↑

Properties

Label 38.0.10079950159...7687.1
Degree $38$
Signature $[0, 19]$
Discriminant $-\,647^{37}$
Root discriminant $545.67$
Ramified prime $647$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{38}$ (as 38T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![4654012959769314377, 8767693047911919217, 2011567894060138443, -10746229822177899439, -1503510294335687605, 3618507295866457145, 921854615125235345, -1202161182566167879, 302207769671571109, 70552096295073850, -23486845361639043, -25459990107367281, 17369599534798699, -6567254133383172, 2718528813824046, -995223440330324, 393393581809607, -88956425126723, 22243202914752, -8092055201962, 3680056602480, -1008245158454, 261377865856, -38624827303, 15437152669, -1517430356, 853626703, 162739626, 68343245, 10035685, 2063543, 524484, 18961, -12367, -2517, -105, 9, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^38 - x^37 + 9*x^36 - 105*x^35 - 2517*x^34 - 12367*x^33 + 18961*x^32 + 524484*x^31 + 2063543*x^30 + 10035685*x^29 + 68343245*x^28 + 162739626*x^27 + 853626703*x^26 - 1517430356*x^25 + 15437152669*x^24 - 38624827303*x^23 + 261377865856*x^22 - 1008245158454*x^21 + 3680056602480*x^20 - 8092055201962*x^19 + 22243202914752*x^18 - 88956425126723*x^17 + 393393581809607*x^16 - 995223440330324*x^15 + 2718528813824046*x^14 - 6567254133383172*x^13 + 17369599534798699*x^12 - 25459990107367281*x^11 - 23486845361639043*x^10 + 70552096295073850*x^9 + 302207769671571109*x^8 - 1202161182566167879*x^7 + 921854615125235345*x^6 + 3618507295866457145*x^5 - 1503510294335687605*x^4 - 10746229822177899439*x^3 + 2011567894060138443*x^2 + 8767693047911919217*x + 4654012959769314377)
 
gp: K = bnfinit(x^38 - x^37 + 9*x^36 - 105*x^35 - 2517*x^34 - 12367*x^33 + 18961*x^32 + 524484*x^31 + 2063543*x^30 + 10035685*x^29 + 68343245*x^28 + 162739626*x^27 + 853626703*x^26 - 1517430356*x^25 + 15437152669*x^24 - 38624827303*x^23 + 261377865856*x^22 - 1008245158454*x^21 + 3680056602480*x^20 - 8092055201962*x^19 + 22243202914752*x^18 - 88956425126723*x^17 + 393393581809607*x^16 - 995223440330324*x^15 + 2718528813824046*x^14 - 6567254133383172*x^13 + 17369599534798699*x^12 - 25459990107367281*x^11 - 23486845361639043*x^10 + 70552096295073850*x^9 + 302207769671571109*x^8 - 1202161182566167879*x^7 + 921854615125235345*x^6 + 3618507295866457145*x^5 - 1503510294335687605*x^4 - 10746229822177899439*x^3 + 2011567894060138443*x^2 + 8767693047911919217*x + 4654012959769314377, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{38} - x^{37} + 9 x^{36} - 105 x^{35} - 2517 x^{34} - 12367 x^{33} + 18961 x^{32} + 524484 x^{31} + 2063543 x^{30} + 10035685 x^{29} + 68343245 x^{28} + 162739626 x^{27} + 853626703 x^{26} - 1517430356 x^{25} + 15437152669 x^{24} - 38624827303 x^{23} + 261377865856 x^{22} - 1008245158454 x^{21} + 3680056602480 x^{20} - 8092055201962 x^{19} + 22243202914752 x^{18} - 88956425126723 x^{17} + 393393581809607 x^{16} - 995223440330324 x^{15} + 2718528813824046 x^{14} - 6567254133383172 x^{13} + 17369599534798699 x^{12} - 25459990107367281 x^{11} - 23486845361639043 x^{10} + 70552096295073850 x^{9} + 302207769671571109 x^{8} - 1202161182566167879 x^{7} + 921854615125235345 x^{6} + 3618507295866457145 x^{5} - 1503510294335687605 x^{4} - 10746229822177899439 x^{3} + 2011567894060138443 x^{2} + 8767693047911919217 x + 4654012959769314377 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $38$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 19]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(-100799501595974181912982858827990752568532178296390243507413044301329737094065427161808569934780428667687=-\,647^{37}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $545.67$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $647$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(647\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{647}(1,·)$, $\chi_{647}(646,·)$, $\chi_{647}(257,·)$, $\chi_{647}(269,·)$, $\chi_{647}(533,·)$, $\chi_{647}(279,·)$, $\chi_{647}(155,·)$, $\chi_{647}(158,·)$, $\chi_{647}(543,·)$, $\chi_{647}(544,·)$, $\chi_{647}(548,·)$, $\chi_{647}(390,·)$, $\chi_{647}(551,·)$, $\chi_{647}(561,·)$, $\chi_{647}(437,·)$, $\chi_{647}(183,·)$, $\chi_{647}(56,·)$, $\chi_{647}(287,·)$, $\chi_{647}(446,·)$, $\chi_{647}(447,·)$, $\chi_{647}(200,·)$, $\chi_{647}(201,·)$, $\chi_{647}(55,·)$, $\chi_{647}(591,·)$, $\chi_{647}(464,·)$, $\chi_{647}(210,·)$, $\chi_{647}(86,·)$, $\chi_{647}(96,·)$, $\chi_{647}(592,·)$, $\chi_{647}(99,·)$, $\chi_{647}(103,·)$, $\chi_{647}(104,·)$, $\chi_{647}(489,·)$, $\chi_{647}(492,·)$, $\chi_{647}(368,·)$, $\chi_{647}(360,·)$, $\chi_{647}(114,·)$, $\chi_{647}(378,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{43} a^{25} - \frac{11}{43} a^{24} - \frac{21}{43} a^{23} - \frac{18}{43} a^{22} - \frac{13}{43} a^{21} - \frac{19}{43} a^{20} - \frac{21}{43} a^{19} - \frac{3}{43} a^{18} + \frac{4}{43} a^{17} + \frac{8}{43} a^{16} - \frac{11}{43} a^{15} - \frac{15}{43} a^{14} - \frac{20}{43} a^{13} - \frac{6}{43} a^{12} - \frac{19}{43} a^{11} + \frac{4}{43} a^{10} + \frac{2}{43} a^{9} - \frac{11}{43} a^{8} - \frac{15}{43} a^{7} - \frac{4}{43} a^{6} - \frac{16}{43} a^{5} + \frac{21}{43} a^{4} + \frac{3}{43} a^{3} + \frac{11}{43} a^{2} - \frac{3}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{26} - \frac{13}{43} a^{24} + \frac{9}{43} a^{23} + \frac{4}{43} a^{22} + \frac{10}{43} a^{21} - \frac{15}{43} a^{20} - \frac{19}{43} a^{19} + \frac{14}{43} a^{18} + \frac{9}{43} a^{17} - \frac{9}{43} a^{16} - \frac{7}{43} a^{15} - \frac{13}{43} a^{14} - \frac{11}{43} a^{13} + \frac{1}{43} a^{12} + \frac{10}{43} a^{11} + \frac{3}{43} a^{10} + \frac{11}{43} a^{9} - \frac{7}{43} a^{8} + \frac{3}{43} a^{7} - \frac{17}{43} a^{6} + \frac{17}{43} a^{5} + \frac{19}{43} a^{4} + \frac{1}{43} a^{3} - \frac{11}{43} a^{2} + \frac{10}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{27} - \frac{5}{43} a^{24} - \frac{11}{43} a^{23} - \frac{9}{43} a^{22} - \frac{12}{43} a^{21} - \frac{8}{43} a^{20} - \frac{1}{43} a^{19} + \frac{13}{43} a^{18} + \frac{11}{43} a^{16} + \frac{16}{43} a^{15} + \frac{9}{43} a^{14} - \frac{1}{43} a^{13} + \frac{18}{43} a^{12} + \frac{14}{43} a^{11} + \frac{20}{43} a^{10} + \frac{19}{43} a^{9} - \frac{11}{43} a^{8} + \frac{3}{43} a^{7} + \frac{8}{43} a^{6} - \frac{17}{43} a^{5} + \frac{16}{43} a^{4} - \frac{15}{43} a^{3} - \frac{19}{43} a^{2} + \frac{4}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{28} + \frac{20}{43} a^{24} + \frac{15}{43} a^{23} - \frac{16}{43} a^{22} + \frac{13}{43} a^{21} - \frac{10}{43} a^{20} - \frac{6}{43} a^{19} - \frac{15}{43} a^{18} - \frac{12}{43} a^{17} + \frac{13}{43} a^{16} - \frac{3}{43} a^{15} + \frac{10}{43} a^{14} + \frac{4}{43} a^{13} - \frac{16}{43} a^{12} + \frac{11}{43} a^{11} - \frac{4}{43} a^{10} - \frac{1}{43} a^{9} - \frac{9}{43} a^{8} + \frac{19}{43} a^{7} + \frac{6}{43} a^{6} - \frac{21}{43} a^{5} + \frac{4}{43} a^{4} - \frac{4}{43} a^{3} + \frac{16}{43} a^{2} - \frac{15}{43} a$, $\frac{1}{43} a^{29} + \frac{20}{43} a^{24} + \frac{17}{43} a^{23} - \frac{14}{43} a^{22} - \frac{8}{43} a^{21} - \frac{13}{43} a^{20} + \frac{18}{43} a^{19} + \frac{5}{43} a^{18} + \frac{19}{43} a^{17} + \frac{9}{43} a^{16} + \frac{15}{43} a^{15} + \frac{3}{43} a^{14} - \frac{3}{43} a^{13} + \frac{2}{43} a^{12} - \frac{11}{43} a^{11} + \frac{5}{43} a^{10} - \frac{6}{43} a^{9} - \frac{19}{43} a^{8} + \frac{5}{43} a^{7} + \frac{16}{43} a^{6} - \frac{20}{43} a^{5} + \frac{6}{43} a^{4} - \frac{1}{43} a^{3} - \frac{20}{43} a^{2} + \frac{17}{43} a$, $\frac{1}{2881} a^{30} - \frac{22}{2881} a^{29} - \frac{8}{2881} a^{28} + \frac{12}{2881} a^{27} - \frac{2}{2881} a^{26} - \frac{25}{2881} a^{25} + \frac{738}{2881} a^{24} - \frac{444}{2881} a^{23} + \frac{649}{2881} a^{22} - \frac{208}{2881} a^{21} + \frac{12}{2881} a^{20} - \frac{533}{2881} a^{19} + \frac{894}{2881} a^{18} + \frac{994}{2881} a^{17} + \frac{965}{2881} a^{16} - \frac{935}{2881} a^{15} + \frac{574}{2881} a^{14} + \frac{22}{67} a^{13} - \frac{1077}{2881} a^{12} - \frac{472}{2881} a^{11} + \frac{400}{2881} a^{10} + \frac{280}{2881} a^{9} + \frac{356}{2881} a^{8} - \frac{659}{2881} a^{7} - \frac{669}{2881} a^{6} - \frac{452}{2881} a^{5} - \frac{827}{2881} a^{4} - \frac{1272}{2881} a^{3} + \frac{875}{2881} a^{2} - \frac{91}{2881} a$, $\frac{1}{2881} a^{31} - \frac{23}{2881} a^{29} - \frac{30}{2881} a^{28} - \frac{6}{2881} a^{27} - \frac{2}{2881} a^{26} - \frac{13}{2881} a^{25} - \frac{1159}{2881} a^{24} - \frac{7}{2881} a^{23} + \frac{2}{43} a^{22} - \frac{75}{2881} a^{21} + \frac{133}{2881} a^{20} + \frac{22}{2881} a^{19} - \frac{1113}{2881} a^{18} + \frac{1125}{2881} a^{17} + \frac{932}{2881} a^{16} + \frac{1377}{2881} a^{15} - \frac{1233}{2881} a^{14} - \frac{633}{2881} a^{13} - \frac{113}{2881} a^{12} - \frac{1408}{2881} a^{11} - \frac{836}{2881} a^{10} - \frac{1189}{2881} a^{9} - \frac{1135}{2881} a^{8} + \frac{779}{2881} a^{7} - \frac{698}{2881} a^{6} + \frac{351}{2881} a^{5} - \frac{304}{2881} a^{4} + \frac{1299}{2881} a^{3} - \frac{338}{2881} a^{2} + \frac{1281}{2881} a$, $\frac{1}{152693} a^{32} + \frac{20}{152693} a^{31} - \frac{26}{152693} a^{30} + \frac{112}{152693} a^{29} - \frac{381}{152693} a^{28} + \frac{579}{152693} a^{27} + \frac{824}{152693} a^{26} + \frac{666}{152693} a^{25} - \frac{16088}{152693} a^{24} + \frac{598}{3551} a^{23} + \frac{68730}{152693} a^{22} - \frac{74778}{152693} a^{21} - \frac{60602}{152693} a^{20} - \frac{55890}{152693} a^{19} + \frac{43451}{152693} a^{18} + \frac{55625}{152693} a^{17} + \frac{46669}{152693} a^{16} - \frac{34605}{152693} a^{15} - \frac{617}{152693} a^{14} + \frac{506}{2279} a^{13} - \frac{35076}{152693} a^{12} + \frac{15836}{152693} a^{11} + \frac{71542}{152693} a^{10} - \frac{18854}{152693} a^{9} - \frac{19438}{152693} a^{8} - \frac{62469}{152693} a^{7} - \frac{36057}{152693} a^{6} + \frac{55441}{152693} a^{5} - \frac{74660}{152693} a^{4} + \frac{49893}{152693} a^{3} + \frac{11728}{152693} a^{2} + \frac{8808}{152693} a$, $\frac{1}{6565799} a^{33} + \frac{14}{6565799} a^{32} - \frac{411}{6565799} a^{31} - \frac{633}{6565799} a^{30} + \frac{21313}{6565799} a^{29} - \frac{420}{97997} a^{28} - \frac{291}{123883} a^{27} + \frac{26462}{6565799} a^{26} + \frac{16539}{6565799} a^{25} - \frac{3225503}{6565799} a^{24} + \frac{703404}{6565799} a^{23} - \frac{2961039}{6565799} a^{22} - \frac{10408}{123883} a^{21} + \frac{16646}{6565799} a^{20} - \frac{34554}{123883} a^{19} + \frac{2416352}{6565799} a^{18} - \frac{2222959}{6565799} a^{17} - \frac{1509186}{6565799} a^{16} + \frac{1465763}{6565799} a^{15} + \frac{646150}{6565799} a^{14} - \frac{2840629}{6565799} a^{13} - \frac{584396}{6565799} a^{12} + \frac{338145}{6565799} a^{11} - \frac{668639}{6565799} a^{10} + \frac{2017215}{6565799} a^{9} - \frac{981408}{6565799} a^{8} + \frac{2647172}{6565799} a^{7} + \frac{2156781}{6565799} a^{6} + \frac{2295}{152693} a^{5} + \frac{2587696}{6565799} a^{4} - \frac{558195}{6565799} a^{3} + \frac{1039992}{6565799} a^{2} - \frac{1272643}{6565799} a - \frac{6}{43}$, $\frac{1}{1923779107} a^{34} + \frac{118}{1923779107} a^{33} + \frac{74}{28713121} a^{32} + \frac{21209}{1923779107} a^{31} + \frac{1878}{1923779107} a^{30} - \frac{15587100}{1923779107} a^{29} + \frac{1968875}{1923779107} a^{28} + \frac{19343991}{1923779107} a^{27} - \frac{18706903}{1923779107} a^{26} + \frac{8874280}{1923779107} a^{25} - \frac{364450642}{1923779107} a^{24} - \frac{255372536}{1923779107} a^{23} - \frac{49083131}{1923779107} a^{22} + \frac{884400253}{1923779107} a^{21} - \frac{316371800}{1923779107} a^{20} + \frac{909767064}{1923779107} a^{19} - \frac{923835802}{1923779107} a^{18} - \frac{296207922}{1923779107} a^{17} + \frac{214286812}{1923779107} a^{16} + \frac{286354284}{1923779107} a^{15} + \frac{955242001}{1923779107} a^{14} + \frac{591478583}{1923779107} a^{13} + \frac{490384253}{1923779107} a^{12} - \frac{738738653}{1923779107} a^{11} + \frac{85370634}{1923779107} a^{10} - \frac{319515579}{1923779107} a^{9} + \frac{669677880}{1923779107} a^{8} + \frac{705009691}{1923779107} a^{7} + \frac{887925213}{1923779107} a^{6} - \frac{4277684}{1923779107} a^{5} - \frac{642308101}{1923779107} a^{4} - \frac{94081728}{1923779107} a^{3} - \frac{315355759}{1923779107} a^{2} - \frac{294405059}{1923779107} a - \frac{8}{43}$, $\frac{1}{1821818814329} a^{35} - \frac{306}{1821818814329} a^{34} - \frac{74960}{1821818814329} a^{33} - \frac{42582}{1821818814329} a^{32} - \frac{36381843}{1821818814329} a^{31} + \frac{281211747}{1821818814329} a^{30} + \frac{18695905197}{1821818814329} a^{29} + \frac{19727546855}{1821818814329} a^{28} + \frac{20854856120}{1821818814329} a^{27} - \frac{17192492902}{1821818814329} a^{26} + \frac{1058678046}{1821818814329} a^{25} - \frac{293988572841}{1821818814329} a^{24} - \frac{408708648707}{1821818814329} a^{23} - \frac{792266451895}{1821818814329} a^{22} - \frac{547663511940}{1821818814329} a^{21} - \frac{287829184962}{1821818814329} a^{20} + \frac{427205862097}{1821818814329} a^{19} + \frac{847275370393}{1821818814329} a^{18} + \frac{8582741346}{42367879403} a^{17} - \frac{649828371070}{1821818814329} a^{16} + \frac{192538975562}{1821818814329} a^{15} + \frac{82062965824}{1821818814329} a^{14} + \frac{31070219724}{1821818814329} a^{13} + \frac{108593815968}{1821818814329} a^{12} + \frac{290885178658}{1821818814329} a^{11} + \frac{817709695709}{1821818814329} a^{10} + \frac{787064781807}{1821818814329} a^{9} + \frac{859084521304}{1821818814329} a^{8} + \frac{472508561500}{1821818814329} a^{7} + \frac{483107176171}{1821818814329} a^{6} + \frac{564703319412}{1821818814329} a^{5} + \frac{832863835659}{1821818814329} a^{4} + \frac{301466621098}{1821818814329} a^{3} - \frac{150054974996}{1821818814329} a^{2} + \frac{690650379419}{1821818814329} a - \frac{11863}{40721}$, $\frac{1}{1856433371801251} a^{36} + \frac{166}{1856433371801251} a^{35} - \frac{475082}{1856433371801251} a^{34} - \frac{16205284}{1856433371801251} a^{33} - \frac{3508165808}{1856433371801251} a^{32} + \frac{194556276357}{1856433371801251} a^{31} - \frac{270336832810}{1856433371801251} a^{30} + \frac{20524398767474}{1856433371801251} a^{29} - \frac{20949072706302}{1856433371801251} a^{28} + \frac{233048082645}{27707960773153} a^{27} + \frac{4886798305851}{1856433371801251} a^{26} - \frac{15455177299034}{1856433371801251} a^{25} + \frac{270193773016179}{1856433371801251} a^{24} - \frac{688260733614760}{1856433371801251} a^{23} + \frac{343138728102737}{1856433371801251} a^{22} + \frac{207422523944287}{1856433371801251} a^{21} - \frac{675827947742021}{1856433371801251} a^{20} - \frac{758714617491071}{1856433371801251} a^{19} + \frac{113908348208413}{1856433371801251} a^{18} - \frac{166950074672635}{1856433371801251} a^{17} - \frac{148189296931847}{1856433371801251} a^{16} + \frac{445306775750750}{1856433371801251} a^{15} - \frac{885847347056752}{1856433371801251} a^{14} + \frac{5424220380711}{35027044750967} a^{13} - \frac{229659636905301}{1856433371801251} a^{12} - \frac{373278863594034}{1856433371801251} a^{11} - \frac{626936117711356}{1856433371801251} a^{10} + \frac{263256511721785}{1856433371801251} a^{9} - \frac{354750552177539}{1856433371801251} a^{8} + \frac{467558174878791}{1856433371801251} a^{7} + \frac{270324631708810}{1856433371801251} a^{6} - \frac{50514789184749}{1856433371801251} a^{5} - \frac{920335611235885}{1856433371801251} a^{4} + \frac{644065608892948}{1856433371801251} a^{3} + \frac{14654789184143}{43172869111657} a^{2} + \frac{339831985416660}{1856433371801251} a - \frac{2488441}{41494699}$, $\frac{1}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{37} - \frac{41895962308815629376045079736681793778685188920122723591889170691463869564779775817389243102966408879740230097395542697566677471561571384030893957847581562341893390510407893532785709568683128644910817732846651972162748645195200736346816089621963412211325240297766085167984068035814241768479746706385500923352245122112446900}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{36} - \frac{74483710291969776263491241683047181909483311584764521321981627421137404904264395310994939727362837407226649852085455721488881852440565006724278866070468600940296466382272816480933605075375516172941492876715913465578161791431504042988399681631346861144827000910494737677883548608199343483325745224973723096556588253557589080205}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{35} - \frac{54078830127264914244431721652134043785971839259651976817753462696233504265834739633607683640394326004804764430090532122222048818374089207008863147487604297912794999167513349265276098357722529385550309562781553651688644049848163179848062989902393248549300289217573130234349706548691870902790931471716854894666034292049417488639668}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{34} - \frac{4794090189848599879239552722668308429890431727998000245339477634244669602748022115579837196477309353079853808279482218238961912390165148323103161693693938176767868066861843543153029865819136517598798018650984575403691741104759281893675981363872002133451004766903081507265050034266683991723406353345945937999853210107497161389001472}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{33} - \frac{12155333980853522875491424680166880353547952566058898858452075394882325472759318303910794023538386634825966073329589371611140578675372127492738904669520781958445227919816318172341351752752704258932980752666986572289498044938490735072478840536474654578869146353378168923955380827747016169508339594057688531844569313713922597344696178}{6669931887214391480261049198325963090174496816487645524419241778479244144949658526341773318473543449066805943474633215762591759864882666413317876879744796838519062347265888310235519352009647148654112561244352242175037567541774416505624195958222857133826088899682223594810506078706479667941982135230681245574368624882545782367618859249131} a^{32} + \frac{30270926747524740781606052976036548268252881489862815627827004193418574792828303789840653546700635675393712626183457161140360630518422384774238867368967452792354060739582973405858457977901812323645701602990841444149891156465816607861297505425059995424337097489495001400739137082043138781743551732370288268533114489550591824481276626461}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{31} - \frac{20817615916216950457474642348597341750793150173214083190297371023386481596559126648235491257511580287851413440401505447716991376072602139957101430744812202092637134456206494694492307987651596189861655561704738235703869113759610567882692111445898188067922208870208203112765747454473030332909632841065712368307562210366512586338518099127}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{30} - \frac{3311605764000294563870530818607141066376634295609741549933095363662962001831822392621468903423088686585032049099731146417129615891816813224332575897473421876528382958664935583129854576443594589805893392726539164856592047082583812172023150435017124932638030510831422928178910837078399651372634577914522956391364250076849466026806282284173}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{29} - \frac{416765404461401549943619317939778761010314096613108609402719557605991302755792366622721679109091255915166673380108726182507595011424351406881265371823979057212156751782621464676266250432900110840172831883870595537844286099204156581545509306566771918971241331781523597986373775351844531413679668672419206589459002321861134640640556202034}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{28} - \frac{1046506937872872624854719105333828161232206119078108641166736682069272122837819123803234140372664057384404157910756643237737764729037004347244968744979712180819428015733422336804268394824651684892271607439574882812946833318196436201591966369728629342400045114365987731472869337047822646428802194699275339853796928844582418622205811330542}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{27} + \frac{1836241836423065204367832348003504206158905591577958924195632079786065412708277735324319796666082480929186397248219262267789028078551277333449562187917305267372720530812019091296622290886850880606140500795099100726216519836104856258540049571958630299233754475649480068446646685659035574131438691345625972080405127785199849777407261721287}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{26} - \frac{1640417976153370260426608405988642982634796106849549445065868338554927393076986313025105253126181062363947166836452213210689403959920233368635016316327404632630253567331937672217974531740453562831913402662976780968968246935697763548201566770511993022878182599336253696341239489264853356837091221510096884917303404657081187262132292924410}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{25} - \frac{86674003467412342039924023143669678228800646435388667170519307761727325405387209346046870800944506247147554918607928632004368231333720059616009182821418941019447741165761275763089282158156750720242791075270273452732594811531333107776606472603712129511088856334108698991941107370431594959517066399104708386957361365297962989758798590539881}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{24} - \frac{30182086897424201293447000697048756161458254460467404519064456753133133011193664178555382849105770601432201757340643436911359643307414083270013395151211914846543085708269564291912423006526250494182966647174155315101985133751188157447570381445208930160561795232243462242247149453007586022994570319981228755097132901308492715368798655667387}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{23} + \frac{106931101379092625236528407264688907242866535916589043135449840117152268781070699366212516806685178604777964800514180891696549588223770523167517705619752211378466302576414520422120460333466519274388217684798992168704704672551194850679446064939904974520370097207472750874042960971333919992134994361147955856823015926851752918518462065909218}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{22} - \frac{98586004235678196689677589995358844830074211012766390627467030984052886139523070143226692651009725326134868172029923831808823676539106248212419973083151441510263462718361255347576606400535108363776708427578179678493795966801155333140249856696091428094263198519747190666796050171223548317991343725560970821151165116640750498102086669125477}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{21} - \frac{128126778735139804579540536372828412536490865679728359698075322827015378062014621012654047040256773211655023988793771808036163225345311484165855252612061801091763060615326860624537163098704897164190293672399533325200116083921215206303070659597661344050100288272560707665658975713814090546048770506629718196730717610586940554722686792511695}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{20} + \frac{6521986450525432523552653613252374335954641790257157857337988330711101832659809518996785203379763214071918359258095535627298037315924550242640345804994213873472085117339096115803713687565109389544720934933169165767670524618455313605354566238185275374782258881080095744268727963620168267158386272975566722102711769814061318855797110203724}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{19} - \frac{13855512989207783327361926561182583434718700962347458976614876486021802181243122389294688004159517017847926816542988533831950045352431553133024909069043251640899100263472208317465791951602893776730402002945362387083952676235821204499312684642342903187384651768058876965105620169204921608632735679152173941459467780190046430343028886684452}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{18} + \frac{118007109085446010585375999393038128533300530711919342378459062139115856729988659576741712260620713864357579265225417056901097009351884491457169006286012492731236785878588379436000440262427987565197254533937559186042906852731749338471199323537819933330989984584970919815013704265287510897925014813342233554317650545497741536518868450519907}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{17} - \frac{720630712571159921693942244066844285802852883796547403875491926944351922835923178382082204427764004328653457845409107383311112904989023871748888699642438318336721365471013581801577554726312929577389201632587162431797699284132443086609591038657062085748492435050638678338801666375146504787579431897519725313935289520009744729915840116019}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{16} + \frac{1351918502232555282392135832603931693061002780542887074835891038322651317441391958809077676051001345855369687544022205001887172476535228181979170298347546391873369031423540500170188430490271877684390866126349374281284011777425913639548329422603180878870093484283631161476382956472441239951386517337429555838560788234954419992847907348857}{5411454172645638370777832368453139865613271002056014293396743329709575438355383332692382126308723930374955765460551476939461239135659521807031485015642004982194710960989305610191081738422921271549563021386927290821256894420684903957393215588746846353858902314836521029751920026120351428707645883300364029428261337168857898902030395239861} a^{15} - \frac{57910694436050617014528719271948108412288426573557829642377651237644475129346463368118994128531067284838500855637117465831087821697508839260159539034730266315198695543953535288919280833149277414089534559827201665498301799638816162814582407235865552058219316949935684235869797890060055403603348099330630867110861569569078902428356201631759}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{14} + \frac{85020809276029633650948541536987732031914878761643478822382273280592205890756824107126130785720263132613590305051412651362231444051288646103501148408536968305951063346521999809712649985371163207422139407056450289050616741909678884431086380947292492046774377611432012181672189108998253078926557990619157893684736848300061516066148344029768}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{13} - \frac{83336014038952009666092871568008673678113710058649042365378498645333947389574318910209065958623203997349086554569153003957075090785820523417386595378742478018495326558741964984457379066174728914284920131395714004933713220137120611019502942563689526443518248866815423568234673315917209856916325966114281962272650318460009870960217735629785}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{12} - \frac{138582343414520953564533605456596055683415441549316958838003160696860283784671580013231721773185427528794875872921919221469176481633800519566942259959074798943347815201098484678941067557815559799222068151533668846926051377940785592040063150901755630893372467021561880607949118947158762760029384356658498304243102789345170834108206175569410}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{11} - \frac{106655430713803186153687204920299490919862536369303450545884531613260581622081763866064148698970189630283202609756066164697502712518281362335818082898767973074263287041949199908987004250992588403784686459637008190779520735856709518031041319350391136651814066388145231000182286781407684937343873402661762483499704787727210826365229192602666}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{10} - \frac{125102874929677045065191140063076955280465533151884478715854667603112757278005510122505366636812329634819840179541006450633439848911517988218985313963106149716407244077410774961701246303412057967535642980092795605269055661501624987681985677512065796215388674086468913873245629832075035366091448701360646186160268385665386880098629466077296}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{9} - \frac{67349613099786571965444029524845212376826494378434259881157551163929377461587633064014801534918651541133137456033941994643381758349834319294539336688583490374350358561034964019284344859452736224760099528614669962889933881995520385300873556138700695604152323417821604216648737951933598513039163165262114009815276081449527409967156000422289}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{8} + \frac{2864509327870967517278464898043561662167211448884954311926606963190947837742672939797061479824666133244534933045106907719474627274900157006253469793150701759896864473158754495048024640616397486483277643908250393087331468760266325423432198565708047871452251824721787829256764965898974658450419961891773203768386827254952870808996334516296}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{7} - \frac{4177480970257860844622247635593024144950817431278850945668314016111475231926320728900407834820880650797738460546857773882309368759816121556220588993400385078545301766014526595590528837520216413316915581953403868110949637675642998945033380882371120897515829488544035757432569416163823659343452636369208821782889775182159526902693629453408}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{6} - \frac{102398677263767450635848179613560811929949066327566028490933491484617989031278561744220742532549381488921578382358834978561484864675415377632700504913287497619058059825255793624999293050493313464351938755503840130752945177018896567016781546239548992904314243938663820905220274383698890072296343403557846137965722028599099734467878167540278}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{5} - \frac{40219478369697626073205897737754134552715182357418179184340567704456229353620592375593293537145333657300736002967782463697281563424444611885879925453861771755394904716974436891331907339947105596292190009728867526097384120412871341803606275253340514103194351560864118421139964661609535091142488247808016470838008723356433455513158666764130}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{4} - \frac{132943240658795028746215505729823096748393807890646489495588997987022158769624218232889611594052878103175889297948971744020583643402821820084510906552504672360549281028309468557279479335395995177031020474743004880483155483727063019359764312340784182877862664211711309877865180851560445908822307472694485283919357862468496967113507727360005}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{3} + \frac{112151076430446651074874538730903047796375429884088949311898140639592799354325528380234292786482406689966420520429702211898978344433055198826889779766489084701548497900848239675731095558395770841724196654798608064273572365722865405150980776590959985554886471936567873571135975619126238972583490359624744737264776641509491763429535507161050}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a^{2} + \frac{31672823304573087262722122257346709231851000125644874195578639994669379607989916261145431183070415204114685335340921425966114852096970259850026293071704982036346155396401783553002140167749132470653193849218737622848851851713031228865167197032090954390344878099489222833541439524898339518313768993697418213465219887992368081756927310975534}{286807071150218833651225115528016412877503363108968757550027396474607498232835316632696252694362368309872655569409228277791445674189954655772668705829026264056319680932433197340127332136414827392126840133507146413526615404296299909741840426203582856754521822686335614576851761384378625721505231814919293559697850869949468641807610947712633} a - \frac{302502909618618404342562897145768336440543633047680119723031545618886375930885040167399473780390387968963593358799440673997615783587714929467379334085177911291235293401429102195721038884359604875228732713826006428112460068780904111632836304730778372431949268573223185270425980630313189071964219401505685620783106519818810985712887}{6410665348524033974240827415174077859310406064039688406207011608016243220387525819618925129462684115388162487973520140711785037589644667140168060028031133698356433122492907646296355833053465830087868880125439108317358632372724326566303195810075955274653286051885805944977770121675555189416414099792762549773864233679832323700211217}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $18$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{38}$ (as 38T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 38
The 38 conjugacy class representatives for $C_{38}$
Character table for $C_{38}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-647}) \), 19.19.394709020826813768130190448054073575320458976755889.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $38$ $19^{2}$ $19^{2}$ $38$ $19^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.1.0.1}{1} }^{38}$ $38$ ${\href{/LocalNumberField/53.1.0.1}{1} }^{38}$ $38$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
647Data not computed