Properties

Label 38.0.105...139.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-1.052\times 10^{97}$
Root discriminant $357.44$
Ramified prime $419$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 + 6*x^36 - 46*x^35 - 866*x^34 - 2262*x^33 - 8218*x^32 - 21902*x^31 + 431634*x^30 + 845654*x^29 + 12392062*x^28 + 22625646*x^27 + 131347110*x^26 + 99749222*x^25 + 35665294*x^24 - 866315187*x^23 - 258426421*x^22 + 17785842992*x^21 + 90256146871*x^20 + 153552360949*x^19 + 435041961961*x^18 - 1392669637447*x^17 + 1076840441256*x^16 - 9935143209215*x^15 + 31070017846749*x^14 - 17675958023404*x^13 + 138250934902501*x^12 - 327233950365006*x^11 + 433153745352823*x^10 - 1944991946784557*x^9 + 5889532748622531*x^8 - 11577094600459131*x^7 + 25495193933767723*x^6 - 50712315827213047*x^5 + 74651226530405679*x^4 - 82308207923451862*x^3 + 77528185035084423*x^2 - 59368882440546583*x + 25758699005655811)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - x^37 + 6*x^36 - 46*x^35 - 866*x^34 - 2262*x^33 - 8218*x^32 - 21902*x^31 + 431634*x^30 + 845654*x^29 + 12392062*x^28 + 22625646*x^27 + 131347110*x^26 + 99749222*x^25 + 35665294*x^24 - 866315187*x^23 - 258426421*x^22 + 17785842992*x^21 + 90256146871*x^20 + 153552360949*x^19 + 435041961961*x^18 - 1392669637447*x^17 + 1076840441256*x^16 - 9935143209215*x^15 + 31070017846749*x^14 - 17675958023404*x^13 + 138250934902501*x^12 - 327233950365006*x^11 + 433153745352823*x^10 - 1944991946784557*x^9 + 5889532748622531*x^8 - 11577094600459131*x^7 + 25495193933767723*x^6 - 50712315827213047*x^5 + 74651226530405679*x^4 - 82308207923451862*x^3 + 77528185035084423*x^2 - 59368882440546583*x + 25758699005655811, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![25758699005655811, -59368882440546583, 77528185035084423, -82308207923451862, 74651226530405679, -50712315827213047, 25495193933767723, -11577094600459131, 5889532748622531, -1944991946784557, 433153745352823, -327233950365006, 138250934902501, -17675958023404, 31070017846749, -9935143209215, 1076840441256, -1392669637447, 435041961961, 153552360949, 90256146871, 17785842992, -258426421, -866315187, 35665294, 99749222, 131347110, 22625646, 12392062, 845654, 431634, -21902, -8218, -2262, -866, -46, 6, -1, 1]);
 

\( x^{38} - x^{37} + 6 x^{36} - 46 x^{35} - 866 x^{34} - 2262 x^{33} - 8218 x^{32} - 21902 x^{31} + 431634 x^{30} + 845654 x^{29} + 12392062 x^{28} + 22625646 x^{27} + 131347110 x^{26} + 99749222 x^{25} + 35665294 x^{24} - 866315187 x^{23} - 258426421 x^{22} + 17785842992 x^{21} + 90256146871 x^{20} + 153552360949 x^{19} + 435041961961 x^{18} - 1392669637447 x^{17} + 1076840441256 x^{16} - 9935143209215 x^{15} + 31070017846749 x^{14} - 17675958023404 x^{13} + 138250934902501 x^{12} - 327233950365006 x^{11} + 433153745352823 x^{10} - 1944991946784557 x^{9} + 5889532748622531 x^{8} - 11577094600459131 x^{7} + 25495193933767723 x^{6} - 50712315827213047 x^{5} + 74651226530405679 x^{4} - 82308207923451862 x^{3} + 77528185035084423 x^{2} - 59368882440546583 x + 25758699005655811 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 19]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-10\!\cdots\!139\)\(\medspace = -\,419^{37}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $357.44$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $419$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(419\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{419}(1,·)$, $\chi_{419}(7,·)$, $\chi_{419}(136,·)$, $\chi_{419}(139,·)$, $\chi_{419}(280,·)$, $\chi_{419}(283,·)$, $\chi_{419}(412,·)$, $\chi_{419}(418,·)$, $\chi_{419}(305,·)$, $\chi_{419}(40,·)$, $\chi_{419}(284,·)$, $\chi_{419}(171,·)$, $\chi_{419}(114,·)$, $\chi_{419}(47,·)$, $\chi_{419}(49,·)$, $\chi_{419}(306,·)$, $\chi_{419}(312,·)$, $\chi_{419}(60,·)$, $\chi_{419}(215,·)$, $\chi_{419}(199,·)$, $\chi_{419}(329,·)$, $\chi_{419}(330,·)$, $\chi_{419}(204,·)$, $\chi_{419}(208,·)$, $\chi_{419}(211,·)$, $\chi_{419}(220,·)$, $\chi_{419}(343,·)$, $\chi_{419}(89,·)$, $\chi_{419}(90,·)$, $\chi_{419}(135,·)$, $\chi_{419}(359,·)$, $\chi_{419}(107,·)$, $\chi_{419}(76,·)$, $\chi_{419}(113,·)$, $\chi_{419}(370,·)$, $\chi_{419}(372,·)$, $\chi_{419}(248,·)$, $\chi_{419}(379,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $\frac{1}{13} a^{13} - \frac{1}{13} a$, $\frac{1}{13} a^{14} - \frac{1}{13} a^{2}$, $\frac{1}{13} a^{15} - \frac{1}{13} a^{3}$, $\frac{1}{13} a^{16} - \frac{1}{13} a^{4}$, $\frac{1}{13} a^{17} - \frac{1}{13} a^{5}$, $\frac{1}{13} a^{18} - \frac{1}{13} a^{6}$, $\frac{1}{13} a^{19} - \frac{1}{13} a^{7}$, $\frac{1}{13} a^{20} - \frac{1}{13} a^{8}$, $\frac{1}{13} a^{21} - \frac{1}{13} a^{9}$, $\frac{1}{13} a^{22} - \frac{1}{13} a^{10}$, $\frac{1}{169} a^{23} + \frac{1}{169} a^{22} + \frac{3}{169} a^{21} + \frac{5}{169} a^{20} - \frac{2}{169} a^{19} - \frac{5}{169} a^{18} + \frac{4}{169} a^{17} - \frac{6}{169} a^{16} + \frac{2}{169} a^{15} + \frac{3}{169} a^{14} - \frac{6}{169} a^{13} + \frac{6}{13} a^{12} - \frac{66}{169} a^{11} - \frac{40}{169} a^{10} - \frac{3}{169} a^{9} - \frac{83}{169} a^{8} - \frac{76}{169} a^{7} - \frac{60}{169} a^{6} - \frac{56}{169} a^{5} - \frac{7}{169} a^{4} + \frac{50}{169} a^{3} + \frac{23}{169} a^{2} - \frac{33}{169} a - \frac{5}{13}$, $\frac{1}{169} a^{24} + \frac{2}{169} a^{22} + \frac{2}{169} a^{21} + \frac{6}{169} a^{20} - \frac{3}{169} a^{19} - \frac{4}{169} a^{18} + \frac{3}{169} a^{17} - \frac{5}{169} a^{16} + \frac{1}{169} a^{15} + \frac{4}{169} a^{14} + \frac{6}{169} a^{13} + \frac{25}{169} a^{12} + \frac{2}{13} a^{11} + \frac{37}{169} a^{10} - \frac{80}{169} a^{9} - \frac{6}{169} a^{8} + \frac{16}{169} a^{7} + \frac{17}{169} a^{6} + \frac{36}{169} a^{5} + \frac{70}{169} a^{4} - \frac{27}{169} a^{3} - \frac{69}{169} a^{2} + \frac{46}{169} a + \frac{5}{13}$, $\frac{1}{169} a^{25} - \frac{2}{169} a^{13} + \frac{3}{13} a^{12} + \frac{1}{169} a - \frac{3}{13}$, $\frac{1}{169} a^{26} - \frac{2}{169} a^{14} + \frac{1}{169} a^{2}$, $\frac{1}{169} a^{27} - \frac{2}{169} a^{15} + \frac{1}{169} a^{3}$, $\frac{1}{9971} a^{28} - \frac{5}{9971} a^{27} - \frac{2}{9971} a^{26} - \frac{11}{9971} a^{25} - \frac{20}{9971} a^{24} - \frac{28}{9971} a^{23} - \frac{133}{9971} a^{22} + \frac{357}{9971} a^{21} - \frac{6}{767} a^{20} + \frac{337}{9971} a^{19} + \frac{324}{9971} a^{18} - \frac{6}{169} a^{17} + \frac{19}{9971} a^{16} - \frac{209}{9971} a^{15} - \frac{277}{9971} a^{14} - \frac{125}{9971} a^{13} - \frac{1085}{9971} a^{12} - \frac{3404}{9971} a^{11} - \frac{3949}{9971} a^{10} + \frac{358}{9971} a^{9} + \frac{174}{767} a^{8} - \frac{3821}{9971} a^{7} - \frac{2989}{9971} a^{6} - \frac{1843}{9971} a^{5} - \frac{1632}{9971} a^{4} - \frac{4102}{9971} a^{3} + \frac{3048}{9971} a^{2} + \frac{188}{9971} a + \frac{3}{13}$, $\frac{1}{129623} a^{29} + \frac{7}{9971} a^{27} + \frac{274}{129623} a^{26} - \frac{252}{129623} a^{25} + \frac{49}{129623} a^{24} - \frac{214}{129623} a^{23} - \frac{4497}{129623} a^{22} - \frac{2364}{129623} a^{21} - \frac{4065}{129623} a^{20} + \frac{4428}{129623} a^{19} + \frac{1797}{129623} a^{18} - \frac{1751}{129623} a^{17} - \frac{4421}{129623} a^{16} - \frac{2030}{129623} a^{15} + \frac{4154}{129623} a^{14} - \frac{1415}{129623} a^{13} - \frac{36618}{129623} a^{12} - \frac{20261}{129623} a^{11} - \frac{10596}{129623} a^{10} + \frac{54143}{129623} a^{9} - \frac{3072}{129623} a^{8} - \frac{56727}{129623} a^{7} + \frac{40973}{129623} a^{6} - \frac{7012}{129623} a^{5} - \frac{37101}{129623} a^{4} + \frac{41420}{129623} a^{3} - \frac{60328}{129623} a^{2} + \frac{55}{129623} a + \frac{60}{169}$, $\frac{1}{129623} a^{30} - \frac{38}{129623} a^{27} - \frac{70}{129623} a^{26} + \frac{283}{129623} a^{25} + \frac{72}{129623} a^{24} + \frac{352}{129623} a^{23} - \frac{999}{129623} a^{22} - \frac{2804}{129623} a^{21} + \frac{3856}{129623} a^{20} + \frac{1043}{129623} a^{19} + \frac{3280}{129623} a^{18} + \frac{2482}{129623} a^{17} + \frac{76}{129623} a^{16} - \frac{2138}{129623} a^{15} + \frac{4617}{129623} a^{14} + \frac{3136}{129623} a^{13} + \frac{60066}{129623} a^{12} - \frac{22205}{129623} a^{11} + \frac{15429}{129623} a^{10} + \frac{50254}{129623} a^{9} - \frac{45508}{129623} a^{8} + \frac{29728}{129623} a^{7} + \frac{60965}{129623} a^{6} - \frac{23555}{129623} a^{5} + \frac{56474}{129623} a^{4} - \frac{19924}{129623} a^{3} + \frac{31021}{129623} a^{2} - \frac{2968}{9971} a - \frac{4}{13}$, $\frac{1}{129623} a^{31} + \frac{1}{129623} a^{28} - \frac{265}{129623} a^{27} + \frac{205}{129623} a^{26} - \frac{357}{129623} a^{25} + \frac{339}{129623} a^{24} + \frac{210}{129623} a^{23} - \frac{4156}{129623} a^{22} - \frac{3697}{129623} a^{21} + \frac{4137}{129623} a^{20} - \frac{451}{129623} a^{19} + \frac{545}{129623} a^{18} - \frac{2225}{129623} a^{17} + \frac{904}{129623} a^{16} + \frac{1835}{129623} a^{15} + \frac{2304}{129623} a^{14} - \frac{3868}{129623} a^{13} + \frac{4510}{129623} a^{12} + \frac{9995}{129623} a^{11} - \frac{37795}{129623} a^{10} + \frac{59727}{129623} a^{9} + \frac{61955}{129623} a^{8} + \frac{18559}{129623} a^{7} - \frac{5901}{129623} a^{6} + \frac{12976}{129623} a^{5} + \frac{63692}{129623} a^{4} - \frac{34616}{129623} a^{3} - \frac{3795}{9971} a^{2} - \frac{1796}{9971} a - \frac{1}{13}$, $\frac{1}{1685099} a^{32} + \frac{2}{1685099} a^{31} - \frac{5}{1685099} a^{30} + \frac{3}{1685099} a^{29} - \frac{55}{1685099} a^{28} - \frac{1760}{1685099} a^{27} - \frac{999}{1685099} a^{26} - \frac{4582}{1685099} a^{25} + \frac{4903}{1685099} a^{24} - \frac{2544}{1685099} a^{23} + \frac{42232}{1685099} a^{22} + \frac{25067}{1685099} a^{21} - \frac{18937}{1685099} a^{20} - \frac{60078}{1685099} a^{19} + \frac{53451}{1685099} a^{18} - \frac{1050}{1685099} a^{17} - \frac{49181}{1685099} a^{16} - \frac{42373}{1685099} a^{15} - \frac{27167}{1685099} a^{14} - \frac{4793}{129623} a^{13} + \frac{348606}{1685099} a^{12} - \frac{784190}{1685099} a^{11} - \frac{144048}{1685099} a^{10} + \frac{547011}{1685099} a^{9} - \frac{418917}{1685099} a^{8} + \frac{55058}{1685099} a^{7} + \frac{353103}{1685099} a^{6} - \frac{431554}{1685099} a^{5} + \frac{521162}{1685099} a^{4} + \frac{130310}{1685099} a^{3} - \frac{763963}{1685099} a^{2} + \frac{269808}{1685099} a - \frac{439}{2197}$, $\frac{1}{1685099} a^{33} + \frac{4}{1685099} a^{31} + \frac{4}{1685099} a^{29} + \frac{53}{1685099} a^{28} - \frac{2965}{1685099} a^{27} - \frac{4521}{1685099} a^{26} + \frac{690}{1685099} a^{25} + \frac{30}{129623} a^{24} + \frac{322}{129623} a^{23} + \frac{53}{129623} a^{22} - \frac{9908}{1685099} a^{21} + \frac{4157}{129623} a^{20} - \frac{55362}{1685099} a^{19} + \frac{14}{9971} a^{18} + \frac{27188}{1685099} a^{17} + \frac{10918}{1685099} a^{16} - \frac{36918}{1685099} a^{15} + \frac{23082}{1685099} a^{14} + \frac{9150}{1685099} a^{13} + \frac{51687}{129623} a^{12} - \frac{34668}{129623} a^{11} - \frac{24571}{129623} a^{10} + \frac{2471}{1685099} a^{9} + \frac{39900}{129623} a^{8} + \frac{93552}{1685099} a^{7} + \frac{2372}{9971} a^{6} - \frac{355221}{1685099} a^{5} - \frac{483833}{1685099} a^{4} - \frac{739376}{1685099} a^{3} - \frac{330366}{1685099} a^{2} - \frac{705951}{1685099} a - \frac{461}{2197}$, $\frac{1}{1685099} a^{34} + \frac{5}{1685099} a^{31} - \frac{2}{1685099} a^{30} + \frac{2}{1685099} a^{29} - \frac{28}{1685099} a^{28} + \frac{2935}{1685099} a^{27} + \frac{3048}{1685099} a^{26} - \frac{3226}{1685099} a^{25} + \frac{915}{1685099} a^{24} - \frac{3097}{1685099} a^{23} - \frac{62096}{1685099} a^{22} + \frac{58982}{1685099} a^{21} - \frac{8669}{1685099} a^{20} - \frac{28905}{1685099} a^{19} - \frac{37116}{1685099} a^{18} - \frac{79}{1685099} a^{17} - \frac{55318}{1685099} a^{16} - \frac{64384}{1685099} a^{15} - \frac{55693}{1685099} a^{14} + \frac{2148}{129623} a^{13} + \frac{261191}{1685099} a^{12} - \frac{283033}{1685099} a^{11} - \frac{408258}{1685099} a^{10} + \frac{615445}{1685099} a^{9} + \frac{202577}{1685099} a^{8} + \frac{543128}{1685099} a^{7} - \frac{346759}{1685099} a^{6} - \frac{672361}{1685099} a^{5} - \frac{537480}{1685099} a^{4} - \frac{568362}{1685099} a^{3} - \frac{747804}{1685099} a^{2} - \frac{147184}{1685099} a + \frac{261}{2197}$, $\frac{1}{21906287} a^{35} - \frac{1}{21906287} a^{34} - \frac{4}{21906287} a^{33} + \frac{1}{21906287} a^{32} + \frac{60}{21906287} a^{31} + \frac{11}{21906287} a^{30} - \frac{45}{21906287} a^{29} - \frac{487}{21906287} a^{28} - \frac{45506}{21906287} a^{27} - \frac{13795}{21906287} a^{26} + \frac{39248}{21906287} a^{25} - \frac{396}{371293} a^{24} - \frac{44182}{21906287} a^{23} - \frac{32172}{21906287} a^{22} + \frac{8967}{21906287} a^{21} + \frac{379693}{21906287} a^{20} + \frac{646469}{21906287} a^{19} - \frac{717502}{21906287} a^{18} - \frac{596773}{21906287} a^{17} - \frac{158888}{21906287} a^{16} - \frac{90158}{21906287} a^{15} - \frac{32949}{1685099} a^{14} - \frac{139825}{21906287} a^{13} + \frac{8199246}{21906287} a^{12} + \frac{939010}{21906287} a^{11} - \frac{7465226}{21906287} a^{10} - \frac{7519089}{21906287} a^{9} - \frac{8368025}{21906287} a^{8} + \frac{137916}{1685099} a^{7} + \frac{5362807}{21906287} a^{6} + \frac{8376928}{21906287} a^{5} + \frac{3450871}{21906287} a^{4} - \frac{4761852}{21906287} a^{3} + \frac{9572227}{21906287} a^{2} - \frac{9709964}{21906287} a - \frac{8894}{28561}$, $\frac{1}{134572752638857} a^{36} + \frac{1248128}{134572752638857} a^{35} - \frac{1927240}{134572752638857} a^{34} + \frac{10735639}{134572752638857} a^{33} - \frac{34420093}{134572752638857} a^{32} - \frac{101921531}{134572752638857} a^{31} + \frac{268330474}{134572752638857} a^{30} - \frac{611545}{175453393271} a^{29} - \frac{282027124}{10351750202989} a^{28} + \frac{173090539899}{134572752638857} a^{27} - \frac{254445217010}{134572752638857} a^{26} + \frac{372238826618}{134572752638857} a^{25} + \frac{276265922889}{134572752638857} a^{24} - \frac{314952566619}{134572752638857} a^{23} - \frac{2369295696839}{134572752638857} a^{22} + \frac{1310286653304}{134572752638857} a^{21} + \frac{1901541152501}{134572752638857} a^{20} - \frac{4879535581412}{134572752638857} a^{19} - \frac{4698647154554}{134572752638857} a^{18} + \frac{5023042831098}{134572752638857} a^{17} - \frac{448992435620}{134572752638857} a^{16} + \frac{624459860846}{134572752638857} a^{15} - \frac{1562885053324}{134572752638857} a^{14} + \frac{90854860470}{10351750202989} a^{13} - \frac{39210557506415}{134572752638857} a^{12} - \frac{596720300909}{2280894112523} a^{11} - \frac{3542064171858}{134572752638857} a^{10} - \frac{25083869119891}{134572752638857} a^{9} - \frac{3817952153662}{134572752638857} a^{8} + \frac{11685510995361}{134572752638857} a^{7} - \frac{58433865046538}{134572752638857} a^{6} - \frac{59924972027524}{134572752638857} a^{5} - \frac{54481581119575}{134572752638857} a^{4} - \frac{195332700674}{134572752638857} a^{3} + \frac{39531220223216}{134572752638857} a^{2} - \frac{43230768250419}{134572752638857} a + \frac{21368912073}{175453393271}$, $\frac{1}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{37} - \frac{44198462392510524379055959145492570464983909876406299707148129424294849976321235952901932882270257816169360439058526757241180465902471296276213191753031344847461665866712776995465110728617137238547171423579417296385803167686374625659143603968982001}{46510201410183012982831426795751814801625657947280290158907670243486963352226173201641663465160944478642296036182758553584587219481100490796636332061345311495929182908967508454486365385903723383870753461121636142321145844490576620762318444570368642757751221423871} a^{36} - \frac{14349907432855700473317541919516297126486441967182102951911778949242281192127470923588309311688151830641435676104032451348429392258978499992190593442682944787711216027528626131236437254438454876523291737468427854107630372101019835305163188269729251606178}{1160523259755046389206926196439104783917722751083769236210748009914262041418311423457469529840868096396064968273274205751630775150200204184944860492893453069956006483333162399056281669897789642975661794615319135988819378077499992456641343146669467093763466177563} a^{35} - \frac{146045767626321535914022352853529426666704495599361546079226131966190878695167962970618921059233298219736249949514205543380785972517908540429660110129274734269804733039573413455111199160617668763634498352517281302343697521554948915627868946039886588588984801}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{34} + \frac{131024892111072858781954755299259853933998306310152653964707041711963643546717892175106511883522539145025148122533252462633080161714695719265533416700054897174197292554487032150330929837431550442446765658230786637250742358386148703848657677683522028653357465}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{33} - \frac{52223318590033555166690943591603935635477156805931026601134953066847714533843776719175909315042904316840610407682391327473811195738973540447671140671452024419692029050169902596134792704375933123048502246382481751966996326760762237739081421237951667421200023}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{32} + \frac{428783357776844241657009389689575365566341265884377763162596008873930818253502709924033169840844956797367772585975411420561333291322956260102662081140001403861353708598370224648723380225673169343642773169801618620266603172263615103516858185426190009952516345}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{31} + \frac{45033279036521052436320188705434225415824955803040017948845152947001024690668539813090005585969238981060546585686210017044525120329996051955405216445169592277050332768100622633124685213994422553558507944058585837589546507033720316149898114913627794056978342}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{30} + \frac{16459310766721857408097320111498964047409596134762208988050048019384452339099464171121333418336365320426204957220763502865470098786582178005415926310888414656693459973513661402373292998934964739749163863430111431929439734506103482047595525479999980219476719}{46510201410183012982831426795751814801625657947280290158907670243486963352226173201641663465160944478642296036182758553584587219481100490796636332061345311495929182908967508454486365385903723383870753461121636142321145844490576620762318444570368642757751221423871} a^{29} + \frac{16185627795432957846625413760317479508053718282056912716857578971368384978231723194871502318545758119055253420200486112505471836967999786568094669218567162384990761193418135159661247599969318005821438674846366347059367550447855494198771384216544701314959987151}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{28} - \frac{191628573202644472492392715687216366797041669550993887807317043807134387264768065409184202922812255613384625771899268594560977757221932164596187350206320529589439823839544830839339940376292048086433802848484433479079125484410198926447381021021816804575866384417}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{27} - \frac{848347539431796199006478151700620050063385186127665043000305757166515200706402211323839300485755752525207921797979839900090487119363939861117322986260484006992515611302221217751088288192116967999184355969435223659516652423447496133374534295076027861101816516619}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{26} + \frac{105071026427483693982671153766441629042977242926463014625090524952825398131735573114195103351340797877104833419224973292360065423495732474451699966879818178993069408255828463530391062672036606412737395550764992308524243594164874971244523371611459410165402621197}{46510201410183012982831426795751814801625657947280290158907670243486963352226173201641663465160944478642296036182758553584587219481100490796636332061345311495929182908967508454486365385903723383870753461121636142321145844490576620762318444570368642757751221423871} a^{25} - \frac{1513731917586637808408692484324683156257228404197623966793495797968059404982314696807612750045214032418960149782563827443998786956867084317536868008346204735592059857885617937477272882546180871638683868816863915719437270114396417771599073714334266113987829092356}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{24} - \frac{1037088531761117856038773660866694267200200789314761054418079630965928794663002551870793174470646173940445219990394537311176963988957024242204403842512254697369253645441907400643659584688286764006738284747863187372087432454326311682674731248925632878340002723597}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{23} - \frac{8578498923378188214285722824596967511264267695002798808631086545414245013314047871736750174996310416754304273183607951946565640201975924762095540801078706988127907815699216493752563549733584833398625418746416453295517406746377362162188897279085134205637079694292}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{22} + \frac{1630813514143437650517870393046693252490237281355701478807160612667575921948232157906526690698173349326711008327555655353666793759974019735342277830276821883925314445471077673839824810331770560777587495033713528812787577563456947863534068640238089822192492446479}{46510201410183012982831426795751814801625657947280290158907670243486963352226173201641663465160944478642296036182758553584587219481100490796636332061345311495929182908967508454486365385903723383870753461121636142321145844490576620762318444570368642757751221423871} a^{21} + \frac{17096263535398233481802437033774953571786260462576784385773761862337961477296673306614822797846948775500449018307600194729610957577697559640188677440658279520403821262443104569925401194512478691027223400067351154118056737569720650561730364031813762324062970734855}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{20} + \frac{22022009083385739330666736018379010647693759598089580669348274319117270029192817424049979124901738099119613465780782561282050045068765065952626324993512410050195390382774144343052924797528275440255596345087457096060821628522280908943986056569534599503306317036181}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{19} - \frac{14683733535632187777528089945324344186850152094878556036807144558859782926893337410919567610038037345699204389841956304703435437487216383717005442880562229834209068917474158019260063080256081465275798204780796735697341691391411267581102704344269737054302751849387}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{18} + \frac{5587294351753650891639268982798856214075128166874983129751035300348161423779821416903212624823508319157626801824118459071498986653822977517004610066949038476036456399400553919448267142292941520754052733476402957035476142247872210945360232657984260299933624624177}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{17} - \frac{17555804714654342450098831097529372248745471571914676960004069902606592650479869946669247740162124896089684485283414851531115471631953294794073743246281742834191985591247494781061268326662509865596402572640898115187087490573469515369769205695879966761168132916867}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{16} + \frac{21285642838360948771067337404262764867980239115163694014675472576413146113780432944060493924728662298921070774980080599557871032058631905819321767922534797498390120112036245536416763333283262114554803507248928054165090261492739634798700763741221477676422251857947}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{15} - \frac{4076791163466404940688932507409790610808916720317102426320194975176699550014902343990706093347928810094005340174959833956819219609458001775012727830602242345782165056286555403810983496963208873301454489133525673266299525403554102965785068846897064301347334262282}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{14} + \frac{10434784529455075911246964317660921714797328637269037708829700041018588130143583100264572884495031799861924052896777732219007068438695207914963797563227831179100397286658683402551742066310809951080128629081524915407447813040175446033166543646963207028444030040060}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{13} - \frac{135369188229793310259326493859446888736517798512493699469053476759732377814950518615628711454759317535138220448878748554903693794402830177243091808223599173261419972448197586784091537068692855283048628188100313211565858639503738824363781868266385974205640582861766}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{12} + \frac{265360688102202068827168362703442666795932749945249071675263317692981376253060321128835783595287512341837827281618582585589784216660204222807357020743687960526349321118366182405486196982734947775132187475818145450002508057236320760246894216356932986460062457646051}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{11} + \frac{15183486796683124993603325158497645937476475775598687834191789160937861248194879161199508200872671677019837695193396849738773319315583479263704559610722324492355392149810800543438360993538564498374396926521142802720380918840149451180850388548056214630440246462576}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{10} + \frac{297756605400768574885551130179069316375115471778812096708473478053218533611023914257092902673172430874673831649127864201366796050589951912361503815774872793370839891756185701546907769349680714580542698805739828732089075473648727734945339529981403617007268551845332}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{9} + \frac{9740928085024410871671739920454388293949237701122766899852805041862519862368888446951264717380986237890727174461454986921921232652358762458165028954685698214351601383258247633490173513247533270184957997185881798745422639868837392587738452644167135895594281416968}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{8} - \frac{77865790500714592260440847306012528428359048203224986494087610029056087348360259568396701386052216094753489510171436249561071355875213293958178490682692521418517584854160106729998338712766526090181857090760557287918620506824935212503933973728192946897233703682850}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{7} + \frac{181361685771889183553250858555876909222418501361821389661153458883783092629973576033287045407849342791820852011671330535802733875472737455958173693342655951576454463847675985944684179753158958910072922764090517756424919379480744056597052597106944093208994933653712}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{6} + \frac{80866175573318460350164918030433393237429306230541207634233543989586261275376341242177847286706619481390403603315766116759842015722839758372065846946153438779940088038161933901715925212865621984882137157214582380230641812126230333393607387441998318409626166111028}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{5} - \frac{31625437564203457070012777986464819440986486148045432214298520572038870370777010886386857353000865340334368675339296998171857051293981506450014457826953952633226519213591184066814043018660100158553098420769604917725227097680414395817406234157125868903296432372800}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{4} - \frac{2366985151652173243566776804356783747829593149799751830289893565709165941169017405219865386186838645060175409461030986178848894446275822306433273688603290956030384500147732890132494892627422044581759833088119809705436317883872324666500043341635818763840656290438}{10248010480209816419945907599063959193578534801943114780776266324836110569134580535954942797408343698683895736786031545705078539885666209836546988420296424566899650471467417117090216101978786508310504999908157116104659253870805018134070165752793090777131625059497} a^{3} + \frac{216981884782009576572540733126344903437519503903732660332151216097362126888861383528098582018865794010197775922304968094880196613617030937184748014315113992972754266165455203007296153657555326696912640978526630752512827932007085922292425312653238853369833054989907}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a^{2} + \frac{171045056952064734003541034586855811556639563264536066371127476704292535000657559567419711010088719310955129805407431647392194657624860533774780035188088632607374594497198367491279833069618542170938905707571353234067251094029883422009311732255632915960349893224399}{604632618332379168776808548344773592421133553314643772065799713165330523578940251621341625047092278222349848470375861196599633853254306380356272316797489049447079377816577609908322750016748403990319794994581269850174895978377496069910139779414792355850765878510323} a + \frac{250695804267213286092442370990701207597585009823684469402936965845571450608480310037225833184844294700133690183128614907172392589330995813428493564173207801143195218360397325835433585376006494854904878585420465772932919081009711936775933029700774158261610648130}{788308498477678186149685199927996861044502677072547290828943563448931582241121579688841753646795669129530441291233195823467579991205093064349768340022801889761511574728262855160785853998368192946961923069858239700358404143908078318005397365599468521317817312269}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $18$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-419}) \), 19.19.158435468857090504879482314342339950574787173641.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ ${\href{/LocalNumberField/13.1.0.1}{1} }^{38}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ ${\href{/LocalNumberField/59.1.0.1}{1} }^{38}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
419Data not computed