↑

Properties

Label 38.0.32314623763...3184.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-\,2^{38}\cdot 19^{72}$
Root discriminant $529.58$
Ramified primes $2, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![49228485006254761, 0, 523953812519262731, 0, 2095436497414876275, 0, 4128788345874228337, 0, 4572362150288538208, 0, 3118364594061856178, 0, 1392518175895156030, 0, 424520449507516382, 0, 90967185355366872, 0, 13989387194635573, 0, 1567217753510932, 0, 129205470814704, 0, 7880575876524, 0, 355501314519, 0, 11775412830, 0, 281630122, 0, 4714147, 0, 52193, 0, 342, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 + 342*x^36 + 52193*x^34 + 4714147*x^32 + 281630122*x^30 + 11775412830*x^28 + 355501314519*x^26 + 7880575876524*x^24 + 129205470814704*x^22 + 1567217753510932*x^20 + 13989387194635573*x^18 + 90967185355366872*x^16 + 424520449507516382*x^14 + 1392518175895156030*x^12 + 3118364594061856178*x^10 + 4572362150288538208*x^8 + 4128788345874228337*x^6 + 2095436497414876275*x^4 + 523953812519262731*x^2 + 49228485006254761)
 
gp: K = bnfinit(x^38 + 342*x^36 + 52193*x^34 + 4714147*x^32 + 281630122*x^30 + 11775412830*x^28 + 355501314519*x^26 + 7880575876524*x^24 + 129205470814704*x^22 + 1567217753510932*x^20 + 13989387194635573*x^18 + 90967185355366872*x^16 + 424520449507516382*x^14 + 1392518175895156030*x^12 + 3118364594061856178*x^10 + 4572362150288538208*x^8 + 4128788345874228337*x^6 + 2095436497414876275*x^4 + 523953812519262731*x^2 + 49228485006254761, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{38} + 342 x^{36} + 52193 x^{34} + 4714147 x^{32} + 281630122 x^{30} + 11775412830 x^{28} + 355501314519 x^{26} + 7880575876524 x^{24} + 129205470814704 x^{22} + 1567217753510932 x^{20} + 13989387194635573 x^{18} + 90967185355366872 x^{16} + 424520449507516382 x^{14} + 1392518175895156030 x^{12} + 3118364594061856178 x^{10} + 4572362150288538208 x^{8} + 4128788345874228337 x^{6} + 2095436497414876275 x^{4} + 523953812519262731 x^{2} + 49228485006254761 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $38$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 19]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-32314623763625504522847581826131926264699228491488831973421099549792171888378286207518194939116004573184=-\,2^{38}\cdot 19^{72}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $529.58$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1444=2^{2}\cdot 19^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1444}(1,·)$, $\chi_{1444}(1027,·)$, $\chi_{1444}(647,·)$, $\chi_{1444}(267,·)$, $\chi_{1444}(1293,·)$, $\chi_{1444}(913,·)$, $\chi_{1444}(533,·)$, $\chi_{1444}(153,·)$, $\chi_{1444}(1179,·)$, $\chi_{1444}(799,·)$, $\chi_{1444}(419,·)$, $\chi_{1444}(39,·)$, $\chi_{1444}(1065,·)$, $\chi_{1444}(685,·)$, $\chi_{1444}(305,·)$, $\chi_{1444}(1331,·)$, $\chi_{1444}(951,·)$, $\chi_{1444}(571,·)$, $\chi_{1444}(191,·)$, $\chi_{1444}(1217,·)$, $\chi_{1444}(837,·)$, $\chi_{1444}(457,·)$, $\chi_{1444}(77,·)$, $\chi_{1444}(1103,·)$, $\chi_{1444}(723,·)$, $\chi_{1444}(343,·)$, $\chi_{1444}(1369,·)$, $\chi_{1444}(989,·)$, $\chi_{1444}(609,·)$, $\chi_{1444}(229,·)$, $\chi_{1444}(1255,·)$, $\chi_{1444}(875,·)$, $\chi_{1444}(495,·)$, $\chi_{1444}(115,·)$, $\chi_{1444}(1141,·)$, $\chi_{1444}(761,·)$, $\chi_{1444}(381,·)$, $\chi_{1444}(1407,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{36} - \frac{6590008945061963981774876483749905173331116507031533627362924411557395193487184940020551275736572114594819527395048560145147343682258238201328424207784718006142198}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{34} + \frac{5678605298092175448550965494920938408644843308372903783133809157441377076827989428681609487053234215439190765118804590256796597360556913251469126633634519082590392}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{32} - \frac{8984468697857956877558146644784832032509763357978664084905507953422021716568283756948700690504068364669797228769878489531997924108653007540899983302252363167661599}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{30} + \frac{5425943402603596667124387427600534744004391109592177971536768183393557538248577552578501853519081660213753754174059070676470624202793067084316271747242368192851743}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{28} + \frac{10413552373413398220561593496881987156962597056044724871777843673344483613627077357427265863814203141832981282171797985226326776346265835066405090022421418071487090}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{26} + \frac{6720150181075751048106572083723823925518184844731271387048113217093439572413815770259168363011661662198716845922830553455465560524453311097894401150935876724197605}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{24} - \frac{8097154679694238231075889391068463056813528813327442188595490080133089282053682799228982297670601175003362423658578998554513211349988281387041655424397548137685541}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{22} + \frac{319632636204487795431060054860852523171128368667593064559161842648345971506542243536515553113372630955758693996104557240695396786504400823302545692762039691152460}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{20} - \frac{7007765715351120342808378563412606084138370224509242500367236589415132354066441221684342144924904885197461514775816177704236610281689673930304664266938983536905210}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{18} - \frac{7251949673527397924326194075457679610208257782189870646587933629014536438908106378801066154962083948202750679173750472431744584658964515942923381283293213793267366}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{16} + \frac{8954905924097817944506695656345599211116427757746729029531953667871161978581114807266083748356143137847947827537215943813480307314760215710316365910460862223104540}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{14} - \frac{5020209980253051990400183858814553933980868686681904524571519839737496384828239404488869558913320766457807387535862479184024924244270616355192340242341666242819357}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{12} + \frac{9424124006700832086286165015346808268183064439477648099708613267225039373315185810587542184367530611109936050752637201852462214230288697732453046817213406140970895}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{10} + \frac{7245807286491501030536137034659214644582180308829043818031680589010628154492687364792670020399263797896518197657573290479623927276164175812397524598715907177522346}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{8} - \frac{11082003094877030026604187188546062261829917643404470399201884669991530202714832661622953600435442341665093922618417275783176585110633809279261901126616824215409797}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{6} + \frac{10041865625552962715880573923449266559891599767367334302749376412483673372806020780084150932603285382113955063985920117267402376416666815245101640084036485800779967}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{4} + \frac{11051427798811104813843861726867152779927089954640055123843136246558401246884602607487498658486840395950209630447406867490088642805752539373257247726960839116714586}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021} a^{2} + \frac{2743939012868397255948262882284758076113565631675862725837080634948789482622406077352279039806507691106001071291646355161232979575682342141585201467376749002680375}{23164588730887690321277542569218196853774918181630780612339439502071482012883813061070587728782468913862277869385111531998130734251152264262675503478633672555751021}$, $\frac{1}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{37} - \frac{1818839153551890739161711377815869247861336769984447577767553787038930712320977522540435538309050116425068126636818612398958008978191728515577455710881578593379343911856983}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{35} + \frac{1762894470219463885735457057920752237901802469272308789005966024165560132353053773376513755899264430980206009510227214187343013544204695616216664465948550229808113476243182}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{33} + \frac{2365524312280734361556172731663013195367168076676945037178230115918086401561935090311129032421398110285396131856249525023425060558341555705051393832418057943737543952191984}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{31} + \frac{1687680787701764476350464191587615376761955678414965067885519977963255711570551460073785261734879779567911177713736949981564463329570299892811730639663332706152880702644108}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{29} - \frac{1815370795336008530365305574140680503487316136291071164433332152979275472703237673631791386042953292933695926792746247622871511484401120463134389090714222457916125456857449}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{27} + \frac{1006898474457245202322747612373824275350811530157511777178676756085063619897906104240825679089613426401099062790736941570030845815724659658780552507521664961898209270649587}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{25} + \frac{1130874481437868217307693853752743529046644320261913336618321204097285317759496940575093635514160574394477323841325621658748605564620887410039021598209627092637279310370664}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{23} - \frac{1331990236172974038348246837419972603757421721904450394001042161431541232510485954168093110267899492665801235668378448735822905849652170471028435814117352642946685016760459}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{21} - \frac{177814957452724182961556236311253102064497837437968067629774338258820604354258487230430457960986608807924464913653516202609756932481529739618667547034192047062501959758444}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{19} - \frac{1454382711092252010437015223651033137408952720538137300563423759810660590679605305039840412070451711059478373902126735966366323065843008522260153395873995448584849707237927}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{17} + \frac{878394750709911223415062722297072869163821905361694283578849732746883187856234575273067455247538639260973747079505698384467633777809145104119141515760684234980297884889681}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{15} + \frac{1181672782915849728597428934577222152508905220647698869361295782849093671134121125092737493131764523924564823532713481028218253768039819599473971359226838935617171735967357}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{13} - \frac{173972329548388618176039324622699901156388740363809944862567034940048624063343554286793853384888657224650752366448740217893931455192921336587610483732934773405546635265796}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{11} + \frac{385119935288411759191230012272767875740649117396273784790355402364553250137612352295257665112901401953129038104690957523643649239313209349325726035692606935315131196778179}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{9} - \frac{2267951378278510260627487222116988908638465811648688129697292906532433611300098327570926364185384036964692705840831485021099579519932731402901539403847380762414299114648020}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{7} + \frac{982132868497937653762126640223936402546930592879172507800378391923069662795935626832244207514938726739878913501647496117588228087712554897986866333827344456164376594415534}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{5} + \frac{1852392995296234219678151766463739341466686784241758666200707124619574582803199740505374768889375719049659175899179441350081012697303618940399449561572692551351452709094808}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a^{3} + \frac{2485963761716347862580732300751675770374818433427763309793467863408839727718994982795925623865346972177596104197841011007263998394987867096597293896060171459382719404260069}{5139641526309083858782822589394850150875727061079974915838950888100784428676337133941935438453057004272837845772648633589389548790953745303774893209712106072583851437554551} a$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $18$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{2120994178005994038139395998259360021984270135379264159388192417778185970718250764}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{37} + \frac{723180419607108729511670586833785453607515728804356428164775673160068420495942350963}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{35} + \frac{109951150415306488393762655234911514552717898593438112456144425013770135941779134929171}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{33} + \frac{9884685807696188687556739989979566920355324601051079485828844940763734829543710043101429}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{31} + \frac{587090935121300643574067797425787038664071326912665511049500509744365425200035867526408117}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{29} + \frac{24367392769422748496951445425065602526824770484744124398838487178846401770315817267825859143}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{27} + \frac{728792811373915700062535197950702817192539038091338417307612957138877476036230182163484177183}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{25} + \frac{15961196015267782564479774289678301303516807692440887873888688053427343799885905256776896793047}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{23} + \frac{257575237183024110499155767668749200345212041405794336216089358835198310325616746779716659651750}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{21} + \frac{3059134881998184444287994571142540667611708656414932756748659570571260492038972745561632657639011}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{19} + \frac{26541119696363100115594341976293945866446534802820217996544274177244400508108690231124089883310574}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{17} + \frac{166010019712432072862507542924781309910646634047778432612428008034523729709726707781670985560911435}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{15} + \frac{734283566967917449676638898998672847161964847465108322005065000200076352259186993794528396544112895}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{13} + \frac{2235526409163826063268043933165353216814439619994479620140767148632472086684729142164078868751869841}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{11} + \frac{4510514232777519396481366335082287796742963350552013183743728953333472667508705879907088187663449789}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{9} + \frac{5715379493882463073511413729838406649414433916676289309553994043829376016691870531738477195069674173}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{7} + \frac{4205229931510312629937111548629401955649447567136371208220079457297172267371022520624834694606109281}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{5} + \frac{1575401593927194632160493072932916472587403547987819181396771418385217349765660025228879037282112922}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a^{3} + \frac{213835779666348379483519166482845437602423176537750505488365901711884738346524724267984462103710944}{5794081219884873070459632850776371640434768716111607348140342942902365685339904801762967343255559} a \) (order $4$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-1}) \), 19.19.10842505080063916320800450434338728415281531281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ R $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
19Data not computed