Properties

Label 38.0.136...787.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-1.366\times 10^{101}$
Root discriminant \(458.63\)
Ramified primes $3,19$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more

Show commands: Magma / Oscar / PariGP / SageMath

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 + 171*x^36 - 266*x^35 + 17765*x^34 - 38323*x^33 + 1208419*x^32 - 3128616*x^31 + 60877083*x^30 - 164538138*x^29 + 2281935169*x^28 - 6108816122*x^27 + 65770773122*x^26 - 164067939585*x^25 + 1434043198618*x^24 - 3182597959136*x^23 + 23807715304970*x^22 - 44488778447299*x^21 + 291967423046375*x^20 - 424722852053838*x^19 + 2667130160996125*x^18 - 2974990157993691*x^17 + 18341053997864450*x^16 - 14685757775285777*x^15 + 92760878311304464*x^14 - 59049250104163667*x^13 + 342353164732402796*x^12 - 172475502215832115*x^11 + 890393108976853995*x^10 - 452012764582067042*x^9 + 1563583757111096932*x^8 - 707974172043966504*x^7 + 1816769368682524829*x^6 - 831929210861393479*x^5 + 1134167336866808190*x^4 - 228910989279510535*x^3 + 271437005032832706*x^2 - 30519054068376079*x + 49228485006254761)
 
gp: K = bnfinit(y^38 + 171*y^36 - 266*y^35 + 17765*y^34 - 38323*y^33 + 1208419*y^32 - 3128616*y^31 + 60877083*y^30 - 164538138*y^29 + 2281935169*y^28 - 6108816122*y^27 + 65770773122*y^26 - 164067939585*y^25 + 1434043198618*y^24 - 3182597959136*y^23 + 23807715304970*y^22 - 44488778447299*y^21 + 291967423046375*y^20 - 424722852053838*y^19 + 2667130160996125*y^18 - 2974990157993691*y^17 + 18341053997864450*y^16 - 14685757775285777*y^15 + 92760878311304464*y^14 - 59049250104163667*y^13 + 342353164732402796*y^12 - 172475502215832115*y^11 + 890393108976853995*y^10 - 452012764582067042*y^9 + 1563583757111096932*y^8 - 707974172043966504*y^7 + 1816769368682524829*y^6 - 831929210861393479*y^5 + 1134167336866808190*y^4 - 228910989279510535*y^3 + 271437005032832706*y^2 - 30519054068376079*y + 49228485006254761, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^38 + 171*x^36 - 266*x^35 + 17765*x^34 - 38323*x^33 + 1208419*x^32 - 3128616*x^31 + 60877083*x^30 - 164538138*x^29 + 2281935169*x^28 - 6108816122*x^27 + 65770773122*x^26 - 164067939585*x^25 + 1434043198618*x^24 - 3182597959136*x^23 + 23807715304970*x^22 - 44488778447299*x^21 + 291967423046375*x^20 - 424722852053838*x^19 + 2667130160996125*x^18 - 2974990157993691*x^17 + 18341053997864450*x^16 - 14685757775285777*x^15 + 92760878311304464*x^14 - 59049250104163667*x^13 + 342353164732402796*x^12 - 172475502215832115*x^11 + 890393108976853995*x^10 - 452012764582067042*x^9 + 1563583757111096932*x^8 - 707974172043966504*x^7 + 1816769368682524829*x^6 - 831929210861393479*x^5 + 1134167336866808190*x^4 - 228910989279510535*x^3 + 271437005032832706*x^2 - 30519054068376079*x + 49228485006254761);
 
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^38 + 171*x^36 - 266*x^35 + 17765*x^34 - 38323*x^33 + 1208419*x^32 - 3128616*x^31 + 60877083*x^30 - 164538138*x^29 + 2281935169*x^28 - 6108816122*x^27 + 65770773122*x^26 - 164067939585*x^25 + 1434043198618*x^24 - 3182597959136*x^23 + 23807715304970*x^22 - 44488778447299*x^21 + 291967423046375*x^20 - 424722852053838*x^19 + 2667130160996125*x^18 - 2974990157993691*x^17 + 18341053997864450*x^16 - 14685757775285777*x^15 + 92760878311304464*x^14 - 59049250104163667*x^13 + 342353164732402796*x^12 - 172475502215832115*x^11 + 890393108976853995*x^10 - 452012764582067042*x^9 + 1563583757111096932*x^8 - 707974172043966504*x^7 + 1816769368682524829*x^6 - 831929210861393479*x^5 + 1134167336866808190*x^4 - 228910989279510535*x^3 + 271437005032832706*x^2 - 30519054068376079*x + 49228485006254761)
 

\( x^{38} + 171 x^{36} - 266 x^{35} + 17765 x^{34} - 38323 x^{33} + 1208419 x^{32} - 3128616 x^{31} + 60877083 x^{30} - 164538138 x^{29} + 2281935169 x^{28} + \cdots + 49\!\cdots\!61 \) Copy content Toggle raw display

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 
oscar: defining_polynomial(K)
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
oscar: degree(K)
 
Signature:  $[0, 19]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
oscar: signature(K)
 
Discriminant:   \(-136\!\cdots\!787\) \(\medspace = -\,3^{19}\cdot 19^{72}\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
 
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
 
Root discriminant:  \(458.63\)
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
 
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
 
Galois root discriminant:  $3^{1/2}19^{36/19}\approx 458.62971231173134$
Ramified primes:   \(3\), \(19\) Copy content Toggle raw display
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
 
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
 
Discriminant root field:  \(\Q(\sqrt{-3}) \)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:  $38$
sage: K.automorphisms()
 
magma: Automorphisms(K);
 
oscar: automorphisms(K)
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1083=3\cdot 19^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1083}(1,·)$, $\chi_{1083}(514,·)$, $\chi_{1083}(1027,·)$, $\chi_{1083}(134,·)$, $\chi_{1083}(647,·)$, $\chi_{1083}(400,·)$, $\chi_{1083}(913,·)$, $\chi_{1083}(20,·)$, $\chi_{1083}(533,·)$, $\chi_{1083}(1046,·)$, $\chi_{1083}(286,·)$, $\chi_{1083}(799,·)$, $\chi_{1083}(419,·)$, $\chi_{1083}(932,·)$, $\chi_{1083}(172,·)$, $\chi_{1083}(685,·)$, $\chi_{1083}(305,·)$, $\chi_{1083}(818,·)$, $\chi_{1083}(58,·)$, $\chi_{1083}(571,·)$, $\chi_{1083}(191,·)$, $\chi_{1083}(704,·)$, $\chi_{1083}(457,·)$, $\chi_{1083}(970,·)$, $\chi_{1083}(77,·)$, $\chi_{1083}(590,·)$, $\chi_{1083}(343,·)$, $\chi_{1083}(856,·)$, $\chi_{1083}(476,·)$, $\chi_{1083}(989,·)$, $\chi_{1083}(229,·)$, $\chi_{1083}(742,·)$, $\chi_{1083}(362,·)$, $\chi_{1083}(875,·)$, $\chi_{1083}(115,·)$, $\chi_{1083}(628,·)$, $\chi_{1083}(248,·)$, $\chi_{1083}(761,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:  unavailable$^{262144}$

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{11\!\cdots\!03}a^{36}-\frac{10\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{35}+\frac{36\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!03}a^{34}-\frac{54\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!03}a^{33}-\frac{15\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{32}-\frac{24\!\cdots\!95}{11\!\cdots\!03}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!03}a^{30}-\frac{44\!\cdots\!36}{11\!\cdots\!03}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!03}a^{28}-\frac{44\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!03}a^{27}+\frac{56\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!03}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!03}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!03}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!03}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!03}a^{22}-\frac{32\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!03}a^{21}-\frac{47\!\cdots\!44}{11\!\cdots\!03}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!23}{11\!\cdots\!03}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!03}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!03}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!18}{11\!\cdots\!03}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!03}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!41}{11\!\cdots\!03}a^{13}-\frac{35\!\cdots\!61}{11\!\cdots\!03}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!03}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!03}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!43}{11\!\cdots\!03}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!03}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!59}{11\!\cdots\!03}a^{7}-\frac{49\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!03}a^{6}-\frac{32\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!03}a^{5}-\frac{42\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!03}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!03}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!03}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!03}a+\frac{25\!\cdots\!12}{11\!\cdots\!03}$, $\frac{1}{43\!\cdots\!39}a^{37}-\frac{15\!\cdots\!84}{19\!\cdots\!69}a^{36}-\frac{29\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!39}a^{35}+\frac{14\!\cdots\!72}{43\!\cdots\!39}a^{34}+\frac{19\!\cdots\!64}{43\!\cdots\!39}a^{33}+\frac{36\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!39}a^{32}-\frac{14\!\cdots\!88}{43\!\cdots\!39}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!43}{43\!\cdots\!39}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!51}a^{29}+\frac{21\!\cdots\!58}{43\!\cdots\!39}a^{28}-\frac{21\!\cdots\!13}{43\!\cdots\!39}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!29}{43\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!96}{43\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!54}{43\!\cdots\!39}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!33}{43\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{60\!\cdots\!70}{43\!\cdots\!39}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!15}{43\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{88\!\cdots\!46}{43\!\cdots\!39}a^{20}-\frac{39\!\cdots\!65}{43\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{16\!\cdots\!46}{43\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{83\!\cdots\!76}{34\!\cdots\!57}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!98}{43\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!68}{43\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!78}{43\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{94\!\cdots\!48}{43\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{51\!\cdots\!79}{43\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!39}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!92}{43\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{24\!\cdots\!28}{43\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!97}{43\!\cdots\!39}a^{8}+\frac{17\!\cdots\!03}{43\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!61}{43\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!37}{43\!\cdots\!39}a^{5}-\frac{14\!\cdots\!90}{43\!\cdots\!39}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!80}{43\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!57}{43\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!68}{43\!\cdots\!39}a+\frac{64\!\cdots\!25}{19\!\cdots\!69}$ Copy content Toggle raw display

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 
oscar: basis(OK)
 

Monogenic:  Not computed
Index:  $1$
Inessential primes:  None

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 
oscar: class_group(K)
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
 
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
 
Rank:  $18$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
oscar: rank(UK)
 
Torsion generator:   \( -\frac{22530326761863776860806693371179934443146445855346302334841707978206243225235057152230626388727654168585738064425406749653443672187450378653149812937117435814050560873024155797765636058831883000383577883572754465375903239}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{37} - \frac{113907461781614250071635107119052078681807631349543068712722399860521950707748438566988270198786426195883726919299394587348040928909345648490279654746329231384433290215575694026220921012975192178473559141665743268}{22072699676209878037579698393152000623153716808543646770806018978686609709885802911263461322374235579338684567839354111971916874953378214900134692813903224907198103078984826073497338133143878575983585487673133427511090304825420721} a^{36} - \frac{3843254373995692087782875704772084738322472188582553704014843733026610907061562805671643987276126144235525969190691909481513141719213748744922864058041649734245129750485062430606051542816878504652194408814051274982295401297}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{35} + \frac{1675722230910161813759051110542622605202333984917026800978790559850181255624115933720990045967284391135382313892011589064595782398669955120893504819826410081979393088649864018244000105587986473176866876991751926929119175165}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{34} - \frac{391924959581065159856469545343576509321967098464435063526529674169020896942484565861627379815218690614380170482334941880155087978796553530875347375756229100331356145803679787615821637356324809089598139106194155078024934053021}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{33} + \frac{412687973658194585767964112148726269646986772855417004727169395162106977899164935335771607617748937154716002712117541578661523306602396753849927211548420512546933312801578447582069368532233342992596983502917233804381149531634}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{32} - \frac{26092697944557824295627885470988144340320067452646374512191655591549021696986103315052632296466950031291728184546431936481561906621339274055964771462154846410841613195076840648271356886317531678102798959542312069146935662534706}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{31} + \frac{39666409762676483741980896694989180889930627032928590748745884850962107544513025109410668636939300070769452586353733602682130608094220384010089494848917337452326062642581540723100009480207934678039667472106358682797675460374129}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{30} - \frac{1281441001516779125520075901662216272492790956741423251193095706090651196736470059812875171310506512458261984090616895396418112807618046348301753070814059421639565769658637071495825517850023487541012431319462018176156264575185106}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{29} + \frac{2144622866228528794365097124998844579115523872958985017377690299301401102128362442654884382291577744782928341400068895767708221625166108744914264562577355531319103041648629401545554016418777080709962241595383766728910154724949096}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{28} - \frac{46704637254668686911591664384635125995356992715036471768205162733390344029428627344306359599924936627583382137739630888006379420345222709310480624758753028407716381545162504553542399412129515419608651191862974003310223722390641270}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{27} + \frac{78701591951455177184770348847130487345505751871584489924903602765448791322777755753165636824381479078809771583152775805647231130410350012500991002657048879052110428428870912271140043720850263662334887713703379715045279009676844470}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{26} - \frac{1307181762466142806957950374780164710947307492474792316259042230817359376464250886677521123726250009464252441696100492304715966092740509872536891722738986305690689208930316122184114272641791902716490067548019648712840909836620229488}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{25} + \frac{1987958700244207053321635396900014970940811565197308198699125540415612606772459682133526477453365319774807203821613451948195209891687826606966083110898951604451836404558225797093396865842527499138071051455306487419801660841016978191}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{24} - \frac{27589166235937567250863167981867180988845655487867776428715164556277635755201729660008834675686359607590311693093735029022537400527532651473892284950749407491581167755350266044817569258712407204572871035341387128677244507151547282106}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{23} + \frac{34251044238656324908011074043876409874763578766605303245322165018516615697005069567370665334252164442379693585548228856066633821095253590290944299621213470802580834801101909769132123248154836744999029190954685945649006350220038939872}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{22} - \frac{443716022210820842504284255223932528646415892539115802997621872778820975341879767913058089923032557294085254974117185018886306992300282435099339057205851600025127186586224991453151474066617799267980044400586880014767037714519982624129}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{21} + \frac{378183146207399778372724142487967337154866769701643095822113919025355058437508369108031551535510115748780074982043634072627114660234359323213694189561983360821150515953532267934920306221485957441384823872451208422101280068072953075756}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{20} - \frac{41379088913150757098661941910983520641851850813883759985044527306152537029288078970139161267057661881228352481519169543724513111034224740905793929234752683624243318726664187965153955172690942119022012709863583464777748265165812243327}{38562037146793614418160716440798511895859747395977652265834317128195133858305846762332122863960254136563115465512767816364845122582806453920240605187330502889465043495910597126804904149409187969438868403228959289628477662345741649746813} a^{19} + \frac{1898658737393431871640847561559615927156478961293106212219682618965304185546986599069988516107458031616904072908586809249010040492024090683075822444134076180608403213558789057031287368865273417515955316556627352822983818004791609762183}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{18} - \frac{46993057305115998685653077494772236854764422963351533082096605505967304501486110810212086924050243332295335843632507966013612408653810470356095604622411803983454095922802084065660407757350815837768354969443024978489690388720444812915093}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{17} - \frac{2791640802275493160600261072084193404686648652477475923530422644653577423515309932434093531025059771549864582973059162185211121835454025915164700607688262120715273006308101234171764044929518862916256375148642573989268877227358818249924}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{16} - \frac{317061488164572869892278649016169853699748679213795980459152982365051382928080316155670051836243405544796023867051391740466975566017806780269575093000408862396121001392500598384886606616100934009707437312067691292148143987690957636352625}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{15} - \frac{146324473750586877343576578501909057387835328784858539648244149796734016395304834557616459707000360800068837077192222806354680466013378725480656553108459480558293769010267906924154325454797311705860017115957841874273166965350630414291050}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{14} - \frac{1579245683802990622160626937451152154520951407018518256334700888030173366876843577788179344959402672436963072653912700429238132895212618280303701617540680509748445247648874922267232503257739530215022060466851613780646354227942612859572340}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{13} - \frac{1055551412585406686529774021010852946792568819636835616650658304294777475545025923382730769840345330908747246272941692265613198501671987700062956787436924635571233526599292213278401574190099923378463862344864200172910235468997303090615582}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{12} - \frac{5545258911653949282950427666404186943267575321327965085523529375577645473101249000609333068640486929056442233265526499961297732129114026213005793278431890652191145070403168252454919970500846960687549188219092443416761820168874928939404591}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{11} - \frac{4854739076011869135087031725062496059463182626423633893951144350392204576347787733591431269077955347001864468684341056468836996296730821966603487140828288567014885519729014958339572701076564864478331864994873395659547666195458899862800033}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{10} - \frac{13377135092794154572344975866989731124484807251363952567136973059586265410179717159899363496482447760638508334480094472553937416814545967536884285028382564485862893696445070163710414065357674268339936708479631106043405221400760606583045247}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{9} - \frac{12255205878614074121230934028099898615181145047734549715606633217793866323261826899808488295223393928766897874656982960745997829157088829876795360284664470597139458675418605482961193851335932974206951523976329532100997209907645586000592192}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{8} - \frac{18369232928652602674719638721129888546441563318551617702421932111009136524354139509905023072195216212237316660359683877785783808607673262258951404334229539913301869641718174629409323362759768293819652242316162684523612264275753773332899639}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{7} - \frac{23672881429618117499338885158191468830945648642914490978629336720954638656014983585879356262783582968026804849472116984907526697733487919395338363119744244259835667964100100603324039186663721622753581515506263630056767603885438284177439369}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{6} - \frac{15389800415537921155365581027604158550660523832224037208896467782329866661750112454909149591798382344011249872125954485129901321289079850834746335265626655190733883747687407594398615885567831855227432597632595533561394768333572320581975319}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{5} - \frac{26278160669371516448778428205614986271799722526404647933223795921605906399874132966651982007757702952747963349800515632814898996954458542000790561284937116847070010467827730020908074633730925343031810887564271330009455894731075247115866298}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{4} + \frac{2116574425105164256535941101263736502420615031804809923176728716223289775159163304468054234379961160899467070824229608268562389238573496770992034731170548653122108477333616732080158020358277989675406513607507870953373204681168918427262905}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{3} - \frac{24903860072271205193326363826524917643931642738708456453030619512078905615053169826916578778349773923849209468889131237272657400427920371660443683390851291569025120865689809395065483886428481046825514022269470077238455955669365504509813769}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a^{2} + \frac{127328419888619263740305741178594505955600385460567562958669951371043497224249274046313768874312886178691121611178229618983784263570738603707457491985790422051981589468862651491644861872614078355234533460023165493451421703422619940680076}{4897378717642789031106410987981411010774187919289161837760958275280782000004842538816179603722952275343515664120121512678335330568016419647870556858790973866962060523980645835104222826974966872118736287210077829782816663117909189517845251} a - \frac{6742809083401346677613729528123239377869954769265914808779695914143049813696906407398483813180918285272519201562106153599970838113744298213948928371121782931920264433980632901438591636231337237313969048362733630786434720582951878}{22072699676209878037579698393152000623153716808543646770806018978686609709885802911263461322374235579338684567839354111971916874953378214900134692813903224907198103078984826073497338133143878575983585487673133427511090304825420721} \)  (order $6$) Copy content Toggle raw display
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
oscar: torsion_units_generator(OK)
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
 
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 
oscar: regulator(K)
 

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr $ not computed \end{aligned}\]

# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
 
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 + 171*x^36 - 266*x^35 + 17765*x^34 - 38323*x^33 + 1208419*x^32 - 3128616*x^31 + 60877083*x^30 - 164538138*x^29 + 2281935169*x^28 - 6108816122*x^27 + 65770773122*x^26 - 164067939585*x^25 + 1434043198618*x^24 - 3182597959136*x^23 + 23807715304970*x^22 - 44488778447299*x^21 + 291967423046375*x^20 - 424722852053838*x^19 + 2667130160996125*x^18 - 2974990157993691*x^17 + 18341053997864450*x^16 - 14685757775285777*x^15 + 92760878311304464*x^14 - 59049250104163667*x^13 + 342353164732402796*x^12 - 172475502215832115*x^11 + 890393108976853995*x^10 - 452012764582067042*x^9 + 1563583757111096932*x^8 - 707974172043966504*x^7 + 1816769368682524829*x^6 - 831929210861393479*x^5 + 1134167336866808190*x^4 - 228910989279510535*x^3 + 271437005032832706*x^2 - 30519054068376079*x + 49228485006254761)
 
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
 
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
 
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
 
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
 
K = bnfinit(x^38 + 171*x^36 - 266*x^35 + 17765*x^34 - 38323*x^33 + 1208419*x^32 - 3128616*x^31 + 60877083*x^30 - 164538138*x^29 + 2281935169*x^28 - 6108816122*x^27 + 65770773122*x^26 - 164067939585*x^25 + 1434043198618*x^24 - 3182597959136*x^23 + 23807715304970*x^22 - 44488778447299*x^21 + 291967423046375*x^20 - 424722852053838*x^19 + 2667130160996125*x^18 - 2974990157993691*x^17 + 18341053997864450*x^16 - 14685757775285777*x^15 + 92760878311304464*x^14 - 59049250104163667*x^13 + 342353164732402796*x^12 - 172475502215832115*x^11 + 890393108976853995*x^10 - 452012764582067042*x^9 + 1563583757111096932*x^8 - 707974172043966504*x^7 + 1816769368682524829*x^6 - 831929210861393479*x^5 + 1134167336866808190*x^4 - 228910989279510535*x^3 + 271437005032832706*x^2 - 30519054068376079*x + 49228485006254761, 1);
 
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
 
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
 
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^38 + 171*x^36 - 266*x^35 + 17765*x^34 - 38323*x^33 + 1208419*x^32 - 3128616*x^31 + 60877083*x^30 - 164538138*x^29 + 2281935169*x^28 - 6108816122*x^27 + 65770773122*x^26 - 164067939585*x^25 + 1434043198618*x^24 - 3182597959136*x^23 + 23807715304970*x^22 - 44488778447299*x^21 + 291967423046375*x^20 - 424722852053838*x^19 + 2667130160996125*x^18 - 2974990157993691*x^17 + 18341053997864450*x^16 - 14685757775285777*x^15 + 92760878311304464*x^14 - 59049250104163667*x^13 + 342353164732402796*x^12 - 172475502215832115*x^11 + 890393108976853995*x^10 - 452012764582067042*x^9 + 1563583757111096932*x^8 - 707974172043966504*x^7 + 1816769368682524829*x^6 - 831929210861393479*x^5 + 1134167336866808190*x^4 - 228910989279510535*x^3 + 271437005032832706*x^2 - 30519054068376079*x + 49228485006254761);
 
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
 
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
 
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
 
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
 
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
 
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
 
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^38 + 171*x^36 - 266*x^35 + 17765*x^34 - 38323*x^33 + 1208419*x^32 - 3128616*x^31 + 60877083*x^30 - 164538138*x^29 + 2281935169*x^28 - 6108816122*x^27 + 65770773122*x^26 - 164067939585*x^25 + 1434043198618*x^24 - 3182597959136*x^23 + 23807715304970*x^22 - 44488778447299*x^21 + 291967423046375*x^20 - 424722852053838*x^19 + 2667130160996125*x^18 - 2974990157993691*x^17 + 18341053997864450*x^16 - 14685757775285777*x^15 + 92760878311304464*x^14 - 59049250104163667*x^13 + 342353164732402796*x^12 - 172475502215832115*x^11 + 890393108976853995*x^10 - 452012764582067042*x^9 + 1563583757111096932*x^8 - 707974172043966504*x^7 + 1816769368682524829*x^6 - 831929210861393479*x^5 + 1134167336866808190*x^4 - 228910989279510535*x^3 + 271437005032832706*x^2 - 30519054068376079*x + 49228485006254761);
 
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
 
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
 
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
 
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
 
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: G = GaloisGroup(K);
 
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), 19.19.10842505080063916320800450434338728415281531281.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

sage: K.subfields()[1:-1]
 
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
 
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
 
oscar: subfields(K)[2:end-1]
 

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $38$ R $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ R $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
 
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
 
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
 
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
 
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
 
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
 
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
\(3\) Copy content Toggle raw display Deg $38$$2$$19$$19$
\(19\) Copy content Toggle raw display 19.19.36.1$x^{19} + 342 x^{18} + 19$$19$$1$$36$$C_{19}$$[2]$
19.19.36.1$x^{19} + 342 x^{18} + 19$$19$$1$$36$$C_{19}$$[2]$