Properties

Label 38.0.152...747.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-1.522\times 10^{91}$
Root discriminant $250.92$
Ramified primes $3, 191$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 + 91*x^36 - 24*x^35 + 5113*x^34 - 166*x^33 + 173717*x^32 + 27194*x^31 + 4239797*x^30 + 1325317*x^29 + 74027272*x^28 + 40999344*x^27 + 983326589*x^26 + 743120555*x^25 + 10059741791*x^24 + 9563481092*x^23 + 81070213075*x^22 + 87547591746*x^21 + 511882174610*x^20 + 601337789804*x^19 + 2539884758984*x^18 + 3042827513863*x^17 + 9675050790560*x^16 + 11543123809355*x^15 + 28268796522511*x^14 + 31776668507252*x^13 + 60600608962241*x^12 + 63076854532617*x^11 + 95016529831875*x^10 + 85766481354393*x^9 + 98440678914956*x^8 + 74640315704381*x^7 + 67352150639088*x^6 + 40110464366364*x^5 + 23287561297245*x^4 + 7350839404496*x^3 + 1810153278801*x^2 + 182761486103*x + 13841287201)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - x^37 + 91*x^36 - 24*x^35 + 5113*x^34 - 166*x^33 + 173717*x^32 + 27194*x^31 + 4239797*x^30 + 1325317*x^29 + 74027272*x^28 + 40999344*x^27 + 983326589*x^26 + 743120555*x^25 + 10059741791*x^24 + 9563481092*x^23 + 81070213075*x^22 + 87547591746*x^21 + 511882174610*x^20 + 601337789804*x^19 + 2539884758984*x^18 + 3042827513863*x^17 + 9675050790560*x^16 + 11543123809355*x^15 + 28268796522511*x^14 + 31776668507252*x^13 + 60600608962241*x^12 + 63076854532617*x^11 + 95016529831875*x^10 + 85766481354393*x^9 + 98440678914956*x^8 + 74640315704381*x^7 + 67352150639088*x^6 + 40110464366364*x^5 + 23287561297245*x^4 + 7350839404496*x^3 + 1810153278801*x^2 + 182761486103*x + 13841287201, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![13841287201, 182761486103, 1810153278801, 7350839404496, 23287561297245, 40110464366364, 67352150639088, 74640315704381, 98440678914956, 85766481354393, 95016529831875, 63076854532617, 60600608962241, 31776668507252, 28268796522511, 11543123809355, 9675050790560, 3042827513863, 2539884758984, 601337789804, 511882174610, 87547591746, 81070213075, 9563481092, 10059741791, 743120555, 983326589, 40999344, 74027272, 1325317, 4239797, 27194, 173717, -166, 5113, -24, 91, -1, 1]);
 

\( x^{38} - x^{37} + 91 x^{36} - 24 x^{35} + 5113 x^{34} - 166 x^{33} + 173717 x^{32} + 27194 x^{31} + 4239797 x^{30} + 1325317 x^{29} + 74027272 x^{28} + 40999344 x^{27} + 983326589 x^{26} + 743120555 x^{25} + 10059741791 x^{24} + 9563481092 x^{23} + 81070213075 x^{22} + 87547591746 x^{21} + 511882174610 x^{20} + 601337789804 x^{19} + 2539884758984 x^{18} + 3042827513863 x^{17} + 9675050790560 x^{16} + 11543123809355 x^{15} + 28268796522511 x^{14} + 31776668507252 x^{13} + 60600608962241 x^{12} + 63076854532617 x^{11} + 95016529831875 x^{10} + 85766481354393 x^{9} + 98440678914956 x^{8} + 74640315704381 x^{7} + 67352150639088 x^{6} + 40110464366364 x^{5} + 23287561297245 x^{4} + 7350839404496 x^{3} + 1810153278801 x^{2} + 182761486103 x + 13841287201 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 19]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-15\!\cdots\!747\)\(\medspace = -\,3^{19}\cdot 191^{36}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $250.92$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 191$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(573=3\cdot 191\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{573}(1,·)$, $\chi_{573}(260,·)$, $\chi_{573}(5,·)$, $\chi_{573}(518,·)$, $\chi_{573}(136,·)$, $\chi_{573}(535,·)$, $\chi_{573}(532,·)$, $\chi_{573}(407,·)$, $\chi_{573}(536,·)$, $\chi_{573}(388,·)$, $\chi_{573}(154,·)$, $\chi_{573}(412,·)$, $\chi_{573}(542,·)$, $\chi_{573}(32,·)$, $\chi_{573}(418,·)$, $\chi_{573}(298,·)$, $\chi_{573}(562,·)$, $\chi_{573}(559,·)$, $\chi_{573}(434,·)$, $\chi_{573}(52,·)$, $\chi_{573}(316,·)$, $\chi_{573}(160,·)$, $\chi_{573}(451,·)$, $\chi_{573}(196,·)$, $\chi_{573}(197,·)$, $\chi_{573}(341,·)$, $\chi_{573}(344,·)$, $\chi_{573}(221,·)$, $\chi_{573}(223,·)$, $\chi_{573}(227,·)$, $\chi_{573}(107,·)$, $\chi_{573}(368,·)$, $\chi_{573}(371,·)$, $\chi_{573}(25,·)$, $\chi_{573}(503,·)$, $\chi_{573}(121,·)$, $\chi_{573}(125,·)$, $\chi_{573}(383,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $\frac{1}{7} a^{7} - \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{7} a^{8} - \frac{1}{7} a^{2}$, $\frac{1}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{3}$, $\frac{1}{7} a^{10} - \frac{1}{7} a^{4}$, $\frac{1}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{5}$, $\frac{1}{7} a^{12} - \frac{1}{7} a^{6}$, $\frac{1}{7} a^{13} - \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{49} a^{14} - \frac{2}{49} a^{8} + \frac{1}{49} a^{2}$, $\frac{1}{49} a^{15} - \frac{2}{49} a^{9} + \frac{1}{49} a^{3}$, $\frac{1}{49} a^{16} - \frac{2}{49} a^{10} + \frac{1}{49} a^{4}$, $\frac{1}{49} a^{17} - \frac{2}{49} a^{11} + \frac{1}{49} a^{5}$, $\frac{1}{49} a^{18} - \frac{2}{49} a^{12} + \frac{1}{49} a^{6}$, $\frac{1}{49} a^{19} - \frac{2}{49} a^{13} + \frac{1}{49} a^{7}$, $\frac{1}{49} a^{20} - \frac{3}{49} a^{8} + \frac{2}{49} a^{2}$, $\frac{1}{343} a^{21} - \frac{3}{343} a^{15} + \frac{3}{343} a^{9} - \frac{1}{343} a^{3}$, $\frac{1}{343} a^{22} - \frac{3}{343} a^{16} + \frac{3}{343} a^{10} - \frac{1}{343} a^{4}$, $\frac{1}{343} a^{23} - \frac{3}{343} a^{17} + \frac{3}{343} a^{11} - \frac{1}{343} a^{5}$, $\frac{1}{343} a^{24} - \frac{3}{343} a^{18} + \frac{3}{343} a^{12} - \frac{1}{343} a^{6}$, $\frac{1}{343} a^{25} - \frac{3}{343} a^{19} + \frac{3}{343} a^{13} - \frac{1}{343} a^{7}$, $\frac{1}{2401} a^{26} - \frac{2}{2401} a^{25} + \frac{1}{2401} a^{23} - \frac{2}{2401} a^{22} - \frac{17}{2401} a^{20} - \frac{15}{2401} a^{19} - \frac{17}{2401} a^{17} - \frac{15}{2401} a^{16} - \frac{18}{2401} a^{14} + \frac{134}{2401} a^{13} - \frac{2}{49} a^{12} - \frac{165}{2401} a^{11} + \frac{134}{2401} a^{10} - \frac{2}{49} a^{9} - \frac{113}{2401} a^{8} - \frac{117}{2401} a^{7} - \frac{5}{49} a^{6} - \frac{1191}{2401} a^{5} - \frac{803}{2401} a^{4} - \frac{5}{49} a^{3} + \frac{24}{49} a^{2} - \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{2401} a^{27} + \frac{3}{2401} a^{25} + \frac{1}{2401} a^{24} + \frac{3}{2401} a^{22} - \frac{3}{2401} a^{21} - \frac{2}{2401} a^{19} - \frac{17}{2401} a^{18} - \frac{2}{2401} a^{16} - \frac{11}{2401} a^{15} + \frac{93}{2401} a^{13} - \frac{18}{2401} a^{12} + \frac{1}{49} a^{11} + \frac{93}{2401} a^{10} - \frac{22}{2401} a^{9} + \frac{1}{49} a^{8} - \frac{94}{2401} a^{7} + \frac{377}{2401} a^{6} - \frac{22}{49} a^{5} + \frac{592}{2401} a^{4} + \frac{54}{343} a^{3} - \frac{22}{49} a^{2} + \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{2401} a^{28} + \frac{3}{2401} a^{22} - \frac{15}{2401} a^{16} + \frac{17}{2401} a^{10} - \frac{6}{2401} a^{4}$, $\frac{1}{16807} a^{29} + \frac{3}{16807} a^{28} + \frac{1}{16807} a^{27} - \frac{4}{16807} a^{25} + \frac{15}{16807} a^{24} + \frac{3}{16807} a^{23} - \frac{2}{16807} a^{22} - \frac{17}{16807} a^{21} - \frac{1}{343} a^{20} - \frac{79}{16807} a^{19} - \frac{10}{16807} a^{18} + \frac{132}{16807} a^{17} - \frac{54}{16807} a^{16} - \frac{116}{16807} a^{15} + \frac{3}{343} a^{14} - \frac{761}{16807} a^{13} + \frac{612}{16807} a^{12} - \frac{571}{16807} a^{11} + \frac{200}{16807} a^{10} + \frac{916}{16807} a^{9} + \frac{12}{343} a^{8} - \frac{871}{16807} a^{7} - \frac{7477}{16807} a^{6} + \frac{6609}{16807} a^{5} + \frac{158}{343} a^{4} - \frac{9}{343} a^{3} + \frac{23}{49} a^{2} + \frac{2}{7} a$, $\frac{1}{16807} a^{30} - \frac{1}{16807} a^{28} - \frac{3}{16807} a^{27} + \frac{3}{16807} a^{26} + \frac{13}{16807} a^{25} + \frac{1}{2401} a^{24} - \frac{4}{16807} a^{23} - \frac{4}{16807} a^{22} + \frac{2}{16807} a^{21} - \frac{51}{16807} a^{20} + \frac{122}{16807} a^{19} + \frac{15}{16807} a^{18} + \frac{117}{16807} a^{17} - \frac{164}{16807} a^{16} + \frac{152}{16807} a^{15} + \frac{44}{16807} a^{14} - \frac{969}{16807} a^{13} - \frac{545}{16807} a^{12} - \frac{614}{16807} a^{11} - \frac{1028}{16807} a^{10} + \frac{241}{16807} a^{9} + \frac{1033}{16807} a^{8} - \frac{881}{16807} a^{7} + \frac{8068}{16807} a^{6} - \frac{2929}{16807} a^{5} + \frac{955}{2401} a^{4} + \frac{97}{343} a^{3} + \frac{1}{49} a^{2} - \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{117649} a^{31} - \frac{1}{117649} a^{30} + \frac{3}{117649} a^{29} - \frac{11}{117649} a^{28} - \frac{11}{117649} a^{27} + \frac{24}{117649} a^{26} + \frac{34}{117649} a^{25} - \frac{24}{16807} a^{24} - \frac{72}{117649} a^{23} + \frac{89}{117649} a^{22} - \frac{107}{117649} a^{21} + \frac{768}{117649} a^{20} - \frac{3}{117649} a^{19} + \frac{664}{117649} a^{18} - \frac{726}{117649} a^{17} - \frac{1174}{117649} a^{16} - \frac{194}{117649} a^{15} - \frac{1020}{117649} a^{14} + \frac{488}{117649} a^{13} - \frac{5720}{117649} a^{12} + \frac{529}{117649} a^{11} - \frac{1060}{117649} a^{10} + \frac{998}{117649} a^{9} + \frac{228}{117649} a^{8} - \frac{520}{117649} a^{7} + \frac{38839}{117649} a^{6} - \frac{4421}{16807} a^{5} + \frac{191}{2401} a^{4} + \frac{103}{343} a^{3} + \frac{13}{49} a^{2} - \frac{1}{7} a$, $\frac{1}{117649} a^{32} + \frac{2}{117649} a^{30} - \frac{1}{117649} a^{29} - \frac{1}{117649} a^{28} + \frac{20}{117649} a^{27} + \frac{9}{117649} a^{26} - \frac{64}{117649} a^{25} - \frac{135}{117649} a^{24} - \frac{11}{117649} a^{23} + \frac{66}{117649} a^{22} - \frac{144}{117649} a^{21} - \frac{1146}{117649} a^{20} + \frac{843}{117649} a^{19} - \frac{132}{117649} a^{18} - \frac{143}{117649} a^{17} - \frac{1011}{117649} a^{16} + \frac{32}{117649} a^{15} - \frac{146}{16807} a^{14} - \frac{318}{117649} a^{13} + \frac{3895}{117649} a^{12} + \frac{3557}{117649} a^{11} - \frac{5228}{117649} a^{10} - \frac{6425}{117649} a^{9} + \frac{4559}{117649} a^{8} + \frac{4341}{117649} a^{7} - \frac{32442}{117649} a^{6} - \frac{4945}{16807} a^{5} + \frac{60}{343} a^{4} - \frac{72}{343} a^{3} + \frac{9}{49} a^{2} - \frac{3}{7} a$, $\frac{1}{89766187} a^{33} + \frac{117}{89766187} a^{32} - \frac{75}{89766187} a^{31} - \frac{1762}{89766187} a^{30} - \frac{692}{89766187} a^{29} + \frac{14337}{89766187} a^{28} - \frac{1221}{89766187} a^{27} - \frac{14131}{89766187} a^{26} + \frac{14492}{12823741} a^{25} + \frac{16285}{12823741} a^{24} + \frac{113943}{89766187} a^{23} + \frac{108434}{89766187} a^{22} - \frac{123659}{89766187} a^{21} - \frac{161232}{89766187} a^{20} - \frac{875530}{89766187} a^{19} - \frac{691185}{89766187} a^{18} - \frac{97689}{89766187} a^{17} - \frac{553095}{89766187} a^{16} - \frac{574085}{89766187} a^{15} + \frac{229786}{89766187} a^{14} + \frac{944729}{89766187} a^{13} - \frac{6066877}{89766187} a^{12} - \frac{5574549}{89766187} a^{11} + \frac{2371851}{89766187} a^{10} + \frac{567753}{12823741} a^{9} - \frac{2407520}{89766187} a^{8} - \frac{2924515}{89766187} a^{7} - \frac{33501292}{89766187} a^{6} - \frac{395726}{12823741} a^{5} + \frac{824345}{1831963} a^{4} - \frac{31312}{261709} a^{3} - \frac{6900}{37387} a^{2} + \frac{507}{5341} a - \frac{54}{109}$, $\frac{1}{89766187} a^{34} - \frac{30}{89766187} a^{32} + \frac{146}{89766187} a^{31} - \frac{548}{89766187} a^{30} + \frac{2215}{89766187} a^{29} + \frac{17499}{89766187} a^{28} - \frac{17770}{89766187} a^{27} - \frac{16915}{89766187} a^{26} + \frac{8259}{12823741} a^{25} - \frac{112080}{89766187} a^{24} - \frac{18419}{89766187} a^{23} - \frac{70626}{89766187} a^{22} + \frac{47927}{89766187} a^{21} - \frac{5541}{12823741} a^{20} - \frac{654116}{89766187} a^{19} + \frac{1276}{12823741} a^{18} - \frac{106104}{89766187} a^{17} + \frac{856336}{89766187} a^{16} + \frac{644387}{89766187} a^{15} + \frac{793761}{89766187} a^{14} - \frac{4974033}{89766187} a^{13} + \frac{76597}{89766187} a^{12} + \frac{5889195}{89766187} a^{11} - \frac{1635720}{89766187} a^{10} + \frac{1876004}{89766187} a^{9} + \frac{4340086}{89766187} a^{8} - \frac{50268}{823543} a^{7} - \frac{2746056}{89766187} a^{6} - \frac{3427211}{12823741} a^{5} + \frac{734742}{1831963} a^{4} + \frac{101589}{261709} a^{3} + \frac{14277}{37387} a^{2} - \frac{925}{5341} a - \frac{4}{109}$, $\frac{1}{2853249040634856829} a^{35} - \frac{13722960588}{2853249040634856829} a^{34} - \frac{13395831}{58229572257854221} a^{33} - \frac{4660720226802}{2853249040634856829} a^{32} + \frac{10608979324751}{2853249040634856829} a^{31} - \frac{47028408171421}{2853249040634856829} a^{30} + \frac{31483027476815}{2853249040634856829} a^{29} - \frac{57860024469234}{2853249040634856829} a^{28} + \frac{300888128345415}{2853249040634856829} a^{27} - \frac{4880325001574}{58229572257854221} a^{26} - \frac{3522161417511873}{2853249040634856829} a^{25} + \frac{2227655101853910}{2853249040634856829} a^{24} + \frac{582194426089153}{407607005804979547} a^{23} - \frac{3324889867752710}{2853249040634856829} a^{22} + \frac{556061758226451}{2853249040634856829} a^{21} + \frac{10201181765619639}{2853249040634856829} a^{20} + \frac{3993694142764555}{2853249040634856829} a^{19} - \frac{22234283569603120}{2853249040634856829} a^{18} - \frac{20113408736537156}{2853249040634856829} a^{17} + \frac{10602246342458788}{2853249040634856829} a^{16} - \frac{19126908042860556}{2853249040634856829} a^{15} + \frac{7647353014839731}{2853249040634856829} a^{14} - \frac{74073903820541001}{2853249040634856829} a^{13} + \frac{174507152052247964}{2853249040634856829} a^{12} + \frac{163322632462578728}{2853249040634856829} a^{11} - \frac{95536385846987564}{2853249040634856829} a^{10} + \frac{163346522359588531}{2853249040634856829} a^{9} - \frac{184345408824853834}{2853249040634856829} a^{8} - \frac{52282515030303424}{2853249040634856829} a^{7} + \frac{587509322012215}{407607005804979547} a^{6} + \frac{5175578955513888}{58229572257854221} a^{5} + \frac{3558586379052401}{8318510322550603} a^{4} + \frac{23419799942713}{1188358617507229} a^{3} - \frac{77010725974068}{169765516786747} a^{2} - \frac{9954329976680}{24252216683821} a + \frac{205248013810}{494943197629}$, $\frac{1}{10389662820416629170780223338739238141} a^{36} - \frac{270554833079640684}{10389662820416629170780223338739238141} a^{35} + \frac{4388391681893278463550955232}{1484237545773804167254317619819891163} a^{34} - \frac{31293802977884418350989937729}{10389662820416629170780223338739238141} a^{33} - \frac{43526260248971799819733402304504}{10389662820416629170780223338739238141} a^{32} - \frac{15160280308819268524589833148911}{10389662820416629170780223338739238141} a^{31} + \frac{84434191160532930123391920168406}{10389662820416629170780223338739238141} a^{30} - \frac{107329468472170985168836462082308}{10389662820416629170780223338739238141} a^{29} - \frac{42155306279832668508466233267605}{10389662820416629170780223338739238141} a^{28} - \frac{107940018334609208863342004467726}{1484237545773804167254317619819891163} a^{27} - \frac{1137716938549594802155838158336017}{10389662820416629170780223338739238141} a^{26} - \frac{13763151251736198977733246489510485}{10389662820416629170780223338739238141} a^{25} + \frac{1093733649161851290874858674095039}{1484237545773804167254317619819891163} a^{24} + \frac{12629586705568048410798864158529010}{10389662820416629170780223338739238141} a^{23} + \frac{13190350548076785142102041772212230}{10389662820416629170780223338739238141} a^{22} + \frac{5780685434793605617735538058856326}{10389662820416629170780223338739238141} a^{21} + \frac{80549353956432310046014089511200174}{10389662820416629170780223338739238141} a^{20} + \frac{105995008630678006425716133553283425}{10389662820416629170780223338739238141} a^{19} + \frac{105600504708881354940710025948553922}{10389662820416629170780223338739238141} a^{18} - \frac{15217190415758442336712879862092025}{10389662820416629170780223338739238141} a^{17} - \frac{66640034715204522233327755007210643}{10389662820416629170780223338739238141} a^{16} - \frac{3682405210065151631961038848716549}{10389662820416629170780223338739238141} a^{15} + \frac{34584219776130248670606082708620451}{10389662820416629170780223338739238141} a^{14} + \frac{554087687112840852793935747559155753}{10389662820416629170780223338739238141} a^{13} - \frac{158638923517483830556828182727589591}{10389662820416629170780223338739238141} a^{12} - \frac{715075639464877663048317779089769710}{10389662820416629170780223338739238141} a^{11} - \frac{516063528533754706386651605981002552}{10389662820416629170780223338739238141} a^{10} + \frac{54130731569511728699931491087275682}{10389662820416629170780223338739238141} a^{9} - \frac{224511243445873893968529314619283572}{10389662820416629170780223338739238141} a^{8} + \frac{74301386143739465862138337144130585}{1484237545773804167254317619819891163} a^{7} + \frac{64865858965566764572400903771697522}{212033935110543452464902517117127309} a^{6} + \frac{4785994030387444907979816744531278}{30290562158649064637843216731018187} a^{5} + \frac{648737631500852263315158023335709}{4327223165521294948263316675859741} a^{4} + \frac{208360817602191412212848789886117}{618174737931613564037616667979963} a^{3} + \frac{10764061827800211330275498570}{257465530167269289478390948763} a^{2} + \frac{5555199353903892128944060036394}{12615810978196195184441156489387} a + \frac{54550851642271285862192527669}{257465530167269289478390948763}$, $\frac{1}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{37} + \frac{10424838571293613260341424723371773594452372403211830923212287034289837390178358224277087090920448528118184946250902157304}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{36} + \frac{2246061263523450180044251813205739658082742974193896282462081254661032889118613590645263583086372007661344918128246374366254426771516633011}{43570184407926581207280354178879010336218067272859073418469642977041003788445741624760269013805251703520752823669687201758290229378428097337957576765493557443} a^{35} - \frac{1132202139464909177224154331625262139640260875998738232009331170656724832277576131206988818236731965228235588155401421501614225401565997382341575213641}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{34} - \frac{121748310895857208123982110405819967541325168135843489022502980817195639734248242546043636715864827187571308733676701673164849700037311073010621278679}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{33} - \frac{145920406117711455153689560340277337756213334245669058567564783265632884727077419236504469229689850840218819366131466150561282313764334796115536584755755}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{32} + \frac{347945779205835887346232959468269095889389999192330391337495500227762687002819368099641123191591568076091035572072501964808794707877014751863314177207689}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{31} + \frac{2749405173071975334020001384493600795539337661240605872536476877830271190435665047104592816151266729851992336113868213574646183438932635229828752593143992}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{30} + \frac{4709899709305127172203639356791491686288817019053858303930753095644079672425481985439738130717931600882852016391404246062958810297897941662174534435479396}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{29} - \frac{8277758509121518192215611674406240796418673641069231246078950973342743356122244044166286442277918092466183600724765884313186260542474560895047428461651472}{43570184407926581207280354178879010336218067272859073418469642977041003788445741624760269013805251703520752823669687201758290229378428097337957576765493557443} a^{28} + \frac{27474940117407796340793645704824235565121187579716408091865288607726263519894919141673701614321469548260949328466964860315012137800506492623526517134643917}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{27} - \frac{20350426044230309972884844619118200876933458088056775801592247624531015832357302954507552105515724799813798978808914978985917328706693114610564444476400200}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{26} - \frac{5424014119006911539976823859637803826122933543410701410441246603112376966093339113264907476786414910506579510231940876082362304749811762811681746873373341}{43570184407926581207280354178879010336218067272859073418469642977041003788445741624760269013805251703520752823669687201758290229378428097337957576765493557443} a^{25} + \frac{243132735713487587019417130058211060065335811984890325244176159883723597596902111514490711582963539321577483069248570142290721885781063083981840421344618640}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{24} + \frac{76146423012093359642674352796212334533577052501571334339690534644324331942912709304101216711395917285112880578786292659893450044554786112054982531476970160}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{23} + \frac{229624359448362836628454271985748664057523033042348537442176075651060723450423841322652237342237398214897535710029280612808836462598797157181780457990627390}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{22} + \frac{325427215651812062626116244517317253188392213674263824842839430483818456577700344775332861498552718924371432721939169092520026246283310537565255073245953962}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{21} - \frac{1860556313836166924878783147809367011508708834789996250737617785684114390512875981023530629814568478213011776736851627564152025954810886416615263245237137629}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{20} + \frac{1844053692958373431574776314292780149236647926319501526737779300358102762310217542772166132782968016162300714774343086161707641585495875430699686266031927738}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{19} + \frac{38151951754667150584121944484280540649361651305215406783476395941792907878421107310188943251486500548909564746725186431590983972984249880460295830828620213}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{18} - \frac{2257094008273000165672337977206291809677927515230644973488781218379519007771600186012296576647264628588378307459531376034828937375099795860196374338852108536}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{17} + \frac{1393449402180624721735825812276626906601963936403811866623857716834506723599583312118548199822748915912003252664233415862329321781261629479457204890738335776}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{16} - \frac{2602447815491601547084029090552389800774145071290723196967056870337611681197394373869428421885295089733261804349735929858135413072303330749674908140971602336}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{15} - \frac{581411860980845875502787972456962393056312144804671293586099663434611926386076374791245778747629302596699188248783364315506286249817644258315722695793345871}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{14} + \frac{7758049012792360456172518464065537401173675408089411575253617821112083196986248591194582623063630307076526155371651385948242554458188375940644951934637216792}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{13} - \frac{5831657748883340072805333378900530004555735810948661898509437928504705606929381171547511284862038467727385200807938283536712559312684516820960585693827042232}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{12} + \frac{10886809883585149291935606642557709338438558247047592585530439980494723770398688204890203532107586172356302164346216844860349578658198316019564960979607736174}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{11} - \frac{1795767995770778238548952467904050791544048093640824410161528865558863068788899442189069892770564622779598860264054393366302371012409567475459974406611950429}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{10} - \frac{12820388526463185862853028929584151203245832694316929236240675506272669726965929526780286293921874235068261402508923017816499781222753032910977308514136569611}{304991290855486068450962479252153072353526470910013513929287500839287026519120191373321883096636761924645269765687810412308031605648996681365703037358454902101} a^{9} + \frac{1305646127358327134528392895307799353035502365092450279367827434343149852704807899247803693138390868018137555953421253869489384203874759404749489894160663355}{43570184407926581207280354178879010336218067272859073418469642977041003788445741624760269013805251703520752823669687201758290229378428097337957576765493557443} a^{8} - \frac{425898076037605069459355740826924286070918583762191896850418864013383471397283301403668719408822234757542922619482480858602348239042806251301980107192123316}{6224312058275225886754336311268430048031152467551296202638520425291571969777963089251467001972178814788678974809955314536898604196918299619708225252213365349} a^{7} - \frac{744794914011593217477662278220703307526640326621060729904103848781578646302068500637389007604055892035084326126038740437076766224584322174427078816587505}{8157682907306980192338579700220747114064420009896849544742490727774013066550410339779117958023825445332475720589718629799342862643405373027140531130030623} a^{6} - \frac{47059712169418412227990431335529538605419601532624523178827772662934274301338900991720511279710724086161362865989070580459465530104426178444329023538305135}{127026776699494405852129312474865919347574540154108085768133069903909632036284961005131979632085281934462836220611332949732624575447312237136902556167619701} a^{5} + \frac{9032494168388327594078290374214272716213459293022592237893270460723657793352295365200683420354806008297902768520867178933781453797322486355572536800125874}{18146682385642057978875616067837988478224934307729726538304724271987090290897851572161711376012183133494690888658761849961803510778187462448128936595374243} a^{4} - \frac{583864606083616124367145143179455829661671383987133178127798696534088026728634091538948360464757452009621924775770672197330428185554162680104835965837440}{2592383197948865425553659438262569782603562043961389505472103467426727184413978796023101625144597590499241555522680264280257644396883923206875562370767749} a^{3} + \frac{96826778794046323073031217895017059065257062875056123515665016758309780667326227892246410316364843690884213546511301542675559617632306296941959729837936}{370340456849837917936237062608938540371937434851627072210300495346675312059139828003300232163513941499891650788954323468608234913840560458125080338681107} a^{2} - \frac{1815632555999587492827811963692505011267235433476446892209931904377935864072526775323505737960826938434823170342869661928336760206601369532874609371005}{7557968507139549345637491073651806946366070099012797392046948884626026776717139347006127187010488602038605118141924968747106834976337968533164904871043} a + \frac{41862796713371375941518517369492061138206896113234280401908475524913946805134254353992254207846086804101821158960224511698169852127568190746857584125}{154244255247745905013010021911261366252368777530873416164223446625020954626880394836859738510418134735481737104937244260145037448496693235370712344307}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $18$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -\frac{4816252170315163138117851302261472656312674300013663836892486465989579986185475594712658494600501569654350537598801945091168658119}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{37} + \frac{5322726934380524893507794006270716809335601686347935155502693999574734824891508410899939111857665950269546714043375237115588293953}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{36} - \frac{62699942078416586227456131556328821444612307045940474841454923130814403655199239979582031090553059628994332347953378104448228635600}{83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069} a^{35} + \frac{161810822297524181622244179389560041884974294813201144439592946232036056377188745592350621504857814930439481200555680878723601799807}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{34} - \frac{24648104360251243649571866306262349559364502139989739299749020622901118282349373460402517614155196058657598485939586595811497950882279}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{33} + \frac{3393469072260192012227163856798827458065317167181502196009082504853183371106704178776202306822149252603730078447686620253645985674620}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{32} - \frac{837337159972834517409998212545347779319415773814819495854493488558366667621485183746983940732548258208666075721626609986161259703718419}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{31} - \frac{42881083074839588382148043877569979505745219856359788127578987490511314252218759670987125608899623894791040786338969084826473293887781}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{30} - \frac{20426220454507742514281548342578706918226457857762096136565120014670759957126122841732185203759689245841512376997652355178362575701863913}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{29} - \frac{605113323629505739423050330371045799545316931463014943764958132881508815531173582765034717533977693484076516429760615258073761410278541}{83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069} a^{28} - \frac{356353975508648648653018110275245937535449379596165698608645849619831101358123626112434155374083569175835049593988385131335471413962010428}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{27} - \frac{160049162708613813105546888375621411946182664802341591003260804211181644555177055841358933810007425776318033529137752066224655324929217312}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{26} - \frac{674828161901453630664970064357378382435987295081754204888334741295276882683036095968017278816214197853866289835757344247480500498630778466}{83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069} a^{25} - \frac{3084479648192895625537243717703731586707048574393750142339792328873410019083279731841138471879754376070024957729714462730467878321472393809}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{24} - \frac{48188632676554974733388031346103905843971270072755195741933769785989624491585660702218625349153506767425997447872859727279166178425189027715}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{23} - \frac{41034663886899958848618149982160284988841847256497448439174619782315873725828201627158361494297584153690506333932293360352887596177237384031}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{22} - \frac{386788604520632762885559604114299737526043346116537560171853774595349340858931094957132605027155557670605869844596774401705756385738565185504}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{21} - \frac{381539754942230958208249674963275597691820354222836865843610463879796470970047718147508448276875190510877412045722609257777034881734076299464}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{20} - \frac{2430527595750453517842471163667942180358856600649144416430133364566092790929553682801470279783910461199281554402294858509652219643385293909655}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{19} - \frac{2645921216988351373616159265619382240576611069101197772384446731203831212766702806583995858296586858131754314000624476784249531577071886825617}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{18} - \frac{11988456980390686780596927166393750251294965721267237719285429597408936785117972946469673512447349764503627563195075103563778651355889226811198}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{17} - \frac{13431919259598909144192443421468359178308486500666190637490650590619533668543536142873166141876842197998943064299206425467483923579758839882372}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{16} - \frac{45356749873547266105218594988002779801138338422966310197110038725718689769958859191784930022416777122505240161670894859652888563757230527192116}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{15} - \frac{51021107358094205687977605697227186707156520942090890438054837737852601172751156755910170410834963216787774987088290810560818817701868146497548}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{14} - \frac{131455693959226034773872729049835164094003639165367031140349743027788904599926489378072824636755259505243376149774652393641318573775015410820632}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{13} - \frac{139989938874582848256063980520816376903731445279317771421483300807601377302140069194305296036469607896693179404120923899090746841396748195594895}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{12} - \frac{279168014469598699481761519458683396456467392845648092174175139990587384670676847317306555192090121600441917380224108779012886901176265842233475}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{11} - \frac{276642036853305343783171609511449739831586555685510770275742654519359387284221350262451148101162915771442261269622098089903305598275130990224033}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{10} - \frac{433058219993507668231164979948760971594327033523264519105135622685414186625657980684748164617001819606064922025157950656797766749957137809029255}{586305144020404660765121377812188759612489568844800057166933413903918440782079073551093478493795158981113900071195362212323573528617814582483} a^{9} - \frac{53159053139607724247715022550899839192639978637908365535973223962229297245865396567781155630093898966900800457146651894986723219688071083366698}{83757877717200665823588768258884108516069938406400008166704773414845491540297010507299068356256451283016271438742194601760510504088259226069} a^{8} - \frac{9028772860596264994217584592312218823059504020379664836846030969253134056753962836551358074259431085822793513687680564782205144524856150155281}{11965411102457237974798395465554872645152848343771429738100681916406498791471001501042724050893778754716610205534599228822930072012608460867} a^{7} - \frac{8546357135105725499824157633704846995921311482238421734848381144357878458896931904002098358046128270523185596655582248806569984795677294647}{15682059112001622509565393794960514607015528628796107127261706312459369320407603540029782504447940700808139194671820745508427355193458009} a^{6} - \frac{124561947418983864851106122337044286057495131787218535089069173638586650755805197831110893572945122191646198567952787301330091307129233393843}{244192063315453836220375417664385156023527517219825096695932284008295893703489826551892327569260790912583881745604065894345511673726703283} a^{5} - \frac{9982556606653137019831078956978523405134387784520640552374997499733070614896677705147478519620938928861980085071856913664307954037816347488}{34884580473636262317196488237769308003361073888546442385133183429756556243355689507413189652751541558940554535086295127763644524818100469} a^{4} - \frac{853369750001272626668738746509746344739200133143330905094032592604568944929462354641301800963747856286015992994896256997269987408460300873}{4983511496233751759599498319681329714765867698363777483590454775679508034765098501059027093250220222705793505012327875394806360688300067} a^{3} - \frac{33772555497226671779131143537965752008003084787420153947975886377433743707268186917161392588338940583260471077352760384817741708510218371}{711930213747678822799928331383047102109409671194825354798636396525644004966442643008432441892888603243684786430332553627829480098328581} a^{2} - \frac{199117059709795191421615459452698422692815704720546612869550275744663217948475373500198233935107218711359345520400968830657419359528131}{14529188035666914751018945538429532696110401452955619485686457071951918468702911081804743712099767413136424212863929665874071022414869} a - \frac{115242852397386778884348276934071391588388119795602314623487518800913183838389282603316061088609731946913687484389672824969796806040}{296514041544222750020794806906725157063477580672563662973193001468406499361283899628668239022444232921151514548243462568858592294181} \) (order $6$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), 19.19.114445997944945591651333831028437092270721.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $38$ R $38$ ${\href{/LocalNumberField/7.1.0.1}{1} }^{38}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
191Data not computed