Properties

Label 38.0.247...624.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-2.473\times 10^{96}$
Root discriminant $344.08$
Ramified primes $2, 229$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 + 217*x^36 + 20630*x^34 + 1139565*x^32 + 40850264*x^30 + 1004488522*x^28 + 17454519530*x^26 + 217550145613*x^24 + 1954462763213*x^22 + 12621446315235*x^20 + 58044125409037*x^18 + 187171442808726*x^16 + 413962321806804*x^14 + 609555286857416*x^12 + 575420256350720*x^10 + 333058518278260*x^8 + 111675903836641*x^6 + 20190511272319*x^4 + 1811471395871*x^2 + 63175314409)
 
gp: K = bnfinit(x^38 + 217*x^36 + 20630*x^34 + 1139565*x^32 + 40850264*x^30 + 1004488522*x^28 + 17454519530*x^26 + 217550145613*x^24 + 1954462763213*x^22 + 12621446315235*x^20 + 58044125409037*x^18 + 187171442808726*x^16 + 413962321806804*x^14 + 609555286857416*x^12 + 575420256350720*x^10 + 333058518278260*x^8 + 111675903836641*x^6 + 20190511272319*x^4 + 1811471395871*x^2 + 63175314409, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![63175314409, 0, 1811471395871, 0, 20190511272319, 0, 111675903836641, 0, 333058518278260, 0, 575420256350720, 0, 609555286857416, 0, 413962321806804, 0, 187171442808726, 0, 58044125409037, 0, 12621446315235, 0, 1954462763213, 0, 217550145613, 0, 17454519530, 0, 1004488522, 0, 40850264, 0, 1139565, 0, 20630, 0, 217, 0, 1]);
 

\( x^{38} + 217 x^{36} + 20630 x^{34} + 1139565 x^{32} + 40850264 x^{30} + 1004488522 x^{28} + 17454519530 x^{26} + 217550145613 x^{24} + 1954462763213 x^{22} + 12621446315235 x^{20} + 58044125409037 x^{18} + 187171442808726 x^{16} + 413962321806804 x^{14} + 609555286857416 x^{12} + 575420256350720 x^{10} + 333058518278260 x^{8} + 111675903836641 x^{6} + 20190511272319 x^{4} + 1811471395871 x^{2} + 63175314409 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 19]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-24\!\cdots\!624\)\(\medspace = -\,2^{38}\cdot 229^{36}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $344.08$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $2, 229$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(916=2^{2}\cdot 229\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{916}(1,·)$, $\chi_{916}(515,·)$, $\chi_{916}(901,·)$, $\chi_{916}(519,·)$, $\chi_{916}(905,·)$, $\chi_{916}(271,·)$, $\chi_{916}(273,·)$, $\chi_{916}(661,·)$, $\chi_{916}(791,·)$, $\chi_{916}(27,·)$, $\chi_{916}(289,·)$, $\chi_{916}(731,·)$, $\chi_{916}(165,·)$, $\chi_{916}(43,·)$, $\chi_{916}(619,·)$, $\chi_{916}(53,·)$, $\chi_{916}(57,·)$, $\chi_{916}(683,·)$, $\chi_{916}(443,·)$, $\chi_{916}(61,·)$, $\chi_{916}(703,·)$, $\chi_{916}(579,·)$, $\chi_{916}(161,·)$, $\chi_{916}(203,·)$, $\chi_{916}(333,·)$, $\chi_{916}(729,·)$, $\chi_{916}(475,·)$, $\chi_{916}(459,·)$, $\chi_{916}(225,·)$, $\chi_{916}(485,·)$, $\chi_{916}(17,·)$, $\chi_{916}(747,·)$, $\chi_{916}(623,·)$, $\chi_{916}(245,·)$, $\chi_{916}(501,·)$, $\chi_{916}(121,·)$, $\chi_{916}(447,·)$, $\chi_{916}(511,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $\frac{1}{89} a^{32} + \frac{14}{89} a^{30} - \frac{20}{89} a^{28} - \frac{3}{89} a^{26} + \frac{40}{89} a^{24} - \frac{17}{89} a^{22} - \frac{33}{89} a^{20} - \frac{36}{89} a^{18} - \frac{7}{89} a^{16} + \frac{43}{89} a^{14} - \frac{40}{89} a^{12} + \frac{37}{89} a^{8} + \frac{7}{89} a^{6} - \frac{14}{89} a^{4} + \frac{33}{89} a^{2} + \frac{25}{89}$, $\frac{1}{89} a^{33} + \frac{14}{89} a^{31} - \frac{20}{89} a^{29} - \frac{3}{89} a^{27} + \frac{40}{89} a^{25} - \frac{17}{89} a^{23} - \frac{33}{89} a^{21} - \frac{36}{89} a^{19} - \frac{7}{89} a^{17} + \frac{43}{89} a^{15} - \frac{40}{89} a^{13} + \frac{37}{89} a^{9} + \frac{7}{89} a^{7} - \frac{14}{89} a^{5} + \frac{33}{89} a^{3} + \frac{25}{89} a$, $\frac{1}{9523} a^{34} - \frac{34}{9523} a^{32} - \frac{1582}{9523} a^{30} + \frac{957}{9523} a^{28} - \frac{3821}{9523} a^{26} - \frac{1225}{9523} a^{24} + \frac{2207}{9523} a^{22} - \frac{3703}{9523} a^{20} - \frac{1483}{9523} a^{18} - \frac{1846}{9523} a^{16} - \frac{2905}{9523} a^{14} - \frac{1373}{9523} a^{12} + \frac{3241}{9523} a^{10} + \frac{2147}{9523} a^{8} - \frac{3020}{9523} a^{6} - \frac{2677}{9523} a^{4} - \frac{2627}{9523} a^{2} - \frac{844}{9523}$, $\frac{1}{9523} a^{35} - \frac{34}{9523} a^{33} - \frac{1582}{9523} a^{31} + \frac{957}{9523} a^{29} - \frac{3821}{9523} a^{27} - \frac{1225}{9523} a^{25} + \frac{2207}{9523} a^{23} - \frac{3703}{9523} a^{21} - \frac{1483}{9523} a^{19} - \frac{1846}{9523} a^{17} - \frac{2905}{9523} a^{15} - \frac{1373}{9523} a^{13} + \frac{3241}{9523} a^{11} + \frac{2147}{9523} a^{9} - \frac{3020}{9523} a^{7} - \frac{2677}{9523} a^{5} - \frac{2627}{9523} a^{3} - \frac{844}{9523} a$, $\frac{1}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{36} - \frac{3868068475263921141203460389732931371733679106422260166808094156390539276095885805254361518565051762992044719098451111}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{34} + \frac{2659200728437086182953273378943701899608791879792656455172270403121671827265967911511910204356078446814078499027425118242}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{32} - \frac{57440973969518231921592645851082153943074111564986557647161891263485858775086336244208644016451415728115019727065471521705}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{30} - \frac{120367403091095460870592600521609974105420700022207735862460771669830565027486974894699661695713869752891268310246253847019}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{28} + \frac{322942217623221884109712341815619677714043140780405966122237197193929696711552953414808814560340701854835516025875289232403}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{26} - \frac{125044530532946829889401971958028427509018946324092844570944747923114456485618456587638463949514360907075346330887273704394}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{24} + \frac{219933369654853657924729968545605491502489329989072817512381068237772039753578984840361946340951132924391547226627014844186}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{22} + \frac{17803592017518709571873278313136944852960981531925127124552595466243692811099850816021165297850273271166782043439488006555}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{20} - \frac{154848820370947793087715708961595417089395346450080798246179632963150271522850023408153459204633753513565976155058714391237}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{18} - \frac{29063625082584620527060715090857756630609690764917775292514474855196955689135838755838793113296676911725993101434238368645}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{16} - \frac{352902540872000629732541679545930983500479400780251272311019095282380098630449724351765005812343209952565095057551513210060}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{14} - \frac{317143941209038012447730351587989387680847739393280337679235361465836386844863516670853886580156471267489826420776413397913}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{12} + \frac{208086004169000562341062631003471639968616853081485845144404348656826957369545838563895368967117712323375050787116823354636}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{10} - \frac{1073385015866141696019863476910864679837718359427561314429949119315009779223112972576511204205274099383445646326303223235}{3594808574471433834023864642150707989177235823206795880661997772218796875406173561419656101500369072924984189875405213851} a^{8} - \frac{129334862998213629038929025164117758387550784946094315778193909053910950910742636212956095888270826373182123629120989973918}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{6} + \frac{238350432068049045835913910662590011336269265171713220418289654473660379457873542984320558663959118761978381980439704498360}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{4} - \frac{137053036586909174773146791720788330399433563920121267772012826570413229013214763524740601597757605355188370679304193069578}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561} a^{2} + \frac{187552711382222419053428941283810128099385827740464855085073685740359708893559913100588595581142044299696018222199367273495}{758504609213472538979035439493799385716396758696633930819681529938166140710702621459547437416577874387171664063710500122561}$, $\frac{1}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{37} - \frac{810599416526472746772096119739755095572952098401950432966026193810917580711786920058210407211304664772255066514569120476450}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{35} - \frac{902721689042776148101329438375203147982432777822035346401491193805456922080481021606163342990026225032248704406811278021281676}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{33} + \frac{74009541945622222454372954602771479678742794157607644323429240197748930483706769323027604364060997272418316997944245952994793110}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{31} + \frac{1462060668326611386911056979725039073886698894635389189299634076366301044407100897735272018991191207320803834978938524428388619}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{29} + \frac{29261781856462017391309920091852940283224397093027017455347534050636217836000697659179939072136810152478126627240417489310554269}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{27} - \frac{31270803807413064642755015809794902626729361775762370465870933985067429889366192882902228595839556407623473480124589265803656476}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{25} - \frac{2727776103236026538687504958163685843321752958458216720582369968248959178980025167631218896399412815893781099353121392982761807}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{23} + \frac{29778058978085426713053766975667529614348242943049463175495733296342025150345595358238361749054584191747145689576799168857579032}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{21} + \frac{89684546510207565853553941740748185005714115972323890280626314958280254334275213062116636131852779729119229961367974916364393545}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{19} - \frac{66929657379397530167558314589317716710844100992262294489250733105411104774165305457583847690398189252913936507903168130821421860}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{17} + \frac{13008161321125871247237065352776446520565848495291933112546161628622509677194610175425626170275250773999682616327434936259271467}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{15} + \frac{46663772598036812056194202379017525460036836115474235032601687530506980963561134044857230699256382227379610535492588500485408489}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{13} - \frac{26299102435491465310354320852192404697504419787376904299803986732599593275832056148435217179351168513231031902070337802885775312}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{11} + \frac{362977864616149543434470904276362050445606179074922088613831227053469257724111803311432820421971141282231880301045873152725811}{903544350767671479880396306210654000955730692455558524216751154053877938242715506142146302143813265372476001172613474285807297} a^{9} - \frac{13391454136255453124475467892931295366834368624115907477227325719025673618476653778895160643081055530517882813337126517847412863}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{7} - \frac{50777509900821789245140516137393044510068431912567321941185378690020475948928370675869972180647009535611431905625522623259874457}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{5} + \frac{89925771320513368448249858541845336491634861090949003100375423933703902734402537717946354118259766416208152148716250359870715426}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a^{3} + \frac{28588351164781742361970078302085823892414901612379483558129709959804244889697043123062669438920895525093317522535918696341862961}{190647858011978682254763620610447994201659176108122848609734493505368244969212971795992869752344598993592436247421443074305339667} a$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $18$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( \frac{46853782422954686141310318886114072746648594869935230304454647360499}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{37} + \frac{10102903940206627179928491667851699239309302493691921290270561643050699}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{35} + \frac{952684298567841396756319184941891007496649998674236069267902472948848044}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{33} + \frac{52077626694473833444426839598140789924246953076424035076396477578113397700}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{31} + \frac{1841825638751966374225628181606262713569014609390387843644122893158878626841}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{29} + \frac{44499536288702500972615850996938924208131307616351973347101771302986618649278}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{27} + \frac{755448454933914896194666511672901134237132831665439804818357365517908583428128}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{25} + \frac{9125009419698612123561015336255739906827775913342632717884246581865869739081106}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{23} + \frac{78513685453925739833129376680572333352840594271757121981676531450371062426645173}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{21} + \frac{476980479607085392817731814354244134590642962517432869708243733732774133947973346}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{19} + \frac{2006030891513535782641029262726037259733931789463555186670389292555658031215174091}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{17} + \frac{5641143728876116641539119594736003119427623316532550911184793708540814780537165006}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{15} + \frac{9963706879387261492643178768554303946771254463496315310544123119913074069316207298}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{13} + \frac{9630868874321405441195591362779458488074860530562077842363133084406978808372540800}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{11} + \frac{2842565466296993744604253636963240295718673754662751284968626529020590984597092349}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{9} - \frac{2628562655427141506201746484443852928566687731499703754027868849551884958762778760}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{7} - \frac{2289640601488793385546579889388712714148240811025535459279385922916734928604242213}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{5} - \frac{653433706385450123329553053749072913703539620819701593952288274114946846345309872}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a^{3} - \frac{105363604973823752251054079132002238121554153292581720077418413643914048783263492}{19052220748576276413799550376002203682511875846412990539296689881526630523168121} a \) (order $4$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-1}) \), 19.19.2999429662895796650415561622892044448017561.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type R $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
229Data not computed