LMFDB - Number field 38.0.15223168714879313546692095257379448420591016496978036941227483116202289492875331751113046747.1

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 + 91*x^36 - 24*x^35 + 5113*x^34 - 166*x^33 + 173717*x^32 + 27194*x^31 + 4239797*x^30 + 1325317*x^29 + 74027272*x^28 + 40999344*x^27 + 983326589*x^26 + 743120555*x^25 + 10059741791*x^24 + 9563481092*x^23 + 81070213075*x^22 + 87547591746*x^21 + 511882174610*x^20 + 601337789804*x^19 + 2539884758984*x^18 + 3042827513863*x^17 + 9675050790560*x^16 + 11543123809355*x^15 + 28268796522511*x^14 + 31776668507252*x^13 + 60600608962241*x^12 + 63076854532617*x^11 + 95016529831875*x^10 + 85766481354393*x^9 + 98440678914956*x^8 + 74640315704381*x^7 + 67352150639088*x^6 + 40110464366364*x^5 + 23287561297245*x^4 + 7350839404496*x^3 + 1810153278801*x^2 + 182761486103*x + 13841287201)

gp: K = bnfinit(y^38 - y^37 + 91*y^36 - 24*y^35 + 5113*y^34 - 166*y^33 + 173717*y^32 + 27194*y^31 + 4239797*y^30 + 1325317*y^29 + 74027272*y^28 + 40999344*y^27 + 983326589*y^26 + 743120555*y^25 + 10059741791*y^24 + 9563481092*y^23 + 81070213075*y^22 + 87547591746*y^21 + 511882174610*y^20 + 601337789804*y^19 + 2539884758984*y^18 + 3042827513863*y^17 + 9675050790560*y^16 + 11543123809355*y^15 + 28268796522511*y^14 + 31776668507252*y^13 + 60600608962241*y^12 + 63076854532617*y^11 + 95016529831875*y^10 + 85766481354393*y^9 + 98440678914956*y^8 + 74640315704381*y^7 + 67352150639088*y^6 + 40110464366364*y^5 + 23287561297245*y^4 + 7350839404496*y^3 + 1810153278801*y^2 + 182761486103*y + 13841287201, 1)

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^38 - x^37 + 91*x^36 - 24*x^35 + 5113*x^34 - 166*x^33 + 173717*x^32 + 27194*x^31 + 4239797*x^30 + 1325317*x^29 + 74027272*x^28 + 40999344*x^27 + 983326589*x^26 + 743120555*x^25 + 10059741791*x^24 + 9563481092*x^23 + 81070213075*x^22 + 87547591746*x^21 + 511882174610*x^20 + 601337789804*x^19 + 2539884758984*x^18 + 3042827513863*x^17 + 9675050790560*x^16 + 11543123809355*x^15 + 28268796522511*x^14 + 31776668507252*x^13 + 60600608962241*x^12 + 63076854532617*x^11 + 95016529831875*x^10 + 85766481354393*x^9 + 98440678914956*x^8 + 74640315704381*x^7 + 67352150639088*x^6 + 40110464366364*x^5 + 23287561297245*x^4 + 7350839404496*x^3 + 1810153278801*x^2 + 182761486103*x + 13841287201);

oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^38 - x^37 + 91*x^36 - 24*x^35 + 5113*x^34 - 166*x^33 + 173717*x^32 + 27194*x^31 + 4239797*x^30 + 1325317*x^29 + 74027272*x^28 + 40999344*x^27 + 983326589*x^26 + 743120555*x^25 + 10059741791*x^24 + 9563481092*x^23 + 81070213075*x^22 + 87547591746*x^21 + 511882174610*x^20 + 601337789804*x^19 + 2539884758984*x^18 + 3042827513863*x^17 + 9675050790560*x^16 + 11543123809355*x^15 + 28268796522511*x^14 + 31776668507252*x^13 + 60600608962241*x^12 + 63076854532617*x^11 + 95016529831875*x^10 + 85766481354393*x^9 + 98440678914956*x^8 + 74640315704381*x^7 + 67352150639088*x^6 + 40110464366364*x^5 + 23287561297245*x^4 + 7350839404496*x^3 + 1810153278801*x^2 + 182761486103*x + 13841287201)

$ x^{38} - x^{37} + 91 x^{36} - 24 x^{35} + 5113 x^{34} - 166 x^{33} + 173717 x^{32} + 27194 x^{31} + \cdots + 13841287201 $ x^38 - x^37 + 91*x^36 - 24*x^35 + 5113*x^34 - 166*x^33 + 173717*x^32 + 27194*x^31 + 4239797*x^30 + 1325317*x^29 + 74027272*x^28 + 40999344*x^27 + 983326589*x^26 + 743120555*x^25 + 10059741791*x^24 + 9563481092*x^23 + 81070213075*x^22 + 87547591746*x^21 + 511882174610*x^20 + 601337789804*x^19 + 2539884758984*x^18 + 3042827513863*x^17 + 9675050790560*x^16 + 11543123809355*x^15 + 28268796522511*x^14 + 31776668507252*x^13 + 60600608962241*x^12 + 63076854532617*x^11 + 95016529831875*x^10 + 85766481354393*x^9 + 98440678914956*x^8 + 74640315704381*x^7 + 67352150639088*x^6 + 40110464366364*x^5 + 23287561297245*x^4 + 7350839404496*x^3 + 1810153278801*x^2 + 182761486103*x + 13841287201

sage: K.defining_polynomial()

gp: K.pol

magma: DefiningPolynomial(K);

oscar: defining_polynomial(K)

Invariants

Degree:	$38$	sage: K.degree() gp: poldegree(K.pol) magma: Degree(K); oscar: degree(K)
Signature:	$[0, 19]$	sage: K.signature() gp: K.sign magma: Signature(K); oscar: signature(K)
Discriminant:	$-152\!\cdots\!747$ -15223168714879313546692095257379448420591016496978036941227483116202289492875331751113046747 $\medspace = -\,3^{19}\cdot 191^{36}$	sage: K.disc() gp: K.disc magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK); oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
Root discriminant:	$250.92$	sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree()) gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol)) magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K)); oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
Galois root discriminant:	$3^{1/2}191^{18/19}\approx 250.92250057347005$
Ramified primes:	$3$, $191$ 3, 191	sage: K.disc().support() gp: factor(abs(K.disc))[,1]~ magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK)); oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
Discriminant root field:	$\Q(\sqrt{-3}) $
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:	$38$	sage: K.automorphisms() magma: Automorphisms(K); oscar: automorphisms(K)
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:	$573=3\cdot 191$
Dirichlet character group:	$\lbrace$$\chi_{573}(1,·)$, $\chi_{573}(260,·)$, $\chi_{573}(5,·)$, $\chi_{573}(518,·)$, $\chi_{573}(136,·)$, $\chi_{573}(535,·)$, $\chi_{573}(532,·)$, $\chi_{573}(407,·)$, $\chi_{573}(536,·)$, $\chi_{573}(388,·)$, $\chi_{573}(154,·)$, $\chi_{573}(412,·)$, $\chi_{573}(542,·)$, $\chi_{573}(32,·)$, $\chi_{573}(418,·)$, $\chi_{573}(298,·)$, $\chi_{573}(562,·)$, $\chi_{573}(559,·)$, $\chi_{573}(434,·)$, $\chi_{573}(52,·)$, $\chi_{573}(316,·)$, $\chi_{573}(160,·)$, $\chi_{573}(451,·)$, $\chi_{573}(196,·)$, $\chi_{573}(197,·)$, $\chi_{573}(341,·)$, $\chi_{573}(344,·)$, $\chi_{573}(221,·)$, $\chi_{573}(223,·)$, $\chi_{573}(227,·)$, $\chi_{573}(107,·)$, $\chi_{573}(368,·)$, $\chi_{573}(371,·)$, $\chi_{573}(25,·)$, $\chi_{573}(503,·)$, $\chi_{573}(121,·)$, $\chi_{573}(125,·)$, $\chi_{573}(383,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:	unavailable$^{262144}$

Integral basis (with respect to field generator $a$)

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $\frac{1}{7}a^{7}-\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{7}a^{8}-\frac{1}{7}a^{2}$, $\frac{1}{7}a^{9}-\frac{1}{7}a^{3}$, $\frac{1}{7}a^{10}-\frac{1}{7}a^{4}$, $\frac{1}{7}a^{11}-\frac{1}{7}a^{5}$, $\frac{1}{7}a^{12}-\frac{1}{7}a^{6}$, $\frac{1}{7}a^{13}-\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{49}a^{14}-\frac{2}{49}a^{8}+\frac{1}{49}a^{2}$, $\frac{1}{49}a^{15}-\frac{2}{49}a^{9}+\frac{1}{49}a^{3}$, $\frac{1}{49}a^{16}-\frac{2}{49}a^{10}+\frac{1}{49}a^{4}$, $\frac{1}{49}a^{17}-\frac{2}{49}a^{11}+\frac{1}{49}a^{5}$, $\frac{1}{49}a^{18}-\frac{2}{49}a^{12}+\frac{1}{49}a^{6}$, $\frac{1}{49}a^{19}-\frac{2}{49}a^{13}+\frac{1}{49}a^{7}$, $\frac{1}{49}a^{20}-\frac{3}{49}a^{8}+\frac{2}{49}a^{2}$, $\frac{1}{343}a^{21}-\frac{3}{343}a^{15}+\frac{3}{343}a^{9}-\frac{1}{343}a^{3}$, $\frac{1}{343}a^{22}-\frac{3}{343}a^{16}+\frac{3}{343}a^{10}-\frac{1}{343}a^{4}$, $\frac{1}{343}a^{23}-\frac{3}{343}a^{17}+\frac{3}{343}a^{11}-\frac{1}{343}a^{5}$, $\frac{1}{343}a^{24}-\frac{3}{343}a^{18}+\frac{3}{343}a^{12}-\frac{1}{343}a^{6}$, $\frac{1}{343}a^{25}-\frac{3}{343}a^{19}+\frac{3}{343}a^{13}-\frac{1}{343}a^{7}$, $\frac{1}{2401}a^{26}-\frac{2}{2401}a^{25}+\frac{1}{2401}a^{23}-\frac{2}{2401}a^{22}-\frac{17}{2401}a^{20}-\frac{15}{2401}a^{19}-\frac{17}{2401}a^{17}-\frac{15}{2401}a^{16}-\frac{18}{2401}a^{14}+\frac{134}{2401}a^{13}-\frac{2}{49}a^{12}-\frac{165}{2401}a^{11}+\frac{134}{2401}a^{10}-\frac{2}{49}a^{9}-\frac{113}{2401}a^{8}-\frac{117}{2401}a^{7}-\frac{5}{49}a^{6}-\frac{1191}{2401}a^{5}-\frac{803}{2401}a^{4}-\frac{5}{49}a^{3}+\frac{24}{49}a^{2}-\frac{2}{7}a$, $\frac{1}{2401}a^{27}+\frac{3}{2401}a^{25}+\frac{1}{2401}a^{24}+\frac{3}{2401}a^{22}-\frac{3}{2401}a^{21}-\frac{2}{2401}a^{19}-\frac{17}{2401}a^{18}-\frac{2}{2401}a^{16}-\frac{11}{2401}a^{15}+\frac{93}{2401}a^{13}-\frac{18}{2401}a^{12}+\frac{1}{49}a^{11}+\frac{93}{2401}a^{10}-\frac{22}{2401}a^{9}+\frac{1}{49}a^{8}-\frac{94}{2401}a^{7}+\frac{377}{2401}a^{6}-\frac{22}{49}a^{5}+\frac{592}{2401}a^{4}+\frac{54}{343}a^{3}-\frac{22}{49}a^{2}+\frac{2}{7}a$, $\frac{1}{2401}a^{28}+\frac{3}{2401}a^{22}-\frac{15}{2401}a^{16}+\frac{17}{2401}a^{10}-\frac{6}{2401}a^{4}$, $\frac{1}{16807}a^{29}+\frac{3}{16807}a^{28}+\frac{1}{16807}a^{27}-\frac{4}{16807}a^{25}+\frac{15}{16807}a^{24}+\frac{3}{16807}a^{23}-\frac{2}{16807}a^{22}-\frac{17}{16807}a^{21}-\frac{1}{343}a^{20}-\frac{79}{16807}a^{19}-\frac{10}{16807}a^{18}+\frac{132}{16807}a^{17}-\frac{54}{16807}a^{16}-\frac{116}{16807}a^{15}+\frac{3}{343}a^{14}-\frac{761}{16807}a^{13}+\frac{612}{16807}a^{12}-\frac{571}{16807}a^{11}+\frac{200}{16807}a^{10}+\frac{916}{16807}a^{9}+\frac{12}{343}a^{8}-\frac{871}{16807}a^{7}-\frac{7477}{16807}a^{6}+\frac{6609}{16807}a^{5}+\frac{158}{343}a^{4}-\frac{9}{343}a^{3}+\frac{23}{49}a^{2}+\frac{2}{7}a$, $\frac{1}{16807}a^{30}-\frac{1}{16807}a^{28}-\frac{3}{16807}a^{27}+\frac{3}{16807}a^{26}+\frac{13}{16807}a^{25}+\frac{1}{2401}a^{24}-\frac{4}{16807}a^{23}-\frac{4}{16807}a^{22}+\frac{2}{16807}a^{21}-\frac{51}{16807}a^{20}+\frac{122}{16807}a^{19}+\frac{15}{16807}a^{18}+\frac{117}{16807}a^{17}-\frac{164}{16807}a^{16}+\frac{152}{16807}a^{15}+\frac{44}{16807}a^{14}-\frac{969}{16807}a^{13}-\frac{545}{16807}a^{12}-\frac{614}{16807}a^{11}-\frac{1028}{16807}a^{10}+\frac{241}{16807}a^{9}+\frac{1033}{16807}a^{8}-\frac{881}{16807}a^{7}+\frac{8068}{16807}a^{6}-\frac{2929}{16807}a^{5}+\frac{955}{2401}a^{4}+\frac{97}{343}a^{3}+\frac{1}{49}a^{2}-\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{117649}a^{31}-\frac{1}{117649}a^{30}+\frac{3}{117649}a^{29}-\frac{11}{117649}a^{28}-\frac{11}{117649}a^{27}+\frac{24}{117649}a^{26}+\frac{34}{117649}a^{25}-\frac{24}{16807}a^{24}-\frac{72}{117649}a^{23}+\frac{89}{117649}a^{22}-\frac{107}{117649}a^{21}+\frac{768}{117649}a^{20}-\frac{3}{117649}a^{19}+\frac{664}{117649}a^{18}-\frac{726}{117649}a^{17}-\frac{1174}{117649}a^{16}-\frac{194}{117649}a^{15}-\frac{1020}{117649}a^{14}+\frac{488}{117649}a^{13}-\frac{5720}{117649}a^{12}+\frac{529}{117649}a^{11}-\frac{1060}{117649}a^{10}+\frac{998}{117649}a^{9}+\frac{228}{117649}a^{8}-\frac{520}{117649}a^{7}+\frac{38839}{117649}a^{6}-\frac{4421}{16807}a^{5}+\frac{191}{2401}a^{4}+\frac{103}{343}a^{3}+\frac{13}{49}a^{2}-\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{117649}a^{32}+\frac{2}{117649}a^{30}-\frac{1}{117649}a^{29}-\frac{1}{117649}a^{28}+\frac{20}{117649}a^{27}+\frac{9}{117649}a^{26}-\frac{64}{117649}a^{25}-\frac{135}{117649}a^{24}-\frac{11}{117649}a^{23}+\frac{66}{117649}a^{22}-\frac{144}{117649}a^{21}-\frac{1146}{117649}a^{20}+\frac{843}{117649}a^{19}-\frac{132}{117649}a^{18}-\frac{143}{117649}a^{17}-\frac{1011}{117649}a^{16}+\frac{32}{117649}a^{15}-\frac{146}{16807}a^{14}-\frac{318}{117649}a^{13}+\frac{3895}{117649}a^{12}+\frac{3557}{117649}a^{11}-\frac{5228}{117649}a^{10}-\frac{6425}{117649}a^{9}+\frac{4559}{117649}a^{8}+\frac{4341}{117649}a^{7}-\frac{32442}{117649}a^{6}-\frac{4945}{16807}a^{5}+\frac{60}{343}a^{4}-\frac{72}{343}a^{3}+\frac{9}{49}a^{2}-\frac{3}{7}a$, $\frac{1}{89766187}a^{33}+\frac{117}{89766187}a^{32}-\frac{75}{89766187}a^{31}-\frac{1762}{89766187}a^{30}-\frac{692}{89766187}a^{29}+\frac{14337}{89766187}a^{28}-\frac{1221}{89766187}a^{27}-\frac{14131}{89766187}a^{26}+\frac{14492}{12823741}a^{25}+\frac{16285}{12823741}a^{24}+\frac{113943}{89766187}a^{23}+\frac{108434}{89766187}a^{22}-\frac{123659}{89766187}a^{21}-\frac{161232}{89766187}a^{20}-\frac{875530}{89766187}a^{19}-\frac{691185}{89766187}a^{18}-\frac{97689}{89766187}a^{17}-\frac{553095}{89766187}a^{16}-\frac{574085}{89766187}a^{15}+\frac{229786}{89766187}a^{14}+\frac{944729}{89766187}a^{13}-\frac{6066877}{89766187}a^{12}-\frac{5574549}{89766187}a^{11}+\frac{2371851}{89766187}a^{10}+\frac{567753}{12823741}a^{9}-\frac{2407520}{89766187}a^{8}-\frac{2924515}{89766187}a^{7}-\frac{33501292}{89766187}a^{6}-\frac{395726}{12823741}a^{5}+\frac{824345}{1831963}a^{4}-\frac{31312}{261709}a^{3}-\frac{6900}{37387}a^{2}+\frac{507}{5341}a-\frac{54}{109}$, $\frac{1}{89766187}a^{34}-\frac{30}{89766187}a^{32}+\frac{146}{89766187}a^{31}-\frac{548}{89766187}a^{30}+\frac{2215}{89766187}a^{29}+\frac{17499}{89766187}a^{28}-\frac{17770}{89766187}a^{27}-\frac{16915}{89766187}a^{26}+\frac{8259}{12823741}a^{25}-\frac{112080}{89766187}a^{24}-\frac{18419}{89766187}a^{23}-\frac{70626}{89766187}a^{22}+\frac{47927}{89766187}a^{21}-\frac{5541}{12823741}a^{20}-\frac{654116}{89766187}a^{19}+\frac{1276}{12823741}a^{18}-\frac{106104}{89766187}a^{17}+\frac{856336}{89766187}a^{16}+\frac{644387}{89766187}a^{15}+\frac{793761}{89766187}a^{14}-\frac{4974033}{89766187}a^{13}+\frac{76597}{89766187}a^{12}+\frac{5889195}{89766187}a^{11}-\frac{1635720}{89766187}a^{10}+\frac{1876004}{89766187}a^{9}+\frac{4340086}{89766187}a^{8}-\frac{50268}{823543}a^{7}-\frac{2746056}{89766187}a^{6}-\frac{3427211}{12823741}a^{5}+\frac{734742}{1831963}a^{4}+\frac{101589}{261709}a^{3}+\frac{14277}{37387}a^{2}-\frac{925}{5341}a-\frac{4}{109}$, $\frac{1}{28\!\cdots\!29}a^{35}-\frac{13722960588}{28\!\cdots\!29}a^{34}-\frac{13395831}{58\!\cdots\!21}a^{33}-\frac{4660720226802}{28\!\cdots\!29}a^{32}+\frac{10608979324751}{28\!\cdots\!29}a^{31}-\frac{47028408171421}{28\!\cdots\!29}a^{30}+\frac{31483027476815}{28\!\cdots\!29}a^{29}-\frac{57860024469234}{28\!\cdots\!29}a^{28}+\frac{300888128345415}{28\!\cdots\!29}a^{27}-\frac{4880325001574}{58\!\cdots\!21}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!73}{28\!\cdots\!29}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!29}a^{24}+\frac{582194426089153}{40\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!10}{28\!\cdots\!29}a^{22}+\frac{556061758226451}{28\!\cdots\!29}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!39}{28\!\cdots\!29}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!55}{28\!\cdots\!29}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!20}{28\!\cdots\!29}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!29}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!88}{28\!\cdots\!29}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!56}{28\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{76\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!29}a^{14}-\frac{74\!\cdots\!01}{28\!\cdots\!29}a^{13}+\frac{17\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!29}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!28}{28\!\cdots\!29}a^{11}-\frac{95\!\cdots\!64}{28\!\cdots\!29}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!31}{28\!\cdots\!29}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!34}{28\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{52\!\cdots\!24}{28\!\cdots\!29}a^{7}+\frac{587509322012215}{40\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{51\!\cdots\!88}{58\!\cdots\!21}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!01}{83\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{23419799942713}{11\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{77010725974068}{169765516786747}a^{2}-\frac{9954329976680}{24252216683821}a+\frac{205248013810}{494943197629}$, $\frac{1}{10\!\cdots\!41}a^{36}-\frac{27\!\cdots\!84}{10\!\cdots\!41}a^{35}+\frac{43\!\cdots\!32}{14\!\cdots\!63}a^{34}-\frac{31\!\cdots\!29}{10\!\cdots\!41}a^{33}-\frac{43\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!41}a^{32}-\frac{15\!\cdots\!11}{10\!\cdots\!41}a^{31}+\frac{84\!\cdots\!06}{10\!\cdots\!41}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!08}{10\!\cdots\!41}a^{29}-\frac{42\!\cdots\!05}{10\!\cdots\!41}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!26}{14\!\cdots\!63}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!17}{10\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!85}{10\!\cdots\!41}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!39}{14\!\cdots\!63}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!41}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!30}{10\!\cdots\!41}a^{22}+\frac{57\!\cdots\!26}{10\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{80\!\cdots\!74}{10\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!22}{10\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!25}{10\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{66\!\cdots\!43}{10\!\cdots\!41}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!49}{10\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!51}{10\!\cdots\!41}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!53}{10\!\cdots\!41}a^{13}-\frac{15\!\cdots\!91}{10\!\cdots\!41}a^{12}-\frac{71\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{51\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!41}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!82}{10\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!72}{10\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{74\!\cdots\!85}{14\!\cdots\!63}a^{7}+\frac{64\!\cdots\!22}{21\!\cdots\!09}a^{6}+\frac{47\!\cdots\!78}{30\!\cdots\!87}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!09}{43\!\cdots\!41}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!17}{61\!\cdots\!63}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!63}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!87}a+\frac{54\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!63}$, $\frac{1}{30\!\cdots\!01}a^{37}+\frac{10\!\cdots\!04}{30\!\cdots\!01}a^{36}+\frac{22\!\cdots\!11}{43\!\cdots\!43}a^{35}-\frac{11\!\cdots\!41}{30\!\cdots\!01}a^{34}-\frac{12\!\cdots\!79}{30\!\cdots\!01}a^{33}-\frac{14\!\cdots\!55}{30\!\cdots\!01}a^{32}+\frac{34\!\cdots\!89}{30\!\cdots\!01}a^{31}+\frac{27\!\cdots\!92}{30\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{47\!\cdots\!96}{30\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{82\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!43}a^{28}+\frac{27\!\cdots\!17}{30\!\cdots\!01}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!00}{30\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{54\!\cdots\!41}{43\!\cdots\!43}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!40}{30\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{76\!\cdots\!60}{30\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!90}{30\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!62}{30\!\cdots\!01}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{18\!\cdots\!38}{30\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{38\!\cdots\!13}{30\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!36}{30\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!76}{30\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!36}{30\!\cdots\!01}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!71}{30\!\cdots\!01}a^{14}+\frac{77\!\cdots\!92}{30\!\cdots\!01}a^{13}-\frac{58\!\cdots\!32}{30\!\cdots\!01}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!74}{30\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!29}{30\!\cdots\!01}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!11}{30\!\cdots\!01}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!55}{43\!\cdots\!43}a^{8}-\frac{42\!\cdots\!16}{62\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{74\!\cdots\!05}{81\!\cdots\!23}a^{6}-\frac{47\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{90\!\cdots\!74}{18\!\cdots\!43}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!49}a^{3}+\frac{96\!\cdots\!36}{37\!\cdots\!07}a^{2}-\frac{18\!\cdots\!05}{75\!\cdots\!43}a+\frac{41\!\cdots\!25}{15\!\cdots\!07}$ 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6, 1/7*a^7 - 1/7*a, 1/7*a^8 - 1/7*a^2, 1/7*a^9 - 1/7*a^3, 1/7*a^10 - 1/7*a^4, 1/7*a^11 - 1/7*a^5, 1/7*a^12 - 1/7*a^6, 1/7*a^13 - 1/7*a, 1/49*a^14 - 2/49*a^8 + 1/49*a^2, 1/49*a^15 - 2/49*a^9 + 1/49*a^3, 1/49*a^16 - 2/49*a^10 + 1/49*a^4, 1/49*a^17 - 2/49*a^11 + 1/49*a^5, 1/49*a^18 - 2/49*a^12 + 1/49*a^6, 1/49*a^19 - 2/49*a^13 + 1/49*a^7, 1/49*a^20 - 3/49*a^8 + 2/49*a^2, 1/343*a^21 - 3/343*a^15 + 3/343*a^9 - 1/343*a^3, 1/343*a^22 - 3/343*a^16 + 3/343*a^10 - 1/343*a^4, 1/343*a^23 - 3/343*a^17 + 3/343*a^11 - 1/343*a^5, 1/343*a^24 - 3/343*a^18 + 3/343*a^12 - 1/343*a^6, 1/343*a^25 - 3/343*a^19 + 3/343*a^13 - 1/343*a^7, 1/2401*a^26 - 2/2401*a^25 + 1/2401*a^23 - 2/2401*a^22 - 17/2401*a^20 - 15/2401*a^19 - 17/2401*a^17 - 15/2401*a^16 - 18/2401*a^14 + 134/2401*a^13 - 2/49*a^12 - 165/2401*a^11 + 134/2401*a^10 - 2/49*a^9 - 113/2401*a^8 - 117/2401*a^7 - 5/49*a^6 - 1191/2401*a^5 - 803/2401*a^4 - 5/49*a^3 + 24/49*a^2 - 2/7*a, 1/2401*a^27 + 3/2401*a^25 + 1/2401*a^24 + 3/2401*a^22 - 3/2401*a^21 - 2/2401*a^19 - 17/2401*a^18 - 2/2401*a^16 - 11/2401*a^15 + 93/2401*a^13 - 18/2401*a^12 + 1/49*a^11 + 93/2401*a^10 - 22/2401*a^9 + 1/49*a^8 - 94/2401*a^7 + 377/2401*a^6 - 22/49*a^5 + 592/2401*a^4 + 54/343*a^3 - 22/49*a^2 + 2/7*a, 1/2401*a^28 + 3/2401*a^22 - 15/2401*a^16 + 17/2401*a^10 - 6/2401*a^4, 1/16807*a^29 + 3/16807*a^28 + 1/16807*a^27 - 4/16807*a^25 + 15/16807*a^24 + 3/16807*a^23 - 2/16807*a^22 - 17/16807*a^21 - 1/343*a^20 - 79/16807*a^19 - 10/16807*a^18 + 132/16807*a^17 - 54/16807*a^16 - 116/16807*a^15 + 3/343*a^14 - 761/16807*a^13 + 612/16807*a^12 - 571/16807*a^11 + 200/16807*a^10 + 916/16807*a^9 + 12/343*a^8 - 871/16807*a^7 - 7477/16807*a^6 + 6609/16807*a^5 + 158/343*a^4 - 9/343*a^3 + 23/49*a^2 + 2/7*a, 1/16807*a^30 - 1/16807*a^28 - 3/16807*a^27 + 3/16807*a^26 + 13/16807*a^25 + 1/2401*a^24 - 4/16807*a^23 - 4/16807*a^22 + 2/16807*a^21 - 51/16807*a^20 + 122/16807*a^19 + 15/16807*a^18 + 117/16807*a^17 - 164/16807*a^16 + 152/16807*a^15 + 44/16807*a^14 - 969/16807*a^13 - 545/16807*a^12 - 614/16807*a^11 - 1028/16807*a^10 + 241/16807*a^9 + 1033/16807*a^8 - 881/16807*a^7 + 8068/16807*a^6 - 2929/16807*a^5 + 955/2401*a^4 + 97/343*a^3 + 1/49*a^2 - 1/7*a, 1/117649*a^31 - 1/117649*a^30 + 3/117649*a^29 - 11/117649*a^28 - 11/117649*a^27 + 24/117649*a^26 + 34/117649*a^25 - 24/16807*a^24 - 72/117649*a^23 + 89/117649*a^22 - 107/117649*a^21 + 768/117649*a^20 - 3/117649*a^19 + 664/117649*a^18 - 726/117649*a^17 - 1174/117649*a^16 - 194/117649*a^15 - 1020/117649*a^14 + 488/117649*a^13 - 5720/117649*a^12 + 529/117649*a^11 - 1060/117649*a^10 + 998/117649*a^9 + 228/117649*a^8 - 520/117649*a^7 + 38839/117649*a^6 - 4421/16807*a^5 + 191/2401*a^4 + 103/343*a^3 + 13/49*a^2 - 1/7*a, 1/117649*a^32 + 2/117649*a^30 - 1/117649*a^29 - 1/117649*a^28 + 20/117649*a^27 + 9/117649*a^26 - 64/117649*a^25 - 135/117649*a^24 - 11/117649*a^23 + 66/117649*a^22 - 144/117649*a^21 - 1146/117649*a^20 + 843/117649*a^19 - 132/117649*a^18 - 143/117649*a^17 - 1011/117649*a^16 + 32/117649*a^15 - 146/16807*a^14 - 318/117649*a^13 + 3895/117649*a^12 + 3557/117649*a^11 - 5228/117649*a^10 - 6425/117649*a^9 + 4559/117649*a^8 + 4341/117649*a^7 - 32442/117649*a^6 - 4945/16807*a^5 + 60/343*a^4 - 72/343*a^3 + 9/49*a^2 - 3/7*a, 1/89766187*a^33 + 117/89766187*a^32 - 75/89766187*a^31 - 1762/89766187*a^30 - 692/89766187*a^29 + 14337/89766187*a^28 - 1221/89766187*a^27 - 14131/89766187*a^26 + 14492/12823741*a^25 + 16285/12823741*a^24 + 113943/89766187*a^23 + 108434/89766187*a^22 - 123659/89766187*a^21 - 161232/89766187*a^20 - 875530/89766187*a^19 - 691185/89766187*a^18 - 97689/89766187*a^17 - 553095/89766187*a^16 - 574085/89766187*a^15 + 229786/89766187*a^14 + 944729/89766187*a^13 - 6066877/89766187*a^12 - 5574549/89766187*a^11 + 2371851/89766187*a^10 + 567753/12823741*a^9 - 2407520/89766187*a^8 - 2924515/89766187*a^7 - 33501292/89766187*a^6 - 395726/12823741*a^5 + 824345/1831963*a^4 - 31312/261709*a^3 - 6900/37387*a^2 + 507/5341*a - 54/109, 1/89766187*a^34 - 30/89766187*a^32 + 146/89766187*a^31 - 548/89766187*a^30 + 2215/89766187*a^29 + 17499/89766187*a^28 - 17770/89766187*a^27 - 16915/89766187*a^26 + 8259/12823741*a^25 - 112080/89766187*a^24 - 18419/89766187*a^23 - 70626/89766187*a^22 + 47927/89766187*a^21 - 5541/12823741*a^20 - 654116/89766187*a^19 + 1276/12823741*a^18 - 106104/89766187*a^17 + 856336/89766187*a^16 + 644387/89766187*a^15 + 793761/89766187*a^14 - 4974033/89766187*a^13 + 76597/89766187*a^12 + 5889195/89766187*a^11 - 1635720/89766187*a^10 + 1876004/89766187*a^9 + 4340086/89766187*a^8 - 50268/823543*a^7 - 2746056/89766187*a^6 - 3427211/12823741*a^5 + 734742/1831963*a^4 + 101589/261709*a^3 + 14277/37387*a^2 - 925/5341*a - 4/109, 1/2853249040634856829*a^35 - 13722960588/2853249040634856829*a^34 - 13395831/58229572257854221*a^33 - 4660720226802/2853249040634856829*a^32 + 10608979324751/2853249040634856829*a^31 - 47028408171421/2853249040634856829*a^30 + 31483027476815/2853249040634856829*a^29 - 57860024469234/2853249040634856829*a^28 + 300888128345415/2853249040634856829*a^27 - 4880325001574/58229572257854221*a^26 - 3522161417511873/2853249040634856829*a^25 + 2227655101853910/2853249040634856829*a^24 + 582194426089153/407607005804979547*a^23 - 3324889867752710/2853249040634856829*a^22 + 556061758226451/2853249040634856829*a^21 + 10201181765619639/2853249040634856829*a^20 + 3993694142764555/2853249040634856829*a^19 - 22234283569603120/2853249040634856829*a^18 - 20113408736537156/2853249040634856829*a^17 + 10602246342458788/2853249040634856829*a^16 - 19126908042860556/2853249040634856829*a^15 + 7647353014839731/2853249040634856829*a^14 - 74073903820541001/2853249040634856829*a^13 + 174507152052247964/2853249040634856829*a^12 + 163322632462578728/2853249040634856829*a^11 - 95536385846987564/2853249040634856829*a^10 + 163346522359588531/2853249040634856829*a^9 - 184345408824853834/2853249040634856829*a^8 - 52282515030303424/2853249040634856829*a^7 + 587509322012215/407607005804979547*a^6 + 5175578955513888/58229572257854221*a^5 + 3558586379052401/8318510322550603*a^4 + 23419799942713/1188358617507229*a^3 - 77010725974068/169765516786747*a^2 - 9954329976680/24252216683821*a + 205248013810/494943197629, 1/10389662820416629170780223338739238141*a^36 - 270554833079640684/10389662820416629170780223338739238141*a^35 + 4388391681893278463550955232/1484237545773804167254317619819891163*a^34 - 31293802977884418350989937729/10389662820416629170780223338739238141*a^33 - 43526260248971799819733402304504/10389662820416629170780223338739238141*a^32 - 15160280308819268524589833148911/10389662820416629170780223338739238141*a^31 + 84434191160532930123391920168406/10389662820416629170780223338739238141*a^30 - 107329468472170985168836462082308/10389662820416629170780223338739238141*a^29 - 42155306279832668508466233267605/10389662820416629170780223338739238141*a^28 - 107940018334609208863342004467726/1484237545773804167254317619819891163*a^27 - 1137716938549594802155838158336017/10389662820416629170780223338739238141*a^26 - 13763151251736198977733246489510485/10389662820416629170780223338739238141*a^25 + 1093733649161851290874858674095039/1484237545773804167254317619819891163*a^24 + 12629586705568048410798864158529010/10389662820416629170780223338739238141*a^23 + 13190350548076785142102041772212230/10389662820416629170780223338739238141*a^22 + 5780685434793605617735538058856326/10389662820416629170780223338739238141*a^21 + 80549353956432310046014089511200174/10389662820416629170780223338739238141*a^20 + 105995008630678006425716133553283425/10389662820416629170780223338739238141*a^19 + 105600504708881354940710025948553922/10389662820416629170780223338739238141*a^18 - 15217190415758442336712879862092025/10389662820416629170780223338739238141*a^17 - 66640034715204522233327755007210643/10389662820416629170780223338739238141*a^16 - 3682405210065151631961038848716549/10389662820416629170780223338739238141*a^15 + 34584219776130248670606082708620451/10389662820416629170780223338739238141*a^14 + 554087687112840852793935747559155753/10389662820416629170780223338739238141*a^13 - 158638923517483830556828182727589591/10389662820416629170780223338739238141*a^12 - 715075639464877663048317779089769710/10389662820416629170780223338739238141*a^11 - 516063528533754706386651605981002552/10389662820416629170780223338739238141*a^10 + 54130731569511728699931491087275682/10389662820416629170780223338739238141*a^9 - 224511243445873893968529314619283572/10389662820416629170780223338739238141*a^8 + 74301386143739465862138337144130585/1484237545773804167254317619819891163*a^7 + 64865858965566764572400903771697522/212033935110543452464902517117127309*a^6 + 4785994030387444907979816744531278/30290562158649064637843216731018187*a^5 + 648737631500852263315158023335709/4327223165521294948263316675859741*a^4 + 208360817602191412212848789886117/618174737931613564037616667979963*a^3 + 10764061827800211330275498570/257465530167269289478390948763*a^2 + 5555199353903892128944060036394/12615810978196195184441156489387*a + 54550851642271285862192527669/257465530167269289478390948763, 1/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^37 + 10424838571293613260341424723371773594452372403211830923212287034289837390178358224277087090920448528118184946250902157304/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^36 + 2246061263523450180044251813205739658082742974193896282462081254661032889118613590645263583086372007661344918128246374366254426771516633011/43570184407926581207280354178879010336218067272859073418469642977041003788445741624760269013805251703520752823669687201758290229378428097337957576765493557443*a^35 - 1132202139464909177224154331625262139640260875998738232009331170656724832277576131206988818236731965228235588155401421501614225401565997382341575213641/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^34 - 121748310895857208123982110405819967541325168135843489022502980817195639734248242546043636715864827187571308733676701673164849700037311073010621278679/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^33 - 145920406117711455153689560340277337756213334245669058567564783265632884727077419236504469229689850840218819366131466150561282313764334796115536584755755/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^32 + 347945779205835887346232959468269095889389999192330391337495500227762687002819368099641123191591568076091035572072501964808794707877014751863314177207689/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^31 + 2749405173071975334020001384493600795539337661240605872536476877830271190435665047104592816151266729851992336113868213574646183438932635229828752593143992/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^30 + 4709899709305127172203639356791491686288817019053858303930753095644079672425481985439738130717931600882852016391404246062958810297897941662174534435479396/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^29 - 8277758509121518192215611674406240796418673641069231246078950973342743356122244044166286442277918092466183600724765884313186260542474560895047428461651472/43570184407926581207280354178879010336218067272859073418469642977041003788445741624760269013805251703520752823669687201758290229378428097337957576765493557443*a^28 + 27474940117407796340793645704824235565121187579716408091865288607726263519894919141673701614321469548260949328466964860315012137800506492623526517134643917/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^27 - 20350426044230309972884844619118200876933458088056775801592247624531015832357302954507552105515724799813798978808914978985917328706693114610564444476400200/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^26 - 5424014119006911539976823859637803826122933543410701410441246603112376966093339113264907476786414910506579510231940876082362304749811762811681746873373341/43570184407926581207280354178879010336218067272859073418469642977041003788445741624760269013805251703520752823669687201758290229378428097337957576765493557443*a^25 + 243132735713487587019417130058211060065335811984890325244176159883723597596902111514490711582963539321577483069248570142290721885781063083981840421344618640/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^24 + 76146423012093359642674352796212334533577052501571334339690534644324331942912709304101216711395917285112880578786292659893450044554786112054982531476970160/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^23 + 229624359448362836628454271985748664057523033042348537442176075651060723450423841322652237342237398214897535710029280612808836462598797157181780457990627390/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^22 + 325427215651812062626116244517317253188392213674263824842839430483818456577700344775332861498552718924371432721939169092520026246283310537565255073245953962/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^21 - 1860556313836166924878783147809367011508708834789996250737617785684114390512875981023530629814568478213011776736851627564152025954810886416615263245237137629/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^20 + 1844053692958373431574776314292780149236647926319501526737779300358102762310217542772166132782968016162300714774343086161707641585495875430699686266031927738/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^19 + 38151951754667150584121944484280540649361651305215406783476395941792907878421107310188943251486500548909564746725186431590983972984249880460295830828620213/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^18 - 2257094008273000165672337977206291809677927515230644973488781218379519007771600186012296576647264628588378307459531376034828937375099795860196374338852108536/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^17 + 1393449402180624721735825812276626906601963936403811866623857716834506723599583312118548199822748915912003252664233415862329321781261629479457204890738335776/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^16 - 2602447815491601547084029090552389800774145071290723196967056870337611681197394373869428421885295089733261804349735929858135413072303330749674908140971602336/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^15 - 581411860980845875502787972456962393056312144804671293586099663434611926386076374791245778747629302596699188248783364315506286249817644258315722695793345871/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^14 + 7758049012792360456172518464065537401173675408089411575253617821112083196986248591194582623063630307076526155371651385948242554458188375940644951934637216792/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^13 - 5831657748883340072805333378900530004555735810948661898509437928504705606929381171547511284862038467727385200807938283536712559312684516820960585693827042232/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^12 + 10886809883585149291935606642557709338438558247047592585530439980494723770398688204890203532107586172356302164346216844860349578658198316019564960979607736174/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^11 - 1795767995770778238548952467904050791544048093640824410161528865558863068788899442189069892770564622779598860264054393366302371012409567475459974406611950429/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^10 - 12820388526463185862853028929584151203245832694316929236240675506272669726965929526780286293921874235068261402508923017816499781222753032910977308514136569611/304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101*a^9 + 1305646127358327134528392895307799353035502365092450279367827434343149852704807899247803693138390868018137555953421253869489384203874759404749489894160663355/43570184407926581207280354178879010336218067272859073418469642977041003788445741624760269013805251703520752823669687201758290229378428097337957576765493557443*a^8 - 425898076037605069459355740826924286070918583762191896850418864013383471397283301403668719408822234757542922619482480858602348239042806251301980107192123316/6224312058275225886754336311268430048031152467551296202638520425291571969777963089251467001972178814788678974809955314536898604196918299619708225252213365349*a^7 - 744794914011593217477662278220703307526640326621060729904103848781578646302068500637389007604055892035084326126038740437076766224584322174427078816587505/8157682907306980192338579700220747114064420009896849544742490727774013066550410339779117958023825445332475720589718629799342862643405373027140531130030623*a^6 - 47059712169418412227990431335529538605419601532624523178827772662934274301338900991720511279710724086161362865989070580459465530104426178444329023538305135/127026776699494405852129312474865919347574540154108085768133069903909632036284961005131979632085281934462836220611332949732624575447312237136902556167619701*a^5 + 9032494168388327594078290374214272716213459293022592237893270460723657793352295365200683420354806008297902768520867178933781453797322486355572536800125874/18146682385642057978875616067837988478224934307729726538304724271987090290897851572161711376012183133494690888658761849961803510778187462448128936595374243*a^4 - 583864606083616124367145143179455829661671383987133178127798696534088026728634091538948360464757452009621924775770672197330428185554162680104835965837440/2592383197948865425553659438262569782603562043961389505472103467426727184413978796023101625144597590499241555522680264280257644396883923206875562370767749*a^3 + 96826778794046323073031217895017059065257062875056123515665016758309780667326227892246410316364843690884213546511301542675559617632306296941959729837936/370340456849837917936237062608938540371937434851627072210300495346675312059139828003300232163513941499891650788954323468608234913840560458125080338681107*a^2 - 1815632555999587492827811963692505011267235433476446892209931904377935864072526775323505737960826938434823170342869661928336760206601369532874609371005/7557968507139549345637491073651806946366070099012797392046948884626026776717139347006127187010488602038605118141924968747106834976337968533164904871043*a + 41862796713371375941518517369492061138206896113234280401908475524913946805134254353992254207846086804101821158960224511698169852127568190746857584125/154244255247745905013010021911261366252368777530873416164223446625020954626880394836859738510418134735481737104937244260145037448496693235370712344307

sage: K.integral_basis()

gp: K.zk

magma: IntegralBasis(K);

oscar: basis(OK)

Monogenic:		No
Index:		Not computed
Inessential primes:		$7$

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()

gp: K.clgp

magma: ClassGroup(K);

oscar: class_group(K)

Unit group

sage: UK = K.unit_group()

magma: UK, fUK := UnitGroup(K);

oscar: UK, fUK = unit_group(OK)

Rank:	$18$	sage: UK.rank() gp: K.fu magma: UnitRank(K); oscar: rank(UK)
Torsion generator:	\( -\frac{4816252170315163138117851302261472656312674300013663836892486465989579986185475594712658494600501569654350537598801945091168658119}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{37} + \frac{5322726934380524893507794006270716809335601686347935155502693999574734824891508410899939111857665950269546714043375237115588293953}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{36} - \frac{62699942078416586227456131556328821444612307045940474841454923130814403655199239979582031090553059628994332347953378104448228635600}{83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069} a^{35} + \frac{161810822297524181622244179389560041884974294813201144439592946232036056377188745592350621504857814930439481200555680878723601799807}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{34} - \frac{24648104360251243649571866306262349559364502139989739299749020622901118282349373460402517614155196058657598485939586595811497950882279}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{33} + \frac{3393469072260192012227163856798827458065317167181502196009082504853183371106704178776202306822149252603730078447686620253645985674620}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{32} - \frac{837337159972834517409998212545347779319415773814819495854493488558366667621485183746983940732548258208666075721626609986161259703718419}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{31} - \frac{42881083074839588382148043877569979505745219856359788127578987490511314252218759670987125608899623894791040786338969084826473293887781}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{30} - \frac{20426220454507742514281548342578706918226457857762096136565120014670759957126122841732185203759689245841512376997652355178362575701863913}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{29} - \frac{605113323629505739423050330371045799545316931463014943764958132881508815531173582765034717533977693484076516429760615258073761410278541}{83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069} a^{28} - \frac{356353975508648648653018110275245937535449379596165698608645849619831101358123626112434155374083569175835049593988385131335471413962010428}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{27} - \frac{160049162708613813105546888375621411946182664802341591003260804211181644555177055841358933810007425776318033529137752066224655324929217312}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{26} - \frac{674828161901453630664970064357378382435987295081754204888334741295276882683036095968017278816214197853866289835757344247480500498630778466}{83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069} a^{25} - \frac{3084479648192895625537243717703731586707048574393750142339792328873410019083279731841138471879754376070024957729714462730467878321472393809}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{24} - \frac{48188632676554974733388031346103905843971270072755195741933769785989624491585660702218625349153506767425997447872859727279166178425189027715}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{23} - \frac{41034663886899958848618149982160284988841847256497448439174619782315873725828201627158361494297584153690506333932293360352887596177237384031}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{22} - \frac{386788604520632762885559604114299737526043346116537560171853774595349340858931094957132605027155557670605869844596774401705756385738565185504}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{21} - \frac{381539754942230958208249674963275597691820354222836865843610463879796470970047718147508448276875190510877412045722609257777034881734076299464}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{20} - \frac{2430527595750453517842471163667942180358856600649144416430133364566092790929553682801470279783910461199281554402294858509652219643385293909655}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{19} - \frac{2645921216988351373616159265619382240576611069101197772384446731203831212766702806583995858296586858131754314000624476784249531577071886825617}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{18} - \frac{11988456980390686780596927166393750251294965721267237719285429597408936785117972946469673512447349764503627563195075103563778651355889226811198}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{17} - \frac{13431919259598909144192443421468359178308486500666190637490650590619533668543536142873166141876842197998943064299206425467483923579758839882372}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{16} - \frac{45356749873547266105218594988002779801138338422966310197110038725718689769958859191784930022416777122505240161670894859652888563757230527192116}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{15} - \frac{51021107358094205687977605697227186707156520942090890438054837737852601172751156755910170410834963216787774987088290810560818817701868146497548}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{14} - \frac{131455693959226034773872729049835164094003639165367031140349743027788904599926489378072824636755259505243376149774652393641318573775015410820632}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{13} - \frac{139989938874582848256063980520816376903731445279317771421483300807601377302140069194305296036469607896693179404120923899090746841396748195594895}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{12} - \frac{279168014469598699481761519458683396456467392845648092174175139990587384670676847317306555192090121600441917380224108779012886901176265842233475}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{11} - \frac{276642036853305343783171609511449739831586555685510770275742654519359387284221350262451148101162915771442261269622098089903305598275130990224033}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{10} - \frac{433058219993507668231164979948760971594327033523264519105135622685414186625657980684748164617001819606064922025157950656797766749957137809029255}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{9} - \frac{53159053139607724247715022550899839192639978637908365535973223962229297245865396567781155630093898966900800457146651894986723219688071083366698}{83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069} a^{8} - \frac{9028772860596264994217584592312218823059504020379664836846030969253134056753962836551358074259431085822793513687680564782205144524856150155281}{11965411102457237974798395465554872645152848343771429738100681916406498791471001501042724050893778754716610205534599228822930072012608460867} a^{7} - \frac{8546357135105725499824157633704846995921311482238421734848381144357878458896931904002098358046128270523185596655582248806569984795677294647}{15682059112001622509565393794960514607015528628796107127261706312459369320407603540029782504447940700808139194671820745508427355193458009} a^{6} - \frac{124561947418983864851106122337044286057495131787218535089069173638586650755805197831110893572945122191646198567952787301330091307129233393843}{244192063315453836220375417664385156023527517219825096695932284008295893703489826551892327569260790912583881745604065894345511673726703283} a^{5} - \frac{9982556606653137019831078956978523405134387784520640552374997499733070614896677705147478519620938928861980085071856913664307954037816347488}{34884580473636262317196488237769308003361073888546442385133183429756556243355689507413189652751541558940554535086295127763644524818100469} a^{4} - \frac{853369750001272626668738746509746344739200133143330905094032592604568944929462354641301800963747856286015992994896256997269987408460300873}{4983511496233751759599498319681329714765867698363777483590454775679508034765098501059027093250220222705793505012327875394806360688300067} a^{3} - \frac{33772555497226671779131143537965752008003084787420153947975886377433743707268186917161392588338940583260471077352760384817741708510218371}{711930213747678822799928331383047102109409671194825354798636396525644004966442643008432441892888603243684786430332553627829480098328581} a^{2} - \frac{199117059709795191421615459452698422692815704720546612869550275744663217948475373500198233935107218711359345520400968830657419359528131}{14529188035666914751018945538429532696110401452955619485686457071951918468702911081804743712099767413136424212863929665874071022414869} a - \frac{115242852397386778884348276934071391588388119795602314623487518800913183838389282603316061088609731946913687484389672824969796806040}{296514041544222750020794806906725157063477580672563662973193001468406499361283899628668239022444232921151514548243462568858592294181} \) -(4816252170315163138117851302261472656312674300013663836892486465989579986185475594712658494600501569654350537598801945091168658119)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(37) + (5322726934380524893507794006270716809335601686347935155502693999574734824891508410899939111857665950269546714043375237115588293953)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(36) - (62699942078416586227456131556328821444612307045940474841454923130814403655199239979582031090553059628994332347953378104448228635600)/(83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069)a^(35) + (161810822297524181622244179389560041884974294813201144439592946232036056377188745592350621504857814930439481200555680878723601799807)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(34) - (24648104360251243649571866306262349559364502139989739299749020622901118282349373460402517614155196058657598485939586595811497950882279)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(33) + (3393469072260192012227163856798827458065317167181502196009082504853183371106704178776202306822149252603730078447686620253645985674620)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(32) - (837337159972834517409998212545347779319415773814819495854493488558366667621485183746983940732548258208666075721626609986161259703718419)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(31) - (42881083074839588382148043877569979505745219856359788127578987490511314252218759670987125608899623894791040786338969084826473293887781)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(30) - (20426220454507742514281548342578706918226457857762096136565120014670759957126122841732185203759689245841512376997652355178362575701863913)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(29) - (605113323629505739423050330371045799545316931463014943764958132881508815531173582765034717533977693484076516429760615258073761410278541)/(83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069)a^(28) - (356353975508648648653018110275245937535449379596165698608645849619831101358123626112434155374083569175835049593988385131335471413962010428)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(27) - (160049162708613813105546888375621411946182664802341591003260804211181644555177055841358933810007425776318033529137752066224655324929217312)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(26) - (674828161901453630664970064357378382435987295081754204888334741295276882683036095968017278816214197853866289835757344247480500498630778466)/(83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069)a^(25) - (3084479648192895625537243717703731586707048574393750142339792328873410019083279731841138471879754376070024957729714462730467878321472393809)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(24) - (48188632676554974733388031346103905843971270072755195741933769785989624491585660702218625349153506767425997447872859727279166178425189027715)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(23) - (41034663886899958848618149982160284988841847256497448439174619782315873725828201627158361494297584153690506333932293360352887596177237384031)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(22) - (386788604520632762885559604114299737526043346116537560171853774595349340858931094957132605027155557670605869844596774401705756385738565185504)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(21) - (381539754942230958208249674963275597691820354222836865843610463879796470970047718147508448276875190510877412045722609257777034881734076299464)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(20) - (2430527595750453517842471163667942180358856600649144416430133364566092790929553682801470279783910461199281554402294858509652219643385293909655)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(19) - (2645921216988351373616159265619382240576611069101197772384446731203831212766702806583995858296586858131754314000624476784249531577071886825617)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(18) - (11988456980390686780596927166393750251294965721267237719285429597408936785117972946469673512447349764503627563195075103563778651355889226811198)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(17) - (13431919259598909144192443421468359178308486500666190637490650590619533668543536142873166141876842197998943064299206425467483923579758839882372)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(16) - (45356749873547266105218594988002779801138338422966310197110038725718689769958859191784930022416777122505240161670894859652888563757230527192116)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(15) - (51021107358094205687977605697227186707156520942090890438054837737852601172751156755910170410834963216787774987088290810560818817701868146497548)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(14) - (131455693959226034773872729049835164094003639165367031140349743027788904599926489378072824636755259505243376149774652393641318573775015410820632)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(13) - (139989938874582848256063980520816376903731445279317771421483300807601377302140069194305296036469607896693179404120923899090746841396748195594895)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(12) - (279168014469598699481761519458683396456467392845648092174175139990587384670676847317306555192090121600441917380224108779012886901176265842233475)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(11) - (276642036853305343783171609511449739831586555685510770275742654519359387284221350262451148101162915771442261269622098089903305598275130990224033)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(10) - (433058219993507668231164979948760971594327033523264519105135622685414186625657980684748164617001819606064922025157950656797766749957137809029255)/(586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483)a^(9) - (53159053139607724247715022550899839192639978637908365535973223962229297245865396567781155630093898966900800457146651894986723219688071083366698)/(83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069)a^(8) - (9028772860596264994217584592312218823059504020379664836846030969253134056753962836551358074259431085822793513687680564782205144524856150155281)/(11965411102457237974798395465554872645152848343771429738100681916406498791471001501042724050893778754716610205534599228822930072012608460867)a^(7) - (8546357135105725499824157633704846995921311482238421734848381144357878458896931904002098358046128270523185596655582248806569984795677294647)/(15682059112001622509565393794960514607015528628796107127261706312459369320407603540029782504447940700808139194671820745508427355193458009)a^(6) - (124561947418983864851106122337044286057495131787218535089069173638586650755805197831110893572945122191646198567952787301330091307129233393843)/(244192063315453836220375417664385156023527517219825096695932284008295893703489826551892327569260790912583881745604065894345511673726703283)a^(5) - (9982556606653137019831078956978523405134387784520640552374997499733070614896677705147478519620938928861980085071856913664307954037816347488)/(34884580473636262317196488237769308003361073888546442385133183429756556243355689507413189652751541558940554535086295127763644524818100469)a^(4) - (853369750001272626668738746509746344739200133143330905094032592604568944929462354641301800963747856286015992994896256997269987408460300873)/(4983511496233751759599498319681329714765867698363777483590454775679508034765098501059027093250220222705793505012327875394806360688300067)a^(3) - (33772555497226671779131143537965752008003084787420153947975886377433743707268186917161392588338940583260471077352760384817741708510218371)/(711930213747678822799928331383047102109409671194825354798636396525644004966442643008432441892888603243684786430332553627829480098328581)a^(2) - (199117059709795191421615459452698422692815704720546612869550275744663217948475373500198233935107218711359345520400968830657419359528131)/(14529188035666914751018945538429532696110401452955619485686457071951918468702911081804743712099767413136424212863929665874071022414869)*a - (115242852397386778884348276934071391588388119795602314623487518800913183838389282603316061088609731946913687484389672824969796806040)/(296514041544222750020794806906725157063477580672563662973193001468406499361283899628668239022444232921151514548243462568858592294181) (order $6$)	sage: UK.torsion_generator() gp: K.tu[2] magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K); oscar: torsion_units_generator(OK)
Fundamental units:	not computed	sage: UK.fundamental_units() gp: K.fu magma: [K\|fUK(g): g in Generators(UK)]; oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
Regulator:	not computed	sage: K.regulator() gp: K.reg magma: Regulator(K); oscar: regulator(K)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr $ not computed \end{aligned}\]

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula

x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 + 91*x^36 - 24*x^35 + 5113*x^34 - 166*x^33 + 173717*x^32 + 27194*x^31 + 4239797*x^30 + 1325317*x^29 + 74027272*x^28 + 40999344*x^27 + 983326589*x^26 + 743120555*x^25 + 10059741791*x^24 + 9563481092*x^23 + 81070213075*x^22 + 87547591746*x^21 + 511882174610*x^20 + 601337789804*x^19 + 2539884758984*x^18 + 3042827513863*x^17 + 9675050790560*x^16 + 11543123809355*x^15 + 28268796522511*x^14 + 31776668507252*x^13 + 60600608962241*x^12 + 63076854532617*x^11 + 95016529831875*x^10 + 85766481354393*x^9 + 98440678914956*x^8 + 74640315704381*x^7 + 67352150639088*x^6 + 40110464366364*x^5 + 23287561297245*x^4 + 7350839404496*x^3 + 1810153278801*x^2 + 182761486103*x + 13841287201)

DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()

hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();

2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))

# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula

K = bnfinit(x^38 - x^37 + 91*x^36 - 24*x^35 + 5113*x^34 - 166*x^33 + 173717*x^32 + 27194*x^31 + 4239797*x^30 + 1325317*x^29 + 74027272*x^28 + 40999344*x^27 + 983326589*x^26 + 743120555*x^25 + 10059741791*x^24 + 9563481092*x^23 + 81070213075*x^22 + 87547591746*x^21 + 511882174610*x^20 + 601337789804*x^19 + 2539884758984*x^18 + 3042827513863*x^17 + 9675050790560*x^16 + 11543123809355*x^15 + 28268796522511*x^14 + 31776668507252*x^13 + 60600608962241*x^12 + 63076854532617*x^11 + 95016529831875*x^10 + 85766481354393*x^9 + 98440678914956*x^8 + 74640315704381*x^7 + 67352150639088*x^6 + 40110464366364*x^5 + 23287561297245*x^4 + 7350839404496*x^3 + 1810153278801*x^2 + 182761486103*x + 13841287201, 1);

[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]

/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */

Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^38 - x^37 + 91*x^36 - 24*x^35 + 5113*x^34 - 166*x^33 + 173717*x^32 + 27194*x^31 + 4239797*x^30 + 1325317*x^29 + 74027272*x^28 + 40999344*x^27 + 983326589*x^26 + 743120555*x^25 + 10059741791*x^24 + 9563481092*x^23 + 81070213075*x^22 + 87547591746*x^21 + 511882174610*x^20 + 601337789804*x^19 + 2539884758984*x^18 + 3042827513863*x^17 + 9675050790560*x^16 + 11543123809355*x^15 + 28268796522511*x^14 + 31776668507252*x^13 + 60600608962241*x^12 + 63076854532617*x^11 + 95016529831875*x^10 + 85766481354393*x^9 + 98440678914956*x^8 + 74640315704381*x^7 + 67352150639088*x^6 + 40110464366364*x^5 + 23287561297245*x^4 + 7350839404496*x^3 + 1810153278801*x^2 + 182761486103*x + 13841287201);

OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);

UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);

r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);

hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);

2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));

# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula

Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^38 - x^37 + 91*x^36 - 24*x^35 + 5113*x^34 - 166*x^33 + 173717*x^32 + 27194*x^31 + 4239797*x^30 + 1325317*x^29 + 74027272*x^28 + 40999344*x^27 + 983326589*x^26 + 743120555*x^25 + 10059741791*x^24 + 9563481092*x^23 + 81070213075*x^22 + 87547591746*x^21 + 511882174610*x^20 + 601337789804*x^19 + 2539884758984*x^18 + 3042827513863*x^17 + 9675050790560*x^16 + 11543123809355*x^15 + 28268796522511*x^14 + 31776668507252*x^13 + 60600608962241*x^12 + 63076854532617*x^11 + 95016529831875*x^10 + 85766481354393*x^9 + 98440678914956*x^8 + 74640315704381*x^7 + 67352150639088*x^6 + 40110464366364*x^5 + 23287561297245*x^4 + 7350839404496*x^3 + 1810153278801*x^2 + 182761486103*x + 13841287201);

OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);

UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);

r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);

hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);

2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')

gp: polgalois(K.pol)

magma: G = GaloisGroup(K);

oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)

A cyclic group of order 38

The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$

Character table for $C_{38}$

Intermediate fields

$\Q(\sqrt{-3}) $, 19.19.114445997944945591651333831028437092270721.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]

gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]

magma: L := Subfields(K); L[2..#L];

oscar: subfields(K)[2:end-1]

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	$38$	R	$38$	${\href{/padicField/7.1.0.1}{1} }^{38}$	$38$	$19^{2}$	$38$	$19^{2}$	$38$	$38$	$19^{2}$	$19^{2}$	$38$	$19^{2}$	$38$	$38$	$38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:

p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]

\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:

p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])

// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:

p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:

p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
$3$ 3		Deg $38$	$2$	$19$	$19$
$191$ 191		Deg $38$	$19$	$2$	$36$

Overview	Random
Universe	Knowledge

Classical	Maass
Hilbert	Bianchi

Elliptic curves over $\Q$
Elliptic curves over $\Q(\alpha)$
Genus 2 curves over $\Q$
Higher genus families
Abelian varieties over $\F_{q}$

Introduction

L-functions

Modular forms

Varieties

Fields

Representations

Groups

Database

Properties

Related objects

Downloads

Learn more