991381571168629, 19589758432453100807, -7022951449740975397, -14957650563715867722, -514918423725948339, 8187655915670745378, 4102607542203011336, -407970861545640312, -419776350086322541, 358949096963276813, 218552683964585201, -10485965599249387, -15016773845255805, 8115639324673497, 3710898858449432, -231235168601800, -40138477207333, 129684809968090, 28814095113148, -1224471417355, 1461367679401, 1092190917753, 126436359051, -1486694372, 16126217214, 4371221504, -74052511, 133411453, 59327070, 994384, 376717, 320665, 52682, 1040, 570, 298, 8, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 + 8*x^36 + 298*x^35 + 570*x^34 + 1040*x^33 + 52682*x^32 + 320665*x^31 + 376717*x^30 + 994384*x^29 + 59327070*x^28 + 133411453*x^27 - 74052511*x^26 + 4371221504*x^25 + 16126217214*x^24 - 1486694372*x^23 + 126436359051*x^22 + 1092190917753*x^21 + 1461367679401*x^20 - 1224471417355*x^19 + 28814095113148*x^18 + 129684809968090*x^17 - 40138477207333*x^16 - 231235168601800*x^15 + 3710898858449432*x^14 + 8115639324673497*x^13 - 15016773845255805*x^12 - 10485965599249387*x^11 + 218552683964585201*x^10 + 358949096963276813*x^9 - 419776350086322541*x^8 - 407970861545640312*x^7 + 4102607542203011336*x^6 + 8187655915670745378*x^5 - 514918423725948339*x^4 - 14957650563715867722*x^3 - 7022951449740975397*x^2 + 19589758432453100807*x + 20824991381571168629)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - x^37 + 8*x^36 + 298*x^35 + 570*x^34 + 1040*x^33 + 52682*x^32 + 320665*x^31 + 376717*x^30 + 994384*x^29 + 59327070*x^28 + 133411453*x^27 - 74052511*x^26 + 4371221504*x^25 + 16126217214*x^24 - 1486694372*x^23 + 126436359051*x^22 + 1092190917753*x^21 + 1461367679401*x^20 - 1224471417355*x^19 + 28814095113148*x^18 + 129684809968090*x^17 - 40138477207333*x^16 - 231235168601800*x^15 + 3710898858449432*x^14 + 8115639324673497*x^13 - 15016773845255805*x^12 - 10485965599249387*x^11 + 218552683964585201*x^10 + 358949096963276813*x^9 - 419776350086322541*x^8 - 407970861545640312*x^7 + 4102607542203011336*x^6 + 8187655915670745378*x^5 - 514918423725948339*x^4 - 14957650563715867722*x^3 - 7022951449740975397*x^2 + 19589758432453100807*x + 20824991381571168629, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{38} - x^{37} + 8 x^{36} + 298 x^{35} + 570 x^{34} + 1040 x^{33} + 52682 x^{32} + 320665 x^{31} + 376717 x^{30} + 994384 x^{29} + 59327070 x^{28} + 133411453 x^{27} - 74052511 x^{26} + 4371221504 x^{25} + 16126217214 x^{24} - 1486694372 x^{23} + 126436359051 x^{22} + 1092190917753 x^{21} + 1461367679401 x^{20} - 1224471417355 x^{19} + 28814095113148 x^{18} + 129684809968090 x^{17} - 40138477207333 x^{16} - 231235168601800 x^{15} + 3710898858449432 x^{14} + 8115639324673497 x^{13} - 15016773845255805 x^{12} - 10485965599249387 x^{11} + 218552683964585201 x^{10} + 358949096963276813 x^{9} - 419776350086322541 x^{8} - 407970861545640312 x^{7} + 4102607542203011336 x^{6} + 8187655915670745378 x^{5} - 514918423725948339 x^{4} - 14957650563715867722 x^{3} - 7022951449740975397 x^{2} + 19589758432453100807 x + 20824991381571168629 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $38$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 19]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-989773917474620481291516877896927890204180311865757468744614075195570463990089402894625057329215364491=-\,571^{37}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $483.16$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $571$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(571\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{571}(512,·)$, $\chi_{571}(1,·)$, $\chi_{571}(131,·)$, $\chi_{571}(516,·)$, $\chi_{571}(390,·)$, $\chi_{571}(8,·)$, $\chi_{571}(265,·)$, $\chi_{571}(94,·)$, $\chi_{571}(271,·)$, $\chi_{571}(401,·)$, $\chi_{571}(407,·)$, $\chi_{571}(540,·)$, $\chi_{571}(31,·)$, $\chi_{571}(164,·)$, $\chi_{571}(170,·)$, $\chi_{571}(300,·)$, $\chi_{571}(221,·)$, $\chi_{571}(306,·)$, $\chi_{571}(563,·)$, $\chi_{571}(181,·)$, $\chi_{571}(55,·)$, $\chi_{571}(440,·)$, $\chi_{571}(570,·)$, $\chi_{571}(59,·)$, $\chi_{571}(64,·)$, $\chi_{571}(323,·)$, $\chi_{571}(455,·)$, $\chi_{571}(214,·)$, $\chi_{571}(472,·)$, $\chi_{571}(218,·)$, $\chi_{571}(477,·)$, $\chi_{571}(350,·)$, $\chi_{571}(353,·)$, $\chi_{571}(99,·)$, $\chi_{571}(357,·)$, $\chi_{571}(116,·)$, $\chi_{571}(248,·)$, $\chi_{571}(507,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $\frac{1}{109} a^{30} - \frac{5}{109} a^{29} - \frac{3}{109} a^{28} + \frac{14}{109} a^{27} - \frac{36}{109} a^{26} + \frac{39}{109} a^{25} - \frac{54}{109} a^{24} - \frac{21}{109} a^{23} + \frac{28}{109} a^{22} + \frac{33}{109} a^{21} + \frac{32}{109} a^{20} - \frac{13}{109} a^{19} - \frac{10}{109} a^{18} - \frac{41}{109} a^{17} - \frac{7}{109} a^{16} - \frac{27}{109} a^{15} - \frac{1}{109} a^{14} - \frac{7}{109} a^{13} + \frac{29}{109} a^{12} + \frac{19}{109} a^{11} - \frac{28}{109} a^{10} + \frac{53}{109} a^{9} - \frac{22}{109} a^{8} - \frac{39}{109} a^{7} - \frac{31}{109} a^{6} + \frac{18}{109} a^{5} + \frac{23}{109} a^{4} - \frac{21}{109} a^{3} + \frac{12}{109} a^{2} + \frac{53}{109} a + \frac{12}{109}$, $\frac{1}{109} a^{31} - \frac{28}{109} a^{29} - \frac{1}{109} a^{28} + \frac{34}{109} a^{27} - \frac{32}{109} a^{26} + \frac{32}{109} a^{25} + \frac{36}{109} a^{24} + \frac{32}{109} a^{23} - \frac{45}{109} a^{22} - \frac{21}{109} a^{21} + \frac{38}{109} a^{20} + \frac{34}{109} a^{19} + \frac{18}{109} a^{18} + \frac{6}{109} a^{17} + \frac{47}{109} a^{16} - \frac{27}{109} a^{15} - \frac{12}{109} a^{14} - \frac{6}{109} a^{13} - \frac{54}{109} a^{12} - \frac{42}{109} a^{11} + \frac{22}{109} a^{10} + \frac{25}{109} a^{9} - \frac{40}{109} a^{8} - \frac{8}{109} a^{7} - \frac{28}{109} a^{6} + \frac{4}{109} a^{5} - \frac{15}{109} a^{4} + \frac{16}{109} a^{3} + \frac{4}{109} a^{2} - \frac{50}{109} a - \frac{49}{109}$, $\frac{1}{21037} a^{32} - \frac{57}{21037} a^{31} + \frac{45}{21037} a^{30} + \frac{8424}{21037} a^{29} + \frac{3469}{21037} a^{28} - \frac{1166}{21037} a^{27} + \frac{3370}{21037} a^{26} - \frac{4936}{21037} a^{25} - \frac{621}{21037} a^{24} - \frac{2748}{21037} a^{23} + \frac{3716}{21037} a^{22} + \frac{2336}{21037} a^{21} - \frac{8625}{21037} a^{20} - \frac{2869}{21037} a^{19} + \frac{7188}{21037} a^{18} - \frac{8}{109} a^{17} + \frac{8664}{21037} a^{16} + \frac{8930}{21037} a^{15} + \frac{387}{21037} a^{14} - \frac{3602}{21037} a^{13} - \frac{7709}{21037} a^{12} - \frac{1211}{21037} a^{11} + \frac{869}{21037} a^{10} + \frac{1096}{21037} a^{9} - \frac{2604}{21037} a^{8} + \frac{6410}{21037} a^{7} - \frac{2734}{21037} a^{6} + \frac{9137}{21037} a^{5} + \frac{7019}{21037} a^{4} + \frac{8350}{21037} a^{3} - \frac{8885}{21037} a^{2} + \frac{8523}{21037} a + \frac{3451}{21037}$, $\frac{1}{21037} a^{33} + \frac{77}{21037} a^{31} - \frac{12}{21037} a^{30} + \frac{4997}{21037} a^{29} - \frac{5118}{21037} a^{28} - \frac{367}{21037} a^{27} - \frac{5653}{21037} a^{26} + \frac{21}{109} a^{25} + \frac{841}{21037} a^{24} - \frac{6240}{21037} a^{23} - \frac{10118}{21037} a^{22} + \frac{8148}{21037} a^{21} - \frac{6590}{21037} a^{20} - \frac{6963}{21037} a^{19} + \frac{9241}{21037} a^{18} - \frac{8320}{21037} a^{17} - \frac{2303}{21037} a^{16} + \frac{2579}{21037} a^{15} - \frac{9914}{21037} a^{14} - \frac{8443}{21037} a^{13} + \frac{9838}{21037} a^{12} + \frac{5761}{21037} a^{11} + \frac{10099}{21037} a^{10} + \frac{617}{21037} a^{9} - \frac{10199}{21037} a^{8} + \frac{8095}{21037} a^{7} - \frac{2723}{21037} a^{6} + \frac{6342}{21037} a^{5} + \frac{1010}{21037} a^{4} - \frac{6750}{21037} a^{3} - \frac{6737}{21037} a^{2} - \frac{5397}{21037} a + \frac{9111}{21037}$, $\frac{1}{21037} a^{34} - \frac{62}{21037} a^{31} - \frac{12}{21037} a^{30} + \frac{4171}{21037} a^{29} - \frac{5965}{21037} a^{28} - \frac{4265}{21037} a^{27} + \frac{5306}{21037} a^{26} + \frac{10353}{21037} a^{25} + \frac{7223}{21037} a^{24} + \frac{7706}{21037} a^{23} + \frac{4761}{21037} a^{22} + \frac{3064}{21037} a^{21} - \frac{2705}{21037} a^{20} - \frac{5885}{21037} a^{19} + \frac{4852}{21037} a^{18} + \frac{5996}{21037} a^{17} + \frac{143}{21037} a^{16} - \frac{10058}{21037} a^{15} - \frac{4467}{21037} a^{14} + \frac{9079}{21037} a^{13} - \frac{5122}{21037} a^{12} + \frac{8004}{21037} a^{11} + \frac{5500}{21037} a^{10} + \frac{7120}{21037} a^{9} - \frac{609}{21037} a^{8} - \frac{862}{21037} a^{7} + \frac{10350}{21037} a^{6} + \frac{9245}{21037} a^{5} + \frac{9785}{21037} a^{4} + \frac{5934}{21037} a^{3} - \frac{9683}{21037} a^{2} - \frac{2154}{21037} a - \frac{3633}{21037}$, $\frac{1}{536079496789} a^{35} - \frac{9994298}{536079496789} a^{34} + \frac{7705736}{536079496789} a^{33} + \frac{2609654}{536079496789} a^{32} + \frac{1041453955}{536079496789} a^{31} - \frac{1809805076}{536079496789} a^{30} + \frac{48414738482}{536079496789} a^{29} + \frac{202572054375}{536079496789} a^{28} + \frac{148510824659}{536079496789} a^{27} + \frac{52451247252}{536079496789} a^{26} - \frac{31616597687}{536079496789} a^{25} - \frac{186329434250}{536079496789} a^{24} - \frac{220952813615}{536079496789} a^{23} + \frac{12986825630}{536079496789} a^{22} + \frac{257569583421}{536079496789} a^{21} + \frac{39241486520}{536079496789} a^{20} + \frac{70413099379}{536079496789} a^{19} - \frac{99873740828}{536079496789} a^{18} + \frac{1137050762}{536079496789} a^{17} - \frac{183425535233}{536079496789} a^{16} + \frac{207365613526}{536079496789} a^{15} + \frac{89765303259}{536079496789} a^{14} - \frac{83331530965}{536079496789} a^{13} - \frac{78530415247}{536079496789} a^{12} + \frac{171826465360}{536079496789} a^{11} + \frac{611297402}{3210056867} a^{10} - \frac{215827744999}{536079496789} a^{9} + \frac{205233818172}{536079496789} a^{8} + \frac{235840625278}{536079496789} a^{7} + \frac{13259723138}{536079496789} a^{6} - \frac{83940011708}{536079496789} a^{5} + \frac{67867971688}{536079496789} a^{4} + \frac{191614802101}{536079496789} a^{3} - \frac{33116648974}{536079496789} a^{2} + \frac{76052957915}{536079496789} a - \frac{35384260485}{536079496789}$, $\frac{1}{1186343926394057} a^{36} - \frac{201}{1186343926394057} a^{35} - \frac{10711874344}{1186343926394057} a^{34} - \frac{23566033107}{1186343926394057} a^{33} + \frac{22678819798}{1186343926394057} a^{32} - \frac{1911910363724}{1186343926394057} a^{31} - \frac{3420138786616}{1186343926394057} a^{30} - \frac{295325018217804}{1186343926394057} a^{29} + \frac{590219770781312}{1186343926394057} a^{28} + \frac{565755812991610}{1186343926394057} a^{27} + \frac{172885360366989}{1186343926394057} a^{26} - \frac{219858610583761}{1186343926394057} a^{25} + \frac{178522373034512}{1186343926394057} a^{24} + \frac{572315743631293}{1186343926394057} a^{23} - \frac{255563320280031}{1186343926394057} a^{22} - \frac{535879173295744}{1186343926394057} a^{21} - \frac{318266486642711}{1186343926394057} a^{20} + \frac{136737257288183}{1186343926394057} a^{19} - \frac{3397302052803}{10883889232973} a^{18} + \frac{157786380917089}{1186343926394057} a^{17} - \frac{127435545806904}{1186343926394057} a^{16} - \frac{327102704864916}{1186343926394057} a^{15} + \frac{160985885588775}{1186343926394057} a^{14} - \frac{498838736842243}{1186343926394057} a^{13} - \frac{258948361400042}{1186343926394057} a^{12} + \frac{264018407776314}{1186343926394057} a^{11} - \frac{557137438704788}{1186343926394057} a^{10} - \frac{329541314244559}{1186343926394057} a^{9} + \frac{539132555533321}{1186343926394057} a^{8} + \frac{286597417219138}{1186343926394057} a^{7} - \frac{185537310706693}{1186343926394057} a^{6} + \frac{45158425663619}{1186343926394057} a^{5} - \frac{528745773097009}{1186343926394057} a^{4} + \frac{34223286014576}{1186343926394057} a^{3} + \frac{11557676136758}{1186343926394057} a^{2} - \frac{394033856796899}{1186343926394057} a + \frac{136090950505364}{1186343926394057}$, $\frac{1}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{37} + \frac{17913994528761045054493777483808392458251946404489106741225148342114038288846718507593104036117293096884805427705447210355285558182731985392153270797800020487423905719933332676924835822106449802863336038168211169991668710579412381871652155091471702621446577264976720485046951069627851863651710518981441430262646547204399310714279}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{36} + \frac{90829814084989054418845280330399613693901816073356742120388700140269771515608211059623403511782440481496301729733150879244657543386286274152525675720982907164666004382089088598007975061872237089425610057870599984581091420878020284389179935086834907236801861043662838286949719559974770649050643480794894831125918946393955918102776609}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{35} + \frac{2069225360690788436655801738277511376550881371262990689231346290230299912522856212538101614724832453205059093992064115356033941135302971575439739715705329583797046123327398213769250080608042006754272162771302505216014415799667605768383200009142068470766662556470844121182439695790434691010598951591971286324020618151651571134954256668218422}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{34} + \frac{2102248587436198015241089903447072582919374368091914830787366760060747736835833403273759633446491945361393806177323661137674246716728061993653451953909263398009200973780192059208094478465480736595356489043537543235432080385101350273958152129387599006227029239352510220285125078774673163435580385318833182957866173265644041728296066543529916}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{33} - \frac{160152099616323410745846072737574107111673298891825456750031937003053170548317047992744440820572968829505634330323649372047058672767209268369503086468714003606733038361910309398126130460882219317372537274991071693627532354219925150744268020093158585461431144319163116134726882570464290940201554419767057171371347716957160446077891887463475}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{32} - \frac{373766291991696244666617727396519043896040674044620105707660040392568669567018725543116502746883929212091421016257305270968449719802700555842910597865089705473210384699497764862920082546117833480928270514063264508266972398720448845408580865459881577852594676547618303072906458904187022862319611676619885161694888493598982831174229574163419523}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{31} - \frac{61400978183853163925589737787601750826416694579332001263512209830516032357832701419066027672464809339009494731860436265528052944890534614266666554491412680178072752036834840417311215633157724478026710181421275248619867623630009901736560239806945229047039658735159993157443830112045699186398813575082496675737027445186638816376404063618381461}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{30} - \frac{14596953240556236447588674284177653465741682044619653382643887138069599147104050150426389709945988127871233309863248606795286810764065513785702360788816267893296068111446185034119427847142687204887106567790617238728035302051772182332707741464371849983289041037182053891230811831872717752998433961447821257529452290740102784203085032472295973167}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{29} + \frac{50773736176550907669080079133323141963736397997371609016295122862141427178828563919455293562308148816984746646529489520416237251438315340461985868582438769423055306893571355900193101621955400487094785293620087343712253579042478204114497063860874762697059851199032986634253308601141672347701657252320404296256071778778726284102292642455362961460}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{28} - \frac{47671865832487162819200384833157778172906253554902037938176644933377507301960975237149654871877234902686352378342242781045080763876231995657269309940136008438282014948139514693440228814511912825558303694130012838360368695639376243941465014912309082003570711616958226449585583322067559745919210177864046132746491989152063481565217480148910623240}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{27} + \frac{41482235588145140580717247102530048163029063965702202874921003422869749425810689331608576105070924134115086997041700936654399631113124712503506132964200646355962849869031159515544953023899468175402188309541177304415723022223595297954518837225323084844105524883862616059976678394187766682561519228381543810826089083849138927055704676306744998387}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{26} + \frac{36509012866844532114192351478940590871351028323103405557849956315751438911169543552056784764887745757853638986945670361550717734321902801785817436124899307119857851827225274705896806320395047314191017345477452899239783636040473892779901983327641830393406748622579370797880208100355537599035243780794441470096471192228905898861222067605230462999}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{25} - \frac{34339162403136204394857357373605862848374273207048592136371264138412603398436663732620781229496792902052804465475704793065835912180368515251358766552566635782523010948612803426245525530391184083102231990076628221949530899402639049068264983875771766305826066940567302631989752556308845577922539767799090749681589535040296366353446033916171557905}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{24} - \frac{24017435804614121672736673144025267320131793700696330916212121346586310634412242421712765407120400387108183609162164832981684145594844994635384462891956793639751870813635777822899775654418936885112810982580235494716744650677581685963303464638361058491457652164034985070696839258127762731261733990804136586239938111204303418664700161454067210540}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{23} - \frac{20544862435370758174531956261961793366917025810820009618155426954895475665668936812654963994152216783680823509691335379452660709017210140350332055338175630727700559766329010263023027861250753957605419723671535152502652015416858796875121705631938064439832994605734408441937615831880360633548914748720820584987323326889612940818747086466405678851}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{22} + \frac{49222566942404521311663835581282341945749374705438795230048038444614119836137339371484366949568519773134290289567354930306509420563803766247238978251228652488545583327665071601434187396768650315080695082267637621368844173463396774852080679542686067766688229925757004691185933638835622211004302639604490221207930165497810140743487511521974515734}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{21} + \frac{51712422691404936066663726287371590223248271259413573889775335145199259185925871099424429037211041118113436966161333667742463765963524453214699932318532341724530999352345041421199192328003363031352682959236476810764576888095510975757030009104164260134535518927955890732287635527443164279735386020029914265541079214099120331477117121949491876257}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{20} - \frac{47286014485876763217907260923662072033616099708976893601846476697067541998395123030157941603457593750988199986547293761340652697309848811220920491448960810850900859851838717075990475285445975536906999851818713070405004654576622419833835192985947805727190944575678637368284117702077331350714210759420774681208277877788197718838251787494691015785}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{19} + \frac{12974207275618983157765470045222504589772621979113267096652918959028366524071831247833648386753470748811088498011915493174783302949711047129892853184566631027097066854068502174013158127322749244584773337147997120454559649189281657344652329575001128544883204209352029602088525743801574766391652641027553803311534789666705230441342552181811184036}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{18} - \frac{22419617814109255673319217105797924265460414797156526163436932466379728681856547265259148379337405951277767646308722358351921359477752670718484087326776890086954995624210321774001289472122126591360521407454203982367003769739353082458604386797425332123306976107114417691198849733901750538969348437332421536712814624242921815027407128850069002311}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{17} - \frac{18260660382515077135887377027444813596514037658657816870842732349929868548582057088547364039064831925559109718357420851138873693243962557180003574387027355690446488627871461202588969752613753428386398232176703304703961436306838400373496896585181001675919549948325559311921570818228734388348030217219792675934620795593307060709530533644767073823}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{16} + \frac{20272568562327576876709032243408997842142740370951133977001105362966835118827140188623071796107044343366845585757508768611760612394520266216600737136211246303534165186304906788181965999464263943378426726234463757257779575544186003798537789760337272825794206507821498098182310211671431293530448821317092407572519285223874995094801779669269269443}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{15} - \frac{40018398717605693069617774591213778755976847275229128514724201916297296496525912330333800724831098369517489370573254892100490026376209250081674692692577694675825038485665385196394961608193210023105527434624439378813236390268647109961518508522016472925269771488374368975771182176321950577389542298741897290206952862611535552394899740565205937930}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{14} - \frac{30479807357214375277101753462300880884544903761101662945109201438783602372076644621938759467718886993179249014146962054225953786711802969911086077203550296278395516703515199289745291601072611118298437880150638817534506013125746957152554450424488876756638308598778277901045739289346894960911259312855323263847581529566004226243040226251621483031}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{13} - \frac{9770966316735807977658617294310902259579629672466975242434948057965511859726381961084926756571783876723238393481510219245689973083192941230491516918580008481298515966124036010643870796156738222121553274877972185735418390331010985308918621168276773956430484515425978031610111670513847767011343145404266676181926576608093815084780093121543937941}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{12} + \frac{32155574108551774654132526239212688364703365285992930801925732695536838594616450930848325988246643828582546405915750070040197980580923261852078956298503254030992557224111629903512537962001839152443071981694477116558077764861314982774200601060067847827891452540178397121965467260686542956981855676352763204320810849890786493968941039879036052814}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{11} - \frac{19941657217174424461869346511089026143262623490501962904914578770552786179103644305812996578035176854500914496820482478188453875345611317432775255165596535120418612839435824727652383363513859240206302873939242801110097751661126666758029048875339120136930178207799483888052685298147195554972878282857556106642704781457427320646471543937451056458}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{10} - \frac{44796165588126766147008303347878162212894501058478856152559841613004789517708055863867570614525695461589595276256548236564783889359695250140596468655346330132289002306407571605743677143896052331850865248748299857885743429719983371090382224793567978835956054792689959465417316728935247352104120208554292657806779883060223603230114543517578839071}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{9} + \frac{44498149422836362122717858822552166671010971243732451080834541740348613018643090306634120984110206936356328448552183100996694015865445266802313406110227833479052178563725760652256686416654298658611929794349388501996942514398129018028954968986542636830959459958250220790196418732799734614474441770912674996051932659595009401273583443808255988974}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{8} - \frac{26180762572158419703977685936898858815316379251549634780031888703242689170438265282324722728243009934803223447949514424923080772586185818099092525517055283771780328448026394733665433700503948282191148744564419287620977994148360979061501066375742272887215930644238648552731230817413527179905419466246571663050545048738141626699779652261134584650}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{7} + \frac{39666363224488717809152433694731152172528412833413369869911804292149308046636823804691363609480858174899464870789431415809597680669406001602021633002472932344714541079363714963280681959862957631591476723013889862144328947245646229499714338253400130507225235611977054647922818428565192461354664331605362750464333852047319059792091690961243224612}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{6} - \frac{39734375596399182535754417071431447804431239633401269579284245215353242979136197031036025993530704664592818120515629237189647085915136328680543285303135210605807999267185733473804937819731702094102561176994977276626697539120044387752564939685814969264825749058718190702476623041612372839023785726018070075824520973546851325350893669626862586815}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{5} + \frac{35560185318172675787949813206765093422388002408781119483813703675655499752617311347615192847451138827449532913229038815391307624935270511691550550052890516970124092913071995750965078535893046168817282065630856798284354521777091748247847775042505059277313267678443085637784899544115930262415201866550150863260417659395739389494305798558992666768}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{4} + \frac{29852342741719626630867785799894732950663139510383758001776152490779836954797810532661664731004265289153392220968397859876135244695993888032361846227336921673968554294363847817545464458017089923078932694926180356347961308658905403008221358081473668949014427083809896798328678094967149004367229541956645400336933428916390897110793471878921507689}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{3} - \frac{30637133912253646326702416166143888036367892125810987326736952207086081097382624190302792756064451426560739393095980441441199237341516247292622470998823334997499155545995207432721090610023734606042319065331741063280018480536266231417629910101483541787453069385574490249913223700690247082204658009770922107127624027534517052626966734525019385436}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a^{2} + \frac{821093207712790795640301146715710105610387197240641335487416510924985034261154460707294269498570949366622205618842983130319194968317120199999349847371459114486397495908452842003446795322650455420132356264191741734299793171676262310089677323997302027480015590104121299691104097764112823553092407151784530982449751872057674024606750465511941155}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217} a - \frac{47049031317407958978901938888296612126993888238659708149421031856803439708107518414143142190787068772629376357840938029437739779015065425976234525673715640848175180507312483045609606621570345924129572065166372295480228066606283599367413493156695193999640581634187738696132319787111129501241996560218560280526356556881429510323044190472370330039}{104754992338046969265767751405747003352366831348041171695798140865639524034832244328963900557069697098870760685753460915810559761789557568669549588578060045270627498696742586456230256347688226396681951515701997551236465287399207270782755159377796981241827211746156096652031862482686928146442179648420904931661644915149045023956770949206291103217}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $18$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-571}) \), 19.19.41634173570364661205169708858211372543325791407961.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
571Data not computed