↑

Properties

Label 38.0.16942169463...2992.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-\,2^{57}\cdot 19^{72}$
Root discriminant $748.94$
Ramified primes $2, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![391269434132253227219, 207600614196418504062, 169357167185673333495, 17480877413656313060, 46758207820852858725, 14808781213729150014, 1268339370593460529, -1873842236788886072, 5125749038813794988, 3318553597434145946, -877922600330127862, -1213081286172833338, 169889908746117158, 410584246763815678, 8981124468818326, -93536887230591734, -8092991352668802, 16600188595793984, 2151786701480777, -2157118911607202, -338007964348740, 208280775345998, 37802280147544, -14489790513992, -3018350895246, 708938225002, 169686384783, -23987190756, -6680231090, 548687586, 183049762, -8099624, -3426479, 69730, 41933, -266, -304, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - 304*x^36 - 266*x^35 + 41933*x^34 + 69730*x^33 - 3426479*x^32 - 8099624*x^31 + 183049762*x^30 + 548687586*x^29 - 6680231090*x^28 - 23987190756*x^27 + 169686384783*x^26 + 708938225002*x^25 - 3018350895246*x^24 - 14489790513992*x^23 + 37802280147544*x^22 + 208280775345998*x^21 - 338007964348740*x^20 - 2157118911607202*x^19 + 2151786701480777*x^18 + 16600188595793984*x^17 - 8092991352668802*x^16 - 93536887230591734*x^15 + 8981124468818326*x^14 + 410584246763815678*x^13 + 169889908746117158*x^12 - 1213081286172833338*x^11 - 877922600330127862*x^10 + 3318553597434145946*x^9 + 5125749038813794988*x^8 - 1873842236788886072*x^7 + 1268339370593460529*x^6 + 14808781213729150014*x^5 + 46758207820852858725*x^4 + 17480877413656313060*x^3 + 169357167185673333495*x^2 + 207600614196418504062*x + 391269434132253227219)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - 304*x^36 - 266*x^35 + 41933*x^34 + 69730*x^33 - 3426479*x^32 - 8099624*x^31 + 183049762*x^30 + 548687586*x^29 - 6680231090*x^28 - 23987190756*x^27 + 169686384783*x^26 + 708938225002*x^25 - 3018350895246*x^24 - 14489790513992*x^23 + 37802280147544*x^22 + 208280775345998*x^21 - 338007964348740*x^20 - 2157118911607202*x^19 + 2151786701480777*x^18 + 16600188595793984*x^17 - 8092991352668802*x^16 - 93536887230591734*x^15 + 8981124468818326*x^14 + 410584246763815678*x^13 + 169889908746117158*x^12 - 1213081286172833338*x^11 - 877922600330127862*x^10 + 3318553597434145946*x^9 + 5125749038813794988*x^8 - 1873842236788886072*x^7 + 1268339370593460529*x^6 + 14808781213729150014*x^5 + 46758207820852858725*x^4 + 17480877413656313060*x^3 + 169357167185673333495*x^2 + 207600614196418504062*x + 391269434132253227219, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{38} - 304 x^{36} - 266 x^{35} + 41933 x^{34} + 69730 x^{33} - 3426479 x^{32} - 8099624 x^{31} + 183049762 x^{30} + 548687586 x^{29} - 6680231090 x^{28} - 23987190756 x^{27} + 169686384783 x^{26} + 708938225002 x^{25} - 3018350895246 x^{24} - 14489790513992 x^{23} + 37802280147544 x^{22} + 208280775345998 x^{21} - 338007964348740 x^{20} - 2157118911607202 x^{19} + 2151786701480777 x^{18} + 16600188595793984 x^{17} - 8092991352668802 x^{16} - 93536887230591734 x^{15} + 8981124468818326 x^{14} + 410584246763815678 x^{13} + 169889908746117158 x^{12} - 1213081286172833338 x^{11} - 877922600330127862 x^{10} + 3318553597434145946 x^{9} + 5125749038813794988 x^{8} - 1873842236788886072 x^{7} + 1268339370593460529 x^{6} + 14808781213729150014 x^{5} + 46758207820852858725 x^{4} + 17480877413656313060 x^{3} + 169357167185673333495 x^{2} + 207600614196418504062 x + 391269434132253227219 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $38$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 19]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-16942169463783688515274712980459055357466629107345696737681001440761438215014074919167299388239251805665492992=-\,2^{57}\cdot 19^{72}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $748.94$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(2888=2^{3}\cdot 19^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{2888}(2433,·)$, $\chi_{2888}(1027,·)$, $\chi_{2888}(1,·)$, $\chi_{2888}(1673,·)$, $\chi_{2888}(2699,·)$, $\chi_{2888}(115,·)$, $\chi_{2888}(913,·)$, $\chi_{2888}(1939,·)$, $\chi_{2888}(2585,·)$, $\chi_{2888}(153,·)$, $\chi_{2888}(1179,·)$, $\chi_{2888}(1825,·)$, $\chi_{2888}(2851,·)$, $\chi_{2888}(305,·)$, $\chi_{2888}(1065,·)$, $\chi_{2888}(2091,·)$, $\chi_{2888}(2737,·)$, $\chi_{2888}(1331,·)$, $\chi_{2888}(1977,·)$, $\chi_{2888}(571,·)$, $\chi_{2888}(1217,·)$, $\chi_{2888}(2243,·)$, $\chi_{2888}(457,·)$, $\chi_{2888}(1483,·)$, $\chi_{2888}(2129,·)$, $\chi_{2888}(419,·)$, $\chi_{2888}(723,·)$, $\chi_{2888}(267,·)$, $\chi_{2888}(1369,·)$, $\chi_{2888}(2395,·)$, $\chi_{2888}(609,·)$, $\chi_{2888}(1635,·)$, $\chi_{2888}(2281,·)$, $\chi_{2888}(875,·)$, $\chi_{2888}(1521,·)$, $\chi_{2888}(2547,·)$, $\chi_{2888}(761,·)$, $\chi_{2888}(1787,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $\frac{1}{307} a^{34} + \frac{3}{307} a^{33} + \frac{90}{307} a^{32} + \frac{64}{307} a^{31} + \frac{114}{307} a^{30} + \frac{144}{307} a^{29} + \frac{15}{307} a^{28} + \frac{109}{307} a^{27} + \frac{136}{307} a^{26} + \frac{29}{307} a^{25} - \frac{147}{307} a^{24} - \frac{18}{307} a^{23} + \frac{34}{307} a^{22} + \frac{114}{307} a^{21} - \frac{115}{307} a^{20} + \frac{58}{307} a^{19} - \frac{86}{307} a^{18} - \frac{108}{307} a^{17} + \frac{73}{307} a^{16} + \frac{65}{307} a^{15} - \frac{98}{307} a^{14} + \frac{133}{307} a^{13} + \frac{42}{307} a^{12} + \frac{65}{307} a^{11} - \frac{6}{307} a^{10} + \frac{123}{307} a^{9} - \frac{151}{307} a^{8} + \frac{6}{307} a^{7} + \frac{59}{307} a^{6} + \frac{45}{307} a^{5} - \frac{93}{307} a^{4} + \frac{144}{307} a^{3} + \frac{26}{307} a^{2} - \frac{146}{307} a + \frac{102}{307}$, $\frac{1}{307} a^{35} + \frac{81}{307} a^{33} + \frac{101}{307} a^{32} - \frac{78}{307} a^{31} + \frac{109}{307} a^{30} - \frac{110}{307} a^{29} + \frac{64}{307} a^{28} + \frac{116}{307} a^{27} - \frac{72}{307} a^{26} + \frac{73}{307} a^{25} + \frac{116}{307} a^{24} + \frac{88}{307} a^{23} + \frac{12}{307} a^{22} - \frac{150}{307} a^{21} + \frac{96}{307} a^{20} + \frac{47}{307} a^{19} + \frac{150}{307} a^{18} + \frac{90}{307} a^{17} + \frac{153}{307} a^{16} + \frac{14}{307} a^{15} + \frac{120}{307} a^{14} - \frac{50}{307} a^{13} - \frac{61}{307} a^{12} + \frac{106}{307} a^{11} + \frac{141}{307} a^{10} + \frac{94}{307} a^{9} + \frac{152}{307} a^{8} + \frac{41}{307} a^{7} - \frac{132}{307} a^{6} + \frac{79}{307} a^{5} + \frac{116}{307} a^{4} - \frac{99}{307} a^{3} + \frac{83}{307} a^{2} - \frac{74}{307} a + \frac{1}{307}$, $\frac{1}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{36} + \frac{72885845421402007039083401996569524157300072098973279873516443488040741}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{35} - \frac{89043033500203835234898754644446333224495709007575152166708116517804242}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{34} + \frac{248146283093800688925813630048194354746857082127434434754298403960048101149}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{33} - \frac{243647224310659948111110988510232514367931457964421016155199303641643291998}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{32} - \frac{66124941875665515043431350526098820922164638945095546579105622775169036966}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{31} + \frac{340139639933974184093085891836125402918550725339948450264018621329545268256}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{30} + \frac{289454377114276462833650952915410518852659128863701534756211731648063631247}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{29} - \frac{220084517831155645841409985682032569644743497732029713921356028161173418738}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{28} + \frac{413993743120906345724090076133243109659104814630592081979773775542153776364}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{27} + \frac{367251492212689458497269846499252550060801494069964610759859360177640951593}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{26} - \frac{41182636363164431546833828390576773371143992947036976433235444934087695294}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{25} + \frac{441007859644529814316881396943373503234721636022705114364998508714566147658}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{24} + \frac{291729548658970832695211987608712740995224697162854302846251561137315088060}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{23} - \frac{243569556201240550085780984011104317728567850765023057485783466401412809044}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{22} + \frac{13050819609810386615816985672068118179280635113661866205381737231343278127}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{21} + \frac{100420710598838884249192051207694900111615563569522590990958922747013633026}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{20} - \frac{112135338298863701611014109820573119899877359862708319342100835426841996358}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{19} + \frac{425646533843548523318467649194554359377937782588581986970567237356986537992}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{18} - \frac{299712044777104662869783096453514383715536880538095474732532489434881232363}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{17} + \frac{54526684212707214264691243011623979954606977074727212221463813020611970061}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{16} - \frac{109305389717078708140570548438482873824575788606443914388303132464142300441}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{15} + \frac{49590057808180484489326682291803477895406433223078721496981676648554121677}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{14} + \frac{40314871237350957848529204041027571639152843118011653164982511488194132430}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{13} - \frac{49852314771575850731458482098573252814706562703809005709081201386334945159}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{12} - \frac{410451264984630760874303477176712602041280958170303889994932541852843180310}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{11} + \frac{423895762611099828697012406150696961315572743063027594517834854652897656809}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{10} - \frac{225156745006139810991399630965241818043951680676591623085867249547267365807}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{9} - \frac{336154231337254157444883390934443992409858570388944439641053680281379970088}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{8} + \frac{65155128709270271025441281159087773925986251872259376607969500927826443372}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{7} - \frac{380088342952034509297024317205970775838728092286907799198302858984048634366}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{6} + \frac{288941730480713614922838708601308466766153023822688792273831311546377632943}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{5} + \frac{162959081330045897029032426532636437332461148812712479703456963140265243980}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{4} + \frac{257990601572028889386488308958792826256091370159052778716830037856567900177}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{3} + \frac{163203488792471143437504713610745591525999401218195998258997146344255997672}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a^{2} + \frac{294962504104664754164499841280320892937311875010421610678268252401877159795}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289} a + \frac{173658290764227437870045804644222808812531158303783051852513022473821227085}{887050307246332877087962564975981866958830166303191353650070211476081622289}$, $\frac{1}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{37} + \frac{13789735430909962131801363669155122801600057383455915968163883930001643325121785112483229482679376490793485632692842031495287456813801185518153098298723197324989694909707312381144058480610607139675226771706728004320968002537037552528595814684825377}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{36} + \frac{170176568315225430666184617318850632549410833933932713551424564633497536055820902785129055403065352003379760525518857823041114435633465377419588662622201830545310914310642592151179737037449802687531525337082100310498886706322640195988045146706183215098882818520171821689184658154898497538368398144116749797907255467524066}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{35} - \frac{91906752741048444651350039156207204594220268299728262407282199751121773845139362459377439825633691980775468918309199314674306762621993474154775024810882835460725977964989347456323107008216463452967994972287456118533225193310971083495447951121222534343758908727013861909269728512966270582157762261968495507187621066019222}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{34} - \frac{6509152988407379389348458522001679881564288574333981349918501960869964235453164830362647257372003401101740554531678986116018434301438982507866139822265460197656171176357361584569698454886543799752315990342830559260555724087709433706792689193119299501838106261945700005313146889518225851172347662815127934467473633597705851}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{33} + \frac{14208866849006453868878424456611279419289249677955699432494025575999982394679038928638572519682335808312742327624625450512688248847960360301274734222791566722922133735393012183795561029369563080924992988934593386170721788097406764288351704445565074024153217870295170447477925455331700652682727100150964873492896684490423287}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{32} + \frac{45298203272927458838549112130138617519638653253968511433225132641024238470106619109564626564390195797051521703380893860334256243861758617059720457015971898191772136556626536349537253066613434405636849004969108557996817998281860775528242144098725492564091197020164386943021706587155977869318414647020640854090960679005830740}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{31} - \frac{17894812439743767980652499656952902538055055891887443299194686877472970338383713815727899761566778922777744928699419355601966159591828336888995871596650718977202403456573935919990233253053531441643916356827979366677870506446187944213380895088792215818267970009245207475842464015137193485427948656954558234790973309433156347}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{30} - \frac{4871347928625991453411574131403031112378273817663977906091037128316192364912652820593845986123854867267665847939345451588621725165876038168581161926966468719933871230257232610768522839398456254433118175835636463505545594651826035463749047944111610744894143407946482651905192507985128153995613422842792904747497969902890781}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{29} + \frac{31950293262070077537635755084829559582413667656150038174604137639641413283598667861191324702838059658810181832046634879162552922939557240595288092416554974277621281700744000497884898201142236100788296894190799616946489801923450471597036338786538424609195435548722860197662498024056344507832008895861352880523683764963147600}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{28} - \frac{17176568852833380170186573494137073800288955540833745685704808036431294439748421052269749924244985846075950865260202656179947271142784883987669473703248491792493908711933234335040889203408696791749343374757566695782398088108441104021904515151583636672208103744275578691319911839069578039613609894743849303936381686129802549}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{27} + \frac{64294699400561300370803206311103456595334550443342063947992484906724411428134443030669168433559987429873793246590266745185949454690010533842787695414390490603419323661054565793588186959634933894408270209317945808643076552745848307409734994183956228227589487313905701119040282140084380141231723127920689294426832421309116011}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{26} - \frac{30552875997008712683437288628191226627589804243246890966462989158213644489457002330638235514904244500746358534655475576211401885721347861139109063301724423636800359198118193735463438772990009340675221524709633160800725791845083235024326756177570253934641655069506910602954244484248553292415640658775664663066196066643939494}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{25} + \frac{21956462246520094653267095236095579582179286995640534337598208364606846399608039992846776894758049288419221521227809107602316268997723466602626247308884097879753570018291459168543945008503654753782871222296670744780021914280504645939166777359468710560509081776937409925093131814755313748616950445616553593782652614342653121}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{24} - \frac{67362236300635508245727461232826783821572077302414849906934762895741889567321913957005589814642521540217884163639313540344411889935938289112511642033447065224902181465450143639482954024698628553372719297555106108555219400369135354663434506704928116274576446046918727643620388964551113345426318193989576667484742446112711863}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{23} - \frac{28978051150975901296768747306123137253671004111259579475027541865231353181124392519097267800272099057242769709529635499751693397178691229001081358953127709212387887975228560947675998312246623527760829361927062807341597760147093665748199461332109719042970879910499839531009576423874994548321414573793738759567884084082427245}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{22} - \frac{58355947184115560547296489324944824474009423442273434028303499672358028495672386073434174949376023161564982270010678590721809412871134171966033604016814034347925086588153419737491718404360681372148105590631187898029254550104370245444040019165856888158759829852663516203509556123803389954292690679188523513572846112659224687}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{21} + \frac{55838714449271059836948573497258095437398638029599524378176337179002223230616759141647302777235562745874936879090438148803575838662650994958858369685630050727101107444993014621751887977329214647807275474846352839125430476877747558780049179443601848206958550206668965054721254752054891626534083162319537973739195928818754216}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{20} + \frac{25120094731781112164734941198762126656000507065449264899592411868780265875987011205306162550969131923700594496844290653048140181877891980698697089835983757635044699295715936766220296938722531475238748532367784816978280617689642687620713465647319190968501089083277676006813828567987765033508197359544223204480416673169490710}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{19} - \frac{59101876543302905611967953923431252752555257829743060194663681561083709839007242386193070552356133643013677170250366527350725060140580419901310227880298671717093066619554312606930587454368578501970965818407934495555255404670037463911816428308700785308050732103431999521411385152807381244091958319729012767243258033988131883}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{18} - \frac{60953582639495271061681840818972443483918054789865699713165882048926044769024546092599649359192966202260455278493744483397247550449225392325841025046154007730216719697537195344170683089835468809488525106454523113132325562968283481572284083735691629210626178677784710365150785848084233840115771895918536474773924915036451681}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{17} + \frac{6564561350646588507113039842457341114661265928557887856919569571453193775660696852478161467262956827282848519836127058908344841287108245331940213485854449015774597056024545474005065236313613184155375236140289539011889947785469205751749628961977748823971392889493538502037447447814016671849699021335965845887774437509912248}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{16} - \frac{52864455139458860769649672274865572210821108688648864010628398009515023142636825021592415717702369364887399344386111055221439205176109802831940614032345735756162046680463666690212854593360236320203471429020872557369359959593419453256662419952414836280834581970267060356460067510397407165990485803759560770644234103128866525}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{15} + \frac{60348887471988523919958164567448440161921075763677339115414287797742442631316544493804609675795635020465208873814809216329948187000350327970588124197889356007015358432787527661865164646960778363589373044637989179933320507851152934957809864547596315431920405662972373142611815316204679491976189040809602915770080136051594491}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{14} + \frac{47832919416855524728749191695860547628044158023088976308707387604738677143510521680552872483035496871574896586268781146696295803979828381853101991224375822863613572740460386905826952141344368340307141721500258966527783464673120516279318510078321016140387750635162775205630811255957076687782985966838288494854936800638638947}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{13} + \frac{10411862132156021535988468170379094025816332767617952944779110904383229529380913709662584381299642607418506904951017543912919663768942005540515490259050293281305412637529062424140651498197037706665124803822521743955007619667446834548772714139461414390227703197616964492979845147294050722315991477393163056579858933111930826}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{12} - \frac{19428333309886910541580286877969049382913056846186023438374607899015247101228049229686319620590259931636258268560672297500812056672786064201804793932240487669039736903031494067717455731251292602409576998102227117308728284687955696287584399801465644175793324697667988730663954076564590331518284450643137228632642860187429501}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{11} - \frac{18876454327217090327644717737874360916540886319488642477664623831002286884025420302052783956848925255646089636305953992218589351482375443040960410679950076099803246502213564875350678135038024825813054474714170750993134046440783398542199063039030555221993575433376398379225554754388253041353817818686945657726768693384544183}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{10} + \frac{45211050889017359877409987927828538779263915799913027855073541825224812217192878994029974377192880319058831283795465434641090982830170201195459754418912773008396347897366944994194933134080179427630771085571860815686082863911915014197639579822454405203618451008108953141420052872899552570302532532492857358633154108096299559}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{9} + \frac{67165935022089575043467800851238492720104234221507061710520708939620805837211846963401693641258135772300223467214454837051302234406925583151189780940412694360962319360097065990158995221752484184102530438701099211227174851901275079558435669963333485960753443576921340587240336414317691326846263469133720220859178036126932607}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{8} + \frac{38841319502686091123618150498655545925529448159685530586761412801928944604701570204805017397021626300843312503199141425891721792676677228337954646743831047712690503482423449062836425556383361040625638482706844340257566351501360896743697467399408859912524506724496204160696500460847717746944450323207568208706305826547560072}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{7} + \frac{109459916659608318723022245042369140361309641242980339921422068147981382899774649704597679216996073923721884051861069809812542045950376944048776846930037802020644416412139269436676079825266716553727023276391604876196407940853100067178493012860351892790569857439100959687988712899076896127732690724308396094274403284646758}{362064438073003402926037342191675646778706842097279029219976440244569342069277699185915080334292421029823968191633390808968818031659227678735112527827297603797882763195930140998146249961730023914300848388879766928075843989362397568476856392870583369755903391508622194056865196100573082321421035159655097335190104814870013} a^{6} + \frac{32528322421516542435368016695230814320259047587642812249176246068201849808674723164154009224355726717539649604089567623249100453508009248831201316316474028605681017025387711644728621347793739957174823854284615625933976625746625387752306854756805466690989499604455912348306241375163416153548555254537379555544290191253140142}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{5} - \frac{19344559696880279078882983077885758084435574838108018172992800021894337133890735106216074641200379749670748442422872206358397969968942892721712076416623532165912632242122690678875907282629751850050364633570908885083520624974953316281106111721333268807280213050991620780640440505852292234743975191277176986285012062505111667}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{4} + \frac{69832562646220550081401320669638764123817389643048237698418635514246767920405590361697671684026185749119653808567573436664986756456511492502020127578687829761699207750854027009061345921118592126603106486908625560755729114787415641347934727730147292490076409734155969761022306761714774352893060128788313021887178508394978188}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{3} + \frac{5920812575383129029699965735574523581858870466758860317936183074064154757821251138088433260844247823859491448663363844498407767939338758926861474732972535213740443954104024328094057802392240317518117604666995497506418952832872521374284118129316549566881123730849561127173725286786074582449624228871083908434766495252870458}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a^{2} + \frac{7758454627360929512378540681680766728212047285870754348572832804261325211888433676758206315312115357400952614398755542165984025644725400192568728114830372788232290489057782140627924092766737599756232267091503426415545767403822449660601901165843435464489033665913220356781803397615615406259429998338468688089872119653097346}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057} a - \frac{37229624873444246991356240488350133280230773113448789820591447639829219066740997088870880082284320738171980960473346010681412829993499332652937870253286374958268532271868835631860207283372848270943314458393601349791084509808644669845202857419645173809254151801181104562279923943808362465449693434132714865916655928921797172}{140843066410398323738228526112561826596916961575841542366570835255137474064949024983320966250039751780601523626545389024688870214315439567027958773324818767877376394883216824848278891235112979302663030023274229335021503311861972654137497136826656930835046419296854033488120561283122929023032782677105832863388950772984435057}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $18$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-2}) \), 19.19.10842505080063916320800450434338728415281531281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ R $38$ $38$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
19Data not computed