Properties

Label 38.0.250...631.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-2.502\times 10^{84}$
Root discriminant $166.34$
Ramified prime $191$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 + 3*x^36 - 11*x^35 + 44*x^34 + 732*x^33 - 116*x^32 + 2069*x^31 + 2818*x^30 - 12880*x^29 + 93246*x^28 - 145805*x^27 + 92780*x^26 + 2105124*x^25 - 3183002*x^24 - 3104601*x^23 + 12583923*x^22 + 9706311*x^21 + 21916307*x^20 - 49619666*x^19 + 22159929*x^18 - 196911474*x^17 + 1026982112*x^16 + 311788273*x^15 - 1106984612*x^14 - 334730951*x^13 - 1752540110*x^12 + 3801710744*x^11 + 7280378790*x^10 + 1308968234*x^9 - 6926602921*x^8 - 6856588968*x^7 + 18604485712*x^6 + 18058309277*x^5 + 9272912074*x^4 - 5214869030*x^3 - 1463327624*x^2 + 5326526527*x + 2048986499)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - x^37 + 3*x^36 - 11*x^35 + 44*x^34 + 732*x^33 - 116*x^32 + 2069*x^31 + 2818*x^30 - 12880*x^29 + 93246*x^28 - 145805*x^27 + 92780*x^26 + 2105124*x^25 - 3183002*x^24 - 3104601*x^23 + 12583923*x^22 + 9706311*x^21 + 21916307*x^20 - 49619666*x^19 + 22159929*x^18 - 196911474*x^17 + 1026982112*x^16 + 311788273*x^15 - 1106984612*x^14 - 334730951*x^13 - 1752540110*x^12 + 3801710744*x^11 + 7280378790*x^10 + 1308968234*x^9 - 6926602921*x^8 - 6856588968*x^7 + 18604485712*x^6 + 18058309277*x^5 + 9272912074*x^4 - 5214869030*x^3 - 1463327624*x^2 + 5326526527*x + 2048986499, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![2048986499, 5326526527, -1463327624, -5214869030, 9272912074, 18058309277, 18604485712, -6856588968, -6926602921, 1308968234, 7280378790, 3801710744, -1752540110, -334730951, -1106984612, 311788273, 1026982112, -196911474, 22159929, -49619666, 21916307, 9706311, 12583923, -3104601, -3183002, 2105124, 92780, -145805, 93246, -12880, 2818, 2069, -116, 732, 44, -11, 3, -1, 1]);
 

\( x^{38} - x^{37} + 3 x^{36} - 11 x^{35} + 44 x^{34} + 732 x^{33} - 116 x^{32} + 2069 x^{31} + 2818 x^{30} - 12880 x^{29} + 93246 x^{28} - 145805 x^{27} + 92780 x^{26} + 2105124 x^{25} - 3183002 x^{24} - 3104601 x^{23} + 12583923 x^{22} + 9706311 x^{21} + 21916307 x^{20} - 49619666 x^{19} + 22159929 x^{18} - 196911474 x^{17} + 1026982112 x^{16} + 311788273 x^{15} - 1106984612 x^{14} - 334730951 x^{13} - 1752540110 x^{12} + 3801710744 x^{11} + 7280378790 x^{10} + 1308968234 x^{9} - 6926602921 x^{8} - 6856588968 x^{7} + 18604485712 x^{6} + 18058309277 x^{5} + 9272912074 x^{4} - 5214869030 x^{3} - 1463327624 x^{2} + 5326526527 x + 2048986499 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 19]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-25\!\cdots\!631\)\(\medspace = -\,191^{37}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $166.34$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $191$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(191\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{191}(1,·)$, $\chi_{191}(5,·)$, $\chi_{191}(6,·)$, $\chi_{191}(136,·)$, $\chi_{191}(11,·)$, $\chi_{191}(14,·)$, $\chi_{191}(150,·)$, $\chi_{191}(153,·)$, $\chi_{191}(25,·)$, $\chi_{191}(154,·)$, $\chi_{191}(155,·)$, $\chi_{191}(30,·)$, $\chi_{191}(31,·)$, $\chi_{191}(32,·)$, $\chi_{191}(161,·)$, $\chi_{191}(36,·)$, $\chi_{191}(37,·)$, $\chi_{191}(38,·)$, $\chi_{191}(41,·)$, $\chi_{191}(177,·)$, $\chi_{191}(52,·)$, $\chi_{191}(55,·)$, $\chi_{191}(180,·)$, $\chi_{191}(186,·)$, $\chi_{191}(159,·)$, $\chi_{191}(190,·)$, $\chi_{191}(160,·)$, $\chi_{191}(66,·)$, $\chi_{191}(139,·)$, $\chi_{191}(69,·)$, $\chi_{191}(70,·)$, $\chi_{191}(84,·)$, $\chi_{191}(185,·)$, $\chi_{191}(166,·)$, $\chi_{191}(107,·)$, $\chi_{191}(121,·)$, $\chi_{191}(122,·)$, $\chi_{191}(125,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{7} a^{25} - \frac{2}{7} a^{24} - \frac{1}{7} a^{23} - \frac{2}{7} a^{22} + \frac{2}{7} a^{21} + \frac{3}{7} a^{20} + \frac{2}{7} a^{19} + \frac{2}{7} a^{18} - \frac{3}{7} a^{17} + \frac{3}{7} a^{16} + \frac{1}{7} a^{15} - \frac{3}{7} a^{14} + \frac{1}{7} a^{13} + \frac{2}{7} a^{12} - \frac{2}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{10} - \frac{2}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{8} - \frac{2}{7} a^{7} - \frac{2}{7} a^{6} + \frac{3}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} - \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{26} + \frac{2}{7} a^{24} + \frac{3}{7} a^{23} - \frac{2}{7} a^{22} + \frac{1}{7} a^{20} - \frac{1}{7} a^{19} + \frac{1}{7} a^{18} - \frac{3}{7} a^{17} - \frac{1}{7} a^{15} + \frac{2}{7} a^{14} - \frac{3}{7} a^{13} + \frac{2}{7} a^{12} + \frac{2}{7} a^{11} + \frac{3}{7} a^{10} - \frac{3}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a^{6} + \frac{3}{7} a^{4} + \frac{2}{7} a^{3} - \frac{3}{7} a^{2} + \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{27} - \frac{3}{7} a^{22} - \frac{3}{7} a^{21} - \frac{3}{7} a^{19} - \frac{1}{7} a^{17} + \frac{3}{7} a^{14} - \frac{2}{7} a^{12} - \frac{1}{7} a^{10} - \frac{3}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{8} + \frac{3}{7} a^{7} - \frac{3}{7} a^{6} - \frac{3}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{3} + \frac{1}{7} a^{2} - \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{28} - \frac{3}{7} a^{23} - \frac{3}{7} a^{22} - \frac{3}{7} a^{20} - \frac{1}{7} a^{18} + \frac{3}{7} a^{15} - \frac{2}{7} a^{13} - \frac{1}{7} a^{11} - \frac{3}{7} a^{10} - \frac{1}{7} a^{9} + \frac{3}{7} a^{8} - \frac{3}{7} a^{7} - \frac{3}{7} a^{6} + \frac{2}{7} a^{4} + \frac{1}{7} a^{3} - \frac{1}{7} a^{2}$, $\frac{1}{7} a^{29} - \frac{3}{7} a^{24} - \frac{3}{7} a^{23} - \frac{3}{7} a^{21} - \frac{1}{7} a^{19} + \frac{3}{7} a^{16} - \frac{2}{7} a^{14} - \frac{1}{7} a^{12} - \frac{3}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{10} + \frac{3}{7} a^{9} - \frac{3}{7} a^{8} - \frac{3}{7} a^{7} + \frac{2}{7} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} - \frac{1}{7} a^{3}$, $\frac{1}{7} a^{30} - \frac{2}{7} a^{24} - \frac{3}{7} a^{23} - \frac{2}{7} a^{22} - \frac{1}{7} a^{21} + \frac{1}{7} a^{20} - \frac{1}{7} a^{19} - \frac{1}{7} a^{18} + \frac{1}{7} a^{17} + \frac{2}{7} a^{16} + \frac{1}{7} a^{15} - \frac{2}{7} a^{14} + \frac{2}{7} a^{13} + \frac{3}{7} a^{12} - \frac{2}{7} a^{9} + \frac{1}{7} a^{7} + \frac{3}{7} a^{6} + \frac{3}{7} a^{5} + \frac{2}{7} a^{4} + \frac{3}{7} a^{3} - \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{31} + \frac{3}{7} a^{23} + \frac{2}{7} a^{22} - \frac{2}{7} a^{21} - \frac{2}{7} a^{20} + \frac{3}{7} a^{19} - \frac{2}{7} a^{18} + \frac{3}{7} a^{17} + \frac{3}{7} a^{14} - \frac{2}{7} a^{13} - \frac{3}{7} a^{12} + \frac{3}{7} a^{11} + \frac{3}{7} a^{10} + \frac{3}{7} a^{9} + \frac{3}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a^{6} + \frac{1}{7} a^{5} - \frac{2}{7} a^{4} + \frac{2}{7} a^{3} - \frac{2}{7} a^{2} + \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{763} a^{32} - \frac{44}{763} a^{31} - \frac{5}{109} a^{30} + \frac{13}{763} a^{29} + \frac{34}{763} a^{28} + \frac{20}{763} a^{27} + \frac{4}{109} a^{26} + \frac{18}{763} a^{25} + \frac{89}{763} a^{24} - \frac{23}{763} a^{23} + \frac{202}{763} a^{22} - \frac{61}{763} a^{21} - \frac{188}{763} a^{20} + \frac{116}{763} a^{19} + \frac{261}{763} a^{18} - \frac{199}{763} a^{17} - \frac{61}{763} a^{16} + \frac{375}{763} a^{15} + \frac{24}{109} a^{14} + \frac{16}{109} a^{13} - \frac{78}{763} a^{12} + \frac{40}{109} a^{11} - \frac{72}{763} a^{10} + \frac{32}{763} a^{9} - \frac{114}{763} a^{8} + \frac{143}{763} a^{7} - \frac{335}{763} a^{6} + \frac{191}{763} a^{5} + \frac{15}{109} a^{4} - \frac{88}{763} a^{3} + \frac{334}{763} a^{2} - \frac{258}{763} a - \frac{29}{109}$, $\frac{1}{763} a^{33} - \frac{9}{763} a^{31} - \frac{1}{763} a^{30} - \frac{48}{763} a^{29} - \frac{10}{763} a^{28} + \frac{36}{763} a^{27} + \frac{51}{763} a^{26} + \frac{9}{763} a^{25} - \frac{20}{109} a^{24} - \frac{265}{763} a^{23} - \frac{47}{109} a^{22} - \frac{21}{109} a^{21} + \frac{128}{763} a^{20} + \frac{242}{763} a^{19} - \frac{160}{763} a^{18} + \frac{339}{763} a^{17} - \frac{20}{763} a^{16} + \frac{209}{763} a^{15} + \frac{92}{763} a^{14} - \frac{164}{763} a^{13} - \frac{100}{763} a^{12} + \frac{367}{763} a^{11} + \frac{25}{763} a^{10} + \frac{204}{763} a^{9} - \frac{11}{109} a^{8} + \frac{71}{763} a^{7} - \frac{270}{763} a^{6} + \frac{1}{109} a^{5} + \frac{9}{109} a^{4} - \frac{159}{763} a^{3} + \frac{268}{763} a^{2} + \frac{326}{763} a + \frac{32}{109}$, $\frac{1}{763} a^{34} + \frac{39}{763} a^{31} - \frac{36}{763} a^{30} - \frac{2}{763} a^{29} + \frac{15}{763} a^{28} + \frac{13}{763} a^{27} + \frac{43}{763} a^{26} + \frac{22}{763} a^{25} - \frac{227}{763} a^{24} - \frac{318}{763} a^{23} + \frac{145}{763} a^{22} + \frac{124}{763} a^{21} + \frac{42}{109} a^{20} - \frac{206}{763} a^{19} + \frac{72}{763} a^{18} - \frac{67}{763} a^{17} - \frac{13}{763} a^{16} - \frac{3}{109} a^{15} + \frac{367}{763} a^{14} - \frac{291}{763} a^{13} + \frac{30}{109} a^{12} + \frac{256}{763} a^{11} - \frac{8}{763} a^{10} - \frac{116}{763} a^{9} - \frac{83}{763} a^{8} - \frac{26}{109} a^{7} + \frac{153}{763} a^{6} - \frac{180}{763} a^{5} - \frac{86}{763} a^{4} + \frac{239}{763} a^{3} + \frac{171}{763} a^{2} - \frac{27}{763} a - \frac{43}{109}$, $\frac{1}{328853} a^{35} - \frac{54}{328853} a^{34} + \frac{3}{46979} a^{33} - \frac{101}{328853} a^{32} + \frac{1431}{328853} a^{31} - \frac{16287}{328853} a^{30} - \frac{184}{46979} a^{29} - \frac{3260}{328853} a^{28} + \frac{21059}{328853} a^{27} - \frac{18447}{328853} a^{26} - \frac{2220}{328853} a^{25} + \frac{46244}{328853} a^{24} + \frac{109366}{328853} a^{23} - \frac{103281}{328853} a^{22} - \frac{101229}{328853} a^{21} + \frac{132499}{328853} a^{20} - \frac{92285}{328853} a^{19} - \frac{15733}{328853} a^{18} - \frac{9921}{328853} a^{17} - \frac{164400}{328853} a^{16} + \frac{103701}{328853} a^{15} - \frac{98922}{328853} a^{14} - \frac{115034}{328853} a^{13} + \frac{38611}{328853} a^{12} + \frac{153709}{328853} a^{11} + \frac{138669}{328853} a^{10} - \frac{96802}{328853} a^{9} + \frac{46656}{328853} a^{8} + \frac{61975}{328853} a^{7} - \frac{73705}{328853} a^{6} - \frac{104486}{328853} a^{5} + \frac{406}{46979} a^{4} - \frac{142838}{328853} a^{3} - \frac{120262}{328853} a^{2} + \frac{10442}{328853} a + \frac{28}{109}$, $\frac{1}{3234216081771871} a^{36} - \frac{2967803432}{3234216081771871} a^{35} - \frac{1660495976359}{3234216081771871} a^{34} + \frac{372638408936}{3234216081771871} a^{33} - \frac{2031303631605}{3234216081771871} a^{32} + \frac{181717726411419}{3234216081771871} a^{31} + \frac{226222393989777}{3234216081771871} a^{30} + \frac{141724639908727}{3234216081771871} a^{29} + \frac{180247228302655}{3234216081771871} a^{28} - \frac{92981588624108}{3234216081771871} a^{27} + \frac{168216374174253}{3234216081771871} a^{26} + \frac{191783098630695}{3234216081771871} a^{25} + \frac{1272181995174999}{3234216081771871} a^{24} + \frac{48208460755932}{462030868824553} a^{23} + \frac{674314191895236}{3234216081771871} a^{22} + \frac{1249078239644331}{3234216081771871} a^{21} + \frac{1440510031284612}{3234216081771871} a^{20} + \frac{457423601433480}{3234216081771871} a^{19} + \frac{1360362009272348}{3234216081771871} a^{18} - \frac{194609463830395}{3234216081771871} a^{17} - \frac{156600550421936}{462030868824553} a^{16} + \frac{1349255855677682}{3234216081771871} a^{15} + \frac{1285739879031745}{3234216081771871} a^{14} + \frac{1003271660389361}{3234216081771871} a^{13} - \frac{531747519205831}{3234216081771871} a^{12} + \frac{468702470401217}{3234216081771871} a^{11} + \frac{1095494229941305}{3234216081771871} a^{10} - \frac{1264003905129547}{3234216081771871} a^{9} - \frac{1352755802727617}{3234216081771871} a^{8} + \frac{74060085524207}{3234216081771871} a^{7} - \frac{1266369133039207}{3234216081771871} a^{6} - \frac{33685255265969}{3234216081771871} a^{5} - \frac{383449834608515}{3234216081771871} a^{4} + \frac{1525989559321508}{3234216081771871} a^{3} - \frac{439867409559791}{3234216081771871} a^{2} - \frac{40547443065235}{462030868824553} a + \frac{28285593213}{153142482209}$, $\frac{1}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{37} - \frac{19040575959427086221558771061702298930653982631235585819694251896427314744854203034431855008847739202959746228003092202802467054776839842446972149656588063978195447960886594103207092}{171186108423082895952054479255386113367757796382818316283375853246021775807214842882165878038379876397602241621321396642871454454679625787875767436191045642692266853055497988383384579098619584525209} a^{36} - \frac{443029062735141840401900895791572517486062391014272219650261302586921620120736315372908972452375211554078299065217021180532708898220871277668122389471307324655943452313523365142738688223233799}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{35} - \frac{3400958058260685578267123568282549104322936445666437491728164912845203555597611669916778980510969056169363167197932365676993572006325344349716748295105776559857672481469525125635168173177626234843}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{34} + \frac{3249100848870853869596174621846698247789245984724622073567208389102218620529258355880722028720866182884763330703179973582770018034473037672542978998118411107076795884450721317760346929134919575000}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{33} + \frac{3623039102113675395391873006188569626195445894026438175398373691991992799543383355931571905262108704716576981282169826805825514686127278855650981734608630163780131007625118093317246735804650834409}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{32} + \frac{529709207658259633712490562738786121088912559300314510042294179836964935622282993127512502489902817624103351933833525955336867672441734297707955106253119877024509253778189745784897903577579008209311}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{31} - \frac{512594077538699957123584170635696550544883311655676937042556045620982985668235693756882893978501472860951338159900026133838320968080775143441605490281124762242846305400659780859817043242519560587783}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{30} + \frac{362809453275171754884666747992397899101833077264280947998662988252637394186924625681627908290476094505440379461680072336765064106123524839765654239401521102306036146194145925369691010146208602272034}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{29} + \frac{149584741783365694904518267987911406605478998635267218938508746727908112602289958599320182359415489703243271438875457936491998252424253517311714449654448822851499666990477073031263205680509546243370}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{28} - \frac{158881854954611891793256558184600956333042993540561177019571488924838814153274132403304683786050462436545813332737181875529905295151877057439344932368760601681589425721053036084456390037228623067896}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{27} - \frac{22825323624514173355267904077611191160912205419523742493992636649264428378516296357607927883796509338485870517186105816839750837764368116566554871625943479349360693253177797814104704017434273450632}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{26} + \frac{292311084690819695673794508888524321372134126468037274285331125175498682181109715531273628246703596313725800525190159042532739774412507692687030051421621455050022810172982083692678900945742049477622}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{25} + \frac{1440610307664698717156446016320877267713088981207567725128028892793441815012596517188536589386677070051264719609337166493796404853880055759007005731878050316801317334924404416339914118206933260944400}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{24} - \frac{3384373844518834818009896744680035915272483910134108899356562324215383466619754482439954826176010616505473631183128317113141790368833215057898092495776777912667772415187036600440408208547953157798100}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{23} - \frac{4072066949703688593216962199207021339598684533096252149751717686966065727810951942423038853960047554250855289094642657402807939759446885501190951454134878799056216726283763335772897482348520701591922}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{22} - \frac{1450668346087443800041961171606840857453187646403903046950533485050344413696602623907107275120440791160195830078226012532848530648133942418367835819392401031724005584896100745518149285142887261540469}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{21} + \frac{1842622618889566753294855258845092354498570763909904003380207871152038836088529201891590748680960334967803812159840827953919331556585135801685410458105145639983326754932692488936565121149492479151080}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{20} + \frac{863483653422083891017094720211750989970645734995286533793531456182207743509559643876473788681589801451714951684314308066074165731817707080065230550411332003332128942562269466416033694285317360617895}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{19} - \frac{2447072147837651630068057491755755746641035345645652610690992970565476204076049688851551190249883957840854977714034358179034437120409744154438133563685779465658964383236632177833165524148449526333717}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{18} + \frac{1377582161961959956336849965626087031966035490935705698482187603091664461224070317986306167029884718275149502931085246315060754374404419489217398836467892001636865114851709106286441726835127995641504}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{17} - \frac{3811653017397993362250096223534830217047901292746171812650571604479979738282276304008028801220611832473684318328555822716077569928875523885797047606527778356245715240046541470677022203508985400667057}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{16} - \frac{2746737945689044071080093382329835416892231325977876824708794427802205501998047659652992617917234700266880461841234294168389128850525285546632645349882651958441731418179779184925241957529275830491035}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{15} + \frac{2281104089475170007237033184422238653890929565881723466195035271068820489624185826205651975083893733589734567738298412490991066662017863924144283610925110058034149084429147449913421761331445400697224}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{14} - \frac{252252707555966355937985867343307898835886986370941792266635687701779637188460540114261788049191935975459689718213090048156611283653820592152345264696093861164095522989605182322940705323861929782114}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{13} + \frac{17147271178820535744306102136849735610712813094016239165810544885951292589440045307652785283758617649196506077700871516043251802998233924346274292618847763344897055992563506449683874650199517060233}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{12} + \frac{38252802820491393208563814145985274803138719720201021688615180444461440973710493635768871508702757521450333794244897133855860002889815863992204996003000147120056627891608315298003668400759534398714}{76955223052578549556428160399210271146973688282184380714545108339954743252784654139689247925510219664977154490318792986244965764030290491797363342874873729283679594492838545236567379594792290291149} a^{11} + \frac{1483642318713040384649160551859220302428667133996662840179279871818756538661945814874950192740134111611782772091558762639298060685803902238565842661312214147488652458220079108985112571787107950762620}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{10} - \frac{150183677694348026585918986391188990650838009562190453289447556767029839707327475984918979589737476545076261147909984931951729052435988049649542534531180151129717954516856085140278879199009115750693}{1198302758961580271664381354787702793574304574679728213983630972722152430650503900175161146268659134783215691349249776500100181182757380515130372053337319498845867971388485918683692053690337091676463} a^{9} + \frac{24275365748894900048453296794673781406053890910847791146445128667277833005634293340720691001305564099120965194941182571850408346994854565735658670852794967002048167203133904659827042549460628515869}{1198302758961580271664381354787702793574304574679728213983630972722152430650503900175161146268659134783215691349249776500100181182757380515130372053337319498845867971388485918683692053690337091676463} a^{8} + \frac{279332786883562319458589039566750564716033085720966432145720324317168701566745867058140688496970215496635984046487985571367146904748606339583656575324488247381302602172244812074206637131045471243419}{1198302758961580271664381354787702793574304574679728213983630972722152430650503900175161146268659134783215691349249776500100181182757380515130372053337319498845867971388485918683692053690337091676463} a^{7} - \frac{1629699483171318380610849990192283356817977797546083400441493236226640795531406561233326385343101058920318537999335625627764769656022463934502052697587718331517783348173143472133928320724071618087288}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{6} + \frac{4064800171213400088928482060277546246541504101840258717405976891581788852699463273549596017128152884161992165509298678819053415152470934579987918477490963091943015588826696973877675512319775542645207}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{5} + \frac{1063087705720931007159865867694939807945235709128252030480889531337039349300461270867475418139068792023482723857854322771064514242403059969357258616150582030242219713757151964958991893475921282496670}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{4} - \frac{1151039572420332807758562828119514889429735219409616168834984256328351161389694069293731157544169739649210935126512024985367019577622356671413605559233469619152510075942039505982735454637981048630072}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{3} - \frac{2294685746041636672867697395183206184126062466343141095657161722408381514440447184963080968079539371398017121845941237932943512053005100406031011859378751538468736500310205125341941135005540181805954}{8388119312731061901650669483513919555020132022758097497885416809055067014553527301226128023880613943482509839444748435500701268279301663605912604373361236491921075799719401430785844375832359641735241} a^{2} - \frac{83110162178314259430002057170482895051084998200891657595431047287124575992067552871140622173291354565229027063560878675754459853129087941810552644944876954788859213662314189731045779438474382768621}{171186108423082895952054479255386113367757796382818316283375853246021775807214842882165878038379876397602241621321396642871454454679625787875767436191045642692266853055497988383384579098619584525209} a + \frac{7741733880108127891449874113874909792097551681552804765830123177196154481892674613527012141098078460591752168432174161715224576066601709564572444483885612968737304459585916499283432884052633664}{397183546225250338635857260453332049577164260748998413650524021452486718810243254947020598696937068207893832068031082698077620544500291851219878042206602419239598266950111341956808768210254256439}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $18$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-191}) \), 19.19.114445997944945591651333831028437092270721.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/7.2.0.1}{2} }^{19}$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
191Data not computed