↑

Properties

Label 36.36.1276845819...8125.1
Degree $36$
Signature $[36, 0]$
Discriminant $3^{54}\cdot 5^{18}\cdot 13^{33}$
Root discriminant $121.98$
Ramified primes $3, 5, 13$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_3\times C_{12}$ (as 36T3)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-98828729, 5446221264, -32267765898, -9408191247, 268847902749, -61365660075, -941144446491, 239262351117, 1829938769694, -364422057685, -2211527198037, 312383052333, 1779851366683, -170766196161, -1000011221073, 63503538493, 405277633206, -16681810230, -121104847513, 3163735311, 27043916778, -437624579, -4540870752, 44143254, 572790581, -3208830, -53820756, 163470, 3699240, -5526, -180048, 111, 5859, -1, -114, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 114*x^34 - x^33 + 5859*x^32 + 111*x^31 - 180048*x^30 - 5526*x^29 + 3699240*x^28 + 163470*x^27 - 53820756*x^26 - 3208830*x^25 + 572790581*x^24 + 44143254*x^23 - 4540870752*x^22 - 437624579*x^21 + 27043916778*x^20 + 3163735311*x^19 - 121104847513*x^18 - 16681810230*x^17 + 405277633206*x^16 + 63503538493*x^15 - 1000011221073*x^14 - 170766196161*x^13 + 1779851366683*x^12 + 312383052333*x^11 - 2211527198037*x^10 - 364422057685*x^9 + 1829938769694*x^8 + 239262351117*x^7 - 941144446491*x^6 - 61365660075*x^5 + 268847902749*x^4 - 9408191247*x^3 - 32267765898*x^2 + 5446221264*x - 98828729)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 114*x^34 - x^33 + 5859*x^32 + 111*x^31 - 180048*x^30 - 5526*x^29 + 3699240*x^28 + 163470*x^27 - 53820756*x^26 - 3208830*x^25 + 572790581*x^24 + 44143254*x^23 - 4540870752*x^22 - 437624579*x^21 + 27043916778*x^20 + 3163735311*x^19 - 121104847513*x^18 - 16681810230*x^17 + 405277633206*x^16 + 63503538493*x^15 - 1000011221073*x^14 - 170766196161*x^13 + 1779851366683*x^12 + 312383052333*x^11 - 2211527198037*x^10 - 364422057685*x^9 + 1829938769694*x^8 + 239262351117*x^7 - 941144446491*x^6 - 61365660075*x^5 + 268847902749*x^4 - 9408191247*x^3 - 32267765898*x^2 + 5446221264*x - 98828729, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 114 x^{34} - x^{33} + 5859 x^{32} + 111 x^{31} - 180048 x^{30} - 5526 x^{29} + 3699240 x^{28} + 163470 x^{27} - 53820756 x^{26} - 3208830 x^{25} + 572790581 x^{24} + 44143254 x^{23} - 4540870752 x^{22} - 437624579 x^{21} + 27043916778 x^{20} + 3163735311 x^{19} - 121104847513 x^{18} - 16681810230 x^{17} + 405277633206 x^{16} + 63503538493 x^{15} - 1000011221073 x^{14} - 170766196161 x^{13} + 1779851366683 x^{12} + 312383052333 x^{11} - 2211527198037 x^{10} - 364422057685 x^{9} + 1829938769694 x^{8} + 239262351117 x^{7} - 941144446491 x^{6} - 61365660075 x^{5} + 268847902749 x^{4} - 9408191247 x^{3} - 32267765898 x^{2} + 5446221264 x - 98828729 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[36, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1276845819882579242534370331281755436272121465523956260017136981964111328125=3^{54}\cdot 5^{18}\cdot 13^{33}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $121.98$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(585=3^{2}\cdot 5\cdot 13\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{585}(256,·)$, $\chi_{585}(1,·)$, $\chi_{585}(391,·)$, $\chi_{585}(556,·)$, $\chi_{585}(16,·)$, $\chi_{585}(149,·)$, $\chi_{585}(406,·)$, $\chi_{585}(539,·)$, $\chi_{585}(284,·)$, $\chi_{585}(164,·)$, $\chi_{585}(166,·)$, $\chi_{585}(554,·)$, $\chi_{585}(44,·)$, $\chi_{585}(434,·)$, $\chi_{585}(181,·)$, $\chi_{585}(314,·)$, $\chi_{585}(59,·)$, $\chi_{585}(316,·)$, $\chi_{585}(61,·)$, $\chi_{585}(449,·)$, $\chi_{585}(451,·)$, $\chi_{585}(196,·)$, $\chi_{585}(211,·)$, $\chi_{585}(344,·)$, $\chi_{585}(89,·)$, $\chi_{585}(479,·)$, $\chi_{585}(571,·)$, $\chi_{585}(359,·)$, $\chi_{585}(361,·)$, $\chi_{585}(239,·)$, $\chi_{585}(119,·)$, $\chi_{585}(376,·)$, $\chi_{585}(121,·)$, $\chi_{585}(509,·)$, $\chi_{585}(254,·)$, $\chi_{585}(511,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{53} a^{26} + \frac{4}{53} a^{25} - \frac{17}{53} a^{24} - \frac{11}{53} a^{23} - \frac{20}{53} a^{22} - \frac{16}{53} a^{21} + \frac{16}{53} a^{20} + \frac{7}{53} a^{19} - \frac{17}{53} a^{18} + \frac{20}{53} a^{17} + \frac{5}{53} a^{16} - \frac{23}{53} a^{15} + \frac{12}{53} a^{14} + \frac{16}{53} a^{12} + \frac{14}{53} a^{11} + \frac{21}{53} a^{10} - \frac{26}{53} a^{9} - \frac{1}{53} a^{8} + \frac{5}{53} a^{7} + \frac{2}{53} a^{6} + \frac{14}{53} a^{5} - \frac{5}{53} a^{4} - \frac{10}{53} a^{3} + \frac{8}{53} a^{2} - \frac{20}{53} a$, $\frac{1}{53} a^{27} + \frac{20}{53} a^{25} + \frac{4}{53} a^{24} + \frac{24}{53} a^{23} + \frac{11}{53} a^{22} - \frac{26}{53} a^{21} - \frac{4}{53} a^{20} + \frac{8}{53} a^{19} - \frac{18}{53} a^{18} - \frac{22}{53} a^{17} + \frac{10}{53} a^{16} - \frac{2}{53} a^{15} + \frac{5}{53} a^{14} + \frac{16}{53} a^{13} + \frac{3}{53} a^{12} + \frac{18}{53} a^{11} - \frac{4}{53} a^{10} - \frac{3}{53} a^{9} + \frac{9}{53} a^{8} - \frac{18}{53} a^{7} + \frac{6}{53} a^{6} - \frac{8}{53} a^{5} + \frac{10}{53} a^{4} - \frac{5}{53} a^{3} + \frac{1}{53} a^{2} - \frac{26}{53} a$, $\frac{1}{53} a^{28} - \frac{23}{53} a^{25} - \frac{7}{53} a^{24} + \frac{19}{53} a^{23} + \frac{3}{53} a^{22} - \frac{2}{53} a^{21} + \frac{6}{53} a^{20} + \frac{1}{53} a^{19} - \frac{19}{53} a^{17} + \frac{4}{53} a^{16} - \frac{12}{53} a^{15} - \frac{12}{53} a^{14} + \frac{3}{53} a^{13} + \frac{16}{53} a^{12} - \frac{19}{53} a^{11} + \frac{1}{53} a^{10} - \frac{1}{53} a^{9} + \frac{2}{53} a^{8} + \frac{12}{53} a^{7} + \frac{5}{53} a^{6} - \frac{5}{53} a^{5} - \frac{11}{53} a^{4} - \frac{11}{53} a^{3} + \frac{26}{53} a^{2} - \frac{24}{53} a$, $\frac{1}{53} a^{29} - \frac{21}{53} a^{25} - \frac{1}{53} a^{24} + \frac{15}{53} a^{23} + \frac{15}{53} a^{22} + \frac{9}{53} a^{21} - \frac{2}{53} a^{20} + \frac{2}{53} a^{19} + \frac{14}{53} a^{18} - \frac{13}{53} a^{17} - \frac{3}{53} a^{16} - \frac{11}{53} a^{15} + \frac{14}{53} a^{14} + \frac{16}{53} a^{13} - \frac{22}{53} a^{12} + \frac{5}{53} a^{11} + \frac{5}{53} a^{10} - \frac{13}{53} a^{9} - \frac{11}{53} a^{8} + \frac{14}{53} a^{7} - \frac{12}{53} a^{6} - \frac{7}{53} a^{5} - \frac{20}{53} a^{4} + \frac{8}{53} a^{3} + \frac{1}{53} a^{2} + \frac{17}{53} a$, $\frac{1}{53} a^{30} - \frac{23}{53} a^{25} - \frac{24}{53} a^{24} - \frac{4}{53} a^{23} + \frac{13}{53} a^{22} - \frac{20}{53} a^{21} + \frac{20}{53} a^{20} + \frac{2}{53} a^{19} + \frac{1}{53} a^{18} - \frac{7}{53} a^{17} - \frac{12}{53} a^{16} + \frac{8}{53} a^{15} + \frac{3}{53} a^{14} - \frac{22}{53} a^{13} + \frac{23}{53} a^{12} - \frac{19}{53} a^{11} + \frac{4}{53} a^{10} + \frac{26}{53} a^{9} - \frac{7}{53} a^{8} - \frac{13}{53} a^{7} - \frac{18}{53} a^{6} + \frac{9}{53} a^{5} + \frac{9}{53} a^{4} + \frac{3}{53} a^{3} + \frac{26}{53} a^{2} + \frac{4}{53} a$, $\frac{1}{22757617} a^{31} - \frac{110112}{22757617} a^{30} + \frac{123179}{22757617} a^{29} - \frac{214065}{22757617} a^{28} + \frac{24072}{22757617} a^{27} - \frac{95848}{22757617} a^{26} - \frac{6709903}{22757617} a^{25} - \frac{8374125}{22757617} a^{24} - \frac{8249396}{22757617} a^{23} + \frac{9684561}{22757617} a^{22} + \frac{5777190}{22757617} a^{21} - \frac{7686683}{22757617} a^{20} - \frac{85726}{22757617} a^{19} - \frac{9574924}{22757617} a^{18} - \frac{5909452}{22757617} a^{17} + \frac{8866726}{22757617} a^{16} - \frac{9700138}{22757617} a^{15} - \frac{1734534}{22757617} a^{14} - \frac{4797902}{22757617} a^{13} - \frac{1378098}{22757617} a^{12} - \frac{2304320}{22757617} a^{11} + \frac{5802636}{22757617} a^{10} + \frac{1510491}{22757617} a^{9} - \frac{9689556}{22757617} a^{8} - \frac{3736231}{22757617} a^{7} - \frac{7410439}{22757617} a^{6} + \frac{153436}{22757617} a^{5} + \frac{585582}{22757617} a^{4} - \frac{8263250}{22757617} a^{3} - \frac{4935359}{22757617} a^{2} - \frac{2548798}{22757617} a + \frac{117911}{429389}$, $\frac{1}{22757617} a^{32} + \frac{127828}{22757617} a^{30} + \frac{161640}{22757617} a^{29} + \frac{207947}{22757617} a^{28} - \frac{98081}{22757617} a^{27} + \frac{97576}{22757617} a^{26} + \frac{5162318}{22757617} a^{25} - \frac{334955}{22757617} a^{24} - \frac{9729411}{22757617} a^{23} - \frac{576146}{22757617} a^{22} - \frac{957123}{22757617} a^{21} - \frac{414815}{22757617} a^{20} - \frac{5483959}{22757617} a^{19} + \frac{7821106}{22757617} a^{18} + \frac{4666869}{22757617} a^{17} + \frac{4288314}{22757617} a^{16} - \frac{7209659}{22757617} a^{15} + \frac{3438659}{22757617} a^{14} + \frac{10115533}{22757617} a^{13} - \frac{929307}{22757617} a^{12} + \frac{5349120}{22757617} a^{11} - \frac{1059780}{22757617} a^{10} + \frac{2118567}{22757617} a^{9} - \frac{4215250}{22757617} a^{8} + \frac{1780593}{22757617} a^{7} - \frac{5895142}{22757617} a^{6} + \frac{990820}{22757617} a^{5} + \frac{5453808}{22757617} a^{4} + \frac{6264757}{22757617} a^{3} + \frac{1083508}{22757617} a^{2} + \frac{9812698}{22757617} a - \frac{19161}{429389}$, $\frac{1}{1797851743} a^{33} + \frac{12}{1797851743} a^{31} - \frac{3710722}{1797851743} a^{30} - \frac{4785322}{1797851743} a^{29} - \frac{16149903}{1797851743} a^{28} - \frac{15574995}{1797851743} a^{27} - \frac{5132609}{1797851743} a^{26} + \frac{577764950}{1797851743} a^{25} - \frac{1874}{33921731} a^{24} - \frac{125351886}{1797851743} a^{23} + \frac{384106456}{1797851743} a^{22} - \frac{556533033}{1797851743} a^{21} + \frac{675924313}{1797851743} a^{20} - \frac{375617357}{1797851743} a^{19} - \frac{803597652}{1797851743} a^{18} + \frac{9225918}{1797851743} a^{17} + \frac{825929291}{1797851743} a^{16} + \frac{867810109}{1797851743} a^{15} - \frac{46206384}{1797851743} a^{14} - \frac{316964100}{1797851743} a^{13} + \frac{16520713}{33921731} a^{12} + \frac{532986042}{1797851743} a^{11} + \frac{488772580}{1797851743} a^{10} + \frac{780678089}{1797851743} a^{9} + \frac{239699930}{1797851743} a^{8} + \frac{282626744}{1797851743} a^{7} - \frac{653175721}{1797851743} a^{6} - \frac{846116558}{1797851743} a^{5} - \frac{394736891}{1797851743} a^{4} - \frac{3087977}{33921731} a^{3} + \frac{366954056}{1797851743} a^{2} + \frac{83304968}{1797851743} a - \frac{4940533}{33921731}$, $\frac{1}{1797851743} a^{34} + \frac{12}{1797851743} a^{32} - \frac{13}{1797851743} a^{31} - \frac{11124835}{1797851743} a^{30} + \frac{3870514}{1797851743} a^{29} - \frac{3322253}{1797851743} a^{28} + \frac{3136716}{1797851743} a^{27} + \frac{6408826}{1797851743} a^{26} + \frac{19081720}{1797851743} a^{25} - \frac{539578195}{1797851743} a^{24} + \frac{246179092}{1797851743} a^{23} + \frac{333039515}{1797851743} a^{22} - \frac{285374784}{1797851743} a^{21} + \frac{550070752}{1797851743} a^{20} - \frac{620235413}{1797851743} a^{19} + \frac{585970553}{1797851743} a^{18} - \frac{16813005}{1797851743} a^{17} - \frac{523247882}{1797851743} a^{16} + \frac{862988342}{1797851743} a^{15} + \frac{319785854}{1797851743} a^{14} - \frac{75358233}{1797851743} a^{13} + \frac{716813196}{1797851743} a^{12} + \frac{376777677}{1797851743} a^{11} + \frac{109276681}{1797851743} a^{10} - \frac{876547397}{1797851743} a^{9} - \frac{179689630}{1797851743} a^{8} + \frac{550920633}{1797851743} a^{7} - \frac{584633431}{1797851743} a^{6} - \frac{278958678}{1797851743} a^{5} - \frac{61822617}{1797851743} a^{4} + \frac{483660519}{1797851743} a^{3} + \frac{439516758}{1797851743} a^{2} - \frac{52488611}{1797851743} a + \frac{138259}{429389}$, $\frac{1}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{35} + \frac{151726642080054656122668796166330390810840735352085173687609546108817980935913520716507578070406527196829646886}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{34} - \frac{20856260929405790034413869148703146006118437912377221599437950747105675520814960764290507873143314885240744037}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{33} + \frac{2197157870418565856170990357388941399038905355629135290915529312488313496279305909797580317203033214550562680397}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{32} + \frac{9979840481876915903419639322003936799208823079819616745442480674302163733000443285071517690038720556609896246455}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{31} + \frac{2378424939169083854537867547691256952689243079583856309396911503137086767435845589443050656550979486275154614826796939}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{30} - \frac{110484499602046532144508337625318003249213119422783189927198336050790765460539444289994204708438036361604844770302357}{13577200443995530542098337044149181106047166664365880395132209778890600447252751580691663335777814598854170780309497913} a^{29} - \frac{5822737544029277029869844977951190522432620486395208382013565466403318978485694484437449062432826405044557503094333050}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{28} + \frac{5432560361755622343674584299267451398419987085308439649531357125800299573665870097126441928605105413572827194128322773}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{27} + \frac{6079462564019735719036200427991397411849853246737991616250133184944044739749180304896482680493637339142278176499101032}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{26} + \frac{258916700045683627373475086500778522588569591879257342131711580670977741212972159551316586750584694985029418280677612522}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{25} + \frac{12426937252559695270057472192425951370610535212260102347427150453087357984042240784939868668264367703104419250139937354}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{24} + \frac{295612819074114533596883056332729298936873597455747679380003026672240939957152115845834034023777636959961467172350164569}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{23} + \frac{246508749031283651254856401123177175647580053557588379028331691323456284003291991584564849558594831452857299916495374382}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{22} - \frac{132249944867276439105733601467050237410710357477200090157194625565727898396495529386898807970213637095424232728517515447}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{21} + \frac{261931208936160177265541459088890196543018273979071564655479037991135976326678668063499009131171477926363946569328644869}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{20} - \frac{103539087887478534985932608584414772072482221300252616633219677936275637708252402325898844050172928823110303831308716926}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{19} - \frac{149363627346296492517273408594254722847160553370079993950441278752766803417432707386747820062143865459177309493157500900}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{18} + \frac{120789234318783936087539349687717007763806828281314010016049899275902712216045785800935261427121823019522458405164535380}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{17} + \frac{111475785919160759849959497307839140497378299228431378401565737663170697184489813883047844256036657624820856650806862195}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{16} - \frac{53313316011155589284060552603624462852348906717100570901117401649959151125659304868233166138148445161714210247987453217}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{15} + \frac{38922215676170090838056784143439224682624003406001254071936555941453046958130889293151514584787319289126761618163832312}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{14} + \frac{14658180947553450242973940180211443487324876534152076167987176697585618772413231827171624390252282558922858515960651381}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{13} + \frac{291181996245795376866236083292543066775133527357701890883436182227108130529919816631851692671620328437797170542533461285}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{12} - \frac{205359462163883628769323203422263052802947821844278661463182151448887894353074830419017276645571457578275075358888386830}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{11} - \frac{20657805475449298170318845963811597403980493350536123884602003892384454056056263372050660669686340187811796756836208587}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{10} + \frac{96987044470973739926916592643685830013720538837494950323457053703062825804110809163777848294372243246772608995910395699}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{9} + \frac{179404963592763548675198308600520963510497178245913394819538728310328342333471569511677014648093539711696987942498217464}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{8} + \frac{5651673907486999756905083262953735966271777005832575060720306976267711377423386222301968398752532558742982620238643668}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{7} + \frac{211837080700627280421322993758066240479343523553223116908539867154866985285839349903472978726294629911344690722114658295}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{6} + \frac{224149070631251969447958053891724332518900447595469183061809619518913155253227920498767125937955474336862476527694370303}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{5} - \frac{133526694125297904846647715196387200756808790696128883357415160272904861129228117595410827002266824055606097732424416285}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{4} - \frac{66699536116741460285621633897035409782867737721349352089240116014090354532991150313895735923378867953355430346249357331}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{3} - \frac{239972044529106888394531791974252612216391990373291188159448332942512307676690956176670058908946278943428575553077497487}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a^{2} + \frac{225712536097057611681036835072662193499355365954167470815074798640025650088973176025904773523721713661831309443824090830}{719591623531763118731211863339906598620499833211391660942007118281201823704395833776658156796224173739271051356403389389} a + \frac{158843784547396401120785357943096834106077617778526625050411851375811716599897688790426372621047028788133459897254216}{13577200443995530542098337044149181106047166664365880395132209778890600447252751580691663335777814598854170780309497913}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $35$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_{12}$ (as 36T3):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{12}$
Character table for $C_3\times C_{12}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{13}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.13689.1, 3.3.169.1, 3.3.13689.2, 4.4.494325.1, 6.6.14414517.1, 6.6.2436053373.1, \(\Q(\zeta_{13})^+\), 6.6.2436053373.2, 9.9.2565164201769.1, 12.12.64193755198247709328125.1, 12.12.10848744628503862876453125.1, 12.12.20413826988327703125.1, 12.12.10848744628503862876453125.2, 18.18.14456408038335708501176406117.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.12.0.1}{12} }^{3}$ R R ${\href{/LocalNumberField/7.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/11.12.0.1}{12} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/19.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/31.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/47.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.1.0.1}{1} }^{36}$ ${\href{/LocalNumberField/59.12.0.1}{12} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
$5$5.12.6.2$x^{12} - 3125 x^{2} + 31250$$2$$6$$6$$C_{12}$$[\ ]_{2}^{6}$
5.12.6.2$x^{12} - 3125 x^{2} + 31250$$2$$6$$6$$C_{12}$$[\ ]_{2}^{6}$
5.12.6.2$x^{12} - 3125 x^{2} + 31250$$2$$6$$6$$C_{12}$$[\ ]_{2}^{6}$
13Data not computed