Properties

Label 38.0.239...903.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-2.395\times 10^{96}$
Root discriminant $343.79$
Ramified primes $3, 229$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 + 118*x^36 - 435*x^35 + 6131*x^34 - 35235*x^33 + 222008*x^32 - 1286466*x^31 + 5995377*x^30 - 26936649*x^29 + 103513172*x^28 - 328397860*x^27 + 831795745*x^26 - 841346468*x^25 - 6703672958*x^24 + 58117415411*x^23 - 303731983764*x^22 + 1218275129036*x^21 - 3767355799065*x^20 + 7961894667643*x^19 - 2218796696910*x^18 - 81504663492211*x^17 + 502603614584717*x^16 - 2027971305796085*x^15 + 6509260330141933*x^14 - 17551631941921428*x^13 + 40524896388301467*x^12 - 80503012777500047*x^11 + 136388077021556601*x^10 - 193370722349898757*x^9 + 226309207994588218*x^8 - 220960831577107827*x^7 + 187038155057537519*x^6 - 141423416677434751*x^5 + 93202974532409581*x^4 - 51592635735804780*x^3 + 25439606449082092*x^2 - 11768916674310345*x + 3447647463127489)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - x^37 + 118*x^36 - 435*x^35 + 6131*x^34 - 35235*x^33 + 222008*x^32 - 1286466*x^31 + 5995377*x^30 - 26936649*x^29 + 103513172*x^28 - 328397860*x^27 + 831795745*x^26 - 841346468*x^25 - 6703672958*x^24 + 58117415411*x^23 - 303731983764*x^22 + 1218275129036*x^21 - 3767355799065*x^20 + 7961894667643*x^19 - 2218796696910*x^18 - 81504663492211*x^17 + 502603614584717*x^16 - 2027971305796085*x^15 + 6509260330141933*x^14 - 17551631941921428*x^13 + 40524896388301467*x^12 - 80503012777500047*x^11 + 136388077021556601*x^10 - 193370722349898757*x^9 + 226309207994588218*x^8 - 220960831577107827*x^7 + 187038155057537519*x^6 - 141423416677434751*x^5 + 93202974532409581*x^4 - 51592635735804780*x^3 + 25439606449082092*x^2 - 11768916674310345*x + 3447647463127489, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![3447647463127489, -11768916674310345, 25439606449082092, -51592635735804780, 93202974532409581, -141423416677434751, 187038155057537519, -220960831577107827, 226309207994588218, -193370722349898757, 136388077021556601, -80503012777500047, 40524896388301467, -17551631941921428, 6509260330141933, -2027971305796085, 502603614584717, -81504663492211, -2218796696910, 7961894667643, -3767355799065, 1218275129036, -303731983764, 58117415411, -6703672958, -841346468, 831795745, -328397860, 103513172, -26936649, 5995377, -1286466, 222008, -35235, 6131, -435, 118, -1, 1]);
 

\( x^{38} - x^{37} + 118 x^{36} - 435 x^{35} + 6131 x^{34} - 35235 x^{33} + 222008 x^{32} - 1286466 x^{31} + 5995377 x^{30} - 26936649 x^{29} + 103513172 x^{28} - 328397860 x^{27} + 831795745 x^{26} - 841346468 x^{25} - 6703672958 x^{24} + 58117415411 x^{23} - 303731983764 x^{22} + 1218275129036 x^{21} - 3767355799065 x^{20} + 7961894667643 x^{19} - 2218796696910 x^{18} - 81504663492211 x^{17} + 502603614584717 x^{16} - 2027971305796085 x^{15} + 6509260330141933 x^{14} - 17551631941921428 x^{13} + 40524896388301467 x^{12} - 80503012777500047 x^{11} + 136388077021556601 x^{10} - 193370722349898757 x^{9} + 226309207994588218 x^{8} - 220960831577107827 x^{7} + 187038155057537519 x^{6} - 141423416677434751 x^{5} + 93202974532409581 x^{4} - 51592635735804780 x^{3} + 25439606449082092 x^{2} - 11768916674310345 x + 3447647463127489 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 19]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-23\!\cdots\!903\)\(\medspace = -\,3^{19}\cdot 229^{37}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $343.79$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 229$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(687=3\cdot 229\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{687}(256,·)$, $\chi_{687}(1,·)$, $\chi_{687}(644,·)$, $\chi_{687}(394,·)$, $\chi_{687}(11,·)$, $\chi_{687}(398,·)$, $\chi_{687}(271,·)$, $\chi_{687}(16,·)$, $\chi_{687}(401,·)$, $\chi_{687}(661,·)$, $\chi_{687}(26,·)$, $\chi_{687}(286,·)$, $\chi_{687}(671,·)$, $\chi_{687}(416,·)$, $\chi_{687}(289,·)$, $\chi_{687}(676,·)$, $\chi_{687}(293,·)$, $\chi_{687}(43,·)$, $\chi_{687}(686,·)$, $\chi_{687}(431,·)$, $\chi_{687}(176,·)$, $\chi_{687}(562,·)$, $\chi_{687}(566,·)$, $\chi_{687}(185,·)$, $\chi_{687}(61,·)$, $\chi_{687}(68,·)$, $\chi_{687}(454,·)$, $\chi_{687}(212,·)$, $\chi_{687}(214,·)$, $\chi_{687}(473,·)$, $\chi_{687}(475,·)$, $\chi_{687}(233,·)$, $\chi_{687}(619,·)$, $\chi_{687}(626,·)$, $\chi_{687}(502,·)$, $\chi_{687}(121,·)$, $\chi_{687}(125,·)$, $\chi_{687}(511,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{89} a^{26} - \frac{44}{89} a^{25} - \frac{10}{89} a^{24} - \frac{11}{89} a^{23} + \frac{37}{89} a^{22} - \frac{43}{89} a^{21} + \frac{18}{89} a^{20} + \frac{14}{89} a^{19} - \frac{15}{89} a^{18} - \frac{13}{89} a^{17} + \frac{6}{89} a^{16} + \frac{33}{89} a^{15} - \frac{6}{89} a^{14} + \frac{29}{89} a^{13} - \frac{30}{89} a^{12} - \frac{22}{89} a^{11} - \frac{24}{89} a^{10} + \frac{13}{89} a^{9} - \frac{20}{89} a^{8} + \frac{26}{89} a^{7} + \frac{18}{89} a^{6} - \frac{5}{89} a^{5} - \frac{8}{89} a^{4} - \frac{33}{89} a^{3} - \frac{2}{89} a^{2} + \frac{25}{89} a + \frac{4}{89}$, $\frac{1}{89} a^{27} + \frac{12}{89} a^{25} - \frac{6}{89} a^{24} - \frac{2}{89} a^{23} - \frac{17}{89} a^{22} - \frac{5}{89} a^{21} + \frac{5}{89} a^{20} - \frac{22}{89} a^{19} + \frac{39}{89} a^{18} - \frac{32}{89} a^{17} + \frac{30}{89} a^{16} + \frac{22}{89} a^{15} + \frac{32}{89} a^{14} - \frac{7}{89} a^{12} - \frac{13}{89} a^{11} + \frac{25}{89} a^{10} + \frac{18}{89} a^{9} + \frac{36}{89} a^{8} + \frac{5}{89} a^{7} - \frac{14}{89} a^{6} + \frac{39}{89} a^{5} - \frac{29}{89} a^{4} - \frac{30}{89} a^{3} + \frac{26}{89} a^{2} + \frac{36}{89} a - \frac{2}{89}$, $\frac{1}{89} a^{28} - \frac{12}{89} a^{25} + \frac{29}{89} a^{24} + \frac{26}{89} a^{23} - \frac{4}{89} a^{22} - \frac{13}{89} a^{21} + \frac{29}{89} a^{20} - \frac{40}{89} a^{19} - \frac{30}{89} a^{18} + \frac{8}{89} a^{17} + \frac{39}{89} a^{16} - \frac{8}{89} a^{15} - \frac{17}{89} a^{14} + \frac{1}{89} a^{13} - \frac{9}{89} a^{12} + \frac{22}{89} a^{11} + \frac{39}{89} a^{10} - \frac{31}{89} a^{9} - \frac{22}{89} a^{8} + \frac{30}{89} a^{7} + \frac{1}{89} a^{6} + \frac{31}{89} a^{5} - \frac{23}{89} a^{4} - \frac{23}{89} a^{3} - \frac{29}{89} a^{2} - \frac{35}{89} a + \frac{41}{89}$, $\frac{1}{89} a^{29} + \frac{35}{89} a^{25} - \frac{5}{89} a^{24} + \frac{42}{89} a^{23} - \frac{14}{89} a^{22} - \frac{42}{89} a^{21} - \frac{2}{89} a^{20} - \frac{40}{89} a^{19} + \frac{6}{89} a^{18} - \frac{28}{89} a^{17} - \frac{25}{89} a^{16} + \frac{23}{89} a^{15} + \frac{18}{89} a^{14} - \frac{17}{89} a^{13} + \frac{18}{89} a^{12} + \frac{42}{89} a^{11} + \frac{37}{89} a^{10} - \frac{44}{89} a^{9} - \frac{32}{89} a^{8} - \frac{43}{89} a^{7} - \frac{20}{89} a^{6} + \frac{6}{89} a^{5} - \frac{30}{89} a^{4} + \frac{20}{89} a^{3} + \frac{30}{89} a^{2} - \frac{15}{89} a - \frac{41}{89}$, $\frac{1}{89} a^{30} + \frac{22}{89} a^{25} + \frac{36}{89} a^{24} + \frac{15}{89} a^{23} - \frac{2}{89} a^{22} - \frac{10}{89} a^{21} + \frac{42}{89} a^{20} - \frac{39}{89} a^{19} - \frac{37}{89} a^{18} - \frac{15}{89} a^{17} - \frac{9}{89} a^{16} + \frac{20}{89} a^{15} + \frac{15}{89} a^{14} - \frac{18}{89} a^{13} + \frac{24}{89} a^{12} + \frac{6}{89} a^{11} - \frac{5}{89} a^{10} - \frac{42}{89} a^{9} + \frac{34}{89} a^{8} - \frac{40}{89} a^{7} - \frac{1}{89} a^{6} - \frac{33}{89} a^{5} + \frac{33}{89} a^{4} + \frac{28}{89} a^{3} - \frac{34}{89} a^{2} - \frac{26}{89} a + \frac{38}{89}$, $\frac{1}{9523} a^{31} + \frac{28}{9523} a^{30} - \frac{2}{9523} a^{29} + \frac{20}{9523} a^{28} - \frac{18}{9523} a^{27} + \frac{53}{9523} a^{26} + \frac{364}{9523} a^{25} - \frac{2416}{9523} a^{24} + \frac{2418}{9523} a^{23} + \frac{31}{107} a^{22} - \frac{144}{9523} a^{21} - \frac{748}{9523} a^{20} - \frac{2087}{9523} a^{19} + \frac{18}{9523} a^{18} - \frac{1731}{9523} a^{17} - \frac{4028}{9523} a^{16} - \frac{3187}{9523} a^{15} - \frac{4474}{9523} a^{14} + \frac{1185}{9523} a^{13} + \frac{4553}{9523} a^{12} - \frac{997}{9523} a^{11} - \frac{3785}{9523} a^{10} + \frac{2143}{9523} a^{9} + \frac{4163}{9523} a^{8} + \frac{1883}{9523} a^{7} + \frac{364}{9523} a^{6} + \frac{2420}{9523} a^{5} + \frac{2606}{9523} a^{4} - \frac{1835}{9523} a^{3} + \frac{255}{9523} a^{2} + \frac{2416}{9523} a + \frac{1503}{9523}$, $\frac{1}{9523} a^{32} - \frac{37}{9523} a^{30} - \frac{31}{9523} a^{29} - \frac{43}{9523} a^{28} + \frac{22}{9523} a^{27} - \frac{50}{9523} a^{26} - \frac{2657}{9523} a^{25} + \frac{837}{9523} a^{24} + \frac{2144}{9523} a^{23} - \frac{2282}{9523} a^{22} - \frac{2387}{9523} a^{21} - \frac{3078}{9523} a^{20} + \frac{781}{9523} a^{19} + \frac{2152}{9523} a^{18} - \frac{3924}{9523} a^{17} + \frac{2490}{9523} a^{16} + \frac{2265}{9523} a^{15} - \frac{1622}{9523} a^{14} + \frac{798}{9523} a^{13} - \frac{2756}{9523} a^{12} + \frac{270}{9523} a^{11} - \frac{3478}{9523} a^{10} + \frac{334}{9523} a^{9} + \frac{4624}{9523} a^{8} + \frac{1568}{9523} a^{7} + \frac{1858}{9523} a^{6} + \frac{4610}{9523} a^{5} - \frac{4611}{9523} a^{4} + \frac{810}{9523} a^{3} + \frac{1696}{9523} a^{2} - \frac{19}{9523} a - \frac{996}{9523}$, $\frac{1}{9523} a^{33} + \frac{42}{9523} a^{30} - \frac{10}{9523} a^{29} + \frac{13}{9523} a^{28} + \frac{33}{9523} a^{27} + \frac{53}{9523} a^{26} + \frac{930}{9523} a^{25} - \frac{3788}{9523} a^{24} + \frac{407}{9523} a^{23} + \frac{3824}{9523} a^{22} - \frac{916}{9523} a^{21} + \frac{4135}{9523} a^{20} + \frac{1224}{9523} a^{19} - \frac{2723}{9523} a^{18} - \frac{4098}{9523} a^{17} - \frac{181}{9523} a^{16} - \frac{3446}{9523} a^{15} - \frac{2207}{9523} a^{14} + \frac{1392}{9523} a^{13} + \frac{2774}{9523} a^{12} + \frac{1363}{9523} a^{11} + \frac{28}{107} a^{10} + \frac{4200}{9523} a^{9} - \frac{4473}{9523} a^{8} + \frac{1444}{9523} a^{7} + \frac{102}{9523} a^{6} - \frac{4202}{9523} a^{5} + \frac{4142}{9523} a^{4} + \frac{2816}{9523} a^{3} - \frac{6}{89} a^{2} + \frac{2796}{9523} a + \frac{4465}{9523}$, $\frac{1}{9523} a^{34} - \frac{9}{9523} a^{30} - \frac{10}{9523} a^{29} + \frac{49}{9523} a^{28} - \frac{47}{9523} a^{27} - \frac{12}{9523} a^{26} + \frac{2217}{9523} a^{25} + \frac{15}{9523} a^{24} + \frac{1457}{9523} a^{23} - \frac{1876}{9523} a^{22} - \frac{2015}{9523} a^{21} + \frac{2145}{9523} a^{20} - \frac{1739}{9523} a^{19} - \frac{3570}{9523} a^{18} - \frac{774}{9523} a^{17} + \frac{1806}{9523} a^{16} - \frac{1996}{9523} a^{15} + \frac{3013}{9523} a^{14} + \frac{298}{9523} a^{13} - \frac{3790}{9523} a^{12} + \frac{1031}{9523} a^{11} + \frac{1172}{9523} a^{10} - \frac{2566}{9523} a^{9} + \frac{4218}{9523} a^{8} - \frac{18}{9523} a^{7} - \frac{1621}{9523} a^{6} + \frac{2119}{9523} a^{5} - \frac{3060}{9523} a^{4} + \frac{4203}{9523} a^{3} + \frac{3963}{9523} a^{2} - \frac{2312}{9523} a - \frac{638}{9523}$, $\frac{1}{9523} a^{35} + \frac{28}{9523} a^{30} + \frac{31}{9523} a^{29} + \frac{26}{9523} a^{28} + \frac{40}{9523} a^{27} + \frac{19}{9523} a^{26} - \frac{3664}{9523} a^{25} + \frac{3895}{9523} a^{24} - \frac{4724}{9523} a^{23} - \frac{2757}{9523} a^{22} + \frac{4059}{9523} a^{21} - \frac{981}{9523} a^{20} - \frac{4270}{9523} a^{19} + \frac{1849}{9523} a^{18} - \frac{2538}{9523} a^{17} - \frac{2510}{9523} a^{16} + \frac{1615}{9523} a^{15} + \frac{585}{9523} a^{14} - \frac{294}{9523} a^{13} + \frac{2311}{9523} a^{12} - \frac{2986}{9523} a^{11} + \frac{1247}{9523} a^{10} - \frac{4636}{9523} a^{9} - \frac{1499}{9523} a^{8} - \frac{189}{9523} a^{7} + \frac{1971}{9523} a^{6} - \frac{3429}{9523} a^{5} + \frac{158}{9523} a^{4} - \frac{889}{9523} a^{3} + \frac{2230}{9523} a^{2} - \frac{187}{9523} a - \frac{597}{9523}$, $\frac{1}{387328979} a^{36} - \frac{3037}{387328979} a^{35} - \frac{9097}{387328979} a^{34} + \frac{11995}{387328979} a^{33} - \frac{11849}{387328979} a^{32} + \frac{15927}{387328979} a^{31} + \frac{828699}{387328979} a^{30} + \frac{1518890}{387328979} a^{29} + \frac{1754945}{387328979} a^{28} + \frac{2126013}{387328979} a^{27} - \frac{1922654}{387328979} a^{26} + \frac{2114166}{387328979} a^{25} - \frac{69225020}{387328979} a^{24} - \frac{11519224}{387328979} a^{23} - \frac{29964832}{387328979} a^{22} - \frac{102790022}{387328979} a^{21} + \frac{1262720}{387328979} a^{20} + \frac{41019024}{387328979} a^{19} - \frac{56733827}{387328979} a^{18} + \frac{134062140}{387328979} a^{17} - \frac{118449271}{387328979} a^{16} + \frac{175774992}{387328979} a^{15} + \frac{124204446}{387328979} a^{14} - \frac{100550113}{387328979} a^{13} + \frac{65989375}{387328979} a^{12} + \frac{182783746}{387328979} a^{11} - \frac{153923732}{387328979} a^{10} + \frac{14892614}{387328979} a^{9} - \frac{152247725}{387328979} a^{8} - \frac{41614587}{387328979} a^{7} + \frac{177416809}{387328979} a^{6} + \frac{114001440}{387328979} a^{5} - \frac{7976645}{387328979} a^{4} + \frac{178035798}{387328979} a^{3} + \frac{8110883}{387328979} a^{2} - \frac{40095012}{387328979} a - \frac{10617930}{387328979}$, $\frac{1}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{37} + \frac{65973643911959113343500260098990207692661527099504666459246143029594155916197518937121076328481735039916358355348889839312261410121069716298709876575685939052992202049753347003565578546994102284636865068174234758295930691164366917480024651280512268396076910956040981372356658283637601166}{53652918191605210524406542085344227874745252423366710023009053406732809489227052067755491223773580972854004054740975149201287583990638229271551517585051289464664842039609932132329589642618896792730810359774537078101673547501204179731630346181866240360908922711022180676549881835213220744168203277} a^{36} - \frac{191255368044759244241443170333142535646620080683667618884355982039733588092495315551026221102962394279835559924448891558716372560837577722325694502679273503620109657763378885255873761253758428788395177583834736723517944378945264949088340138443990792979849511584577344136100358826553594134799871}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{35} + \frac{185530765050055788997590429885850907663672764360223914644443197227222152342765057115506379222791124490979165299957899210126656392516623455684655753630081491176421190360011509379155833216456924315242915464096039313417247011802707465036101716233925242165911503346403429267752524942870262744344061}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{34} + \frac{9708847538475818382708205337938582081316495341675776798194208283488485141076837947387583957086678354632432777336834095188233688693537816928523037338272925682596523765087118251676354200508377337445233686064043790534428213052995605603016468251986312215976279066418986935839345290326493759761811}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{33} - \frac{137119406560447149413713461571840228649819713917289511757986442937905008293503829177385523477931788825553570746610136011508610201761401418585328462487801057818256385734143304239591007503923411361633324170119380076380566894238787386339444401902550091784165806729848663738384381676779382628871295}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{32} - \frac{196042309583705370159474455748046816459501731062268627452329221290241934034485645876423516259655221004397745181364625776577273379906464712621019657273527850324654852883458496098674179218108316068631998360295508246984658280568365757578213220961406586514629935291789123390649028061661897592003220}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{31} + \frac{3891180966982100949587413800190167646644535784151869361297416029965898703431477066184000827679451734390840137404864899614998363935165285335334686365511090484971313625822001788412989993862293405932487569039344808781038031858750660269798974060441875993079429520873442538090317014437593964643976426}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{30} + \frac{24783456060394437051125798260297414118740315861670168813286504485601595606744259833561615818346661315194189534893360226272661286827001920433862152100317065162815892398794884110951539724229609875355243241126715601257921848826260923454393958156321862981305732231909995330716695985582073838638909136}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{29} + \frac{1230242014934951548717722080475644918056771564960880497990368387433636150221266857200929796099392186551897420272198774321159308382035364445121974640465071742157667550851430928237481185138315112570211881653152633041773839024463509846150738443940168546478098956399674858079209437628649523253663196}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{28} + \frac{309338445755503283683382844749455186179001938063431037728793679528302791822508300362928568075664544604034391976147540459283029429716890701620737107618821052703834412051666943406741857998305545024022848705340140420633913323849890144861459484032782576836264308821503140739543303642702766478083454}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{27} + \frac{3196488840214399644740823070820213105363024339043072894318586065012374868005233149680957644652819523021864106303104510324078427133474371612968753210385643461312277319978172030737301499844911708268124018695787110280432049518681518753936662280632628075661975972872962002081617012361149611277556136}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{26} - \frac{680650173555644052055647713982473186093678494650561844926673706864466367187681437830874016406299746090175354332635829154457815515470698148553347198901864023898960896743927899623188234400770383281338463756725397048247365422792112078160473965338681934974044369304483257432895555635908116353776031420}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{25} + \frac{513086837529145063148500329316556466445357920308547978643076930659946757091399166500651056000859905079191052306616002008792192371912695801357993600144992931310383885118787827647450405495355781077505925345929726446635709309196206769685695708969152217839120643806609221338910973788137010492386968091}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{24} + \frac{2166259142423714588860060334253260338640584998471319299156398177310451348606749218157674298213342575075122931083828059443452073050449104390414439693649908995378393037463724823739940956429058313780523214665730260388994803535104602470742429293853226656294333721580719332215832817143276612313215815456}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{23} - \frac{188488242512123075551341458552358560006148487270376701627944277817958502235082000508936124176000398442227092790034373238280193057716698092534047389937020246200867251013105911587702489727047508333696755567093051924220387630440363804917923344468771505481502327231032940439774935598472419779357022494}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{22} - \frac{2697469782702504890761797900521251436295280471987527844877628302340191736880210049930550038870944151398103154519913652039437582558631968437818205606881035124991457417758144749008851147281868852773040012338866902874727000001001845349713853023729560093303952819391923195969585923713229565697610708}{44627193636008072305347497622389124120115209959622777495773885543917944341506613402151763728185501930691648232448100825036584999767914041169795187524014623947244588238554055698853583908346559014514412355326484111692046221753338056038458886076505564412344804871784804487971397040504454637672617679} a^{21} + \frac{406654802787908886170329916757188748761737030829822991871929721560837617004818002806214488114143972694128053362113958274206043867891452343172773019143916708458154593761090277053708802226151607280701401564055403549526285642813053082287057681116183627264151592506103069588992636876464967375771670173}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{20} + \frac{449413609779683506324428484834761498150253284924996431059843955700819928128146722961672770508861869745738690752102180878236461372072284304983565233519273762192344824035390750716122077735953643914408853102470172769022809980035581167694413319034162661212336011735433491891419187499836452469091991937}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{19} + \frac{1323571215212247790259612541041011580810037834943708202542822927688893864823861702965380294368633637740500339364834776460770613516906987612285725325523796609341243636368996239451961490654018016339034488994035652223658898249622275924074154282193478977543194986514448340512217735551189610576998765432}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{18} - \frac{1108228295544624252959078426880156165538584298857463385974404829115083427177040310196888256295340060730738131269706686112590833575605167357700328980370957246900061182260807980128254102897783778694311272766370558278843016670599686918531726967177891687909399314383455320421005356393225587598009316105}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{17} + \frac{251808432217648311033930138239723508240945414389646528485783525833331544974831046367364078404338288951354847245571397406448716322924029323166446040579300475578975469100275467835718446152721583389363844036739084060386466448813258685456524608232282296986064119675690632793521439118772980846831094376}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{16} + \frac{750145893039490934217123461781824754867628933534257579058664014787590653877192347151329816556672987291909716315921541242527666080077533568532654897650356082826271584831797725009664160834331566801243156906209045471952174453011310486601360229187515870820941604820110580003828231164570808843379185782}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{15} + \frac{2352140633033792563256745397078190008483282597058323991107844001644570522260135937723691849823148291794340723952816583327626982725574237968293354649777236357555751491984557346744069844789657821865101653410555634994798420901448587515409032372780863971674304431388348650425463183638060288661038028565}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{14} + \frac{111786355145187005455784765404905469256381508357866585390974711084827104846696469158664433411186178430110639213447046581597974456709365294427448360740782072184422044095716966325115256880330838182505200557598965147681498032813208631116243176229225876825495394018572230514613402122157393368441455681}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{13} - \frac{1603204362418810018431231240309107614614541658678371544938135586317596840042139999065523900937276290675341046578926125752144759459925482288667303828854049623030687996076305847516601903602635285907022415411869426329273554055343929744002855164725256744282093549930358014227409893626591850851327530880}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{12} + \frac{136770565176240863159725712185937476142102116579898326248104302430700467130129608403778242683923305721779900035750841350511905410568112862503579793774500677736766571764936076362856679348234888299729033208562698080036141051346163044771751929334750313135269073689863909479861294731578051342927791683}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{11} - \frac{2136182050786493229082090688735417085741783578385527977762786474786293659337204839540316731567106543331403067906879937173963512527722620840238354943816170090765259726980092382032123833841123077226328039358430191289067533102738391379530327069654003649629448003894088956143241129736615729420774201534}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{10} - \frac{1294903528074532344758408273173795896578705431831841170168019648089644122101941818970191476357194211809225132676096280549412948689832970925161920515771827941929211538543292559142391683089725144625121148082368524901385295797565458772553597431161291595485115027050158676274633256550540728104785489679}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{9} - \frac{2222855878708672936898444953512520775658994374133311808596034995056675785565607416637727964113580569849273746267287986692949033616392951301559224614637523404339143521203380287107809461779320424863663806397338725426447250011747381426731091984182012924702444707507077155351332275734239194734198923856}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{8} - \frac{363122009962609333129419817111365076487337035759188442415819396937015250931608446477820695046156625815414794501001975389652808575795812759489035704740616633986038717803036624966346246812628904312441944746693611119382019421884299504860056460105450019333194165386908308048367320192517043158161437264}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{7} + \frac{1956704008719550903669007615918493763226845725188307309064424973206464578155071465185491063554525751175250436675819580083440624070829631102329285594417169200566041278495604779546718442606236613961482444373405800122249643483636987909541142713266622562435846843950226457058233369672823370145465106637}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{6} - \frac{1407205405621586474896421055289977538959662258718491614862419216209740291127742600591351795499825534053993879940239155315005310329479850071557141501237852109054521628888167425737163410527419405344144516979328718695047335937902535335663839987663213621693302882571775139847998005191531827022516887164}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{5} + \frac{545520040109522115500839414550001609650816164194529840102281036151807008668794491953839747600556792734207473000280080582742945652610690547593294944147718675096689521367184587394268263383999328274520975208549822325797431906378353515267703380687654607864095920374456747512935503371902183244318557822}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{4} - \frac{1622688932863438235687707680258102742242843652778509964291994300387737434977380447559995938591727111563999793609402199324732732983073411887693325829398802308976305550378516582589536182215860482439671462489303836034284063386783193560165019860499623778587623721872853694878275087734412245758256508259}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{3} - \frac{2161115102562609739205883807942219938395930983998089706156055886135018913729898145213438346795268838255849643170950843938922659996358225957605693585759497759425670809906236354522061049790997626001256160811823051256925555451980069102282639897376773847580809287506857902729972280794942562437926446935}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a^{2} - \frac{1982895767574665909338680612767258378378805238655713215155799239239533347322590176663086723005478239966827936013935466318955117995997963195892182530416689536061980837221757544824731374634859546423100326382848560429545610412491249711796647172315929324050399891831331484005041539394820893931466223490}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653} a - \frac{1879065918343325824752588971411732439131420933692261339329163454390946982849253363774124092774696921318200229315473346146232227057017539121713488625562100359069968561015125265333666769342800854723663390929947447628238496478902294482706205885766578809460159716579376913562945644069130029510397306202}{4775109719052863736672182245595636280852327465679637192047805753199220044541207634030238718915848706584006360871946788278914594975166802405168085065069564762355170941525283959777333478193081814553042122019933799951048945727607171996115100810186095392120894121280974080212939483333976646230970091653}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $18$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-687}) \), 19.19.2999429662895796650415561622892044448017561.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $19^{2}$ R $38$ $38$ $38$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
229Data not computed