Properties

Label 37.37.813...681.1
Degree $37$
Signature $[37, 0]$
Discriminant $8.138\times 10^{112}$
Root discriminant $1126.25$
Ramified prime $37$
Class number not computed
Class group not computed
Galois group $C_{37}$ (as 37T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: SageMath / Pari/GP / Magma

Normalized defining polynomial

sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^37 - 666*x^35 - 481*x^34 + 193399*x^33 + 256521*x^32 - 32436827*x^31 - 60004084*x^30 + 3503452596*x^29 + 8113398850*x^28 - 257000630926*x^27 - 704292185114*x^26 + 13150853376643*x^25 + 41268101524916*x^24 - 474337598223255*x^23 - 1672482254287228*x^22 + 12032466243732809*x^21 + 47286637172470867*x^20 - 211502629431882231*x^19 - 929675982328753625*x^18 + 2498958523266151636*x^17 + 12536142236443615902*x^16 - 18791897342800992970*x^15 - 113239929214497210129*x^14 + 80927529107744817385*x^13 + 663966210336111429023*x^12 - 146546651897009713442*x^11 - 2439258160361411529393*x^10 - 154326326264692800324*x^9 + 5386184266991634344483*x^8 + 1055793633392402952768*x^7 - 6769150214799915444440*x^6 - 1552196159553019851407*x^5 + 4355671676506075568364*x^4 + 921754431147330625307*x^3 - 1108584774969076393499*x^2 - 217498966742521653325*x + 51140551819476687829)
 
gp: K = bnfinit(x^37 - 666*x^35 - 481*x^34 + 193399*x^33 + 256521*x^32 - 32436827*x^31 - 60004084*x^30 + 3503452596*x^29 + 8113398850*x^28 - 257000630926*x^27 - 704292185114*x^26 + 13150853376643*x^25 + 41268101524916*x^24 - 474337598223255*x^23 - 1672482254287228*x^22 + 12032466243732809*x^21 + 47286637172470867*x^20 - 211502629431882231*x^19 - 929675982328753625*x^18 + 2498958523266151636*x^17 + 12536142236443615902*x^16 - 18791897342800992970*x^15 - 113239929214497210129*x^14 + 80927529107744817385*x^13 + 663966210336111429023*x^12 - 146546651897009713442*x^11 - 2439258160361411529393*x^10 - 154326326264692800324*x^9 + 5386184266991634344483*x^8 + 1055793633392402952768*x^7 - 6769150214799915444440*x^6 - 1552196159553019851407*x^5 + 4355671676506075568364*x^4 + 921754431147330625307*x^3 - 1108584774969076393499*x^2 - 217498966742521653325*x + 51140551819476687829, 1)
 
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![51140551819476687829, -217498966742521653325, -1108584774969076393499, 921754431147330625307, 4355671676506075568364, -1552196159553019851407, -6769150214799915444440, 1055793633392402952768, 5386184266991634344483, -154326326264692800324, -2439258160361411529393, -146546651897009713442, 663966210336111429023, 80927529107744817385, -113239929214497210129, -18791897342800992970, 12536142236443615902, 2498958523266151636, -929675982328753625, -211502629431882231, 47286637172470867, 12032466243732809, -1672482254287228, -474337598223255, 41268101524916, 13150853376643, -704292185114, -257000630926, 8113398850, 3503452596, -60004084, -32436827, 256521, 193399, -481, -666, 0, 1]);
 

\( x^{37} - 666 x^{35} - 481 x^{34} + 193399 x^{33} + 256521 x^{32} - 32436827 x^{31} - 60004084 x^{30} + 3503452596 x^{29} + 8113398850 x^{28} - 257000630926 x^{27} - 704292185114 x^{26} + 13150853376643 x^{25} + 41268101524916 x^{24} - 474337598223255 x^{23} - 1672482254287228 x^{22} + 12032466243732809 x^{21} + 47286637172470867 x^{20} - 211502629431882231 x^{19} - 929675982328753625 x^{18} + 2498958523266151636 x^{17} + 12536142236443615902 x^{16} - 18791897342800992970 x^{15} - 113239929214497210129 x^{14} + 80927529107744817385 x^{13} + 663966210336111429023 x^{12} - 146546651897009713442 x^{11} - 2439258160361411529393 x^{10} - 154326326264692800324 x^{9} + 5386184266991634344483 x^{8} + 1055793633392402952768 x^{7} - 6769150214799915444440 x^{6} - 1552196159553019851407 x^{5} + 4355671676506075568364 x^{4} + 921754431147330625307 x^{3} - 1108584774969076393499 x^{2} - 217498966742521653325 x + 51140551819476687829 \)

sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 
magma: DefiningPolynomial(K);
 

Invariants

Degree:  $37$
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
magma: Degree(K);
 
Signature:  $[37, 0]$
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
magma: Signature(K);
 
Discriminant:  \(813\!\cdots\!681\)\(\medspace = 37^{72}\)
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
magma: Discriminant(Integers(K));
 
Root discriminant:  $1126.25$
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
Ramified primes:  $37$
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
$|\Gal(K/\Q)|$:  $37$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1369=37^{2}\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1369}(1,·)$, $\chi_{1369}(260,·)$, $\chi_{1369}(519,·)$, $\chi_{1369}(778,·)$, $\chi_{1369}(1037,·)$, $\chi_{1369}(1296,·)$, $\chi_{1369}(149,·)$, $\chi_{1369}(408,·)$, $\chi_{1369}(667,·)$, $\chi_{1369}(926,·)$, $\chi_{1369}(1185,·)$, $\chi_{1369}(38,·)$, $\chi_{1369}(297,·)$, $\chi_{1369}(556,·)$, $\chi_{1369}(815,·)$, $\chi_{1369}(1074,·)$, $\chi_{1369}(1333,·)$, $\chi_{1369}(186,·)$, $\chi_{1369}(445,·)$, $\chi_{1369}(704,·)$, $\chi_{1369}(963,·)$, $\chi_{1369}(1222,·)$, $\chi_{1369}(75,·)$, $\chi_{1369}(334,·)$, $\chi_{1369}(593,·)$, $\chi_{1369}(852,·)$, $\chi_{1369}(1111,·)$, $\chi_{1369}(223,·)$, $\chi_{1369}(482,·)$, $\chi_{1369}(741,·)$, $\chi_{1369}(1000,·)$, $\chi_{1369}(1259,·)$, $\chi_{1369}(112,·)$, $\chi_{1369}(371,·)$, $\chi_{1369}(630,·)$, $\chi_{1369}(889,·)$, $\chi_{1369}(1148,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $a^{34}$, $a^{35}$, $\frac{1}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{36} + \frac{1570254991386521642884841238556686862161078086328262188498473423052454985736324303613509455546495110518124335340419834398140628953589939621967375321274812830765849242432995670883046326025241598510317015632892668290627532414388051295104451721062364622104556152400339614709665186428588865748633446996349506370884024426812839818086095718730183451621427178877952091357665326021475413840770249755418853210451}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{35} + \frac{1103553294835369050591836075855580887243130910042154316605885277313440523820703663329897231672472606131394587174626932440287899084649172337638251461227525741108145111712528547146297725751727708385480289171275691001926946942941367331101843562547733583739476615507073013855518697361307477955222800897678301455978819354730268565324112727875849416117032103081009241544644266062758542411366866815540133547481}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{34} - \frac{113915290654944343049356336248286734522116603576440433642994048620752550088893178446671967040095037614111923936204404338153058431705587759234495042728120951838263962194662610183305185126303533495402546149096957662905688517437338781286889077227152062752423752353773150029032025589147508723101173948473126437745146978751878765664050202289852847977079524270628423184147014561533651113152093549076879412547}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{33} - \frac{410211321888912051038290761625020189503134419735100698696068580804487964147422964810851654927904110547423033798734797790634253958404259673238995695333093400057933928484088734822211914864831590425312185537599407833008158818567393406374150910476275328648672228928605507049531966828506883536485019074352831942173000120577037367210256499217386682614952061811640354193837813276180812113592125661592730319788}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{32} - \frac{307907842127542656551736728391355896012232325215591147207509815352671942103959739680139949753750365908769511048216793466983215631333070867237170303062977128451222843171182408008803102785531304118422244855157966963757502523781351727778654250401159910293865848597820822596486552213783904611110904046817199920854746879118462825438828479349711679425310156913322343661155775901694823551187233524056921964682}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{31} + \frac{770929523547901869763761896704514884063784249539574899539444711241894095960964683071497121579819500090036936581283167068622277973432245046266276330109641086452179798818719970315061694181618490031978903245213434484056432163016266371593594788876334301532215520172754724950717846497408592687404015970470537978472248719919512518410506410170277942608500157905162992512896309885883112761684545478530785950648}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{30} + \frac{1274947685036938113552395079561226980627314300377173325128358019197769290028479413700298718083390319436546368644433693531490348713147643594332038307721633987421677216880183366830308037563075978290514864851940381437000615074087290760546802676410412360976963144814190295281821153100720201486347164086163009359298622594151575468604025979412311813446592457713873316509657062854747863607314815947377542467026}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{29} - \frac{530176677924186972594126791586334874999203045556077986889804517202113665539206036039470885485310276618417064062187329948058984489465457939065673178614890734531923977284226770871529163987790415561848328860165939365428577195186733852598240489397496592211420017118208610521362201942556409238777422320104833288904842563884045044363407977322543973092475209195236701561879254727457899841578890564732310088133}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{28} - \frac{708814082657547814962122670916143553330287366140722826922830490970786675953862433650840359808648458894539341212647470794336162271177422002954008783482850411034552193855094678540679563890049449166062527045745363527200378657703964675917244707596637697116638918616357746265663582514664926058147864184179355335114662980567419666964901656039851166339960138536049210336720539118492243922996254204547390323456}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{27} + \frac{1745672881940608197102251041714732375498518119961726733000705457279901820790774806123831760677283985399070693571357086650735200841741393058715180330242461065801098251109424125009633382177630365666000004582416096550881543925770655288913350631167171932975717349610553571835845703939826286243038002720531148578601168553178642624616327004415948581415172078995125426794618083380780522146071847872817312109837}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{26} - \frac{1523394766928576889052622639337752770569626861428736674820958562199570001268504410772830098263115165008217739789901569309199504814385159208197710736379148542379527025526927207319037417598264127544281127124458815699555608696477796653118559483230785726102523836564059279625267253244836348955086442567067086104752815173822333876119721509124222911259636106347449318550771783269642493869554553804435315952723}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{25} - \frac{1061765905994973062352810664642374500437367958595492358842714997965927943501704783874804290501737335692377221418246108094135128256700092087373408076507083042322461434546094333752208930384029724142790366815626763516968980815492048530689303347696734999711581822824619766521976602279250901752514551228662545809668069757554850839765981809854339800526618454524374248103488324963112212268370114903323302545622}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{24} + \frac{1330719839496151741803750741967675758114488776594361145702691072408597637437496152974682057323768010693294093505059574372804123340947316160475721687699953533020088782084497767848566508215804076020445707714121791754761150923216223844544573102485245298155349199876449949759586108814594140896578943206798177056662920645160204977259262374407027897360032740049204654561373837634455652729353403301093583816287}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{23} - \frac{1689578418260672787213963679174670053026585503232252363711036795565220518352377558166397414679465108824369041425841882061587768396174685467508831785534454934078123220451190939347235078129165161673377433038962251731414406101084474839830786686118319614136354796644472924098533619909889826910699699177753913371242253537379554932906973758733257203077409312697922303305546120344422754617596082286794184669142}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{22} + \frac{1024762751051450555863632094188925875630991861908554348995246974547037309833845407028222374273061210967205550187666405634396082062465969292922187727945212671009271355819187979094380532971147833140518497849851102450877470406228809850155238089304008975159067258731392855849490588486157618265466704983324900060127638146603120807953590875389856484392995794746189163655872519804722129764415835404528205178194}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{21} - \frac{1352265126565339113627664545756824360715516457461843037881118638094147655099294056057134698944097235944632470244315241444659705213650721439217395017116916575480173515405408866798729113076821215114786336087495624778287674128695065222614311726039090403380951267090428181598807725682896925358610039577912410139540571721056057231069455513564363761160113570498469539478801153463789188570164387269357484787122}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{20} - \frac{1179765755659157767191120377560539262293936523231536281164221317728323802529834713136650720762773600861989096816470584424655611984109632053545130531271182494166254662011208952814106889367436055425231164810551220554552235813125835335836123375256212370870955735367782184909610015142631650909499606816290729200070897593268816729765121087669312673175172891559261549406934730321836894951415364297770538417735}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{19} + \frac{659686227571598856363764535107349703920872486316613589540347970468318904064596069832599432434658051877280025744649814437651568039795338440606670873442856219642086422190532186810816050331118045631523545844022263353909891624288742567871357963686522330686303885156328642690841348584052695690071865790578346126760675105546196304340879568518365129453180580966955449318060921779693757150152447714734036363892}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{18} + \frac{354637937133424487752047064953754551783554551759324468122712607912672249001076818045104423463742735783781830429876839603004829888449034987798849396065418663700533131649327090329246659607164792138994263472406458723613068685975874685457477769260728189014549499913963531527802918859120657785290238653384909917516762419734832332462849461901394466490874104143254272393244778798122676286094565352356372024578}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{17} - \frac{709277417139775341937554999320541338710879912410795307126887595500422840974093659597348623856927201746961792197833774077923416673764434409603677871047876535851469747407860364697544613523262526152223508443220077618566514552264266643986823649284416484451309968148257523303545225612802614065668508285378055729377629341551067937440835944695434988788295429824787031359222169482570440751213213793787745894919}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{16} + \frac{1742756406242598876385262241324859778438009179675958055866438489352829640254533253701931687919474370422201472800493187574449587895117533896753857892730152350547683119297566234529774944240562144405573638068952008159827676799444735965850142311515413806753340765784325275459634963341849354118320314470610099189421380137741132779281328368541984813847391256185106803456080148842245617037722779870524910639467}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{15} - \frac{1173586750700271622052367480154369247107834093213746970105683698238160870905418402422068566240288986575139268741668488082692413877148235340734732454939949564514549573759427008591209949363711301953794150125920671029544845798014714949846696703777582356843753102288516584817766313251154139376035591131153903751788649092427773446284124206411121611320254405676518285657549252314841127930513877220477718631491}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{14} + \frac{675212949068465695758137913775235203227849057631800933944216010373943846197619698813516448946754522351576105150830308485923110769123954765728730713496797362508073342438023034999785892544025607800952571193241912943990620764509429802331604028897968034480874936564169298508443887362301313442216735732620477110314690011019597433968906894629707248454795137738056712168793489086059870864607741605329785254289}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{13} + \frac{271050720886103076385277109712205562521974205861943130925869690818140268719791642392582025591620715129267951237309703154580257609336883554613904038070167057876931710996376255754702225390455371460611405995440506901434682799694231271321552103273802340484041981053119026865264109116318670795472259756635645741348118501560477764601918555279714569986144839836233971675082476531061728076118704723224337893592}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{12} - \frac{1562041917565515820553756361110988802420721631379442819226678782438880948057815501321706732101304793269813636280012167027888640868668472407786504828995823906092621194516703563336662486216488463936695545970382568396237745668599997483864883732353333185601622190172726524397287577398361043491179354255132127687340197102001472118292676174435499244676471839997465348938165630370932562834220331972567159914756}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{11} + \frac{1351236486736776679433472542938049130125595216490810903926713956957776756878718595770150641827282060238583349422889166159515755338140112247954971671097941888701218685245487386066138649024948082920270075590266670600637198114246807077485645202918528660976270116699205203881636779103857467525301389901933675874992684375403489894783025133635239771117803370102666603267215977436381082780036546040116703623977}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{10} + \frac{1100948320304245468910783763839706457502520968633430479115135735425319229236787223683644715362259064559940818343502388062759584441721691671838067594766075677505711312741744143168225534357180583396564069183802016858961690130224887835962401022525763058493279896114369019595999798537443290101060544184451387789852829355759194644738484177693999907978729713795759148242183185924240714482612745090879580500734}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{9} + \frac{1766755218175169078349380569488791785734945409679149315391323107638695310205920965768978589803855437980368555343949008288603901177254790297015296474425658153705684327339423381952191943557077424995416314139310096380827937217743106166377991450627306533207704797814705511112139609015251264934956001354271822280855678393961803263008700579900048239822980512123498673742694277115390046959518605751475921211539}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{8} + \frac{1144007255817635346438671313442519065308442089713362887150276357284869996953569056428278158098750892863522414803552856075784476980292600060882330851141241785578053081153382498236567701118408236800921502926095842048058162316890387750834196252716344639566207595574165646414373557676346877290409389493229402800509697810203078279141754440035954621515776985078808081858819673950724056262515174764012923421435}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{7} - \frac{1660252223079554993035230603391049433069730469088471521767022663452630542636984828933142089152580910950384867656713907530154706273663725619561232672521332885501974344970153687276396771529049709989201977788219293521627816321017286004741159837853208603491087027463018943746351615301645606734964018330659012385011367851803841987246406813494283140848530864489697759879975697613216126652429170886893671121449}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{6} - \frac{1754242387066667263216652179785384682500448306778494531193201861282621483779912392751829945511321815865215201597275653595547072169611808396742096763959560097210356962741251526500806353053341703265012974529598657861390006282111711606068927651345524840700677186140393327670550086770946608472903657569521642024869217772925228398640752469522467467588479724080084133834745630401206807014429197886239686022231}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{5} + \frac{163827913108162436812407909095985835884865893654998067657188914256220107728339981867045752715736518204121989194424421478707770743368728760172068202274133649626548212375593939885784610381586733010765525594779235121936389989283047545665866321816673334380873191590686129422664218481063887423463541950364029332105224741521404772132282686445714364501899168890028200296826943865174084566855381664902466054336}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{4} + \frac{1301472561987036210555647851265403877136015225105898075978593858142169401086542095463979110433950489405528793217297064369381486394062563047873210328800421513547551801222409367962683885186468525810639210593319209502319508083952950815541261254127287003847161876202445238913607190993439008559581454838753798072032298375290131534649832066975751327930065074967264766409843088096614804441632071879971841966011}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{3} + \frac{1454695560746629975474174360753037310289544621939469078823923432631670213278133169123688591191508173392718306723141974965900837798321558824973636792363938610702479324470096185766392772900544397674941903000020633819459468220564423084105269192564652018041428799604475018302485536170064177050770755878161454974523570717169943755133124196519636595423052360408498074185686228235264086402740621491059085390547}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a^{2} + \frac{1329751043097874669223827189695728853775528226319171997367997019490577949526468688228678149889921876836376446253666040779846653207950944356740463861861080214366623048052528399288318622211697073417372197992624971534589529074492593342119184370260419105903583943556537908469048979094448122629968304594624279957559793682693270610505906395079184171117450032012025676583601540153305916850392336141162707426418}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871} a - \frac{1006191190214199776513022661985561898054583745347510950117286253778025134966096437297940299243580296800822985520823517126684159796127224775498854467233518106616565230619144585687225265648002948092311320099731309860357199217756733289233507587194531451330937145170582964241848388095627350336856986006936747853103793573455025403538994021302335471844856278298839363478066049483700147385265637676566359017711}{3551410124358230275714881480234936282353597933568017278717362782308429700680842373496628337976746097979999752125698953918954283598728758992822005582769224813839043247232954067618840600182910824330518795559375417409029592039185983772610008399231640394732459215508334808932447080629048224588600330092860777595511735686600174869448569199253351330927492105107986224795948293190305245558387081041330457237871}$

sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 
magma: IntegralBasis(K);
 

Class group and class number

not computed

sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 
magma: ClassGroup(K);
 

Unit group

sage: UK = K.unit_group()
 
magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
Rank:  $36$
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
magma: UnitRank(K);
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
Fundamental units:  not computed
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
Regulator:  not computed
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 
magma: Regulator(K);
 

Class number formula

$\displaystyle\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) $ not computed

Galois group

$C_{37}$ (as 37T1):

sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
magma: GaloisGroup(K);
 
A cyclic group of order 37
The 37 conjugacy class representatives for $C_{37}$
Character table for $C_{37}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ $2$ $3$ $5$ $7$ $11$ $13$ $17$ $19$ $23$ $29$ $31$ $37$ $41$ $43$ $47$ $53$ $59$
Cycle type $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ R $37$ $37$ $37$ $37$ $37$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 
magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
37Data not computed