Properties

Label 38.0.136...787.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-1.366\times 10^{101}$
Root discriminant $458.63$
Ramified primes $3, 19$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 + 171*x^36 - 266*x^35 + 17765*x^34 - 38323*x^33 + 1208419*x^32 - 3128616*x^31 + 60877083*x^30 - 164538138*x^29 + 2281935169*x^28 - 6108816122*x^27 + 65770773122*x^26 - 164067939585*x^25 + 1434043198618*x^24 - 3182597959136*x^23 + 23807715304970*x^22 - 44488778447299*x^21 + 291967423046375*x^20 - 424722852053838*x^19 + 2667130160996125*x^18 - 2974990157993691*x^17 + 18341053997864450*x^16 - 14685757775285777*x^15 + 92760878311304464*x^14 - 59049250104163667*x^13 + 342353164732402796*x^12 - 172475502215832115*x^11 + 890393108976853995*x^10 - 452012764582067042*x^9 + 1563583757111096932*x^8 - 707974172043966504*x^7 + 1816769368682524829*x^6 - 831929210861393479*x^5 + 1134167336866808190*x^4 - 228910989279510535*x^3 + 271437005032832706*x^2 - 30519054068376079*x + 49228485006254761)
 
gp: K = bnfinit(x^38 + 171*x^36 - 266*x^35 + 17765*x^34 - 38323*x^33 + 1208419*x^32 - 3128616*x^31 + 60877083*x^30 - 164538138*x^29 + 2281935169*x^28 - 6108816122*x^27 + 65770773122*x^26 - 164067939585*x^25 + 1434043198618*x^24 - 3182597959136*x^23 + 23807715304970*x^22 - 44488778447299*x^21 + 291967423046375*x^20 - 424722852053838*x^19 + 2667130160996125*x^18 - 2974990157993691*x^17 + 18341053997864450*x^16 - 14685757775285777*x^15 + 92760878311304464*x^14 - 59049250104163667*x^13 + 342353164732402796*x^12 - 172475502215832115*x^11 + 890393108976853995*x^10 - 452012764582067042*x^9 + 1563583757111096932*x^8 - 707974172043966504*x^7 + 1816769368682524829*x^6 - 831929210861393479*x^5 + 1134167336866808190*x^4 - 228910989279510535*x^3 + 271437005032832706*x^2 - 30519054068376079*x + 49228485006254761, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![49228485006254761, -30519054068376079, 271437005032832706, -228910989279510535, 1134167336866808190, -831929210861393479, 1816769368682524829, -707974172043966504, 1563583757111096932, -452012764582067042, 890393108976853995, -172475502215832115, 342353164732402796, -59049250104163667, 92760878311304464, -14685757775285777, 18341053997864450, -2974990157993691, 2667130160996125, -424722852053838, 291967423046375, -44488778447299, 23807715304970, -3182597959136, 1434043198618, -164067939585, 65770773122, -6108816122, 2281935169, -164538138, 60877083, -3128616, 1208419, -38323, 17765, -266, 171, 0, 1]);
 

\( x^{38} + 171 x^{36} - 266 x^{35} + 17765 x^{34} - 38323 x^{33} + 1208419 x^{32} - 3128616 x^{31} + 60877083 x^{30} - 164538138 x^{29} + 2281935169 x^{28} - 6108816122 x^{27} + 65770773122 x^{26} - 164067939585 x^{25} + 1434043198618 x^{24} - 3182597959136 x^{23} + 23807715304970 x^{22} - 44488778447299 x^{21} + 291967423046375 x^{20} - 424722852053838 x^{19} + 2667130160996125 x^{18} - 2974990157993691 x^{17} + 18341053997864450 x^{16} - 14685757775285777 x^{15} + 92760878311304464 x^{14} - 59049250104163667 x^{13} + 342353164732402796 x^{12} - 172475502215832115 x^{11} + 890393108976853995 x^{10} - 452012764582067042 x^{9} + 1563583757111096932 x^{8} - 707974172043966504 x^{7} + 1816769368682524829 x^{6} - 831929210861393479 x^{5} + 1134167336866808190 x^{4} - 228910989279510535 x^{3} + 271437005032832706 x^{2} - 30519054068376079 x + 49228485006254761 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 19]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-13\!\cdots\!787\)\(\medspace = -\,3^{19}\cdot 19^{72}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $458.63$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 19$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1083=3\cdot 19^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1083}(1,·)$, $\chi_{1083}(514,·)$, $\chi_{1083}(1027,·)$, $\chi_{1083}(134,·)$, $\chi_{1083}(647,·)$, $\chi_{1083}(400,·)$, $\chi_{1083}(913,·)$, $\chi_{1083}(20,·)$, $\chi_{1083}(533,·)$, $\chi_{1083}(1046,·)$, $\chi_{1083}(286,·)$, $\chi_{1083}(799,·)$, $\chi_{1083}(419,·)$, $\chi_{1083}(932,·)$, $\chi_{1083}(172,·)$, $\chi_{1083}(685,·)$, $\chi_{1083}(305,·)$, $\chi_{1083}(818,·)$, $\chi_{1083}(58,·)$, $\chi_{1083}(571,·)$, $\chi_{1083}(191,·)$, $\chi_{1083}(704,·)$, $\chi_{1083}(457,·)$, $\chi_{1083}(970,·)$, $\chi_{1083}(77,·)$, $\chi_{1083}(590,·)$, $\chi_{1083}(343,·)$, $\chi_{1083}(856,·)$, $\chi_{1083}(476,·)$, $\chi_{1083}(989,·)$, $\chi_{1083}(229,·)$, $\chi_{1083}(742,·)$, $\chi_{1083}(362,·)$, $\chi_{1083}(875,·)$, $\chi_{1083}(115,·)$, $\chi_{1083}(628,·)$, $\chi_{1083}(248,·)$, $\chi_{1083}(761,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{36} - \frac{10143326682623855863926296689414953802543750633121890682042449713879022636154}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{35} + \frac{36369062597099647960606465164015256545312036818430845499652878670519346514020}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{34} - \frac{54385990865013886313643670605203483507986720324953171818403739694324955767492}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{33} - \frac{15409655301747840500227879893481437279706514846779331298512782391424886765394}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{32} - \frac{24253034265626231128125837913115914491566094296594694146866011220281187573195}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{31} - \frac{12575624517183560505371474399390428186432839084794274683394453434007377378716}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{30} - \frac{44656897481792245597453757662021135252266747386005903640825975004887283283036}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{29} - \frac{18883953399552861255625130235547475008345788479120888757207086261512685060522}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{28} - \frac{44582320171756151257730581074722053110149776113033509655797458963619037055134}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{27} + \frac{5676284382921488354484929385880715072961054960000673904454770232108907543042}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{26} - \frac{14908489360523599947147551463035087104914016791467385166834147314603195275759}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{25} + \frac{25790303569422261095718144974623966085940041719720539495424246514301869251650}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{24} + \frac{26919006523348500849928837082955136927809002045309619239288067290827893781958}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{23} + \frac{25308806670458391917099175805582658405253215593588840276762186890621722633894}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{22} - \frac{32405430442001230065875974044845137047012961379285749806715023014800089796124}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{21} - \frac{47182557793183740224314291385131264199764310590949227350970448645429838522844}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{20} + \frac{44707853497097279507336046667542428568187820374873035791902433664205467387123}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{19} - \frac{13007866032897501744789724766117301814914810695472431095112959190683613820563}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{18} - \frac{25812618954889455288198489475326532410793199489948462824867182567891704746576}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{17} + \frac{39260796671034144041966127374741990323772507253473788993390163805543985365318}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{16} - \frac{29232556984289911729350995731642397145770359484275425507170355208001903683861}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{15} - \frac{17547435009492516570847237645986582895227835150789567933464975100721005501849}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{14} + \frac{19391746254876300876900799929528931758232502913817984005582164147788310198341}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{13} - \frac{35508186567758959299770654987976375054311350429119526485248373659080331504061}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{12} - \frac{42780316491875413122054280721791275301599572573645537516375132591088892424450}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{11} - \frac{31240844297346952695912359049892878993890222701707705696714874321294400291555}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{10} - \frac{46074432459408441424408109532008963398416037087166817183223968064892493468843}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{9} - \frac{37660862104478497224592017498854375579339628208515573743595066540295654362878}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{8} - \frac{44443021311882462307982646390020001288218518874990704928101271616127553809159}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{7} - \frac{49681974668516835170040368387357977008824189527525696721854215430854910975913}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{6} - \frac{32521871546305004280650779846325858960568230213400891467682846698908965082053}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{5} - \frac{42301225780011601225088123895757481638925053028469122872443283686267662590410}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{4} + \frac{31555316616684106931462049333088278624778307408210117835645158246725751699288}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{3} + \frac{16552065284105222795533413919686899361659604864310586810014069657034671631354}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a^{2} + \frac{6180549579381188057881993491173236655288674254002386839246816564146654761496}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703} a + \frac{25600799043620422517824202130695172158873534981775522776024605934093995424312}{112655389020284275390171245751949697103771431120505301913558916857462366030703}$, $\frac{1}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{37} - \frac{15503410623922593508644331531776696729345087510743665905951458407493060799087323918074310451392154591906825118809745173344851424864829750954111148215613329902678210333770758121952508289305336346950568578147946115260887088889684}{19579595029538004526006947988892955385531786716075447446796578177120746863592114505778290661847307228332001770923907021853617627653571463612136690293555800496812625214470377491418760162172746015367080462011665633686450135955523142113222202213883540833650735782117308021101676421575935124707952780636050369} a^{36} - \frac{297797311514659287536839627490693719632722805211014931964981337080485593463937334342322697661708154347708371752922456692374514031769150129506485857263920632455869925447367157048631155257957503294145731261665825663957439166253807075966200008159625269345319661105087311162174495089786474114957055206520879298665472}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{35} + \frac{1462347248380064291845891141791347898596105167588886055440634887504136457962516647681581741190287105886072582597193059921807701339357431592537400239782050398622596040144326095990197748071460694423241633213518411879406410730021727338421225973548481258379330444841833952747913802003887955516829530172556426103622172}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{34} + \frac{1912723866011810068849198499280642747335025081794895026233190104642458007913729166803644238347524514656025576831218121215500162619290823516001851364349340365704377720500622587507415500484369309852150657099928334220073318258129702460566445879669287833811680757433318333325545475014415887479910680309758523630613564}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{33} + \frac{363112457635225963665446040867502206554761872358236319599957239093775534647915109983702603830634754505059406650170345358029520983296787052687399578307883002347593921569182596832169117075250271323263636251674059109765846775201874174352269362774523221134873691335759370234933023822019827077282181449961795607969257}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{32} - \frac{141876033327514066349346251526293861122821319284391690839408515534303393991865851617923061718849742817581845341233973095420639617475107898822667584413330008913085882890810509629068166014274792027144843333233198851120976767700714506894476977823224105455878548225195935593600067113966416450986371704672303685218588}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{31} - \frac{168196233513692746032353825308441559183594942183198843343239588633621089069364446365142881118794499420167525908951094797777669946731385582197431875875762777747843034197582915549634066924459243307575368096676047847979990556338179347496277520690951352091831524635507614715450686968408868387264064123359608925381143}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{30} - \frac{1737060453800164560178263736392833951969270977480836338736512066833937803005353816039334464762349780633469031493130079808799908227235485390072870488518187533595344506932684035248534051435644038980421676122603784777597044815978922419638628011973464437975237783256875750731489225127077998251232996375682061609405}{11167664000479917007931823369039108592675947495979322604247087285564965267424079223942563860913407773321244570734240814200994609861233574273809354553858773727198115525422815443322597694312665378509244003034155356476227248200700041710216890241319943096406014086777657457808948586173489761066975368521547073867351} a^{29} + \frac{2157113667019964649584114642455684793549796265670362122845994761094869846865479667373400298925772860593327082079333737011064372171416793945433882034036077714173812320359761086027936378065860142808763696540637895864949460040133016538054026602960100709750973442045025386501702382936778286551610501833746930828853658}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{28} - \frac{2140616020719603972125285614106254375899636031589786020677789982722233252661362628767252478014805648866032002788929411783196438607355417803910377854494776643126005157747229561066456660786380610498094327936731755388037133773013882120734292635458898673956009716676186174733557101028151038706041748855986035460248813}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{27} - \frac{1231214369546222185665984511539560505864659169956347042750828329434096169616319493270475217186684919914740344808176164909183297755018933951116519378986930709885071344785714352688654373370118670644136663660207390688273533288223470192245206287846315057737831019254821447534741317713731374725270814807862190704655929}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{26} + \frac{1864484572217652113577581137291563152616385845809558015174423124248870596771639797017822044876959171594760585690919698270296714602102783746955048097791707588962375426601766620154013224465579676738634789564687588717045350348188662775458254841066684528757968112216450650944419339562449732457646243577916889397948996}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{25} - \frac{2147190207387471934678107114135442933129115456381856628365169062898295939885705082737246316971857978631047056241201375311754913967340001607588832967719842501474003678658639591363322500509581257772109904582291424814930070916598235766642621222466807480721025357998994683390589082873700068009755675205164879751726854}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{24} + \frac{796522216172261967269583030446434980488739680010324321137102495060389883118046366278707778317614161675021652866414130687698688159112670058574559740727277324780954382922185985402560531444760494277043907416138122946092446170306705848156447403962316444151300134990049408224930569307872733219812429350746230083820133}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{23} - \frac{60714537892209164393175040144762491607202762297869274661904047807388747323606928370837993322506953846882058115248851067944350831869624265579111132818714361769766630823859610048254554080819253684605021643948818163342219334372569910310679759656937869462389829456749309838936382832689844718355434722079174495143770}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{22} + \frac{1411448983007156035600115055203892078943653393947353944417167214249300386383586092614746377276365022743498928202420215061748992789061913633066503707142031579575205793136049608848073381352473911701398885147504373595683181734598996146483462403996648329460349435560477409252823166331289677081683741097274955972862815}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{21} + \frac{885269832508682048129063023920314950935646970902456792909996824145681453782244218235792057457049296621659747138424668658462783715248858005680063355610967190064120794713616630846047053115318132838959620697455772014750085515520583489690466951790763939602278830752576666873149976023022421793795406602429966965694446}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{20} - \frac{390235068015817250535936826267209157238358440658661622298233559345891244498019592960796295650423746579243025381608123479441420004892700286798416784933428128197032984834700201694973355633854073975552061166549465352585855898722465061546054154593875639683449593452218012073519937388980465444841090596557395121173965}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{19} - \frac{1683560783861521901209319027834120454739136184729402778899500113586236986491075813109475348311221518287629852756129420672926868249798343750319071694733901482514598961912423673978360371875917286881443954070010642672996334524466799945059552199539126721330702639508964233969025618876119370459816953063611642536979646}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{18} - \frac{8311597689050553128192256115070906937134451651946229185000810113014183491335341671482679430425182724123953297553358732635663250557284498800341705604415969222592637046777829725206225697256661613759277655938763096225937013239761478659971547295043369997289909179197975770700882342125902136981252547051217261264276}{34206466899107777292011647957135537342920815558550838527969424835313161330928872583572105054293823809621764866264721863969975616031652444035526290720087110077795802672358072499625909473130919938898393048663672706057105508268285954529719451211602030429149129761862273630611661417492027693346877309880959147514957} a^{17} - \frac{1048026187235981378727569513505035263383929084365161373462141038091792604975940295314978864248658251526944835564244601374119359919971923994458770060694383696977758120661618624938667516201692506792182732343236088133506817758647534808458602792464702294239191537776847661920075811989676506727406308064948228476988398}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{16} - \frac{2004592276802831784069459782288835488554795855511735775871004497236356954507046818335398038961351275030435598473942467283950457076300303949404406227706959244491624779242538570019962743254488797670134659330235870075141223041216959630737540182826161050779207053218767231222325706396830069553375000374565514965686968}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{15} - \frac{1039383200162372571786222765299619541128007751834674575151261900172849771339257716110804687256024498862594410548902462198008959737392982169646267736496673664713293192087167786693560734424153482267023167872902079245610143640478187868159434998709638778279341824071495207325362717617743809313330923624914136617358478}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{14} - \frac{943654592388846437553280378240770351159284722015170025356084668178411642695410850502903484263883971430793677302646676105971082658222884560991661504056355769645783911725625124086069620923572776296796663133448546716441283430278896796753972033906897905466058102195008313662126493786334809227814624243772949256382448}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{13} - \frac{517282495783387851883397240081047787912876549158533376411609486760357183011453517757980994927158086089979834497577063768126467832613937360729834057095227576784167594265894926469356733339036342299111803050382268222453679094096465800333859637195961262365945583430807021925043236779595776556947174980518856279941579}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{12} + \frac{1850441510137822934993860079620060206511209208530151614883846904491759381896816334992659833000817407947050213451940231375668681964824300873724813785656015767249395681694894506038774472069742427946490015234026998033233758787215611914646331444640370210675525677841204630254135061192123644719067474024012785649898428}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{11} + \frac{1592243110122959168415812915244956716478524269773815003597910178075404538218894652806969262454557524993194125649697636134155930074900327286254555079471438355229492648411709971305118492104691802136448666230532490578756807520105050793422928394161747236309267013176193176386434137111176911704159313212259378992149192}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{10} + \frac{245867776119810307937457794684663654723166724437685389361718571218936459081391920082730631355976822839463245292218458672795862648427593020522247524884599853533836027016048453611200335954009871946171949407145650059458570015713828906992961258001917626354899809827343419284653863005251327708299747030955659619674128}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{9} - \frac{1750015028229529826401762855470623707577673699320204918363049080334859401033250404374586122043769431448177004920493360594506466844634936416312441355025009782810540138786451694713084161551634480083344954022388821189961232843418886463231346373414141673029666934633903165691533418110321619780901386319545684890292097}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{8} + \frac{1752929302183814009289482991058355573474996033029598603932885891396053909703367207300888715088881098214940140619229855616881210711273180189959142851975037263293514528597270873461270090901402226408982463829259512926588987338259197259601873417888061602365595865278395178089339883779106933048275694937500220469730703}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{7} - \frac{1816570191114146163038466136895264917198335645527233822957025670660658297021636694949202569248239400927160549714410940935118411443748742372816452863119131020694322881750334176329986506711829484702508346443989838443236156062480389821204955325862804425232570761593646595545042935427697442571440241294520709410107161}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{6} + \frac{618536291465870272641408965052911180288703268067356928777061090481047990736901176744409320460601482826827403681153710417878881055975082511231894700550304310343788748120884099415110353806471020246011189332417800404637118331341680327453106638317781621638092230276720172820488290714071553568717294498479184425676037}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{5} - \frac{1495135198359287170072781579295493257169777837546498071094251148025943936765537447559805353699229558353027912692277653545559920081072503465806812686293359811302605853050232487889687061803432767701669467046430508052820081636216154343827815292704760395022500985227923094464690278388297692277732011666886951569429290}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{4} + \frac{1573805019680021710877180175407056043387368920543158683826081409336920105856241198243902889395354425441601593320778625700452904795388544563208098051245427440407383096557706031000749960602648449659523854009090855379561373493665619109370535009441144320769856665486589936496170501576025975120791612495768470319376980}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{3} + \frac{1410494721636283090067188634782202242644847973342100137227544585364470334334120912645651602549778716760196322611884318533760033306741768363929576369596858821383645718224336367393834781583725722219218578886424159129187728602332601388702826996785699302829758298592598660599871359554239843298475507503959391566006757}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a^{2} - \frac{237390216358854245880719617498955545258860416033714685057898703833755490039117525155969574273565812606493586094551668655799863884539299174411094309002246241650731798989191734179494401979333470002743302295198199966081569700243413968825792446388469653366906333749948591410453187115790219702297288682610816294755068}{4344221296186687716085479290556213242550943575935956493052116954084771489027966818113657341895315623821964138015619676724186903236019860392511838921451062979880066939389475207452490503087626832240095917180286433669252399550072316225274370303873457864501939479756508751087681000021487517055053418354881811734399539} a + \frac{6403846759079163979238887346459150257375658310038466780356111676271137715566943966269453760508976518833591458622130395354941311121290115571637577830536780450615776348865455401683563183606980845590011467923297911718053424424316582396429177027390940279712008982711015005353304367149732398840560822134261825}{19579595029538004526006947988892955385531786716075447446796578177120746863592114505778290661847307228332001770923907021853617627653571463612136690293555800496812625214470377491418760162172746015367080462011665633686450135955523142113222202213883540833650735782117308021101676421575935124707952780636050369}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $18$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -\frac{22530326761863776860806693371179934443146445855346302334841707978206243225235057152230626388727654168585738064425406749653443672187450378653149812937117435814050560873024155797765636058831883000383577883572754465375903239}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{37} - \frac{113907461781614250071635107119052078681807631349543068712722399860521950707748438566988270198786426195883726919299394587348040928909345648490279654746329231384433290215575694026220921012975192178473559141665743268}{22072699676209878037579698393152000623153716808543646770806018978686609709885802911263461322374235579338684567839354111971916874953378214900134692813903224907198103078984826073497338133143878575983585487673133427511090304825420721} a^{36} - \frac{3843254373995692087782875704772084738322472188582553704014843733026610907061562805671643987276126144235525969190691909481513141719213748744922864058041649734245129750485062430606051542816878504652194408814051274982295401297}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{35} + \frac{1675722230910161813759051110542622605202333984917026800978790559850181255624115933720990045967284391135382313892011589064595782398669955120893504819826410081979393088649864018244000105587986473176866876991751926929119175165}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{34} - \frac{391924959581065159856469545343576509321967098464435063526529674169020896942484565861627379815218690614380170482334941880155087978796553530875347375756229100331356145803679787615821637356324809089598139106194155078024934053021}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{33} + \frac{412687973658194585767964112148726269646986772855417004727169395162106977899164935335771607617748937154716002712117541578661523306602396753849927211548420512546933312801578447582069368532233342992596983502917233804381149531634}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{32} - \frac{26092697944557824295627885470988144340320067452646374512191655591549021696986103315052632296466950031291728184546431936481561906621339274055964771462154846410841613195076840648271356886317531678102798959542312069146935662534706}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{31} + \frac{39666409762676483741980896694989180889930627032928590748745884850962107544513025109410668636939300070769452586353733602682130608094220384010089494848917337452326062642581540723100009480207934678039667472106358682797675460374129}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{30} - \frac{1281441001516779125520075901662216272492790956741423251193095706090651196736470059812875171310506512458261984090616895396418112807618046348301753070814059421639565769658637071495825517850023487541012431319462018176156264575185106}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{29} + \frac{2144622866228528794365097124998844579115523872958985017377690299301401102128362442654884382291577744782928341400068895767708221625166108744914264562577355531319103041648629401545554016418777080709962241595383766728910154724949096}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{28} - \frac{46704637254668686911591664384635125995356992715036471768205162733390344029428627344306359599924936627583382137739630888006379420345222709310480624758753028407716381545162504553542399412129515419608651191862974003310223722390641270}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{27} + \frac{78701591951455177184770348847130487345505751871584489924903602765448791322777755753165636824381479078809771583152775805647231130410350012500991002657048879052110428428870912271140043720850263662334887713703379715045279009676844470}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{26} - \frac{1307181762466142806957950374780164710947307492474792316259042230817359376464250886677521123726250009464252441696100492304715966092740509872536891722738986305690689208930316122184114272641791902716490067548019648712840909836620229488}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{25} + \frac{1987958700244207053321635396900014970940811565197308198699125540415612606772459682133526477453365319774807203821613451948195209891687826606966083110898951604451836404558225797093396865842527499138071051455306487419801660841016978191}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{24} - \frac{27589166235937567250863167981867180988845655487867776428715164556277635755201729660008834675686359607590311693093735029022537400527532651473892284950749407491581167755350266044817569258712407204572871035341387128677244507151547282106}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{23} + \frac{34251044238656324908011074043876409874763578766605303245322165018516615697005069567370665334252164442379693585548228856066633821095253590290944299621213470802580834801101909769132123248154836744999029190954685945649006350220038939872}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{22} - \frac{443716022210820842504284255223932528646415892539115802997621872778820975341879767913058089923032557294085254974117185018886306992300282435099339057205851600025127186586224991453151474066617799267980044400586880014767037714519982624129}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{21} + \frac{378183146207399778372724142487967337154866769701643095822113919025355058437508369108031551535510115748780074982043634072627114660234359323213694189561983360821150515953532267934920306221485957441384823872451208422101280068072953075756}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{20} - \frac{41379088913150757098661941910983520641851850813883759985044527306152537029288078970139161267057661881228352481519169543724513111034224740905793929234752683624243318726664187965153955172690942119022012709863583464777748265165812243327}{38562037146793614418160716440798511895859747395977652265834317128195133858305846762332122863960254136563115465512767816364845122582806453920240605187330502889465043495910597126804904149409187969438868403228959289628477662345741649746813} a^{19} + \frac{1898658737393431871640847561559615927156478961293106212219682618965304185546986599069988516107458031616904072908586809249010040492024090683075822444134076180608403213558789057031287368865273417515955316556627352822983818004791609762183}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{18} - \frac{46993057305115998685653077494772236854764422963351533082096605505967304501486110810212086924050243332295335843632507966013612408653810470356095604622411803983454095922802084065660407757350815837768354969443024978489690388720444812915093}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{17} - \frac{2791640802275493160600261072084193404686648652477475923530422644653577423515309932434093531025059771549864582973059162185211121835454025915164700607688262120715273006308101234171764044929518862916256375148642573989268877227358818249924}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{16} - \frac{317061488164572869892278649016169853699748679213795980459152982365051382928080316155670051836243405544796023867051391740466975566017806780269575093000408862396121001392500598384886606616100934009707437312067691292148143987690957636352625}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{15} - \frac{146324473750586877343576578501909057387835328784858539648244149796734016395304834557616459707000360800068837077192222806354680466013378725480656553108459480558293769010267906924154325454797311705860017115957841874273166965350630414291050}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{14} - \frac{1579245683802990622160626937451152154520951407018518256334700888030173366876843577788179344959402672436963072653912700429238132895212618280303701617540680509748445247648874922267232503257739530215022060466851613780646354227942612859572340}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{13} - \frac{1055551412585406686529774021010852946792568819636835616650658304294777475545025923382730769840345330908747246272941692265613198501671987700062956787436924635571233526599292213278401574190099923378463862344864200172910235468997303090615582}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{12} - \frac{5545258911653949282950427666404186943267575321327965085523529375577645473101249000609333068640486929056442233265526499961297732129114026213005793278431890652191145070403168252454919970500846960687549188219092443416761820168874928939404591}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{11} - \frac{4854739076011869135087031725062496059463182626423633893951144350392204576347787733591431269077955347001864468684341056468836996296730821966603487140828288567014885519729014958339572701076564864478331864994873395659547666195458899862800033}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{10} - \frac{13377135092794154572344975866989731124484807251363952567136973059586265410179717159899363496482447760638508334480094472553937416814545967536884285028382564485862893696445070163710414065357674268339936708479631106043405221400760606583045247}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{9} - \frac{12255205878614074121230934028099898615181145047734549715606633217793866323261826899808488295223393928766897874656982960745997829157088829876795360284664470597139458675418605482961193851335932974206951523976329532100997209907645586000592192}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{8} - \frac{18369232928652602674719638721129888546441563318551617702421932111009136524354139509905023072195216212237316660359683877785783808607673262258951404334229539913301869641718174629409323362759768293819652242316162684523612264275753773332899639}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{7} - \frac{23672881429618117499338885158191468830945648642914490978629336720954638656014983585879356262783582968026804849472116984907526697733487919395338363119744244259835667964100100603324039186663721622753581515506263630056767603885438284177439369}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{6} - \frac{15389800415537921155365581027604158550660523832224037208896467782329866661750112454909149591798382344011249872125954485129901321289079850834746335265626655190733883747687407594398615885567831855227432597632595533561394768333572320581975319}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{5} - \frac{26278160669371516448778428205614986271799722526404647933223795921605906399874132966651982007757702952747963349800515632814898996954458542000790561284937116847070010467827730020908074633730925343031810887564271330009455894731075247115866298}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{4} + \frac{2116574425105164256535941101263736502420615031804809923176728716223289775159163304468054234379961160899467070824229608268562389238573496770992034731170548653122108477333616732080158020358277989675406513607507870953373204681168918427262905}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{3} - \frac{24903860072271205193326363826524917643931642738708456453030619512078905615053169826916578778349773923849209468889131237272657400427920371660443683390851291569025120865689809395065483886428481046825514022269470077238455955669365504509813769}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{2} + \frac{127328419888619263740305741178594505955600385460567562958669951371043497224249274046313768874312886178691121611178229618983784263570738603707457491985790422051981589468862651491644861872614078355234533460023165493451421703422619940680076}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a - \frac{6742809083401346677613729528123239377869954769265914808779695914143049813696906407398483813180918285272519201562106153599970838113744298213948928371121782931920264433980632901438591636231337237313969048362733630786434720582951878}{22072699676209878037579698393152000623153716808543646770806018978686609709885802911263461322374235579338684567839354111971916874953378214900134692813903224907198103078984826073497338133143878575983585487673133427511090304825420721} \) (order $6$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), 19.19.10842505080063916320800450434338728415281531281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $38$ R $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ R $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
19Data not computed