Properties

Label 38.0.104...707.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-1.046\times 10^{94}$
Root discriminant $297.98$
Ramified primes $3, 229$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 + 109*x^36 - 318*x^35 + 7607*x^34 - 26082*x^33 + 346271*x^32 - 1277601*x^31 + 11625429*x^30 - 40847577*x^29 + 278354747*x^28 - 890102893*x^27 + 4876149460*x^26 - 13377962627*x^25 + 59213347219*x^24 - 129738898417*x^23 + 497734200105*x^22 - 864588650146*x^21 + 3071362959747*x^20 - 3938571660134*x^19 + 13635086341776*x^18 - 11900678948488*x^17 + 45427254629183*x^16 - 23117165748554*x^15 + 104447793269632*x^14 - 20670309199584*x^13 + 172563580620384*x^12 + 14666610274324*x^11 + 167592119930922*x^10 + 69948796872392*x^9 + 125341715722354*x^8 + 63681900889938*x^7 + 64136735752211*x^6 + 36520042111943*x^5 + 22298249070088*x^4 + 8329262399475*x^3 + 2645555104756*x^2 + 468857415513*x + 63175314409)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - x^37 + 109*x^36 - 318*x^35 + 7607*x^34 - 26082*x^33 + 346271*x^32 - 1277601*x^31 + 11625429*x^30 - 40847577*x^29 + 278354747*x^28 - 890102893*x^27 + 4876149460*x^26 - 13377962627*x^25 + 59213347219*x^24 - 129738898417*x^23 + 497734200105*x^22 - 864588650146*x^21 + 3071362959747*x^20 - 3938571660134*x^19 + 13635086341776*x^18 - 11900678948488*x^17 + 45427254629183*x^16 - 23117165748554*x^15 + 104447793269632*x^14 - 20670309199584*x^13 + 172563580620384*x^12 + 14666610274324*x^11 + 167592119930922*x^10 + 69948796872392*x^9 + 125341715722354*x^8 + 63681900889938*x^7 + 64136735752211*x^6 + 36520042111943*x^5 + 22298249070088*x^4 + 8329262399475*x^3 + 2645555104756*x^2 + 468857415513*x + 63175314409, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![63175314409, 468857415513, 2645555104756, 8329262399475, 22298249070088, 36520042111943, 64136735752211, 63681900889938, 125341715722354, 69948796872392, 167592119930922, 14666610274324, 172563580620384, -20670309199584, 104447793269632, -23117165748554, 45427254629183, -11900678948488, 13635086341776, -3938571660134, 3071362959747, -864588650146, 497734200105, -129738898417, 59213347219, -13377962627, 4876149460, -890102893, 278354747, -40847577, 11625429, -1277601, 346271, -26082, 7607, -318, 109, -1, 1]);
 

\( x^{38} - x^{37} + 109 x^{36} - 318 x^{35} + 7607 x^{34} - 26082 x^{33} + 346271 x^{32} - 1277601 x^{31} + 11625429 x^{30} - 40847577 x^{29} + 278354747 x^{28} - 890102893 x^{27} + 4876149460 x^{26} - 13377962627 x^{25} + 59213347219 x^{24} - 129738898417 x^{23} + 497734200105 x^{22} - 864588650146 x^{21} + 3071362959747 x^{20} - 3938571660134 x^{19} + 13635086341776 x^{18} - 11900678948488 x^{17} + 45427254629183 x^{16} - 23117165748554 x^{15} + 104447793269632 x^{14} - 20670309199584 x^{13} + 172563580620384 x^{12} + 14666610274324 x^{11} + 167592119930922 x^{10} + 69948796872392 x^{9} + 125341715722354 x^{8} + 63681900889938 x^{7} + 64136735752211 x^{6} + 36520042111943 x^{5} + 22298249070088 x^{4} + 8329262399475 x^{3} + 2645555104756 x^{2} + 468857415513 x + 63175314409 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $38$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[0, 19]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(-10\!\cdots\!707\)\(\medspace = -\,3^{19}\cdot 229^{36}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $297.98$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $3, 229$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $38$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(687=3\cdot 229\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{687}(256,·)$, $\chi_{687}(1,·)$, $\chi_{687}(515,·)$, $\chi_{687}(214,·)$, $\chi_{687}(518,·)$, $\chi_{687}(394,·)$, $\chi_{687}(271,·)$, $\chi_{687}(272,·)$, $\chi_{687}(17,·)$, $\chi_{687}(661,·)$, $\chi_{687}(286,·)$, $\chi_{687}(161,·)$, $\chi_{687}(290,·)$, $\chi_{687}(676,·)$, $\chi_{687}(683,·)$, $\chi_{687}(44,·)$, $\chi_{687}(562,·)$, $\chi_{687}(53,·)$, $\chi_{687}(443,·)$, $\chi_{687}(61,·)$, $\chi_{687}(454,·)$, $\chi_{687}(289,·)$, $\chi_{687}(203,·)$, $\chi_{687}(43,·)$, $\chi_{687}(218,·)$, $\chi_{687}(475,·)$, $\chi_{687}(350,·)$, $\chi_{687}(16,·)$, $\chi_{687}(485,·)$, $\chi_{687}(230,·)$, $\chi_{687}(104,·)$, $\chi_{687}(619,·)$, $\chi_{687}(623,·)$, $\chi_{687}(500,·)$, $\chi_{687}(245,·)$, $\chi_{687}(502,·)$, $\chi_{687}(121,·)$, $\chi_{687}(511,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $\frac{1}{18779} a^{34} - \frac{1805}{18779} a^{33} + \frac{3105}{18779} a^{32} + \frac{7534}{18779} a^{31} + \frac{784}{18779} a^{30} - \frac{4677}{18779} a^{29} - \frac{5655}{18779} a^{28} - \frac{4996}{18779} a^{27} + \frac{2872}{18779} a^{26} - \frac{7351}{18779} a^{25} - \frac{6429}{18779} a^{24} - \frac{8866}{18779} a^{23} - \frac{7249}{18779} a^{22} + \frac{8899}{18779} a^{21} + \frac{6020}{18779} a^{20} + \frac{5750}{18779} a^{19} + \frac{6965}{18779} a^{18} + \frac{4291}{18779} a^{17} + \frac{8703}{18779} a^{16} + \frac{1645}{18779} a^{15} - \frac{6735}{18779} a^{14} + \frac{6263}{18779} a^{13} + \frac{2548}{18779} a^{12} - \frac{3228}{18779} a^{11} - \frac{4611}{18779} a^{10} + \frac{5579}{18779} a^{9} + \frac{8903}{18779} a^{8} + \frac{6950}{18779} a^{7} + \frac{4683}{18779} a^{6} - \frac{4035}{18779} a^{5} - \frac{8562}{18779} a^{4} + \frac{3332}{18779} a^{3} + \frac{5424}{18779} a^{2} + \frac{7714}{18779} a - \frac{4015}{18779}$, $\frac{1}{8582003} a^{35} - \frac{20}{8582003} a^{34} + \frac{574538}{8582003} a^{33} - \frac{3370066}{8582003} a^{32} - \frac{90685}{8582003} a^{31} + \frac{1432321}{8582003} a^{30} - \frac{4091267}{8582003} a^{29} - \frac{653334}{8582003} a^{28} - \frac{821239}{8582003} a^{27} + \frac{1569938}{8582003} a^{26} + \frac{2871744}{8582003} a^{25} + \frac{2562061}{8582003} a^{24} - \frac{3870836}{8582003} a^{23} - \frac{2902580}{8582003} a^{22} + \frac{78817}{8582003} a^{21} + \frac{460558}{8582003} a^{20} - \frac{3325281}{8582003} a^{19} + \frac{2690515}{8582003} a^{18} - \frac{2265953}{8582003} a^{17} - \frac{143965}{8582003} a^{16} + \frac{1934303}{8582003} a^{15} - \frac{2289}{96427} a^{14} - \frac{1756728}{8582003} a^{13} - \frac{3736587}{8582003} a^{12} + \frac{768501}{8582003} a^{11} - \frac{1858975}{8582003} a^{10} - \frac{3478346}{8582003} a^{9} - \frac{795726}{8582003} a^{8} - \frac{3701949}{8582003} a^{7} + \frac{2702641}{8582003} a^{6} - \frac{1013967}{8582003} a^{5} + \frac{738649}{8582003} a^{4} + \frac{1896780}{8582003} a^{3} - \frac{3568420}{8582003} a^{2} + \frac{113142}{8582003} a - \frac{2134003}{8582003}$, $\frac{1}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{36} - \frac{23659944393431133886767388973081310575685027033}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{35} + \frac{5609699180797188227394208522433978529714248912970}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{34} - \frac{204726552594297837809238279495664696102486043764833093}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{33} - \frac{192092432562162701613013581561059925233696283081640500}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{32} + \frac{99567937525873310890514501362891031568533068819184412}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{31} + \frac{61191126138445567317607581397512926375487371782461121}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{30} - \frac{91704696693849411652379537746999515463974455737837264}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{29} + \frac{51590918115815539029655224076182660024671982315704714}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{28} - \frac{131239138560478606244135609008606331581267698667962080}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{27} - \frac{213574059071384834269384942194060512216768584473173367}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{26} - \frac{69586831718774358993540984848379394699773996685920238}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{25} - \frac{50118895059765383772646827489262408779560902598601195}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{24} + \frac{135595608143254782564251416038576833586729187350039127}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{23} + \frac{35688799634294306439131087547504557154824043602400737}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{22} + \frac{30838162697508800641695906555371553220158152930396656}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{21} + \frac{18391476692614085744022175225179044228935434917171426}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{20} + \frac{157865412918956200462025181103451963020832749835797466}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{19} - \frac{237180062580463550119743779108983057019567920802313575}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{18} - \frac{182296605277439455479688297839149877950715167485306692}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{17} + \frac{231041055612517146517755384882175910808620512671748834}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{16} - \frac{168554202671231241838399633048175271787171329161204611}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{15} + \frac{243183629309284822605570002308321268557942603674652817}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{14} - \frac{91010076699096302398648537650846963281397343446139759}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{13} - \frac{116249493517933975601476206881015757594886096593617356}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{12} + \frac{165280420649449525749021022007188990977727713518845467}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{11} + \frac{156311879524747873671449641065090914807476042644139995}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{10} + \frac{45230552783923100719024377784367584946339794423944772}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{9} + \frac{104127205290233886670425326247299656688004240365903041}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{8} + \frac{206558709600951068643050218131067462606250570655674624}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{7} - \frac{27995509332995035318144745811606742681606243692236010}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{6} - \frac{225236759033988269874754869588521698904919478720649909}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{5} - \frac{75484340193996374144708619047743302176794906479573149}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{4} + \frac{168361992302230224129489531656817665037410953013488409}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{3} + \frac{169702718247831680942219856310471048860267805601034401}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a^{2} + \frac{99178480825912543008620168251740374479672958052540471}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641} a + \frac{71923992805824293958938771204600095202712814723312600}{487151067273389988026907814752969527830432119082283641}$, $\frac{1}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{37} + \frac{44808404093916017500355211385836630254890719335843332207695661796435075187431179377632276898932127155748083692293818375772864929174673381266719956540222217643059925811898636367367267}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{36} + \frac{5800199711376785798588877741821463447413366181543296631798531184276959538223058229123747375493061598202973987909136815711756824080755547077935872687224385232581841850549004006549029677630604486541698588112878667959298950242303401}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{35} + \frac{2460733301236752610424354830446425379908653318186104204718009849979690929116529811563645347587922628988782962343539922898972492615263027632056340225074539616901190670352680532594179895057132529272502746002936417607900087301928519283}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{34} + \frac{57005625494218071957117835439722727892318359417107450829792538170502020868877220572254089945414550337247822355492466783580391808556191914044797531385306855911991085095796412709370849420743375651635592147764127881586216805023297282650421}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{33} + \frac{16510311466702172490802137027427954421943041352829248923813352550598549608520769659784232122105657532953768818992902064740976593451371792662524873434372625578713284561721515786131425778380898404342401691045807996594130333589068868669975}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{32} + \frac{89499976651193910869146791807317113418586041680318280797959673398002074607903742236594123837288645690319482383830371475489338196633161134240379830228479630519286017959304248444000197247660144054511259295029240773434338088141523885757969}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{31} + \frac{63329058497546424762740538175545913983838719691371376611917000843849757193515507673655449041484641183696078932594280668778956235807723228602298794037687802905104534115337402105367778714097758639135608182805236161144581546678674943898921}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{30} - \frac{31740671701651625153061663167041684953983509064775118177415168331885714009886551088101921344578865078667097523607674411668548788952707480440423752789139103655408811519390686533864303315536088239854426213772952790632317787531905451809835}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{29} + \frac{26860111619608624270946621638638453415640018245849597756168837413262739664090466089916541371674934254117645960685584371269928125022879973564003182527801467698486281337103441986996790928976941168608499782649983714015831355594408624142953}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{28} + \frac{82670722809864330355048376496592800066973757240346458947742351096492763772086508332367135302569503593172484341249159600544363056983657012287264173268491037741474999229017443016137321488287623649251221469268502008152100988067765262094798}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{27} - \frac{51111223451323547497369200429384417032974047496130410149217134039698850919705006897042027253848195015074391797765167095561501283404471633510766719750308175872862185876207156639162351971356425131745679452126559994687577456652772788990602}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{26} - \frac{48118916571603072533146124827575027898160756504898476579982392420192714518306241272108652109952164045519333605124778958851995913122503332750839356204859236456402909633868102706471577746482005107086712711720471886458306506338003863199017}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{25} - \frac{85955966396405903473649452573487323322873933186385898439584057248252902109722664746767116249503774407050609861123601986695317106538886259881834817879762340098636585940575808672869442057112696224340144714086410038680893439738042450493801}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{24} + \frac{33016699438178775992123503738387325759378748068287730913438849556673866539930126644065303611580360473137350566638888622631965596462879206495678979405752384017344225355966101431285415937026978473269225549551315751222373596526504940424842}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{23} + \frac{39611041001449548115670790437594977484963187824590712368873590060135279933526153191563246188738192898378224352728449503582811588085725311150457710714285252418926823674334154746007848040240237894387095457608779854028116599877622398204510}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{22} - \frac{60010569172849941449356550368047766708201991736651918783691194328371318699888529377771534512403377501654596917624805906891667468561646672179529821272846665359177050647501098242675793963749025465716799183190362777551060291041418914675115}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{21} + \frac{41846251194414264664962770380137342314775896650928748222016517283122002750083830785083958693286037606871638056258988045710645358007728650466391214341372523279024633533216352103339515242741460671720560011080820616089013023482752069284918}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{20} - \frac{32425512535079790121095332903990521590463083838324172659679739328122082496558743672300192513791426310932526483091225589604218754362139513036555589536010168644920615977455280335476328437694598261725119229228864821446227932080715405517495}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{19} - \frac{5953375967687225042473583393213853600907848222071146750008066676684091146754877792264771166750626430958426417263639545262828555842599308560354443404482775477624584142159231338280368280733667034298431936744561902818450618157841569464299}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{18} - \frac{75165952578999053518601937279118355267835606597898674269611167311480166424217341158890414594934110383558454195129943999354043381884146101444710369828028909201673519515714801811530320720910503422009605097277918690867440926087540473071714}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{17} - \frac{79942099149419940975370272226600176032160527261855980878753329874375143188729561776960769502206359344834287295594596558546066004646882128484217425370021109147551336001353733413403915585238026295347560652784418240342393421429691773824581}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{16} - \frac{61256844216468146291541273529761610225741205543175863126794359252272923374241125726828181643088902746643129909353140577891690639497884417240329029702403608698516168278562470601170946984666466789857885818985290120144480059284937735674505}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{15} + \frac{91760135875950506636618340110193816636004624244783790137145570830903540974057290249587163840295461935164522791318464826379610854513799241671580224056497577546324114899774951291272673502560676181683254513804075011071177258576305681852087}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{14} + \frac{10934934565151787463315352530327380732250439621569936308648076394153706194555669500936734235833887287806463553528878172061034512354633392537322607798406816377648071867498227855504065282235975118883328400197163100036370840189976946133875}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{13} + \frac{82772007241042541820026422535985011661980183850274414733398663118799629501148188893441251808879893031775838555131021561829839445004762409280153936348221765151225812390325622937975697603493324640595687207174583972372931571782550624336484}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{12} - \frac{21838902203056117260067711696146090086325125219662508827559332032089850072686793619028782519403600887234416124998239388835055791263812171049071860493737814027168375341123244009620090293366810655937133914441752906489990795165464568021613}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{11} - \frac{65735548054365755995866811772060250590912081636774373111782081081974889426043440694711568796363316685176499463930626805617989576712748340414749603241454786318252958920592235211045232909959564181153205119282413677330507266609326093805779}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{10} - \frac{31789344038937300251250001976777113710257173234620243492279218456951191616605504443194728987071279335505793670093326218461520249646438169589189091468520825113264423112048476725305040104898386814232951356553217807930561110703687497800257}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{9} - \frac{48119355542758056203626914626997502606297413204382946319225376266530764445967807295764786017687496734484215469997432860267055177292670649021161560974284305968613505845737147294692929506337705638901618405618376292689556007332328476938861}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{8} + \frac{89925744608176425710171211836787109164716699348652993297359546083004452598459199997422803240900971722849906743016183013798883794843334432567420093098677822825172727453374779836722493705095804964164542042574234579318659147917113279692306}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{7} - \frac{52545532788700510893152522192815884482371961591872006959634116878156540526404043061451103540016257463089739300255405042412928024301242692834228023294692227281464685861293670094658826238771140302125168438757395001247986852045918739707857}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{6} - \frac{42482803082762236383058817839209762401186021054082894950984776926376263729084092577404406855050332683260009366624257939331543124577186627176117014912231666352739104377206119500946931770028702748138360937194552027751965374171665920262302}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{5} + \frac{38376152968227169089835246161296016356413413107735073970097269079903303664855586522879185530174677334890735295677150139632154330527741596241859018776630595176201038306411776752772350357694333776659628068023020445767541037304596376231759}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{4} - \frac{11744933704213620434162357860946540342427246234139031683704400128745698392729897903758754292787979124104210164777144773291388362856257275157869308872200200233114936094121962817516597660015929336811914346600098461245800738628634520779041}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{3} - \frac{86403339465868934438299792359988004303984752699297139191609323816285760833744224910031971986946402764812069064485111091988997393087953097035031490804021425029266901766397595626375488299391650615188480688243401819339127306551256576802819}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a^{2} + \frac{28023180328832863314437552104515325715249670389667985461000064596885390836737149603163416544459622501820916748623263911434379784495417230685221648781411816282857606711407981867126656334867386361683150754444029526543476656189375782815226}{187866158165422518523600296279547697472552035523921526277803596364803087998336949591842205078100065073426409228704410223149228258569224229709927967876805147038025950864878052650951538868374496327437486113484990204609293436073909582964763} a - \frac{201916249970464705311573273910412861465151841941306619695878404824054771900690883159316835749268621869552351572605777158063842109811990713850692073818023898031797315868437247131722992146588178706407951807551263356204651186495624303}{747437439736390402605164558477116088405877275336174795314062218227403104068626041257075696459874456720893462936515694331538583148273996625024082117060498621579035957719320511686837475157350182526298249485710950218659038843009503129}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $18$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -\frac{55586702350005621504291281964092074614416948600587231593409749281227979927475190247138328655833600263530749265940217853457441455390515598843752704544912916686512301189016303734837}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{37} + \frac{63700541561348811960024422120999064114133038771851583451704540620600374000450095703912101574165296287279194191156937647832647901688364509029788328086771538288325128085118566889641}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{36} - \frac{6070819822933056473503886154389670069356098202703290008848628967832853324932858339511607302830613606744887250952016072041916982673864867941110062450799508607387595574488728226088672}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{35} + \frac{18564203147199774337614281694790314258865012223421982681411950494020379334564313642066056804052135809332061544238775063093006620679636614308019963002753782108666179548024365668235414}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{34} - \frac{425837226986037138732426954853364631925562334633674103686349076369521915703719166680340435191356154208476152273059261811126852627356983291316578805261425804322048117953821495174833122}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{33} + \frac{1512671597827720088152144829082814574299961014736379240628640959351846835141622804362837348694612499772161261940638082716320383526051969937775495816337174382195610278150704043933414561}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{32} - \frac{19488105892474924058705822550740742469561314146254220436633150102952515257951423726111708656755007087613411655285812221427649310506818955361389652940097188386490024326083710062234860487}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{31} + \frac{73921262186799719057734050272954795346224044306939581949040048999183391320660238477753002843644520574902367594172669623599884660707689077763502774924703427601043788739739976226894288242}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{30} - \frac{657873586336819324756868399845377046431535608143240668962810226746683604587644215409590141792827286564584530311942966684356551164227502784186231592541660112322398617935369776088762325256}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{29} + \frac{2369533525954685274953389757987952260692087053685137447809773441034622607783023860566658851685985086588259185397805965557140461352974580627190182827682246140058670466428552007181178470815}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{28} - \frac{15847312046161114868038930371186706967477593055800020304339176290208439328377184897198175358311060870067698064918519463798748853023381445571160365645943425181424258273201975077018795206295}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{27} + \frac{51884131812680846330231293819171201609730326465745754585733766739611508920223338973605047293893917791753919076164642489286493993357434997919924040637568053112980801916337515296314081821666}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{26} - \frac{279297842312329571199923219802776644255566504466822540353631380405836499949406652308743217789779042377712535235528363996191578329612646422346850212466678146645007113192220706030959546773006}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{25} + \frac{786412300654298897831050094778161613738949227976368104938028520401722826792892933912142806114633918187453026185374793601568226244480642596139523524563052667406813697708357062585973381497883}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{24} - \frac{3417939882271392226549951691969351019484319902473889292515838321500645348569243233452774464586783020531811634121833754482820417019399028753762626188659878851397081844043154804667642395291768}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{23} + \frac{7740229280145840374681445275648517696790151473691252339012741052481637909182459604166977484634987228468971471233690082234572941351870645668443489141370901963879442542950630516450633231411242}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{22} - \frac{28936869664166308547500262162405349580765832343390966341843977155179727348365678692143763599239469452989099539071463907834955348502877362717756713056138672676212154129772337189140255481859908}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{21} + \frac{52560084508956731199951449121722126464800568804396979373630628976855592605819598236966972657609924298697696786720378848689730759106033277882329768289420657287352152147204284303907212384853685}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{20} - \frac{179562662633980906880558452898222049702744037300233331363820472995480709013788522146588209141650489392900358830967166443251819022575154921216841479219365092765274857127187207543715158130310028}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{19} + \frac{246903546409439295470277912169294937662995201134879957064422665061163197992790195233196443758448743771429014751967643462347290056142349488967014698483577850758544927596292870275384766471387081}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{18} - \frac{801142124812751242754238510786518258104256659347768178959103514508257069096716481804500884071312595284793085897912502318909557178405462088744479576746762204794464418064841040349733008390886741}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{17} + \frac{785839873312853709044777092688549161172643677676010188430123270927684072876461519166795937256914103984758612484982731101805963960623683426440765377337458379540004164953746543133958629567332962}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{16} - \frac{2671961778366496406163462809401730919044742959102219088137784964344193837636320495374231248381170118976311374223225642222058772875603450328959501360161111834607884173430358573794261489592462621}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{15} + \frac{1694023808784086245982980402449456170559577125009265431253333653408860150735951007699576245863020911486803179253339039181465335359607537856056091130518701165708984889216897184715403871987360735}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{14} - \frac{6162691363796572187849071339542078360945148913245913165030836444595120416193496140392322041845557433006596533740175275189006441636962335419657571188363455676888421498063095118352119990407231625}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{13} + \frac{2071198457819411350471021762780594321376820819137725913825292082253230823662278548025656625178950355257767322959050967811606523969307945032161824250382048368853183852808372313845391966241038165}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{12} - \frac{10154715170421044384822424324200129653281923633039501667726677157074535966964078554027146724908263533138059808170686798053789965315545875606301264652515363319188111796397788352495179799459118626}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{11} + \frac{643863972360458091204798763832020441360751021563638053823371337954743725195171727882193738444398495910399566127146165184105236260535693338040325950220621623012627642086471430760447682909670137}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{10} - \frac{9862448368625450692456790621943673256343299009746876006660644932489500786442287120957196238512880308150834794660025658427005391382156796004021197820471917989082226008486790760308840333240120508}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{9} - \frac{2598506373164270683580826524567806397806509762551835527079324906084823243919879642923573065417458834543476375451375601508207440139368946359985296002595967175545155971557052618973370733139401278}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{8} - \frac{7067715651129055330156846294771592674275055078835039267612119143771175835411124399050132144899039928274150280362260977831828897097260178405603036137922213254935633709626317864485038015411739850}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{7} - \frac{2758122686902895109583131857905490766391650414459763311635414317112555305697199978316485549379836913530207318280404642774445113347542788810542784734597498679276202588814701633539112527188473677}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{6} - \frac{3556018575747735727503120034330073352854963624465203968017178746777221342551598861433530154324875341797561669969189899759970582099594013805075409569783080571127592146932933801044964655696207319}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{5} - \frac{1720802742515326211000589941844385774220478057299458075446987722375630444263436734515440366748912157179379483242553760563440998135177209568059877347187567655066075699317670860515589453188996977}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{4} - \frac{1184329357613728391129018891594043373642503075069972604436530632767572372157769903650145519192623899296284915561348578297624391337317935035182062055789491358674814377258446558920351835912388658}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{3} - \frac{369497569692221659111910146366820843668648641260304164371770378327945985743526249726284872078356452965120995776339237812293616441820063770585383756200718048324326930344479490419398577186435586}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a^{2} - \frac{156016599382682360339657862327879627403167422756902892397837240313344581856487360829339210286992941160937068059736647282311412233950530268128650173721285146027959415476136440926710558663385225}{20340933385902240731646379675455089751676681287599109834103462891193948062988891695061146633135847887625575523150568555689889054307663399522084402820382456034933847248846864298439239741533267} a - \frac{31839754352465456150775555172886917743439940746842430972138237844239717301446209058348518139691950756011933980774773757106789156128717844205852484219985273674146455412256945128689953994}{80927695122290064061422573873788387176599208614382148321258908565425280838796133214484941666842444459753152109038773312153672231248685679646402793032669799261315421504322169345324351361} \) (order $6$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), 19.19.2999429662895796650415561622892044448017561.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $38$ R $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $38$ $38$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
229Data not computed