Properties

Label 38.0.223...259.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-2.234\times 10^{93}$
Root discriminant $286.12$
Ramified prime $19$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - 209*x^35 + 190*x^34 + 1292*x^33 + 11818*x^32 - 17860*x^31 - 124165*x^30 + 92378*x^29 - 315590*x^28 + 461434*x^27 + 19355661*x^26 + 42336256*x^25 - 170675214*x^24 - 2184021538*x^23 + 4055379323*x^22 + 20028771815*x^21 - 37281886089*x^20 - 119372774190*x^19 + 206222273796*x^18 + 638565435242*x^17 - 1510749792677*x^16 - 1246896758667*x^15 + 6615154002166*x^14 + 1497131351993*x^13 + 895955914113*x^12 - 6914578071407*x^11 + 51068057863185*x^10 + 80278712330599*x^9 - 10972845112675*x^8 + 78343381011053*x^7 + 257531197354487*x^6 + 248070995565179*x^5 + 172436840306532*x^4 + 97988777901672*x^3 + 65070800259551*x^2 + 24610290628033*x + 5454582062023)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - 209*x^35 + 190*x^34 + 1292*x^33 + 11818*x^32 - 17860*x^31 - 124165*x^30 + 92378*x^29 - 315590*x^28 + 461434*x^27 + 19355661*x^26 + 42336256*x^25 - 170675214*x^24 - 2184021538*x^23 + 4055379323*x^22 + 20028771815*x^21 - 37281886089*x^20 - 119372774190*x^19 + 206222273796*x^18 + 638565435242*x^17 - 1510749792677*x^16 - 1246896758667*x^15 + 6615154002166*x^14 + 1497131351993*x^13 + 895955914113*x^12 - 6914578071407*x^11 + 51068057863185*x^10 + 80278712330599*x^9 - 10972845112675*x^8 + 78343381011053*x^7 + 257531197354487*x^6 + 248070995565179*x^5 + 172436840306532*x^4 + 97988777901672*x^3 + 65070800259551*x^2 + 24610290628033*x + 5454582062023, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![5454582062023, 24610290628033, 65070800259551, 97988777901672, 172436840306532, 248070995565179, 257531197354487, 78343381011053, -10972845112675, 80278712330599, 51068057863185, -6914578071407, 895955914113, 1497131351993, 6615154002166, -1246896758667, -1510749792677, 638565435242, 206222273796, -119372774190, -37281886089, 20028771815, 4055379323, -2184021538, -170675214, 42336256, 19355661, 461434, -315590, 92378, -124165, -17860, 11818, 1292, 190, -209, 0, 0, 1]);
 

\( x^{38} - 209 x^{35} + 190 x^{34} + 1292 x^{33} + 11818 x^{32} - 17860 x^{31} - 124165 x^{30} + 92378 x^{29} - 315590 x^{28} + 461434 x^{27} + 19355661 x^{26} + 42336256 x^{25} - 170675214 x^{24} - 2184021538 x^{23} + 4055379323 x^{22} + 20028771815 x^{21} - 37281886089 x^{20} - 119372774190 x^{19} + 206222273796 x^{18} + 638565435242 x^{17} - 1510749792677 x^{16} - 1246896758667 x^{15} + 6615154002166 x^{14} + 1497131351993 x^{13} + 895955914113 x^{12} - 6914578071407 x^{11} + 51068057863185 x^{10} + 80278712330599 x^{9} - 10972845112675 x^{8} + 78343381011053 x^{7} + 257531197354487 x^{6} + 248070995565179 x^{5} + 172436840306532 x^{4} + 97988777901672 x^{3} + 65070800259551 x^{2} + 24610290628033 x + 5454582062023 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 19]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-22\!\cdots\!259\)\(\medspace = -\,19^{73}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $286.12$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $19$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(361=19^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{361}(1,·)$, $\chi_{361}(132,·)$, $\chi_{361}(134,·)$, $\chi_{361}(265,·)$, $\chi_{361}(267,·)$, $\chi_{361}(18,·)$, $\chi_{361}(20,·)$, $\chi_{361}(151,·)$, $\chi_{361}(153,·)$, $\chi_{361}(284,·)$, $\chi_{361}(286,·)$, $\chi_{361}(37,·)$, $\chi_{361}(39,·)$, $\chi_{361}(170,·)$, $\chi_{361}(172,·)$, $\chi_{361}(303,·)$, $\chi_{361}(305,·)$, $\chi_{361}(56,·)$, $\chi_{361}(58,·)$, $\chi_{361}(189,·)$, $\chi_{361}(191,·)$, $\chi_{361}(322,·)$, $\chi_{361}(324,·)$, $\chi_{361}(75,·)$, $\chi_{361}(77,·)$, $\chi_{361}(208,·)$, $\chi_{361}(210,·)$, $\chi_{361}(341,·)$, $\chi_{361}(343,·)$, $\chi_{361}(94,·)$, $\chi_{361}(96,·)$, $\chi_{361}(227,·)$, $\chi_{361}(229,·)$, $\chi_{361}(360,·)$, $\chi_{361}(113,·)$, $\chi_{361}(115,·)$, $\chi_{361}(246,·)$, $\chi_{361}(248,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{1123845388013} a^{36} + \frac{81759373168}{1123845388013} a^{35} + \frac{218586334288}{1123845388013} a^{34} - \frac{457169512039}{1123845388013} a^{33} - \frac{182026071013}{1123845388013} a^{32} - \frac{537349195266}{1123845388013} a^{31} - \frac{301263568141}{1123845388013} a^{30} - \frac{348191628129}{1123845388013} a^{29} - \frac{431806770831}{1123845388013} a^{28} - \frac{57842106166}{1123845388013} a^{27} + \frac{236862564189}{1123845388013} a^{26} - \frac{77373154571}{1123845388013} a^{25} - \frac{229247270794}{1123845388013} a^{24} + \frac{158637833776}{1123845388013} a^{23} - \frac{104028860513}{1123845388013} a^{22} - \frac{420125099130}{1123845388013} a^{21} - \frac{439884885972}{1123845388013} a^{20} - \frac{445027056863}{1123845388013} a^{19} - \frac{271202263346}{1123845388013} a^{18} - \frac{394809801340}{1123845388013} a^{17} - \frac{93952947123}{1123845388013} a^{16} - \frac{94967709896}{1123845388013} a^{15} + \frac{437454545342}{1123845388013} a^{14} - \frac{58950789284}{1123845388013} a^{13} + \frac{308122839381}{1123845388013} a^{12} + \frac{464732530922}{1123845388013} a^{11} - \frac{98374494772}{1123845388013} a^{10} - \frac{363358723340}{1123845388013} a^{9} + \frac{50081863872}{1123845388013} a^{8} + \frac{408500857090}{1123845388013} a^{7} - \frac{165018752863}{1123845388013} a^{6} + \frac{140800715710}{1123845388013} a^{5} - \frac{251153399305}{1123845388013} a^{4} - \frac{485051111513}{1123845388013} a^{3} - \frac{393710228217}{1123845388013} a^{2} - \frac{469715890334}{1123845388013} a + \frac{499511957736}{1123845388013}$, $\frac{1}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{37} + \frac{6980744307970598241322535136336449624434676570485011494648546233569377703145147921396843482240582639402068460108245244591779559070714626477856841257172768892970109204937160170829558456689623853423425043478063081114381953131910153782998234559081612953151228739468713392652718521908201548064047}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{36} - \frac{2075629793974383790216088029786284557550223284380183097369223698613896694205923717822964163148011984086535209193895271058656378843928834550908171384155942352736325753584077684224532786138169160765289302375828866107047845722276510924900255272824639230637805257723591019982751338063732996239228100535556578}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{35} - \frac{2276567675826627655831230523240098891582911927932064670894503298266577700777985467291532622903231947891552219917965525202666990474406182306527431088496730706665026257486441349857600103668330900953647407525555206206980145997687143399678251872783685964646908548285731569628428929890369247108219117146135442}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{34} + \frac{5616363979376713844635008817705888444961156497920171741769247745577396511603461368452352014807382620946442055168171077116622777073580694922596116688197058165713681916887346611407626680963543450472121168885385665826819577010546410474027622945850829243283363589443506694485041620630857702987401612288216195}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{33} - \frac{3305823096178392065374969738842345849817791889152870822569626469378132778037048896757032526679959723572039758950036967860554083995469057915835801714153796975946285194732346375387199302570426972386961059879155755693733426968370187072659905132368771252586466970476837980936438871930297692931719665483412241}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{32} + \frac{8448327372227741856685159784672102452309606644727902025627853694457228499545960587871253303136632314179776073005541544504210193200308374234098272815710515942044615868320611381851768742872492804563036431370467092731143282208912807170056587263059602941716847441524486901682804270343179475178660688068139156}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{31} + \frac{8764175651040082903177949038065986464571111918074008749341680981315474945768405956454872210617103402614015285013888207290746810293766217635887990266248572938267117602601667430173897038305442120268980663025359986807190730016757409569313261283656272914870872976403653830261840916229353462988362584286944441}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{30} - \frac{4218081428144710413289616728299809731805089852625832095310556355364705924338026901714796458126395817012259626462765175226709235790934354393926169455262882513575738100736138177423623806769426166743041612182613309804035202510468970346568210878876840160297706559149087474257426648358151949372735332304486505}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{29} - \frac{4263967542506952974677125767789392244276350076554073656644701423922695361887026484122210112577734346900237013068562060662694634211236174225445530091239973303146115127890336582238693703520512616116877382775008423288646724963158354113936153079807664264772971488510431190715864983946740473251010014906821746}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{28} - \frac{5046160417786253455285238011805724224302087160866749231785140035133073156657635904483920447161983925284900881056822720135124766874302658956753572336487208562149850416603806231112125403833324836542617883228785776296887593154380226348752971879884985155577902006890512123891043818104228439000639658678114421}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{27} + \frac{2589067089194997333376433398550298193254126498999982344478790702200702158784431117048573078274949550194446673100087785463115422332475193716125523063297715933304605570488960024942719320134337527542901323442977842880773175024300305837190361835087308377369832755418220540371715827000126390140337169195037578}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{26} - \frac{8219647246992399001647208317007571917464177997624478969790992600813162677121010672105062961537258996033143843763501019904181610907039927397808747193685129501090564554214856233625916833608656386111839876843737503667087305735773680877894334544703648539166093866742000357509700118798298063744830884798972380}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{25} - \frac{9525987120325129175597543842893744387846720252081108566318917127480771687041636146943965535512517208219336307077403764907308215122257592854752088224207615615954757264841582233588377792442972594171252380555277489414873816286611162167546830070611873307003725507603578741145119726565306180556090389005145096}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{24} + \frac{9082882847751198044999068905428295955515703161455515159391569039268942478200289306053610834612686977219327176292262595919916389451376799034266507705600121955866368994688784872698080163177578289976791873545429034253821833106071351633758083047601425305677111708488927164084589531560601809401375449461015694}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{23} - \frac{3032082467251973594868348293218149452963364174172818143898759248416647802681448244378502658765575322613658682389538015739653664789132941393028947174259241728635005335063889023640066326751325809782829802787472240578285900917393482100295279683310308324681460344331687866616548221582605873451732444472484348}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{22} - \frac{1290437015412785101615305960307396292795948854344329727282160587389313031514798661080797833584727046615326293972253984501982237837625173821627803526778822770480743211062938816113418277178261898098532218117267317278242659992915847748180221426563426592024810855193313340239437277853300897483025143490261197}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{21} + \frac{2504770396699202528918424226254753610508631634061270655723340799658386680328044021770058550471849155047837860688466773930282200551690134435382344067379024860576606236919924489807580125565517328784200443188610039506295108066502948455554417480655956179868739089800226647094797884475566296638494200477681482}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{20} + \frac{2580658855915235294589768196183199348712935791496139468482194599746676904553778452869624121027545804730146732814057316464188349083700286334649556361535016610741855134966264479192907633255560072309196838415519208293828548145349194683616402672131261665794822773971415074389994672688819674049884891780334198}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{19} - \frac{871801792205066140933700018511705864470291643671361255652204949062336785117093048587764704525163625526571928612103180477135708058733898401168681296318377633331736344074122532805838823060868701913850464237023973970195890103078197602805267738263864337162766657241518530175709148602695649175930697230721462}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{18} + \frac{5643610586226564594970383666717026469138779083009559492541522997747425043302899935669728568865880831399259339927179539224712938606724785699439569729647120028667467704991183174364325276851197745748782544119864643519285828716856680012532758701808768041641201854700333555146000243341662954538113443905023621}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{17} + \frac{3627445846146090839778886066859247320090946961205162342802997649849543499176612202818186877974846639277722240376383116388151115753687080963939745655293694275197229419906482572616604618656638346540331157901139702900508160903920242400501196603282873458877127594243196896977628975381975164969997419034376564}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{16} - \frac{6339791872490179719404618152562218687533059512727877293880755224703729970658603029658647470960544479913745695724737728612198355175183173417087914176974437219589837627876144784180245816992190685152442746363455842946987541690827136629077059213065761992953081130274530899347467318991415726418749972969305125}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{15} - \frac{4258989768170832641156373594600817504759947791912234623564561646084304559116969264619493603337100393103831721869261772631506626092044754484095763255929849133382515864597129007419657558835519052037146742240295182152519256401477483779779084036548669535994139854384388538047256430029908280624431372300227985}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{14} + \frac{8103966141043759280892155401571276901202888580784254494952742156095210435118136750681001034704357293244754414353673933499652684989152580361230842247161591230094391403454874454796111111480916227888799846183969356135352158273626619388228140035059792306973038309572993077549591992145332912412177164466412867}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{13} + \frac{3003059998015436006498517196691603181210490775782460090182987844122773518698118620490427093389507936110798152170455688960348906893804080434583185839181957352516396410670941905369160391145206558318062770252616424770420132415228683595635693046730278834587243763692350590962248035982245237653361926062605264}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{12} - \frac{4979946110892541629385368542065389199677972372845229559466216644729200123916619302342206391964722412093042280392863091137581942172550926978619134176167050317457668267898624508575209677776673070071153582047942759926260259048882521623292391315626382704215630402259913813412155943620522935457498174158115281}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{11} + \frac{5411410656265559567997145167684898703548611329481421453515029587631158124795034395497366017386591543110762153271757189483831464244030567367628394257072407685958993943877120453242245260065410101554156069468521440406435003938497736995888452204044588493637416800603316048852987863341550177420690020705813574}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{10} + \frac{143016757244554364336224873480146970651961695817841576484763736937748131097337108686757686439501532599950518433128815461357428630108607413271480340397719173339823515045562325540233723598346208552497122499009777766060122764403128217418941452667297590130852933734931358266530919580185058190473974321045766}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{9} - \frac{3031669894426458276889134620601614109580293188177091410474084519628481502287314808674333680962606072392301797843406998452441759768675901510675134384717606403071297505715067016847083553280906054948418268467029436827608523512138846380386190279535011050203497328887026905988250377477835657253740244971142309}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{8} - \frac{1438686863028555361408411214706410406319327430843685289857208052095203685698675357031115241293789642431981469325769185508835052569534966756634344653037210184913250923640515633106863556249369755215004707135491354041432140680692348024746405300265004783990610152086527450269424975481514300441254323515340045}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{7} + \frac{7514147631197445190006648434170455576760567800566301728778841213345350831840785735796626792518310507182872488732606353162011096940126384098094575267150491000150704216131897046156406617122462514785414438172184093120877287868698722410481483099110487072275232230602494738600899910330007298268303552852392419}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{6} - \frac{8888412786845076795678536427699620741721466169473898284209726914416013826184642475390690433243446760295912921118544894047130991825487794747800377296948218914918785962358174725077814046314455114266502876718678837459271859672817886489654157961148497957013603274722813210952265505830944575846076194542721777}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{5} + \frac{3550494863749665632583874954357061455669191970429070082706522926504790651590172225751972935744667731964210736984691017574263823555738393700536519254566572177359996962088126587568309847361669671062539699296078812959178984402614524009122329547786975317591086789790911717829560623322037720403610181986430841}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{4} + \frac{8120730622026003079278133341353157738453157361113982763638725407534012225116749712127758026759732146870549491812164776958992742100247760165483621782891828512715947795491509283101401460253524724940177897988184008627933651570379638589160306794505931271436425231237276432510177783599612204060648566905139304}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{3} + \frac{9152565768525728735074346857425720260087211130702106880733431686068744369124070772863069374494073814779298973540468252663633081771552038171505160332599695697593899309175663877612560308349907222865914764366490077630173265956058521505788755985535762953057199333877520581650066702848435771796756188689640560}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a^{2} - \frac{1818010895200631516012308967477093073794882950367306804181728696588691519458100478721144503586142291228253229229080123849452284122624686231682276921645206473408101277322002646858682839108927782929629295416042560283324153177588074580460314021773316882430395444470773490988438906801685677590747836471283081}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029} a + \frac{4504424666579462574050856946433398524176220864519844039581764271134495685418666195651870006322009735683398163804288624862020158587856320618070932597856416697968596729802110019380144822742144579725220083785344673398923111713747607599049235961024772920357147265557271344398543827952633525058183611183460202}{19226184181680030642935672250845535028356257501551364330244498835349247650258351923742964214137455359518243431427147876987853315933182747835087488233331753532725715780915598550282821882840300193521438246416340410730056547198524798323609112779937875442585397727502926547085507892148556214620769530272751029}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $18$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-19}) \), 19.19.10842505080063916320800450434338728415281531281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ R $19^{2}$ $38$ $38$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
19Data not computed