Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 4*x^35 - 71*x^34 + 290*x^33 + 2189*x^32 - 9196*x^31 - 38498*x^30 + 168076*x^29 + 426285*x^28 - 1964424*x^27 - 3089535*x^26 + 15403666*x^25 + 14704059*x^24 - 82755920*x^23 - 44357561*x^22 + 305983704*x^21 + 74837468*x^20 - 772688098*x^19 - 31268380*x^18 + 1309519986*x^17 - 130919914*x^16 - 1451486164*x^15 + 278371447*x^14 + 1018460166*x^13 - 250289952*x^12 - 434207956*x^11 + 116712776*x^10 + 106401116*x^9 - 28450501*x^8 - 13608038*x^7 + 3438912*x^6 + 717016*x^5 - 182615*x^4 - 4420*x^3 + 2410*x^2 - 120*x + 1)
gp: K = bnfinit(y^36 - 4*y^35 - 71*y^34 + 290*y^33 + 2189*y^32 - 9196*y^31 - 38498*y^30 + 168076*y^29 + 426285*y^28 - 1964424*y^27 - 3089535*y^26 + 15403666*y^25 + 14704059*y^24 - 82755920*y^23 - 44357561*y^22 + 305983704*y^21 + 74837468*y^20 - 772688098*y^19 - 31268380*y^18 + 1309519986*y^17 - 130919914*y^16 - 1451486164*y^15 + 278371447*y^14 + 1018460166*y^13 - 250289952*y^12 - 434207956*y^11 + 116712776*y^10 + 106401116*y^9 - 28450501*y^8 - 13608038*y^7 + 3438912*y^6 + 717016*y^5 - 182615*y^4 - 4420*y^3 + 2410*y^2 - 120*y + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^36 - 4*x^35 - 71*x^34 + 290*x^33 + 2189*x^32 - 9196*x^31 - 38498*x^30 + 168076*x^29 + 426285*x^28 - 1964424*x^27 - 3089535*x^26 + 15403666*x^25 + 14704059*x^24 - 82755920*x^23 - 44357561*x^22 + 305983704*x^21 + 74837468*x^20 - 772688098*x^19 - 31268380*x^18 + 1309519986*x^17 - 130919914*x^16 - 1451486164*x^15 + 278371447*x^14 + 1018460166*x^13 - 250289952*x^12 - 434207956*x^11 + 116712776*x^10 + 106401116*x^9 - 28450501*x^8 - 13608038*x^7 + 3438912*x^6 + 717016*x^5 - 182615*x^4 - 4420*x^3 + 2410*x^2 - 120*x + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 - 4*x^35 - 71*x^34 + 290*x^33 + 2189*x^32 - 9196*x^31 - 38498*x^30 + 168076*x^29 + 426285*x^28 - 1964424*x^27 - 3089535*x^26 + 15403666*x^25 + 14704059*x^24 - 82755920*x^23 - 44357561*x^22 + 305983704*x^21 + 74837468*x^20 - 772688098*x^19 - 31268380*x^18 + 1309519986*x^17 - 130919914*x^16 - 1451486164*x^15 + 278371447*x^14 + 1018460166*x^13 - 250289952*x^12 - 434207956*x^11 + 116712776*x^10 + 106401116*x^9 - 28450501*x^8 - 13608038*x^7 + 3438912*x^6 + 717016*x^5 - 182615*x^4 - 4420*x^3 + 2410*x^2 - 120*x + 1)
\( x^{36} - 4 x^{35} - 71 x^{34} + 290 x^{33} + 2189 x^{32} - 9196 x^{31} - 38498 x^{30} + 168076 x^{29} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $36$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[36, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(42597605919174385987291615490837462485893632000000000000000000000000000\)
\(\medspace = 2^{36}\cdot 5^{27}\cdot 19^{32}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(91.61\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $2\cdot 5^{3/4}19^{8/9}\approx 91.60672696607804$ | ||
| Ramified primes: |
\(2\), \(5\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $36$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(380=2^{2}\cdot 5\cdot 19\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{380}(1,·)$, $\chi_{380}(7,·)$, $\chi_{380}(9,·)$, $\chi_{380}(267,·)$, $\chi_{380}(149,·)$, $\chi_{380}(23,·)$, $\chi_{380}(283,·)$, $\chi_{380}(161,·)$, $\chi_{380}(163,·)$, $\chi_{380}(169,·)$, $\chi_{380}(43,·)$, $\chi_{380}(301,·)$, $\chi_{380}(47,·)$, $\chi_{380}(49,·)$, $\chi_{380}(309,·)$, $\chi_{380}(329,·)$, $\chi_{380}(187,·)$, $\chi_{380}(61,·)$, $\chi_{380}(63,·)$, $\chi_{380}(321,·)$, $\chi_{380}(343,·)$, $\chi_{380}(327,·)$, $\chi_{380}(201,·)$, $\chi_{380}(207,·)$, $\chi_{380}(81,·)$, $\chi_{380}(83,·)$, $\chi_{380}(87,·)$, $\chi_{380}(347,·)$, $\chi_{380}(349,·)$, $\chi_{380}(101,·)$, $\chi_{380}(263,·)$, $\chi_{380}(229,·)$, $\chi_{380}(289,·)$, $\chi_{380}(367,·)$, $\chi_{380}(121,·)$, $\chi_{380}(123,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $\frac{1}{13681}a^{33}+\frac{5789}{13681}a^{32}-\frac{742}{13681}a^{31}+\frac{382}{13681}a^{30}+\frac{4542}{13681}a^{29}+\frac{5418}{13681}a^{28}-\frac{586}{13681}a^{27}+\frac{1417}{13681}a^{26}+\frac{3953}{13681}a^{25}-\frac{474}{13681}a^{24}-\frac{2738}{13681}a^{23}+\frac{5263}{13681}a^{22}+\frac{411}{13681}a^{21}+\frac{2191}{13681}a^{20}-\frac{692}{13681}a^{19}-\frac{3393}{13681}a^{18}-\frac{5018}{13681}a^{17}-\frac{1966}{13681}a^{16}+\frac{4968}{13681}a^{15}+\frac{5175}{13681}a^{14}-\frac{3658}{13681}a^{13}+\frac{2195}{13681}a^{12}+\frac{2123}{13681}a^{11}-\frac{498}{13681}a^{10}+\frac{3139}{13681}a^{9}-\frac{1726}{13681}a^{8}+\frac{5239}{13681}a^{7}+\frac{315}{13681}a^{6}+\frac{1160}{13681}a^{5}-\frac{5459}{13681}a^{4}-\frac{1946}{13681}a^{3}+\frac{1374}{13681}a^{2}-\frac{1505}{13681}a-\frac{2706}{13681}$, $\frac{1}{25\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{24\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!81}a^{33}-\frac{11\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!81}a^{32}+\frac{62\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!81}a^{31}+\frac{79\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!81}a^{30}+\frac{47\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!81}a^{28}-\frac{73\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{80\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!81}a^{26}+\frac{37\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!81}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!81}a^{24}-\frac{48\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!81}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!81}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!81}a^{20}-\frac{52\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!81}a^{19}+\frac{69\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{19\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{85\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{90\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{57\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{12\!\cdots\!57}{25\!\cdots\!81}a^{11}+\frac{32\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!81}a^{10}-\frac{23\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{35\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{32\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!81}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{73\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!81}a^{3}+\frac{75\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{35\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!81}a+\frac{12\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!81}$, $\frac{1}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{54\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{56\!\cdots\!27}{25\!\cdots\!79}a^{33}-\frac{11\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{73\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!79}a^{30}+\frac{26\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!79}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{89\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!79}a^{27}+\frac{57\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{19\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!79}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{21\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!79}a^{21}-\frac{71\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{77\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{60\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!79}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{43\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!79}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!79}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{76\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!79}a^{7}+\frac{74\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{96\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{81\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!79}a^{4}+\frac{50\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!79}a-\frac{98\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!79}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $35$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{54\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!81}a^{35}-\frac{21\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!81}a^{34}-\frac{38\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!81}a^{33}+\frac{40\!\cdots\!65}{67\!\cdots\!39}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!81}a^{31}-\frac{49\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!81}a^{30}-\frac{21\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!81}a^{29}+\frac{89\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!81}a^{28}+\frac{23\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!81}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!81}a^{25}+\frac{82\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!81}a^{24}+\frac{86\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!81}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!81}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!81}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!81}a^{20}+\frac{52\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!81}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!81}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!81}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!81}a^{16}-\frac{18\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!81}a^{15}-\frac{79\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!81}a^{14}+\frac{92\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!81}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!81}a^{12}-\frac{94\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!81}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!81}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!81}a^{9}+\frac{61\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!81}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!81}a^{7}-\frac{82\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!81}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!81}a^{5}+\frac{48\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!81}a^{4}-\frac{61\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!81}a^{3}-\frac{73\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!81}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!81}a-\frac{26\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!81}$, $\frac{26\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{10\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{18\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{75\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{58\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{23\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{43\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{51\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{84\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{40\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{41\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{34\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{38\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!59}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{55\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{63\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a-\frac{84\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{45\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{17\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{32\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{13\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{41\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{75\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{88\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{69\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{71\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{82\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{82\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{68\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a-\frac{11\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{15\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{60\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{43\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{34\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{13\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{60\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{25\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{67\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{29\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{50\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{78\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{46\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{11\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{19\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{24\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{67\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{26\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{28\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{20\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a-\frac{13\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{29\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{11\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{20\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{82\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{64\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{26\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{11\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{48\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{56\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{94\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{44\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{23\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{87\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{25\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{37\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{95\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{42\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{29\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{49\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{23\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{32\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{28\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{41\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{33\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!79}a+\frac{21\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{90\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{35\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{64\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{25\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{19\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{81\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{35\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{14\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{39\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{73\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{88\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{69\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{80\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{29\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{93\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{40\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{18\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{79\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{10\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{11\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a-\frac{17\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{46\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{18\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{33\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{13\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{42\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{18\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{77\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{90\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{70\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{45\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{35\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{60\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{16\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{80\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{48\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{82\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{39\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{52\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{70\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{11\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{42\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{55\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{69\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a-\frac{61\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{58\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{36\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{36\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{26\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{89\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{82\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{14\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{32\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{17\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{26}+\frac{71\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{13\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{22}+\frac{79\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{34\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{57\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{96\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{79\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{45\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{59\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{96\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{46\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a-\frac{42\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{45\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{17\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{32\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{12\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{40\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{74\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{19\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{86\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{14\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{68\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{73\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{46\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{47\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{58\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{27\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{65\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{63\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{68\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{33\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{51\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{80\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{69\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{91\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{45\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a-\frac{70\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{12\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{47\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{85\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{34\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{26\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{47\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{52\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{38\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{98\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{60\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{92\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{53\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{18\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{27\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a-\frac{71\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{11\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{46\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{84\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{33\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{26\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{46\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{51\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{97\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{58\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{35\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{90\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{15\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{65\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{22\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{52\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{25\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{30\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!79}a-\frac{18\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{99\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{38\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{70\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{28\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{89\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{38\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{16\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{43\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!81}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{80\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{49\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{95\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{75\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{84\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{17\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{83\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{11\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{87\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{12\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!79}a-\frac{13\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{37\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{14\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{26\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{10\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{82\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{33\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{14\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{61\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{16\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{71\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{56\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{58\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!11}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{28\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{48\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{53\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{62\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{38\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{64\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{41\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{76\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{90\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{31\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{47\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!79}a-\frac{14\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{68\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{26\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{49\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{19\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{15\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{62\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{26\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{30\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{35\!\cdots\!94}{66\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!06}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{56\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!22}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{52\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{61\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{89\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{20\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{70\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{30\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{77\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{13\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{61\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{73\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{24\!\cdots\!86}{66\!\cdots\!01}a^{2}+\frac{82\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!79}a-\frac{39\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{55\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{20\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{39\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{15\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{48\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{22\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{87\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{25\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{80\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{43\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{34\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{78\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{85\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{78\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{14}-\frac{22\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{56\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{63\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{23\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{87\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{50\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{96\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!79}a-\frac{94\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{20\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{80\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{14\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{58\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{45\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{18\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{80\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{33\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{90\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{39\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{66\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{32\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{10\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{62\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{20\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{18\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{26\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{61\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{29\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{33\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{21\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{34\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{91\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{16\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{22\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{39\!\cdots\!02}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{30\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{44\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{17\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!79}a-\frac{11\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{79\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{31\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{56\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{22\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{17\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{72\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{31\!\cdots\!36}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{34\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{25\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{65\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{39\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{24\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{76\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{61\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{10\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{31\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{35\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{67\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{89\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{16\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{69\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{92\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!79}a-\frac{11\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{53\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{21\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{38\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{15\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{49\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{21\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{89\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{23\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{82\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{83\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{44\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{16\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!78}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{41\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{70\!\cdots\!52}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{35\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{78\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{55\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!07}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!61}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{59\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{11\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{78\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{45\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{68\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{65\!\cdots\!93}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{83\!\cdots\!43}{25\!\cdots\!79}a-\frac{69\!\cdots\!69}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{59\!\cdots\!04}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{23\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{42\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{16\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{13\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{53\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{23\!\cdots\!42}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{98\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{26\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{90\!\cdots\!67}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{97\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{31\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{45\!\cdots\!03}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{63\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{77\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{22\!\cdots\!12}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{87\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{82\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{62\!\cdots\!29}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{90\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{27\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{44\!\cdots\!31}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{68\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{93\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{55\!\cdots\!97}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{62\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{87\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{77\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!79}a-\frac{37\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{16\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{64\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{11\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{46\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{36\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{14\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{64\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{26\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{71\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{31\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{52\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{24\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{13\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{82\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{49\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{12\!\cdots\!15}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{51\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!09}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{32\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{24\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{38\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{19\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!79}a-\frac{25\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{75\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{29\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{53\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{21\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{67\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{29\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{32\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!05}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{11\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{61\!\cdots\!25}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{22\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{72\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{57\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{65\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{12\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{77\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!49}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{84\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{15\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!75}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{18\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{66\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{95\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{90\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{12\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!79}a-\frac{18\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{72\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{28\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{51\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{20\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{15\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{64\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{28\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{11\!\cdots\!32}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{31\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{13\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!28}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{77\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!48}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{81\!\cdots\!16}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{93\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!79}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{89\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{74\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!01}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{50\!\cdots\!73}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{82\!\cdots\!47}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{12\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{11\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{13\!\cdots\!46}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{67\!\cdots\!18}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{67\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!63}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{83\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!79}a-\frac{11\!\cdots\!72}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{23\!\cdots\!96}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{91\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{16\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{66\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{51\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{21\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{91\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{38\!\cdots\!65}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{45\!\cdots\!99}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{75\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{35\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!91}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{70\!\cdots\!14}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{30\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{91\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{34\!\cdots\!77}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{24\!\cdots\!74}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{42\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!21}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{20\!\cdots\!88}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{26\!\cdots\!44}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{50\!\cdots\!38}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!89}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{61\!\cdots\!34}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!54}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{32\!\cdots\!84}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{22\!\cdots\!87}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!79}a-\frac{12\!\cdots\!92}{25\!\cdots\!79}$, $\frac{22\!\cdots\!76}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{10\!\cdots\!37}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{15\!\cdots\!55}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{74\!\cdots\!45}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{46\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{23\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{76\!\cdots\!98}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{42\!\cdots\!23}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{76\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{49\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{46\!\cdots\!35}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{38\!\cdots\!83}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!62}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!53}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{73\!\cdots\!19}{25\!\cdots\!79}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!56}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!82}{25\!\cdots\!79}a^{18}+\frac{80\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{29\!\cdots\!68}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!08}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!26}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!64}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!66}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{65\!\cdots\!79}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{65\!\cdots\!39}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!94}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{14\!\cdots\!13}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{40\!\cdots\!24}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!86}{25\!\cdots\!79}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!17}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{58\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{3}+\frac{28\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!79}a-\frac{12\!\cdots\!33}{25\!\cdots\!79}$, $a$, 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$\frac{13\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{35}-\frac{53\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{34}-\frac{97\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{33}+\frac{38\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{32}+\frac{30\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{31}-\frac{12\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{30}-\frac{53\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{29}+\frac{22\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{28}+\frac{59\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{26}-\frac{44\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{22}-\frac{68\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{21}+\frac{41\!\cdots\!71}{25\!\cdots\!79}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!10}{25\!\cdots\!79}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{16}-\frac{49\!\cdots\!30}{25\!\cdots\!79}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!90}{25\!\cdots\!79}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!50}{25\!\cdots\!79}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{11}-\frac{60\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!20}{25\!\cdots\!79}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!95}{25\!\cdots\!79}a^{8}-\frac{27\!\cdots\!60}{25\!\cdots\!79}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!85}{25\!\cdots\!79}a^{6}+\frac{32\!\cdots\!70}{25\!\cdots\!79}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!40}{25\!\cdots\!79}a^{4}-\frac{16\!\cdots\!80}{25\!\cdots\!79}a^{3}-\frac{16\!\cdots\!00}{25\!\cdots\!79}a^{2}+\frac{20\!\cdots\!51}{25\!\cdots\!79}a-\frac{28\!\cdots\!41}{25\!\cdots\!79}$, 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gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 747855044096060300000000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{36}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 747855044096060300000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{42597605919174385987291615490837462485893632000000000000000000000000000}}\cr\approx \mathstrut & 0.124501527478343 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 4*x^35 - 71*x^34 + 290*x^33 + 2189*x^32 - 9196*x^31 - 38498*x^30 + 168076*x^29 + 426285*x^28 - 1964424*x^27 - 3089535*x^26 + 15403666*x^25 + 14704059*x^24 - 82755920*x^23 - 44357561*x^22 + 305983704*x^21 + 74837468*x^20 - 772688098*x^19 - 31268380*x^18 + 1309519986*x^17 - 130919914*x^16 - 1451486164*x^15 + 278371447*x^14 + 1018460166*x^13 - 250289952*x^12 - 434207956*x^11 + 116712776*x^10 + 106401116*x^9 - 28450501*x^8 - 13608038*x^7 + 3438912*x^6 + 717016*x^5 - 182615*x^4 - 4420*x^3 + 2410*x^2 - 120*x + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^36 - 4*x^35 - 71*x^34 + 290*x^33 + 2189*x^32 - 9196*x^31 - 38498*x^30 + 168076*x^29 + 426285*x^28 - 1964424*x^27 - 3089535*x^26 + 15403666*x^25 + 14704059*x^24 - 82755920*x^23 - 44357561*x^22 + 305983704*x^21 + 74837468*x^20 - 772688098*x^19 - 31268380*x^18 + 1309519986*x^17 - 130919914*x^16 - 1451486164*x^15 + 278371447*x^14 + 1018460166*x^13 - 250289952*x^12 - 434207956*x^11 + 116712776*x^10 + 106401116*x^9 - 28450501*x^8 - 13608038*x^7 + 3438912*x^6 + 717016*x^5 - 182615*x^4 - 4420*x^3 + 2410*x^2 - 120*x + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^36 - 4*x^35 - 71*x^34 + 290*x^33 + 2189*x^32 - 9196*x^31 - 38498*x^30 + 168076*x^29 + 426285*x^28 - 1964424*x^27 - 3089535*x^26 + 15403666*x^25 + 14704059*x^24 - 82755920*x^23 - 44357561*x^22 + 305983704*x^21 + 74837468*x^20 - 772688098*x^19 - 31268380*x^18 + 1309519986*x^17 - 130919914*x^16 - 1451486164*x^15 + 278371447*x^14 + 1018460166*x^13 - 250289952*x^12 - 434207956*x^11 + 116712776*x^10 + 106401116*x^9 - 28450501*x^8 - 13608038*x^7 + 3438912*x^6 + 717016*x^5 - 182615*x^4 - 4420*x^3 + 2410*x^2 - 120*x + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 - 4*x^35 - 71*x^34 + 290*x^33 + 2189*x^32 - 9196*x^31 - 38498*x^30 + 168076*x^29 + 426285*x^28 - 1964424*x^27 - 3089535*x^26 + 15403666*x^25 + 14704059*x^24 - 82755920*x^23 - 44357561*x^22 + 305983704*x^21 + 74837468*x^20 - 772688098*x^19 - 31268380*x^18 + 1309519986*x^17 - 130919914*x^16 - 1451486164*x^15 + 278371447*x^14 + 1018460166*x^13 - 250289952*x^12 - 434207956*x^11 + 116712776*x^10 + 106401116*x^9 - 28450501*x^8 - 13608038*x^7 + 3438912*x^6 + 717016*x^5 - 182615*x^4 - 4420*x^3 + 2410*x^2 - 120*x + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 36 |
| The 36 conjugacy class representatives for $C_{36}$ |
| Character table for $C_{36}$ |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{5}) \), 3.3.361.1, \(\Q(\zeta_{20})^+\), 6.6.16290125.1, \(\Q(\zeta_{19})^+\), 12.12.135868504328000000000.1, 18.18.563362135874260093126953125.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | R | $36$ | R | ${\href{/padicField/7.12.0.1}{12} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }^{6}$ | $36$ | $36$ | R | $36$ | $18^{2}$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{9}$ | ${\href{/padicField/41.9.0.1}{9} }^{4}$ | $36$ | $36$ | $36$ | ${\href{/padicField/59.9.0.1}{9} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(2\)
| Deg $36$ | $2$ | $18$ | $36$ | |||
|
\(5\)
| Deg $36$ | $4$ | $9$ | $27$ | |||
|
\(19\)
| 19.9.8.8 | $x^{9} + 19$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |
| 19.9.8.8 | $x^{9} + 19$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.8.8 | $x^{9} + 19$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ | |
| 19.9.8.8 | $x^{9} + 19$ | $9$ | $1$ | $8$ | $C_9$ | $[\ ]_{9}$ |