↑

Properties

Label 37.37.6760346576...2801.1
Degree $37$
Signature $[37, 0]$
Discriminant $593^{36}$
Root discriminant $499.01$
Ramified prime $593$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{37}$ (as 37T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-123515969, -8478121776, -112807611860, 1113091773432, 25891375086732, 89662863870162, -89391122404607, -643936928000107, -20429122626927, 1787314591059035, 376597618487442, -2560928454934750, -505910437546894, 2104618406390649, 302779333586209, -1055972317034939, -99305962871851, 338381715805464, 19740632343658, -71813314605418, -2534502436630, 10365088714029, 221330910643, -1034496050617, -13974595438, 71915662407, 687931612, -3475263507, -27504461, 115283443, 842615, -2554843, -17336, 35910, 203, -288, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^37 - x^36 - 288*x^35 + 203*x^34 + 35910*x^33 - 17336*x^32 - 2554843*x^31 + 842615*x^30 + 115283443*x^29 - 27504461*x^28 - 3475263507*x^27 + 687931612*x^26 + 71915662407*x^25 - 13974595438*x^24 - 1034496050617*x^23 + 221330910643*x^22 + 10365088714029*x^21 - 2534502436630*x^20 - 71813314605418*x^19 + 19740632343658*x^18 + 338381715805464*x^17 - 99305962871851*x^16 - 1055972317034939*x^15 + 302779333586209*x^14 + 2104618406390649*x^13 - 505910437546894*x^12 - 2560928454934750*x^11 + 376597618487442*x^10 + 1787314591059035*x^9 - 20429122626927*x^8 - 643936928000107*x^7 - 89391122404607*x^6 + 89662863870162*x^5 + 25891375086732*x^4 + 1113091773432*x^3 - 112807611860*x^2 - 8478121776*x - 123515969)
 
gp: K = bnfinit(x^37 - x^36 - 288*x^35 + 203*x^34 + 35910*x^33 - 17336*x^32 - 2554843*x^31 + 842615*x^30 + 115283443*x^29 - 27504461*x^28 - 3475263507*x^27 + 687931612*x^26 + 71915662407*x^25 - 13974595438*x^24 - 1034496050617*x^23 + 221330910643*x^22 + 10365088714029*x^21 - 2534502436630*x^20 - 71813314605418*x^19 + 19740632343658*x^18 + 338381715805464*x^17 - 99305962871851*x^16 - 1055972317034939*x^15 + 302779333586209*x^14 + 2104618406390649*x^13 - 505910437546894*x^12 - 2560928454934750*x^11 + 376597618487442*x^10 + 1787314591059035*x^9 - 20429122626927*x^8 - 643936928000107*x^7 - 89391122404607*x^6 + 89662863870162*x^5 + 25891375086732*x^4 + 1113091773432*x^3 - 112807611860*x^2 - 8478121776*x - 123515969, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{37} - x^{36} - 288 x^{35} + 203 x^{34} + 35910 x^{33} - 17336 x^{32} - 2554843 x^{31} + 842615 x^{30} + 115283443 x^{29} - 27504461 x^{28} - 3475263507 x^{27} + 687931612 x^{26} + 71915662407 x^{25} - 13974595438 x^{24} - 1034496050617 x^{23} + 221330910643 x^{22} + 10365088714029 x^{21} - 2534502436630 x^{20} - 71813314605418 x^{19} + 19740632343658 x^{18} + 338381715805464 x^{17} - 99305962871851 x^{16} - 1055972317034939 x^{15} + 302779333586209 x^{14} + 2104618406390649 x^{13} - 505910437546894 x^{12} - 2560928454934750 x^{11} + 376597618487442 x^{10} + 1787314591059035 x^{9} - 20429122626927 x^{8} - 643936928000107 x^{7} - 89391122404607 x^{6} + 89662863870162 x^{5} + 25891375086732 x^{4} + 1113091773432 x^{3} - 112807611860 x^{2} - 8478121776 x - 123515969 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $37$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[37, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(6760346576864373546418554592723962033312970679630764740849754684931757688487032687926115035176212801=593^{36}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $499.01$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $593$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(593\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{593}(256,·)$, $\chi_{593}(1,·)$, $\chi_{593}(258,·)$, $\chi_{593}(399,·)$, $\chi_{593}(16,·)$, $\chi_{593}(529,·)$, $\chi_{593}(148,·)$, $\chi_{593}(277,·)$, $\chi_{593}(535,·)$, $\chi_{593}(152,·)$, $\chi_{593}(281,·)$, $\chi_{593}(154,·)$, $\chi_{593}(538,·)$, $\chi_{593}(286,·)$, $\chi_{593}(162,·)$, $\chi_{593}(220,·)$, $\chi_{593}(42,·)$, $\chi_{593}(555,·)$, $\chi_{593}(556,·)$, $\chi_{593}(306,·)$, $\chi_{593}(183,·)$, $\chi_{593}(570,·)$, $\chi_{593}(60,·)$, $\chi_{593}(62,·)$, $\chi_{593}(578,·)$, $\chi_{593}(454,·)$, $\chi_{593}(225,·)$, $\chi_{593}(311,·)$, $\chi_{593}(589,·)$, $\chi_{593}(78,·)$, $\chi_{593}(79,·)$, $\chi_{593}(345,·)$, $\chi_{593}(92,·)$, $\chi_{593}(353,·)$, $\chi_{593}(232,·)$, $\chi_{593}(367,·)$, $\chi_{593}(425,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $\frac{1}{59} a^{29} + \frac{14}{59} a^{28} + \frac{17}{59} a^{27} + \frac{6}{59} a^{26} + \frac{28}{59} a^{25} - \frac{1}{59} a^{24} + \frac{19}{59} a^{23} - \frac{10}{59} a^{22} - \frac{4}{59} a^{21} - \frac{8}{59} a^{20} - \frac{8}{59} a^{19} - \frac{3}{59} a^{18} - \frac{21}{59} a^{17} + \frac{29}{59} a^{16} - \frac{28}{59} a^{15} + \frac{11}{59} a^{14} - \frac{13}{59} a^{13} - \frac{6}{59} a^{12} - \frac{12}{59} a^{11} + \frac{16}{59} a^{10} + \frac{27}{59} a^{9} + \frac{14}{59} a^{8} - \frac{11}{59} a^{7} - \frac{13}{59} a^{6} - \frac{2}{59} a^{5} - \frac{13}{59} a^{4} + \frac{14}{59} a^{3} - \frac{17}{59} a^{2} + \frac{12}{59} a$, $\frac{1}{59} a^{30} - \frac{2}{59} a^{28} + \frac{4}{59} a^{27} + \frac{3}{59} a^{26} + \frac{20}{59} a^{25} - \frac{26}{59} a^{24} + \frac{19}{59} a^{23} + \frac{18}{59} a^{22} - \frac{11}{59} a^{21} - \frac{14}{59} a^{20} - \frac{9}{59} a^{19} + \frac{21}{59} a^{18} + \frac{28}{59} a^{17} - \frac{21}{59} a^{16} - \frac{10}{59} a^{15} + \frac{10}{59} a^{14} - \frac{1}{59} a^{13} + \frac{13}{59} a^{12} + \frac{7}{59} a^{11} - \frac{20}{59} a^{10} - \frac{10}{59} a^{9} + \frac{29}{59} a^{8} + \frac{23}{59} a^{7} + \frac{3}{59} a^{6} + \frac{15}{59} a^{5} + \frac{19}{59} a^{4} + \frac{23}{59} a^{3} + \frac{14}{59} a^{2} + \frac{9}{59} a$, $\frac{1}{59} a^{31} - \frac{27}{59} a^{28} - \frac{22}{59} a^{27} - \frac{27}{59} a^{26} - \frac{29}{59} a^{25} + \frac{17}{59} a^{24} - \frac{3}{59} a^{23} + \frac{28}{59} a^{22} - \frac{22}{59} a^{21} - \frac{25}{59} a^{20} + \frac{5}{59} a^{19} + \frac{22}{59} a^{18} - \frac{4}{59} a^{17} - \frac{11}{59} a^{16} + \frac{13}{59} a^{15} + \frac{21}{59} a^{14} - \frac{13}{59} a^{13} - \frac{5}{59} a^{12} + \frac{15}{59} a^{11} + \frac{22}{59} a^{10} + \frac{24}{59} a^{9} - \frac{8}{59} a^{8} - \frac{19}{59} a^{7} - \frac{11}{59} a^{6} + \frac{15}{59} a^{5} - \frac{3}{59} a^{4} - \frac{17}{59} a^{3} - \frac{25}{59} a^{2} + \frac{24}{59} a$, $\frac{1}{59} a^{32} + \frac{2}{59} a^{28} + \frac{19}{59} a^{27} + \frac{15}{59} a^{26} + \frac{6}{59} a^{25} + \frac{29}{59} a^{24} + \frac{10}{59} a^{23} + \frac{3}{59} a^{22} - \frac{15}{59} a^{21} + \frac{25}{59} a^{20} - \frac{17}{59} a^{19} - \frac{26}{59} a^{18} + \frac{12}{59} a^{17} + \frac{29}{59} a^{16} - \frac{27}{59} a^{15} - \frac{11}{59} a^{14} - \frac{2}{59} a^{13} - \frac{29}{59} a^{12} - \frac{7}{59} a^{11} - \frac{16}{59} a^{10} + \frac{13}{59} a^{9} + \frac{5}{59} a^{8} - \frac{13}{59} a^{7} + \frac{18}{59} a^{6} + \frac{2}{59} a^{5} - \frac{14}{59} a^{4} - \frac{1}{59} a^{3} - \frac{22}{59} a^{2} + \frac{29}{59} a$, $\frac{1}{59} a^{33} - \frac{9}{59} a^{28} - \frac{19}{59} a^{27} - \frac{6}{59} a^{26} - \frac{27}{59} a^{25} + \frac{12}{59} a^{24} + \frac{24}{59} a^{23} + \frac{5}{59} a^{22} - \frac{26}{59} a^{21} - \frac{1}{59} a^{20} - \frac{10}{59} a^{19} + \frac{18}{59} a^{18} + \frac{12}{59} a^{17} - \frac{26}{59} a^{16} - \frac{14}{59} a^{15} - \frac{24}{59} a^{14} - \frac{3}{59} a^{13} + \frac{5}{59} a^{12} + \frac{8}{59} a^{11} - \frac{19}{59} a^{10} + \frac{10}{59} a^{9} + \frac{18}{59} a^{8} - \frac{19}{59} a^{7} + \frac{28}{59} a^{6} - \frac{10}{59} a^{5} + \frac{25}{59} a^{4} + \frac{9}{59} a^{3} + \frac{4}{59} a^{2} - \frac{24}{59} a$, $\frac{1}{59} a^{34} - \frac{11}{59} a^{28} + \frac{29}{59} a^{27} + \frac{27}{59} a^{26} + \frac{28}{59} a^{25} + \frac{15}{59} a^{24} - \frac{1}{59} a^{23} + \frac{2}{59} a^{22} + \frac{22}{59} a^{21} - \frac{23}{59} a^{20} + \frac{5}{59} a^{19} - \frac{15}{59} a^{18} + \frac{21}{59} a^{17} + \frac{11}{59} a^{16} + \frac{19}{59} a^{15} - \frac{22}{59} a^{14} + \frac{6}{59} a^{13} + \frac{13}{59} a^{12} - \frac{9}{59} a^{11} - \frac{23}{59} a^{10} + \frac{25}{59} a^{9} - \frac{11}{59} a^{8} - \frac{12}{59} a^{7} - \frac{9}{59} a^{6} + \frac{7}{59} a^{5} + \frac{10}{59} a^{4} + \frac{12}{59} a^{3} - \frac{10}{59} a$, $\frac{1}{59} a^{35} + \frac{6}{59} a^{28} - \frac{22}{59} a^{27} - \frac{24}{59} a^{26} + \frac{28}{59} a^{25} - \frac{12}{59} a^{24} - \frac{25}{59} a^{23} - \frac{29}{59} a^{22} - \frac{8}{59} a^{21} - \frac{24}{59} a^{20} + \frac{15}{59} a^{19} - \frac{12}{59} a^{18} + \frac{16}{59} a^{17} - \frac{16}{59} a^{16} + \frac{24}{59} a^{15} + \frac{9}{59} a^{14} - \frac{12}{59} a^{13} - \frac{16}{59} a^{12} + \frac{22}{59} a^{11} + \frac{24}{59} a^{10} - \frac{9}{59} a^{9} + \frac{24}{59} a^{8} - \frac{12}{59} a^{7} - \frac{18}{59} a^{6} - \frac{12}{59} a^{5} - \frac{13}{59} a^{4} - \frac{23}{59} a^{3} - \frac{20}{59} a^{2} + \frac{14}{59} a$, $\frac{1}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{36} + \frac{49743656594273857464925350521846627267165631466037312951377652247927289530288916099611610221038132474100133919147005376740976883139361302398048323320229233561520096621784419368100183976458328149435260033612749563461001273291240715753432935209905045773148808484522356695}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{35} + \frac{24606334125946870245291790402033267730382650046379948078808953704798425318103555659212113598842494389341587028627323967581504979370446551633229138946431466679562415125757105564260427248308583500053803312143598260528907406843691076572965651348906617116892552579110629938}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{34} - \frac{90177882920876991188082133316930486819246266735835348363363373039023397352821074652852551198285292395678895587716792636015920674849306435144314337909620517807755809570549292962299963321579629762057426616929595678172173618707831308777791411566453264201531585915876546433}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{33} + \frac{53987421994942653882805529327988979955389009559297396591780990883491385553048873498337893494976439611022226334485870079064329897248725451347623401494457657980055617010332298381649721791345575067168488916092733054258000057590131126507526125247589660208649696259401538076}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{32} + \frac{36215492544357675709336481176079955232054989241152961087778421710871652677487228362788464559462925925074704279383205409263579231824812867298747382711958830353990778709402265745595363252916144923150923134372236273102310303956568222214427948820795130739726323362752280838}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{31} - \frac{6068900108553594501917372609405164767215485359017812051290924249562203452112904078196670028817229400843036239536776214384078363566817881793061640033394140801753648617333150981473435398594769222628255093307658659759381869959225429716041929426906179872149545828883561707}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{30} - \frac{59639135976759760269463065314538673230197790852928393950779553010478059679863505354840668733308747287972718834050018286450044475575592054795684144118337029509748612422002020316043227865465905818437257263973960019788470187886657383387705735489961372513342867722101619998}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{29} - \frac{5137265963975306496374920588041881458587761421338198210287048691200410486568786464406233895452610390567743619521546387945845247666852020766988932281352055404090215957200278725019569609920635416700947279636981473436252118686842902024417784160859276730416218667893140441727}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{28} + \frac{1723828400202885434195354234660503136678414000917209553609746286016911426675810420360906149748645617078460766192990626361483628890797761207733397485295850163196820263967488395700750409300490643522402412555524875730246350423071376076062534979965932989412505028404017782850}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{27} - \frac{4425416243787996968072349670807792193858437605029692594211262651986702092187680268119031780575206070000005110318252512243375625263445467089618141985955198216021140126492041848354948281440921125962630872506476425298961471512956686825704413387035714925046984839256369513420}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{26} - \frac{2606125846387020153069418376672570934967062533081418295933031915655474381255910404511110276084468542979706498500531066523008551987391665323998824597417798685572630665648949173575068715549518418870164602374655006606677375259779536592562823048958993412111165775423099037042}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{25} + \frac{6086227816702527062310515713569671582882777703949256851688778080544240684071612493349376638885561541676908697319682665135443628874308220121171875434317464640636834947136081601454493490303173191166412147178696276304094382034639976042511641827765323289966554880488900387200}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{24} - \frac{178014970632662842322489135808401930508537583374992622558325421258034443979695848985458720514485418738540811451980179948653649021289282018789085146309614101776969327882845291751644255719964792697116968712369223466707696941383677679025888133440260453489930573756317385093}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{23} + \frac{3164699095180939727670325480401490521791864953901999352946426964797223520949104198375442641207758058424972072283676218724797469426987370103558774212005480417315238016498478045396260166541010781094516647601811767457606612798248356557540402698543853509824720534281714189152}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{22} + \frac{4760576315053249249943189980740884833926648569868595276367081305397081229386253750321249957778436105946465811047439142740097529552755413019352236866096249098107461959765019001258404882495532938340845073416949144337246861485584721246149662983381349099054876093457275419017}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{21} - \frac{3981208901136526580067946569682808981624104877767136259477473942730423231915953695761448206528556535528007874801276385136758868755243807155775482295620670703693132289746298654610691944533328779323411836399847585335276279449620507659414414963673690078563394176336095011500}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{20} + \frac{69461087018860013461073588517509333409138083953545365189412287348195736520756230313782936182537035696164991753316361174966099355039219079770249405104140020588050258115346309775569502029571194850184191668840435975901482418786552025978944170924788724175743902691388501135}{206553522383053912138116436714820384546311296871541836563434951883653264128787346271326734234239138637762912426021121255106226137486038624534604729940128026785851137820086076776447828032551591125339422047547432973140046738961646893178621033369154404063407280233317454717} a^{19} + \frac{1071518296345681274846701973618010690224518189899405409604113226117329505534948785304616936522948958264991147444804229393963936483563927797502949924455621628851900567398941745889030383529412530975187375597420884568429042758974668722821293841720075231328102352718451755930}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{18} + \frac{1935738883571819967224984496899728565531338976643307587269601032634466438335244064226458163747211781927323576969516175303781181330285163870635324041005531759541902034302521280336166586909899453846132269823348786275773858318612782375962321616932138137701890973499153052481}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{17} - \frac{426379301042581079265503203260796604829644561255269787669290909680613709722950584846620326405672476591903306299615575149976264671985222882409072750694902603748827465948879438194562303444670001977023807386522758566580823343407076130404241802534573543175139116115811748313}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{16} - \frac{2061862892673738518923954264595701380572156632446475860557183512962650218175239575832545909744519844645380212668677883409668142776800616788200998389067433959772261916031978544441630046804058885811186219509091776432713960884109997763861530914513596187333603973489257795267}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{15} + \frac{1343136951157684510263587365721817392489704535686723040136624550669578510639078675788344184041065130683968022021899031394664209186152501525596701629323809048438986245168448817628875961884275408448208948022768556376295007800185895815453813171562997389211158371942473101159}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{14} - \frac{784036744259551458799429568477601552907735751963486872907844156702333082139645456416814667334983992508592179139823079645438232179394120587124075066944198787859205564012617590247534548591366619018094977461114690859822968916092800979552150817411101682019537661975192233026}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{13} - \frac{3847796968826305757211753831052642425743162213027419053248873850675075080010371334780755792291582606569348523924426062131515963151677105992534594616504853667901043936911544230630263941179047504823897505217504394741078985056386024170618579581665648704012719555939337479494}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{12} + \frac{4740057726131896060711147697864381319083013435217796448058470452392232373510256672503222469722670664367841901424534094407326913743334237725290660338270905047092929758069124323094769343418609740801998938447283144874951795395224507888680355846024168325151884827541145300862}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{11} - \frac{4217175404764249967284094750506559817199523433354020055861728555161525647939173531047047826587425447819628062152304872836144017722064151665215758052627959449347437088767390042589444280888926418412364298116506708714715575414432712718534184457404694645210892011155077039625}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{10} - \frac{3958499040743305607601089195669096425653491285235708001033520144678895702692391447164907152791835967073944729885294178326587529016810340823841366619730616040422569567797793520400110559793790425242707465823399621970986235415176479075354392605248440094721625353674589914827}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{9} + \frac{462812946370397239245859688574077888113302217252480718059213950370315951496433169533917033435251653756836920536269675383871612966855473536729675485033122613226848601991115144516495857620648177864900418476860905222338832863382877226461843913219077047069198179207414478785}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{8} + \frac{3170633504442308434838508106749560522613414788755916586492629000869297263935538413886695372767697009529315422685072130985610868729730612314228764415153263333629196031469204719401605014043004609921225630221142127694234703262080904328867452107841483355938893692934926852714}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{7} + \frac{461461498400513478322603335066245374200953397942258221965378903025696501392889129753539734925686221377885717655723615049091913607655468983247287065614821825825849364491809001437756077173145516934927537528518160903738596715016229505735739090126553673040618186557467124862}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{6} + \frac{3182477739462325003057253296687567670185235756001882445126525463111827748610222122842241052464874735005439539324310663963612327654274339307939463988893214011062837533371521455669833293318111127065166376566157434587570364662585852214634120254689167409365074368860927411604}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{5} + \frac{3520294463498543019821201618914496189069655162370663595308478341758276441446369089956081893368295488687309932504491175887611102360197286673081432527771528161394743060075463460943037640217075178328505805720957644889392933002133264118671693050022143221527070974930830098541}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{4} + \frac{5466439856016886061652636947596065604267543584083330645035863239363259461585048007024959339403596087140336714190263673232017632169448636112951012491465960132464231487139881701286372334980458409925958991420459305172909902160407934937427087063857261753201315859899810444619}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{3} + \frac{608035941762328127117510051684790461609723680471221100799893979786078863693782160074839299324577803464093024819508568650711794931718265140126968093339816163245503900397554955153571532701453733350798839787566020059936260490932581553534636951940676739014662244109954537389}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a^{2} - \frac{5864885092076156980281538753038842239502400047584864665122944921280307139407435965169035608264848638092595804351567961251950333839268586660287439090987139688480624079818856745664070620593865660375508662716582547819614737314316063150728117086544846808066651228415679704972}{12186657820600180816148869766174402688232366515420968357242662161135542583598453430008277319820109179628011833135246154051267342111676278847541679066467553580365217131385078529810421853920543876395025900805298545415262757598737166697538640968780109839741029533765729828303} a - \frac{81991617035184462813569343747880604244292611470874148915271192871371575432997735424199230775130138258017088501025279493926701351767565456751264530539185884227523758731374864621114399411462190822428761318463344712613530824106795835223848714655142337592940265535814768264}{206553522383053912138116436714820384546311296871541836563434951883653264128787346271326734234239138637762912426021121255106226137486038624534604729940128026785851137820086076776447828032551591125339422047547432973140046738961646893178621033369154404063407280233317454717}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $36$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{37}$ (as 37T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 37
The 37 conjugacy class representatives for $C_{37}$
Character table for $C_{37}$ is not computed

Intermediate fields

The extension is primitive: there are no intermediate fields between this field and $\Q$.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ $37$ ${\href{/LocalNumberField/59.1.0.1}{1} }^{37}$

Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
593Data not computed