↑

Properties

Label 36.36.1617302629...1153.1
Degree $36$
Signature $[36, 0]$
Discriminant $3^{88}\cdot 17^{27}$
Root discriminant $122.78$
Ramified primes $3, 17$
Class number $1$ (GRH)
Class group Trivial (GRH)
Galois group $C_{36}$ (as 36T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![59399, 1322991, 6577803, -22153542, -148152627, 161683686, 1144043901, -693810117, -4377201930, 1995816947, 9826841817, -4012945749, -14155302033, 5683029075, 13762436715, -5684174823, -9295450155, 4034658177, 4425991518, -2042773668, -1490798520, 739812750, 352370736, -191337390, -57044091, 35054136, 5977575, -4471182, -346671, 384777, 3384, -21123, 900, 663, -54, -9, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 9*x^35 - 54*x^34 + 663*x^33 + 900*x^32 - 21123*x^31 + 3384*x^30 + 384777*x^29 - 346671*x^28 - 4471182*x^27 + 5977575*x^26 + 35054136*x^25 - 57044091*x^24 - 191337390*x^23 + 352370736*x^22 + 739812750*x^21 - 1490798520*x^20 - 2042773668*x^19 + 4425991518*x^18 + 4034658177*x^17 - 9295450155*x^16 - 5684174823*x^15 + 13762436715*x^14 + 5683029075*x^13 - 14155302033*x^12 - 4012945749*x^11 + 9826841817*x^10 + 1995816947*x^9 - 4377201930*x^8 - 693810117*x^7 + 1144043901*x^6 + 161683686*x^5 - 148152627*x^4 - 22153542*x^3 + 6577803*x^2 + 1322991*x + 59399)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 9*x^35 - 54*x^34 + 663*x^33 + 900*x^32 - 21123*x^31 + 3384*x^30 + 384777*x^29 - 346671*x^28 - 4471182*x^27 + 5977575*x^26 + 35054136*x^25 - 57044091*x^24 - 191337390*x^23 + 352370736*x^22 + 739812750*x^21 - 1490798520*x^20 - 2042773668*x^19 + 4425991518*x^18 + 4034658177*x^17 - 9295450155*x^16 - 5684174823*x^15 + 13762436715*x^14 + 5683029075*x^13 - 14155302033*x^12 - 4012945749*x^11 + 9826841817*x^10 + 1995816947*x^9 - 4377201930*x^8 - 693810117*x^7 + 1144043901*x^6 + 161683686*x^5 - 148152627*x^4 - 22153542*x^3 + 6577803*x^2 + 1322991*x + 59399, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 9 x^{35} - 54 x^{34} + 663 x^{33} + 900 x^{32} - 21123 x^{31} + 3384 x^{30} + 384777 x^{29} - 346671 x^{28} - 4471182 x^{27} + 5977575 x^{26} + 35054136 x^{25} - 57044091 x^{24} - 191337390 x^{23} + 352370736 x^{22} + 739812750 x^{21} - 1490798520 x^{20} - 2042773668 x^{19} + 4425991518 x^{18} + 4034658177 x^{17} - 9295450155 x^{16} - 5684174823 x^{15} + 13762436715 x^{14} + 5683029075 x^{13} - 14155302033 x^{12} - 4012945749 x^{11} + 9826841817 x^{10} + 1995816947 x^{9} - 4377201930 x^{8} - 693810117 x^{7} + 1144043901 x^{6} + 161683686 x^{5} - 148152627 x^{4} - 22153542 x^{3} + 6577803 x^{2} + 1322991 x + 59399 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[36, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1617302629108411236613379412621278413029365978926073542216384340055273771153=3^{88}\cdot 17^{27}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $122.78$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 17$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(459=3^{3}\cdot 17\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{459}(256,·)$, $\chi_{459}(1,·)$, $\chi_{459}(259,·)$, $\chi_{459}(4,·)$, $\chi_{459}(268,·)$, $\chi_{459}(13,·)$, $\chi_{459}(271,·)$, $\chi_{459}(16,·)$, $\chi_{459}(409,·)$, $\chi_{459}(154,·)$, $\chi_{459}(412,·)$, $\chi_{459}(157,·)$, $\chi_{459}(421,·)$, $\chi_{459}(166,·)$, $\chi_{459}(424,·)$, $\chi_{459}(169,·)$, $\chi_{459}(307,·)$, $\chi_{459}(52,·)$, $\chi_{459}(310,·)$, $\chi_{459}(55,·)$, $\chi_{459}(319,·)$, $\chi_{459}(64,·)$, $\chi_{459}(322,·)$, $\chi_{459}(67,·)$, $\chi_{459}(205,·)$, $\chi_{459}(208,·)$, $\chi_{459}(217,·)$, $\chi_{459}(220,·)$, $\chi_{459}(358,·)$, $\chi_{459}(103,·)$, $\chi_{459}(361,·)$, $\chi_{459}(106,·)$, $\chi_{459}(370,·)$, $\chi_{459}(115,·)$, $\chi_{459}(373,·)$, $\chi_{459}(118,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{29} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{30} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{31} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{32} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{33} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{34} - \frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{35} - \frac{635273769522188821784299756155986696297253918547111236196004230895978755080617689251365457856150566979470651693740696814261271021641}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{34} + \frac{30890009542474187239873456573291254796884057569622745406982628169969399485062430368779442159116611431035115052299847271904227642779}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{33} - \frac{35009559679040097647007405575734735486909963623603199616632543061355789702992521000949817402587082727454319962899888952293061350254}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{32} + \frac{185562281251704491342253403529742351547367093987878486404327645659297935976709947175007212225899822853077015080619016504463998506295}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{31} - \frac{229419517515893256470239339228506547122831861718140982339800185194516392942751059943611453032826079792421581064121343053544895181190}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{30} - \frac{182198892396711928105921219059611743588165726925905701521892062725194229942015690582954513510022922865512972715949371338963381210625}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{29} - \frac{323008069619886353673415581846305326412074679369474580008201305718600396419691707854411975955500853928314965110012428417828521265425}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{28} - \frac{42493643303982444341908361614421972554217082290014645806097871737504755799157352224282003378140981301560141582468481612675092742315}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{27} - \frac{223457312121100865670734763018232557591840675981628136668503273439228778100060734162919577918463110466188600881148282202878215235019}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{26} + \frac{103931307262146791558806758569217766244849563353394762629873343603597337989159802168639626619403440517796067955176229562833810321569}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{25} - \frac{636688944958417646663216799609666155407097762337978810794868175597024519492661817407967140262398557636821232383035065672671593236535}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{24} - \frac{350013226001739424916073354685766634719650249601876774285901290427173338882450582968660444213324405024146874902648929725463414189925}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{23} - \frac{119137726531773996325284803060324305996101226247685696378460102257645120042802254795359416165699004587106485489007793628963673648684}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{22} - \frac{236892965876720154187876753249050244014538630495496071147952313516996745660784276429624830031600921688642705723936350294097975460982}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{21} - \frac{233811980138772844414492436751475243786399216435391872031611652065871859762254601630439583541589150081933704559479590547585685348567}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{20} - \frac{1221456436106155965470019984569823149096776880106479146428696572696233681634191186292015913826056469390816171948946196801530809121993}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{19} - \frac{232857994165354313407571334363038078880090782833696023913202941925024322126121015118472537685334047763790052822724631972378865614130}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{18} + \frac{645222987325816979287530400698574614223341532632596396851987141008903576840173804209422270813048284926909765573131517678875149733462}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{17} - \frac{871887040004040661493028144004142169162437166812551551088818193757526400901033445082637781697789454884321504298032042243486707936277}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{16} - \frac{580965493631199255080326443104997479090105160034172341675265026944260793556890677458446866007812709649065067502125023712155442659549}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{15} + \frac{370804113532277724892404834530990273495086295959983501381749887657745569896485017371346393655722942225819544037271675184801245076661}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{14} - \frac{654866697876060338744764827910249640582399622125633778755195340173206393031351524554536867839692394459042658965358420143074757828091}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{13} + \frac{395743339340677378836388305919197840388964665450825741899886304017151188722868237295907427332418842541723015214160605527901597550569}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{12} + \frac{206277183433508413983531524863668866291826179785863018944026077707473551429936718250798597864492345402855943194835690778989975718871}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{11} - \frac{750217953869998329059781231704812181507081283124819574096722000053799983596485450721609894478102742007511468139374250571417157995173}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{10} + \frac{120720598564961566136100005740238067962954230035618687687021074996916263294937830496407125266906465429456259084000002795424335107347}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{9} + \frac{15213129840374846121631942538468129174520042167353869510377306565307199240726569517599325582719573357356967879885944391057044769345}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{8} + \frac{1246318890410340965202596596862718067577799741002006877536639094638293003997003526153577565852137587970134015046418639057780420273383}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{7} - \frac{120560499785608350357305499110791524905423199253587871148092990972624007618072090561795827443286618938969398046150954017795225680931}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a^{6} - \frac{349666040889670301148699092856450228465391144628594192374145761815332375998280165831293608111271176711229344431095291470144245294331}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{5} - \frac{451447776934726527614743777293672966923314939502393897260447947524871397849226938943333733532012215314865723886316370170095949394749}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{4} - \frac{135616106557271694292778355712076700664723320353616740611321645281179250084402922194525202529913320591789284797990592042600985563135}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{3} + \frac{35800332008487792317781849269592524792725038172328509286718889685989639318054132304371840023165174563736962965006489488739583202474}{1341129552090873882380160098279641421192680506989415082623627034931759966730822319481164428213684889536973126334472889572279938091901} a^{2} - \frac{293512150230298998723860331070562009906481765774546454974600793579599444527578946987815495642627213148278151448832685175955516608411}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802} a + \frac{301584854287384879183319883733204317235028582241476408202947757531294880481068965158192677739507389991386137201172262737298060948815}{2682259104181747764760320196559282842385361013978830165247254069863519933461644638962328856427369779073946252668945779144559876183802}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $35$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 124961622660106570000000000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{36}$ (as 36T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_{36}$
Character table for $C_{36}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{17}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 4.4.4913.1, 6.6.32234193.1, \(\Q(\zeta_{27})^+\), 12.12.5104819233548816337.1, 18.18.116781890125989356502353933497857.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $18^{2}$ R $36$ $36$ $36$ ${\href{/LocalNumberField/13.9.0.1}{9} }^{4}$ R ${\href{/LocalNumberField/19.6.0.1}{6} }^{6}$ $36$ $36$ $36$ ${\href{/LocalNumberField/37.12.0.1}{12} }^{3}$ $36$ $18^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/47.9.0.1}{9} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/53.2.0.1}{2} }^{18}$ $18^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
$17$17.12.9.1$x^{12} - 34 x^{8} - 10115 x^{4} - 397953$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
17.12.9.1$x^{12} - 34 x^{8} - 10115 x^{4} - 397953$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
17.12.9.1$x^{12} - 34 x^{8} - 10115 x^{4} - 397953$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$