Properties

Label 38.0.477...875.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-4.772\times 10^{97}$
Root discriminant $371.96$
Ramified primes $5, 191$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 + 194*x^36 - 202*x^35 + 16279*x^34 - 7863*x^33 + 772861*x^32 + 402596*x^31 + 23045822*x^30 + 40384193*x^29 + 479536671*x^28 + 1351816180*x^27 + 7928555878*x^26 + 25902608554*x^25 + 111456458601*x^24 + 341385389946*x^23 + 1297163210108*x^22 + 3493633650369*x^21 + 12095301942774*x^20 + 29754895552994*x^19 + 90602135732080*x^18 + 209292172135889*x^17 + 578704163180687*x^16 + 1150796400064466*x^15 + 3249066298571457*x^14 + 4892053641982278*x^13 + 14078439508345248*x^12 + 18448183569455711*x^11 + 46083907583218775*x^10 + 65495333977938485*x^9 + 111449247373051429*x^8 + 177739871270855783*x^7 + 253288222342260757*x^6 + 334042708854918147*x^5 + 456173375797126253*x^4 + 247500381632980217*x^3 + 331215018154218380*x^2 + 303420818935344453*x + 79580728329881359)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - x^37 + 194*x^36 - 202*x^35 + 16279*x^34 - 7863*x^33 + 772861*x^32 + 402596*x^31 + 23045822*x^30 + 40384193*x^29 + 479536671*x^28 + 1351816180*x^27 + 7928555878*x^26 + 25902608554*x^25 + 111456458601*x^24 + 341385389946*x^23 + 1297163210108*x^22 + 3493633650369*x^21 + 12095301942774*x^20 + 29754895552994*x^19 + 90602135732080*x^18 + 209292172135889*x^17 + 578704163180687*x^16 + 1150796400064466*x^15 + 3249066298571457*x^14 + 4892053641982278*x^13 + 14078439508345248*x^12 + 18448183569455711*x^11 + 46083907583218775*x^10 + 65495333977938485*x^9 + 111449247373051429*x^8 + 177739871270855783*x^7 + 253288222342260757*x^6 + 334042708854918147*x^5 + 456173375797126253*x^4 + 247500381632980217*x^3 + 331215018154218380*x^2 + 303420818935344453*x + 79580728329881359, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![79580728329881359, 303420818935344453, 331215018154218380, 247500381632980217, 456173375797126253, 334042708854918147, 253288222342260757, 177739871270855783, 111449247373051429, 65495333977938485, 46083907583218775, 18448183569455711, 14078439508345248, 4892053641982278, 3249066298571457, 1150796400064466, 578704163180687, 209292172135889, 90602135732080, 29754895552994, 12095301942774, 3493633650369, 1297163210108, 341385389946, 111456458601, 25902608554, 7928555878, 1351816180, 479536671, 40384193, 23045822, 402596, 772861, -7863, 16279, -202, 194, -1, 1]);
 

\( x^{38} - x^{37} + 194 x^{36} - 202 x^{35} + 16279 x^{34} - 7863 x^{33} + 772861 x^{32} + 402596 x^{31} + 23045822 x^{30} + 40384193 x^{29} + 479536671 x^{28} + 1351816180 x^{27} + 7928555878 x^{26} + 25902608554 x^{25} + 111456458601 x^{24} + 341385389946 x^{23} + 1297163210108 x^{22} + 3493633650369 x^{21} + 12095301942774 x^{20} + 29754895552994 x^{19} + 90602135732080 x^{18} + 209292172135889 x^{17} + 578704163180687 x^{16} + 1150796400064466 x^{15} + 3249066298571457 x^{14} + 4892053641982278 x^{13} + 14078439508345248 x^{12} + 18448183569455711 x^{11} + 46083907583218775 x^{10} + 65495333977938485 x^{9} + 111449247373051429 x^{8} + 177739871270855783 x^{7} + 253288222342260757 x^{6} + 334042708854918147 x^{5} + 456173375797126253 x^{4} + 247500381632980217 x^{3} + 331215018154218380 x^{2} + 303420818935344453 x + 79580728329881359 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 19]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-47\!\cdots\!875\)\(\medspace = -\,5^{19}\cdot 191^{37}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $371.96$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $5, 191$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(955=5\cdot 191\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{955}(1,·)$, $\chi_{955}(6,·)$, $\chi_{955}(136,·)$, $\chi_{955}(139,·)$, $\chi_{955}(14,·)$, $\chi_{955}(919,·)$, $\chi_{955}(536,·)$, $\chi_{955}(796,·)$, $\chi_{955}(159,·)$, $\chi_{955}(419,·)$, $\chi_{955}(36,·)$, $\chi_{955}(941,·)$, $\chi_{955}(816,·)$, $\chi_{955}(819,·)$, $\chi_{955}(949,·)$, $\chi_{955}(954,·)$, $\chi_{955}(316,·)$, $\chi_{955}(834,·)$, $\chi_{955}(451,·)$, $\chi_{955}(196,·)$, $\chi_{955}(584,·)$, $\chi_{955}(84,·)$, $\chi_{955}(341,·)$, $\chi_{955}(726,·)$, $\chi_{955}(216,·)$, $\chi_{955}(604,·)$, $\chi_{955}(221,·)$, $\chi_{955}(734,·)$, $\chi_{955}(351,·)$, $\chi_{955}(739,·)$, $\chi_{955}(229,·)$, $\chi_{955}(614,·)$, $\chi_{955}(871,·)$, $\chi_{955}(371,·)$, $\chi_{955}(759,·)$, $\chi_{955}(504,·)$, $\chi_{955}(121,·)$, $\chi_{955}(639,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $\frac{1}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{2}$, $\frac{1}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{3}$, $\frac{1}{7} a^{10} - \frac{1}{7} a^{4}$, $\frac{1}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{5}$, $\frac{1}{7} a^{12} - \frac{1}{7} a^{6}$, $\frac{1}{7} a^{13} - \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{49} a^{14} - \frac{2}{49} a^{8} + \frac{1}{49} a^{2}$, $\frac{1}{49} a^{15} - \frac{2}{49} a^{9} + \frac{1}{49} a^{3}$, $\frac{1}{49} a^{16} - \frac{2}{49} a^{10} + \frac{1}{49} a^{4}$, $\frac{1}{49} a^{17} - \frac{2}{49} a^{11} + \frac{1}{49} a^{5}$, $\frac{1}{49} a^{18} - \frac{2}{49} a^{12} + \frac{1}{49} a^{6}$, $\frac{1}{49} a^{19} - \frac{2}{49} a^{13} + \frac{1}{49} a^{7}$, $\frac{1}{49} a^{20} - \frac{3}{49} a^{8} + \frac{2}{49} a^{2}$, $\frac{1}{343} a^{21} - \frac{3}{343} a^{15} + \frac{3}{343} a^{9} - \frac{1}{343} a^{3}$, $\frac{1}{343} a^{22} - \frac{3}{343} a^{16} + \frac{3}{343} a^{10} - \frac{1}{343} a^{4}$, $\frac{1}{343} a^{23} - \frac{3}{343} a^{17} + \frac{3}{343} a^{11} - \frac{1}{343} a^{5}$, $\frac{1}{343} a^{24} - \frac{3}{343} a^{18} + \frac{3}{343} a^{12} - \frac{1}{343} a^{6}$, $\frac{1}{343} a^{25} - \frac{3}{343} a^{19} + \frac{3}{343} a^{13} - \frac{1}{343} a^{7}$, $\frac{1}{2401} a^{26} - \frac{1}{2401} a^{25} + \frac{3}{2401} a^{24} + \frac{2}{2401} a^{23} - \frac{3}{2401} a^{22} - \frac{24}{2401} a^{20} - \frac{18}{2401} a^{19} + \frac{19}{2401} a^{18} + \frac{22}{2401} a^{17} - \frac{12}{2401} a^{16} - \frac{3}{343} a^{15} - \frac{4}{2401} a^{14} - \frac{157}{2401} a^{13} - \frac{96}{2401} a^{12} - \frac{50}{2401} a^{11} - \frac{65}{2401} a^{10} + \frac{20}{343} a^{9} + \frac{125}{2401} a^{8} - \frac{167}{2401} a^{7} - \frac{269}{2401} a^{6} - \frac{317}{2401} a^{5} - \frac{263}{2401} a^{4} - \frac{66}{343} a^{3} - \frac{9}{49} a^{2}$, $\frac{1}{2401} a^{27} + \frac{2}{2401} a^{25} - \frac{2}{2401} a^{24} - \frac{1}{2401} a^{23} - \frac{3}{2401} a^{22} - \frac{3}{2401} a^{21} + \frac{1}{343} a^{20} + \frac{1}{2401} a^{19} + \frac{13}{2401} a^{18} + \frac{10}{2401} a^{17} + \frac{16}{2401} a^{16} + \frac{10}{2401} a^{15} - \frac{2}{343} a^{14} + \frac{90}{2401} a^{13} - \frac{69}{2401} a^{12} - \frac{115}{2401} a^{11} - \frac{23}{2401} a^{10} + \frac{132}{2401} a^{9} - \frac{20}{343} a^{8} - \frac{93}{2401} a^{7} - \frac{628}{2401} a^{6} - \frac{580}{2401} a^{5} - \frac{676}{2401} a^{4} - \frac{118}{343} a^{3} - \frac{11}{49} a^{2} - \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{2401} a^{28} + \frac{3}{2401} a^{22} - \frac{15}{2401} a^{16} + \frac{17}{2401} a^{10} - \frac{6}{2401} a^{4}$, $\frac{1}{2401} a^{29} + \frac{3}{2401} a^{23} - \frac{15}{2401} a^{17} + \frac{17}{2401} a^{11} - \frac{6}{2401} a^{5}$, $\frac{1}{16807} a^{30} + \frac{3}{16807} a^{29} + \frac{3}{2401} a^{25} + \frac{17}{16807} a^{24} + \frac{2}{16807} a^{23} - \frac{3}{2401} a^{22} - \frac{3}{343} a^{20} + \frac{5}{2401} a^{19} - \frac{8}{16807} a^{18} + \frac{25}{16807} a^{17} - \frac{19}{2401} a^{16} - \frac{3}{343} a^{15} - \frac{1}{343} a^{14} - \frac{117}{2401} a^{13} + \frac{990}{16807} a^{12} + \frac{275}{16807} a^{11} + \frac{145}{2401} a^{10} - \frac{8}{343} a^{9} - \frac{24}{343} a^{8} + \frac{109}{2401} a^{7} - \frac{5802}{16807} a^{6} - \frac{305}{16807} a^{5} - \frac{1152}{2401} a^{4} + \frac{109}{343} a^{3} - \frac{3}{49} a^{2}$, $\frac{1}{1831963} a^{31} - \frac{34}{1831963} a^{30} - \frac{307}{1831963} a^{29} + \frac{41}{261709} a^{28} + \frac{15}{261709} a^{27} - \frac{6}{261709} a^{26} - \frac{977}{1831963} a^{25} - \frac{879}{1831963} a^{24} - \frac{718}{1831963} a^{23} - \frac{253}{261709} a^{22} - \frac{248}{261709} a^{21} - \frac{73}{261709} a^{20} - \frac{10599}{1831963} a^{19} - \frac{6126}{1831963} a^{18} + \frac{5074}{1831963} a^{17} + \frac{156}{261709} a^{16} + \frac{2096}{261709} a^{15} - \frac{2286}{261709} a^{14} - \frac{90094}{1831963} a^{13} - \frac{46372}{1831963} a^{12} + \frac{105395}{1831963} a^{11} + \frac{528}{261709} a^{10} + \frac{5312}{261709} a^{9} + \frac{16967}{261709} a^{8} + \frac{53649}{1831963} a^{7} + \frac{415962}{1831963} a^{6} - \frac{116647}{1831963} a^{5} + \frac{62297}{261709} a^{4} + \frac{7991}{37387} a^{3} + \frac{2362}{5341} a^{2} + \frac{214}{763} a + \frac{6}{109}$, $\frac{1}{1831963} a^{32} - \frac{46}{1831963} a^{30} + \frac{204}{1831963} a^{29} - \frac{8}{261709} a^{28} - \frac{41}{261709} a^{27} - \frac{116}{1831963} a^{26} + \frac{36}{37387} a^{25} + \frac{2641}{1831963} a^{24} - \frac{1985}{1831963} a^{23} + \frac{88}{261709} a^{22} - \frac{3}{261709} a^{21} + \frac{18570}{1831963} a^{20} + \frac{26}{37387} a^{19} - \frac{17692}{1831963} a^{18} - \frac{3844}{1831963} a^{17} - \frac{2519}{261709} a^{16} + \frac{962}{261709} a^{15} + \frac{125}{16807} a^{14} + \frac{211}{37387} a^{13} + \frac{108593}{1831963} a^{12} - \frac{22845}{1831963} a^{11} + \frac{16615}{261709} a^{10} + \frac{11185}{261709} a^{9} + \frac{105120}{1831963} a^{8} + \frac{73}{5341} a^{7} - \frac{74288}{1831963} a^{6} + \frac{222951}{1831963} a^{5} - \frac{60138}{261709} a^{4} + \frac{1951}{5341} a^{3} + \frac{1364}{5341} a^{2} - \frac{94}{763} a - \frac{14}{109}$, $\frac{1}{1831963} a^{33} - \frac{52}{1831963} a^{30} - \frac{335}{1831963} a^{29} - \frac{8}{261709} a^{28} + \frac{136}{1831963} a^{27} - \frac{24}{261709} a^{26} - \frac{375}{261709} a^{25} - \frac{345}{1831963} a^{24} - \frac{802}{1831963} a^{23} - \frac{87}{261709} a^{22} + \frac{517}{1831963} a^{21} + \frac{2165}{261709} a^{20} - \frac{674}{261709} a^{19} - \frac{13794}{1831963} a^{18} - \frac{4845}{1831963} a^{17} + \frac{2143}{261709} a^{16} + \frac{7178}{1831963} a^{15} - \frac{2200}{261709} a^{14} + \frac{5854}{261709} a^{13} + \frac{47696}{1831963} a^{12} - \frac{128223}{1831963} a^{11} - \frac{1151}{261709} a^{10} - \frac{129303}{1831963} a^{9} + \frac{4273}{261709} a^{8} - \frac{18525}{261709} a^{7} + \frac{874073}{1831963} a^{6} + \frac{789678}{1831963} a^{5} + \frac{3219}{261709} a^{4} - \frac{13740}{37387} a^{3} - \frac{1115}{5341} a^{2} + \frac{263}{763} a - \frac{51}{109}$, $\frac{1}{12823741} a^{34} + \frac{2}{12823741} a^{33} - \frac{3}{12823741} a^{31} - \frac{361}{12823741} a^{30} + \frac{145}{12823741} a^{29} + \frac{353}{12823741} a^{28} - \frac{1618}{12823741} a^{27} - \frac{172}{1831963} a^{26} - \frac{18370}{12823741} a^{25} + \frac{10264}{12823741} a^{24} - \frac{3387}{12823741} a^{23} - \frac{6602}{12823741} a^{22} - \frac{16228}{12823741} a^{21} - \frac{8423}{1831963} a^{20} - \frac{44342}{12823741} a^{19} + \frac{85299}{12823741} a^{18} - \frac{23686}{12823741} a^{17} - \frac{834}{117649} a^{16} + \frac{29658}{12823741} a^{15} - \frac{9735}{1831963} a^{14} - \frac{675964}{12823741} a^{13} + \frac{202050}{12823741} a^{12} - \frac{505567}{12823741} a^{11} + \frac{510273}{12823741} a^{10} + \frac{483919}{12823741} a^{9} - \frac{99319}{1831963} a^{8} + \frac{409742}{12823741} a^{7} + \frac{2142164}{12823741} a^{6} - \frac{574366}{12823741} a^{5} + \frac{116813}{261709} a^{4} + \frac{71566}{261709} a^{3} + \frac{1016}{5341} a^{2} - \frac{681}{5341} a + \frac{43}{109}$, $\frac{1}{12823741} a^{35} + \frac{3}{12823741} a^{33} - \frac{3}{12823741} a^{32} + \frac{2}{12823741} a^{31} - \frac{190}{12823741} a^{30} + \frac{367}{1831963} a^{29} - \frac{248}{1831963} a^{28} - \frac{2259}{12823741} a^{27} - \frac{86}{12823741} a^{26} - \frac{10382}{12823741} a^{25} - \frac{1361}{12823741} a^{24} - \frac{3874}{12823741} a^{23} + \frac{961}{1831963} a^{22} + \frac{8964}{12823741} a^{21} + \frac{125422}{12823741} a^{20} + \frac{26381}{12823741} a^{19} - \frac{48432}{12823741} a^{18} + \frac{124039}{12823741} a^{17} + \frac{12395}{1831963} a^{16} + \frac{22647}{12823741} a^{15} + \frac{91740}{12823741} a^{14} - \frac{119379}{12823741} a^{13} + \frac{240622}{12823741} a^{12} + \frac{720180}{12823741} a^{11} - \frac{50348}{1831963} a^{10} + \frac{879056}{12823741} a^{9} + \frac{896991}{12823741} a^{8} + \frac{40952}{12823741} a^{7} + \frac{3201974}{12823741} a^{6} + \frac{2196751}{12823741} a^{5} - \frac{14094}{37387} a^{4} + \frac{2678}{261709} a^{3} + \frac{4}{5341} a^{2} - \frac{2222}{5341} a - \frac{49}{109}$, $\frac{1}{122593504574968426643} a^{36} - \frac{412851911658}{17513357796424060949} a^{35} - \frac{2964056032480}{122593504574968426643} a^{34} - \frac{13149144397105}{122593504574968426643} a^{33} - \frac{17812209769660}{122593504574968426643} a^{32} - \frac{18726112800466}{122593504574968426643} a^{31} + \frac{59136808882063}{2501908256632008707} a^{30} - \frac{3052836135598026}{17513357796424060949} a^{29} - \frac{15864052955401964}{122593504574968426643} a^{28} + \frac{23204859180555477}{122593504574968426643} a^{27} - \frac{13207560073827211}{122593504574968426643} a^{26} - \frac{159851176827880373}{122593504574968426643} a^{25} - \frac{71783546325717411}{122593504574968426643} a^{24} - \frac{18074802006260938}{17513357796424060949} a^{23} + \frac{40262075760714777}{122593504574968426643} a^{22} + \frac{32245944869929997}{122593504574968426643} a^{21} + \frac{287337889521468161}{122593504574968426643} a^{20} + \frac{872710498447542525}{122593504574968426643} a^{19} - \frac{642100672553341401}{122593504574968426643} a^{18} - \frac{23348344742889519}{2501908256632008707} a^{17} - \frac{928582383634414696}{122593504574968426643} a^{16} + \frac{581982314502745868}{122593504574968426643} a^{15} + \frac{633787530248511155}{122593504574968426643} a^{14} + \frac{6670971845506382992}{122593504574968426643} a^{13} + \frac{175126065504205640}{122593504574968426643} a^{12} - \frac{767945939690375097}{17513357796424060949} a^{11} + \frac{3024847542039918934}{122593504574968426643} a^{10} - \frac{3915330923329568753}{122593504574968426643} a^{9} + \frac{969450434797462998}{122593504574968426643} a^{8} - \frac{293895799827151180}{122593504574968426643} a^{7} + \frac{11888138641025801011}{122593504574968426643} a^{6} - \frac{308426234400327844}{2501908256632008707} a^{5} + \frac{467054359972628362}{2501908256632008707} a^{4} - \frac{15779794210938288}{51059352176163443} a^{3} - \frac{24096646209227721}{51059352176163443} a^{2} + \frac{139884559488776}{1042027595431907} a - \frac{28498325660244}{148861085061701}$, $\frac{1}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{37} + \frac{16731214012640049345818302939327155431311350901298206027874884266934444006002365485286479441480706041164459697723310390469228179228286898184166657033803215086935933193636861503085175948111291275227733241583484791125684526524914186852191061772160969816909}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{36} - \frac{1185362402056420710332729625051241170989422909428299815560133304369700257694950172062835484778000335541495883829684032507309019395278471662380634592171671792130506622815495684182959427929250242360103923357382949283720655037978954526530952319899613807747141243630875567}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{35} + \frac{994958137051739093399451442791412641517542982582192605288028635730170207220539734329833357606401421386763180376394756063747857114696551109559784778276486814748455412862247767463900585211523231740163651027645217200613565347207856137249829881480902567832925730601761206}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{34} + \frac{1160270898213943154366002847491296262239923280382273742757321993929297442889013852021956468190301787077777660067378457731923794516607183418242531799672460678652009949656179589224715236166721347074580690191910272715768448685061456516594882158364447808109526986183610783}{4918724637281321265556163620072611110643990137325532817058484134470666036995601957491464714711113518567272395339722569613508929568816348047908123606369067212027553875745278351205760293068590459713218245285394835585160937281914939350210815386385722940161415584190959114856129} a^{33} + \frac{2771328404191187497327773265844505320789509694272851641960479331397516555904375218998262603994052823410285883612227334546876619737573192901420670153880817636876434430549831042099345111503920407790795289922778005042968772025305697625675737652486053861685310684501064612}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{32} - \frac{3390675764869332857829867676486041966567687152145745630174326836267230505327199571800887209978400068068677912854120151293568450471118213831744815167364321057526082947056414714193414831293844657865112773860687873934208125697665626015029032052485677180192174233849336953}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{31} + \frac{104770604245700451883853136963827672646701523511828805395452539186586890169219540797471610705427015557903402562220054879289965498401184021893795538890186877953516500602182214404422269161199802384374242661612416311647349773142613630161440149911940339554262168900798037776}{4918724637281321265556163620072611110643990137325532817058484134470666036995601957491464714711113518567272395339722569613508929568816348047908123606369067212027553875745278351205760293068590459713218245285394835585160937281914939350210815386385722940161415584190959114856129} a^{30} + \frac{6438927786859346806163703525957750469123379815839326599847361907707639468762378168408052198692770675174606825634854599693532591740654540722494090481070511802572768799205302433997800683714608524858814049378440609085289230497230698015488767513263818807238019674000395946424}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{29} + \frac{6692543875404711407122920067837698283317258702509343548114203989065336073102190837366416118825419158410618562957214347499632595768267617557235367366300093701724526465146523143632010260200111191142760375615590845442477573131923355482394019640729683029327240045149055808409}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{28} + \frac{346650217268575914156578562221669864407401012588486277078576744096437542744724274273297740077984305552880287430313885277211373391324961903101140523141236738624129569898721169742209635470052920868650715777778924358567934866642949251352585116516736104399203360686612708639}{4918724637281321265556163620072611110643990137325532817058484134470666036995601957491464714711113518567272395339722569613508929568816348047908123606369067212027553875745278351205760293068590459713218245285394835585160937281914939350210815386385722940161415584190959114856129} a^{27} + \frac{5687471175299807280618423083782944040303602742702415188956654584347286642779438299249893865005454259734811851838319282114152872880549658603140539696496615817345535388156391332815944066707963226203983092499363609694417209433668332520013511993045802909967695051862258472506}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{26} + \frac{32742014761630285584055034835188597281781279514585180716216292020636455396868669781592502200117001791509517901551638339445483856266829562643389047967393524845041079575620300456014414010067004778866025432739211957258363369371462068244932204011352726331368045912412152571201}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{25} - \frac{26497565893636395094343505005875705748244880157117308737133037310346336742307553289555580961449027574606326185939829695649625532746939777887618090029364346222662655139823521622498601224994075360502966487448333999569250007735476391770864033177477586920639173778416782918310}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{24} + \frac{47751568691296933245569901075833985264498044062041127919826029475820714215156349910149298350144182310152048342577713948194529432671321796298884531967447170064068779274095502712926615694099174573001268897119941914926878739531870952397114211031877096327846415521594642175695}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{23} + \frac{22961862933276162429030441226481629640470156573534378929513561415454613116518714303584838920478058293340467399945279856510707488891474483128405890321512619245389351751834027201728991176780819783969949012004121149118384613254851946516857241670196405818855289708482719277952}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{22} + \frac{7012726213790282328410449490509939723495515587205832860469771826261805635558525729338162173878631469676241972120653946955674868515129397337161607671216790439307728253881083043105125419776034661649907382399870271959961905344023429897039114140142847841146508496168218812037}{4918724637281321265556163620072611110643990137325532817058484134470666036995601957491464714711113518567272395339722569613508929568816348047908123606369067212027553875745278351205760293068590459713218245285394835585160937281914939350210815386385722940161415584190959114856129} a^{21} + \frac{328404348221399254849322546165282483234812699047729909099072183865973897291573577547520070860566261277031920749347292074841212543201251460261207535345735891051703095411796442206951837718558421191598191620184625614961525696756225211407528144639965461379931039742180009271238}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{20} - \frac{79931729369787802530076880936868288889056468876559467407752178861050524074106913769471722609031811572755567427426100653896873768798699928124722844603417871320643607337794909788021287149589358346723724245519873365695025581952669069291821003258579929560291404621792221578457}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{19} - \frac{241256603850124375964233846828798758273691609674558211796802097889945105539500580694846814015149129049409970512584713879490807620989858253650395376181363113212988999708163696631423297555727708907990561796111873559137941964454077106944261988659847262559426298375197466942444}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{18} + \frac{261492752985642362647762145002681843094184124195513787478833293341180320004296771110913795413009040356409107405381636789623266821234762162754197462973494963904722007199215064963887698436665694160089537137649779260713747465275355225943820853075382303130526292669911187140197}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{17} + \frac{148635504006517064595635708816047996199885046582898423474755842843657429391507544384567527380225177818240641479350971373493717203370622404951939444945989917429478084514055169121093516782525876433035588405614930113948925241632013807012730220517711310345827220543306950961238}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{16} + \frac{4756500397950755803817959576754151325879503263029557519960690007037502743041219724439518219000476407151260316241689978002748159169325258069009315839826482132499617932171469522044465420168197622407213976884165704796156907667231453571873944818617189011206637328729924625661}{4918724637281321265556163620072611110643990137325532817058484134470666036995601957491464714711113518567272395339722569613508929568816348047908123606369067212027553875745278351205760293068590459713218245285394835585160937281914939350210815386385722940161415584190959114856129} a^{15} + \frac{299135831636890023483704144802938071248537515287101922899753846613212449837237921466310020476650843548035827860298446857584177262130545849294531973118762333767529373140682630193455520718763372461286820052377703091246930907982148478235488719474575436531467368017631870380938}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{14} + \frac{2071963678944776687544363745625289711835411700213353219058044338630838091610870349190650011513664478130385459617153388211588384103308059247207396894180971885087429192859978715318275198247450278811425153813294664113952079802411259616746722832976709942802782583481424887136958}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{13} + \frac{1585016768084163417319119546602573080778651039831913980831740300398730721884038013802019692088461694860863814290430529972971670919214874083275330652197213606631661497606367855835070798643463410825519104677136807346282200509491093530586124982522403958229171578860209040456074}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{12} - \frac{1587209936694055826586239988268175398421084865144410549219253900468674102327693720916266215635731061445077388180840197902257163815308334795289901121227374982935181060769986727327101522233112762490340953110243480976355531611656527310062911423009523647630073956454868429474091}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{11} + \frac{1109316470789850254091414594511120367850786521370820141439631511735060162510912874206688617846115716959255320670720972702605111981468829828998139112358635345326137320118423123761564444046275223790258345463638929517949822409443156679311613335006619078443899354635935673774201}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{10} - \frac{81415363430616264502771937508633560407162797244857726634481120217752592010726622937113702700189388586323953227064661253329181468016623114362315815753691256365133591947780620904652155983259608406781277919288507097553362456322336999735824087874684535070238906177177152889818}{4918724637281321265556163620072611110643990137325532817058484134470666036995601957491464714711113518567272395339722569613508929568816348047908123606369067212027553875745278351205760293068590459713218245285394835585160937281914939350210815386385722940161415584190959114856129} a^{9} + \frac{1923547076854802580500656178217096374494751360449526465722674457971524903467660751123394391265730704908688521264502605900168175962010562324406774128858961631368691466872340382217393819956113376035053074777329994544329624767941132856653893534678978028163433885200278886868050}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{8} + \frac{2248047898876145489630148717027202030723288099981456630103295948302512521037931846969468587165834997101561794938870702660861038014877073955891627102182553727992573416648192781053359643434497426693633537549601171513241337069066972608000092947435478915342395785676453701934675}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{7} - \frac{10168326751392089319191896464787439933484160328486092247406111135460082634464389693696790075896920483972392979895252060301361072759371781171438447633917913566466808015176896353481605830629995432870961513053696734766340361195995949234834302303584173498438866890030573456989082}{34431072460969248858893145340508277774507930961278729719409388941294662258969213702440253002977794629970906767378057987294562506981714436335356865244583470484192877130216948458440322051480133217992527716997763849096126560973404575451475707704700060581129909089336713803992903} a^{6} + \frac{1917346424535214079007316447256233388701113271126217075749152222762353571512602320838186566776481460562247129431287268077367255510255592343051741075763758275554829060327214715766510186607345263105666496151538017000606893920873748612164908141090279937634416029732637647233199}{4918724637281321265556163620072611110643990137325532817058484134470666036995601957491464714711113518567272395339722569613508929568816348047908123606369067212027553875745278351205760293068590459713218245285394835585160937281914939350210815386385722940161415584190959114856129} a^{5} - \frac{217270646008898282556668897950403704355335647847943525269075537708296885678974114321088342477817681789590321254742402018215399979292936840295203285421722679040980718313962974552054122688796146136600659694583768970188343700138620332121420512647399665544543072727252550878344}{702674948183045895079451945724658730091998591046504688151212019210095148142228851070209244958730502652467485048531795659072704224116621149701160515195581030289650553677896907315108613295512922816174035040770690797880133897416419907172973626626531848594487940598708444979447} a^{4} + \frac{27499038587572663524506613483347326632276795959135494598812960053047043438207369385036640201937553334297586934820244922670383423348202605201990013285012391365784528034960934155148705940088357362723928312847055082456289776862016479382096899057527032187972164874081172933838}{100382135454720842154207420817808390013142655863786384021601717030013592591746978724315606422675786093209640721218827951296100603445231592814451502170797290041378650525413843902158373327930417545167719291538670113982876271059488558167567660946647406942069705799815492139921} a^{3} + \frac{5768396717957848275201532656302371592641508079244414505493984020571330050588932038987275503458500631995639448086729114111064434963676295798875379808538366836078543432681979467858250791899012594739739652651381000475720089734915645275937087160775975475059295380021850009680}{14340305064960120307743917259686912859020379409112340574514531004287656084535282674902229488953683727601377245888403993042300086206461656116350214595828184291625521503630549128879767618275773935023959898791238587711839467294212651166795380135235343848867100828545070305703} a^{2} - \frac{333608625786579892740531096071344023536355987214941871698239562641499694499542405673023003418872813701206078697061502746538065842151766103132945261421926529950447879731610884151512402181915258660019346790012431704633706373910419796331391961807231956787382644890395895493}{2048615009280017186820559608526701837002911344158905796359218714898236583505040382128889926993383389657339606555486284720328583743780236588050030656546883470232217357661507018411395374039396276431994271255891226815977066756316093023827911447890763406981014404077867186529} a + \frac{17901821491648124544296597706932844912504755243998907233712777038954114811152015405116088265941503553634679910889649014907170517517805848954567236054692596046087618173940287261725706243088198230568859700496376250340886064396371496631210278944386179977008996289810221924}{41808469577143207894297134867891874224549211105283791762433034997923195581735518002630406673334354890966114419499720096333236402934290542613265931766262927963922803217581775885946844368150944416979474923589616873795450341965634551506692070365117620550632947021997289521}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $18$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-955}) \), 19.19.114445997944945591651333831028437092270721.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $38$ $38$ R ${\href{/LocalNumberField/7.1.0.1}{1} }^{38}$ $38$ $38$ $38$ $38$ $38$ $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
191Data not computed