↑

Properties

Label 38.0.71360279840...7632.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-\,2^{38}\cdot 3^{19}\cdot 19^{73}$
Root discriminant $991.16$
Ramified primes $2, 3, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![9682094439025829433, 0, 52001146346122024002711, 0, 212630038643813224154283, 0, 343312614740725919308197, 0, 284687452270911695321808, 0, 133832170023145299166662, 0, 37997872609765433485986, 0, 6854046376768531067970, 0, 822578579810291076840, 0, 68049833398543667061, 0, 3972825058724916228, 0, 165765803602774752, 0, 4957682726435220, 0, 105601761206271, 0, 1576617933978, 0, 16066233522, 0, 107460675, 0, 445113, 0, 1026, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 + 1026*x^36 + 445113*x^34 + 107460675*x^32 + 16066233522*x^30 + 1576617933978*x^28 + 105601761206271*x^26 + 4957682726435220*x^24 + 165765803602774752*x^22 + 3972825058724916228*x^20 + 68049833398543667061*x^18 + 822578579810291076840*x^16 + 6854046376768531067970*x^14 + 37997872609765433485986*x^12 + 133832170023145299166662*x^10 + 284687452270911695321808*x^8 + 343312614740725919308197*x^6 + 212630038643813224154283*x^4 + 52001146346122024002711*x^2 + 9682094439025829433)
 
gp: K = bnfinit(x^38 + 1026*x^36 + 445113*x^34 + 107460675*x^32 + 16066233522*x^30 + 1576617933978*x^28 + 105601761206271*x^26 + 4957682726435220*x^24 + 165765803602774752*x^22 + 3972825058724916228*x^20 + 68049833398543667061*x^18 + 822578579810291076840*x^16 + 6854046376768531067970*x^14 + 37997872609765433485986*x^12 + 133832170023145299166662*x^10 + 284687452270911695321808*x^8 + 343312614740725919308197*x^6 + 212630038643813224154283*x^4 + 52001146346122024002711*x^2 + 9682094439025829433, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{38} + 1026 x^{36} + 445113 x^{34} + 107460675 x^{32} + 16066233522 x^{30} + 1576617933978 x^{28} + 105601761206271 x^{26} + 4957682726435220 x^{24} + 165765803602774752 x^{22} + 3972825058724916228 x^{20} + 68049833398543667061 x^{18} + 822578579810291076840 x^{16} + 6854046376768531067970 x^{14} + 37997872609765433485986 x^{12} + 133832170023145299166662 x^{10} + 284687452270911695321808 x^{8} + 343312614740725919308197 x^{6} + 212630038643813224154283 x^{4} + 52001146346122024002711 x^{2} + 9682094439025829433 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $38$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 19]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-713602798400224362381459343942209999562957956785434130407353331258395295637951436391423309903449920009743349317632=-\,2^{38}\cdot 3^{19}\cdot 19^{73}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $991.16$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(4332=2^{2}\cdot 3\cdot 19^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{4332}(1,·)$, $\chi_{4332}(2051,·)$, $\chi_{4332}(2053,·)$, $\chi_{4332}(4103,·)$, $\chi_{4332}(4105,·)$, $\chi_{4332}(911,·)$, $\chi_{4332}(913,·)$, $\chi_{4332}(2963,·)$, $\chi_{4332}(2965,·)$, $\chi_{4332}(1823,·)$, $\chi_{4332}(1825,·)$, $\chi_{4332}(3875,·)$, $\chi_{4332}(3877,·)$, $\chi_{4332}(683,·)$, $\chi_{4332}(685,·)$, $\chi_{4332}(2735,·)$, $\chi_{4332}(2737,·)$, $\chi_{4332}(1595,·)$, $\chi_{4332}(1597,·)$, $\chi_{4332}(3647,·)$, $\chi_{4332}(3649,·)$, $\chi_{4332}(455,·)$, $\chi_{4332}(457,·)$, $\chi_{4332}(2507,·)$, $\chi_{4332}(2509,·)$, $\chi_{4332}(1367,·)$, $\chi_{4332}(1369,·)$, $\chi_{4332}(3419,·)$, $\chi_{4332}(3421,·)$, $\chi_{4332}(227,·)$, $\chi_{4332}(229,·)$, $\chi_{4332}(2279,·)$, $\chi_{4332}(2281,·)$, $\chi_{4332}(4331,·)$, $\chi_{4332}(1139,·)$, $\chi_{4332}(1141,·)$, $\chi_{4332}(3191,·)$, $\chi_{4332}(3193,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $\frac{1}{3} a^{2}$, $\frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{9} a^{4}$, $\frac{1}{9} a^{5}$, $\frac{1}{27} a^{6}$, $\frac{1}{27} a^{7}$, $\frac{1}{81} a^{8}$, $\frac{1}{81} a^{9}$, $\frac{1}{243} a^{10}$, $\frac{1}{243} a^{11}$, $\frac{1}{729} a^{12}$, $\frac{1}{729} a^{13}$, $\frac{1}{2187} a^{14}$, $\frac{1}{2187} a^{15}$, $\frac{1}{6561} a^{16}$, $\frac{1}{6561} a^{17}$, $\frac{1}{19683} a^{18}$, $\frac{1}{19683} a^{19}$, $\frac{1}{59049} a^{20}$, $\frac{1}{59049} a^{21}$, $\frac{1}{177147} a^{22}$, $\frac{1}{177147} a^{23}$, $\frac{1}{531441} a^{24}$, $\frac{1}{531441} a^{25}$, $\frac{1}{1594323} a^{26}$, $\frac{1}{1594323} a^{27}$, $\frac{1}{4782969} a^{28}$, $\frac{1}{4782969} a^{29}$, $\frac{1}{14348907} a^{30}$, $\frac{1}{14348907} a^{31}$, $\frac{1}{43046721} a^{32}$, $\frac{1}{43046721} a^{33}$, $\frac{1}{16400800701} a^{34} + \frac{5}{1822311189} a^{32} + \frac{8}{1822311189} a^{30} + \frac{10}{607437063} a^{28} + \frac{4}{202479021} a^{26} + \frac{2}{22497669} a^{24} - \frac{56}{22497669} a^{22} - \frac{20}{7499223} a^{20} + \frac{8}{833247} a^{18} + \frac{31}{833247} a^{16} - \frac{22}{277749} a^{14} - \frac{2}{3429} a^{12} + \frac{7}{30861} a^{10} + \frac{62}{10287} a^{8} + \frac{19}{1143} a^{6} + \frac{23}{1143} a^{4} - \frac{37}{381} a^{2} - \frac{5}{127}$, $\frac{1}{16400800701} a^{35} + \frac{5}{1822311189} a^{33} + \frac{8}{1822311189} a^{31} + \frac{10}{607437063} a^{29} + \frac{4}{202479021} a^{27} + \frac{2}{22497669} a^{25} - \frac{56}{22497669} a^{23} - \frac{20}{7499223} a^{21} + \frac{8}{833247} a^{19} + \frac{31}{833247} a^{17} - \frac{22}{277749} a^{15} - \frac{2}{3429} a^{13} + \frac{7}{30861} a^{11} + \frac{62}{10287} a^{9} + \frac{19}{1143} a^{7} + \frac{23}{1143} a^{5} - \frac{37}{381} a^{3} - \frac{5}{127} a$, $\frac{1}{209130287735535178119977578916905738299071317683211512944480000379297467076103131735686847441419102009947133249752214724198130558002413905025497446826527267} a^{36} - \frac{1135681081077959949837745328247425808771833811697177591799512953125125427614065168022415928810652457666264143733553882740215619894784372205267027}{69710095911845059373325859638968579433023772561070504314826666793099155692034377245228949147139700669982377749917404908066043519334137968341832482275509089} a^{34} + \frac{72222167292826835218934889479133000152069967324698201494636379385878530759339573566706809687648833518689044696660758208951541705383161393923449147}{7745566212427228819258428848774286603669308062341167146091851865899906188003819693914327683015522296664708638879711656451782613259348663149092498030612121} a^{32} - \frac{3612417713307780395746855971114290202179988488570371751191342950072111400244868651266002102046116368403646333533225092437167108103758048055343055}{2581855404142409606419476282924762201223102687447055715363950621966635396001273231304775894338507432221569546293237218817260871086449554383030832676870707} a^{30} - \frac{38616186034928172173734585757215212761453151833963029527853080459368471868104889105050906086509026045880131459822447662090038997438212259109593738}{860618468047469868806492094308254067074367562482351905121316873988878465333757743768258631446169144073856515431079072939086957028816518127676944225623569} a^{28} + \frac{1612462122823234999741910885952014989476111152411110345428184922785763618334046289923984819084713708209893115464417791110385390557904102760023767}{95624274227496652089610232700917118563818618053594656124590763776542051703750860418695403494018793785984057270119896993231884114312946458630771580624841} a^{26} + \frac{7977977434648735284869151971490146881847549238318315379740466424426365831895659118896910349425591020868139565958952392566042727101016332480301237}{286872822682489956268830698102751355691455854160783968373772291329626155111252581256086210482056381357952171810359690979695652342938839375892314741874523} a^{24} + \frac{130546107694769596180530664461835397152236644361845069776519077755783996945852146293322434263568088954178305078482757747111230405568911729386815354}{95624274227496652089610232700917118563818618053594656124590763776542051703750860418695403494018793785984057270119896993231884114312946458630771580624841} a^{22} - \frac{23064229044281454130775472897491656582050433225499342854035017892786806271104562361157612880789850427037850876513230791371311401758255223456529038}{3541639786203579707022601211145078465326615483466468745355213473205261174212994830322051981259955325406816935930366555304884596826405424393732280763883} a^{20} - \frac{255813343712777330906793165852071016726353686290215399424984935182598313512515137172799088802618608964340485741781704203717721291419300475243850797}{10624919358610739121067803633435235395979846450399406236065640419615783522638984490966155943779865976220450807791099665914653790479216273181196842291649} a^{18} - \frac{44917000066688416577949082279951103684444851183393092906346035946152895998508125165207022945412260568885408453188060279522624384836088515062438345}{3541639786203579707022601211145078465326615483466468745355213473205261174212994830322051981259955325406816935930366555304884596826405424393732280763883} a^{16} + \frac{42306322446458951852384416173818672852900993763786424384876864732912209759757271020243017280810151899595464499179371744766004009712769993905433370}{1180546595401193235674200403715026155108871827822156248451737824401753724737664943440683993753318441802272311976788851768294865608801808131244093587961} a^{14} - \frac{169165546432974749109807029486495398207208811558721498513270024623677281499498851580693133876371250136689187835065933578235891313128820829261397595}{393515531800397745224733467905008718369623942607385416150579274800584574912554981146894664584439480600757437325596283922764955202933936043748031195987} a^{12} + \frac{649116250535869181569406700178911930132602737524074219842822843279292889648409251844653006596054732972200015789402690698963683870448316346216813}{344283054943480092060134267633428450017168803681002113867523425022383705085349939761062698674050289239507819182498936065411159407641238883419099909} a^{10} - \frac{77467652463700746307305556756415772893043990265388791333264983173451858705898952540218237966284436622927316921802696556245151034460545716015677942}{14574649325940657230545683996481804384060146022495756153725158325947576848613147449884987577201462244472497678725788293435739081590145779398075229481} a^{8} - \frac{80493306250831092798265363983729270878467421541205019349499893266173245445248456672833143671009945345159177514555801951496577262130638677497220244}{4858216441980219076848561332160601461353382007498585384575052775315858949537715816628329192400487414824165892908596097811913027196715259799358409827} a^{6} + \frac{44499810401184072310229244688146489782115420116840522378244350252652976849930244539965723964592226763383318669969021499585171491583912078242758966}{4858216441980219076848561332160601461353382007498585384575052775315858949537715816628329192400487414824165892908596097811913027196715259799358409827} a^{4} + \frac{86872225162315798405560511063770939443623118427264952672144587412216467100340503707834044898127154897266313664991622095789459297175501160902545457}{1619405480660073025616187110720200487117794002499528461525017591771952983179238605542776397466829138274721964302865365937304342398905086599786136609} a^{2} + \frac{156278228393948426524989147006366386473725419280293101960503290819569192446018802528260478885331351234366202723926833893281911847678659314031739365}{539801826886691008538729036906733495705931334166509487175005863923984327726412868514258799155609712758240654767621788645768114132968362199928712203}$, $\frac{1}{4378979094894371094654210524941089254244254320968765869544466727942109663106523475413546898575874576986283023116561624109984655754012544757328891039100654443713} a^{37} - \frac{12731767579792919432132935746195786392365388429696429903697536040330630078422186411405428913478393259075260208105258672215171341161628189878817524327}{486553232766041232739356724993454361582694924552085096616051858660234407011835941712616322063986064109587002568506847123331628417112504973036543448788961604857} a^{35} + \frac{976535403792216469965074598191875855407168237130692434794238609479411179519498773820898909138067285245185030914583878746539735068760502219013464780741}{486553232766041232739356724993454361582694924552085096616051858660234407011835941712616322063986064109587002568506847123331628417112504973036543448788961604857} a^{33} + \frac{33643609464642155621152069786655823642186547333107748962552396194352222237195000761914417116223894992365232455859201825155684740401234960340168241776}{18020490102445971582939137962720531910470182390817966541335254024453126185623553396763567483851335707762481576611364708271541793226389073075427535140331911291} a^{31} + \frac{3582247097514777178827415148353188029313201424110567859389651419335975146308782340010918825035474512170700584617314523843907021996877439506856660578078}{54061470307337914748817413888161595731410547172453899624005762073359378556870660190290702451554007123287444729834094124814625379679167219226282605420995733873} a^{29} - \frac{3783469243713969035662289703009752370988338442424681480879983821520568576854643727886488424555284642087625212369673140522367437421290142160852667287291}{18020490102445971582939137962720531910470182390817966541335254024453126185623553396763567483851335707762481576611364708271541793226389073075427535140331911291} a^{27} - \frac{841292296061859036966327675659818964491368646127248995342081760871606391934953968250340167279150203425432720527949404148485118231248960429972163172689}{6006830034148657194313045987573510636823394130272655513778418008151042061874517798921189161283778569254160525537121569423847264408796357691809178380110637097} a^{25} + \frac{5126807013190199600699188041565741992201576204751537038459479257947179884113622008839418577932919999192830606613499460826788956196824881663132657992383}{2002276678049552398104348662524503545607798043424218504592806002717014020624839266307063053761259523084720175179040523141282421469598785897269726126703545699} a^{23} - \frac{427127067007485291194633844807149281410775107964797572123733078816569206024127825622740042963074752503159937871821435574431325422644235604768901762080}{667425559349850799368116220841501181869266014474739501530935334239004673541613088769021017920419841028240058393013507713760807156532928632423242042234515233} a^{21} + \frac{3457098380520000136783639325051190762657537804138273938375628123847932046617476274376707906680950024876624940452168552586148739709391464759205175787216}{222475186449950266456038740280500393956422004824913167176978444746334891180537696256340339306806613676080019464337835904586935718844309544141080680744838411} a^{19} + \frac{1704955281690275498852781802151525253624550858494370013729199970836016250690755863922651691998180327553723553742525308426225436171447155062311738787537}{74158395483316755485346246760166797985474001608304389058992814915444963726845898752113446435602204558693339821445945301528978572948103181380360226914946137} a^{17} - \frac{2492962299420321551372922089631205058782950431468325261144258543489017479084382912085466026629469045385337931801780431335092314994040148538752451689167}{24719465161105585161782082253388932661824667202768129686330938305148321242281966250704482145200734852897779940481981767176326190982701060460120075638315379} a^{15} + \frac{283846785964931277088921771941567436100969351745983498525664080675990930519819825399847697961144991923535899205893185041051223244382761056333330550864}{2746607240122842795753564694820992517980518578085347742925659811683146804697996250078275793911192761433086660053553529686258465664744562273346675070923931} a^{13} + \frac{13079214720650635325223427380557530943684688922037995375845475599870000578431733811610609394549656747656072649722492080539374741665060646376563287033}{21626828662384588942941454289929074944728492740829509786816218989631077202346427165970675542607817019158162677587035666820932800509799702939737598983653} a^{11} + \frac{1913437330293385796630440695491875912040949816410746348821096583997119895139774575716487752069002502552873001335343986757271969761972300646303165191222}{915535746707614265251188231606997505993506192695115914308553270561048934899332083359425264637064253811028886684517843228752821888248187424448891690307977} a^{9} - \frac{388405747939226270158638028898805752866560387787633948969625157293924068911823373749515905526185481867008466162451480211257066543433657345530835859368}{305178582235871421750396077202332501997835397565038638102851090187016311633110694453141754879021417937009628894839281076250940629416062474816297230102659} a^{7} - \frac{606215648281065024008270922452152385264013960864807582110243342190002893741047437071609414508805806870309333266079975037573091139663876956043880528824}{11302910453180423027792447303790092666586496206112542151957447784704307838263359053820064995519311775444801070179232632453738541830224536104307304818617} a^{5} + \frac{1344129839145467087225643572944373942300752004779867406821776838281339494553232183263225769184884037024767051524177160417861770041154763649997388158237}{11302910453180423027792447303790092666586496206112542151957447784704307838263359053820064995519311775444801070179232632453738541830224536104307304818617} a^{3} - \frac{5539948882536116087546916348225487598766962282150162969567572710949928212729684680368116088533691143379166093664256390904412916798552473891007869190116}{11302910453180423027792447303790092666586496206112542151957447784704307838263359053820064995519311775444801070179232632453738541830224536104307304818617} a$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $18$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-57}) \), 19.19.10842505080063916320800450434338728415281531281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ R $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
3Data not computed
19Data not computed