Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 90*x^34 + 3537*x^32 - 80130*x^30 + 1165662*x^28 - 1187*x^27 - 11505240*x^26 + 60876*x^25 + 79561287*x^24 - 1248885*x^23 - 393214770*x^22 + 13538481*x^21 + 1405474902*x^20 - 87330726*x^19 - 3650721350*x^18 + 358455213*x^17 + 6873288795*x^16 - 971296587*x^15 - 9272415006*x^14 + 1763581788*x^13 + 8756851740*x^12 - 2137188807*x^11 - 5555566935*x^10 + 1686910755*x^9 + 2198845116*x^8 - 821976822*x^7 - 465058575*x^6 + 221243481*x^5 + 30525471*x^4 - 24720957*x^3 + 2832975*x^2 - 30861*x - 3561)
gp: K = bnfinit(y^36 - 90*y^34 + 3537*y^32 - 80130*y^30 + 1165662*y^28 - 1187*y^27 - 11505240*y^26 + 60876*y^25 + 79561287*y^24 - 1248885*y^23 - 393214770*y^22 + 13538481*y^21 + 1405474902*y^20 - 87330726*y^19 - 3650721350*y^18 + 358455213*y^17 + 6873288795*y^16 - 971296587*y^15 - 9272415006*y^14 + 1763581788*y^13 + 8756851740*y^12 - 2137188807*y^11 - 5555566935*y^10 + 1686910755*y^9 + 2198845116*y^8 - 821976822*y^7 - 465058575*y^6 + 221243481*y^5 + 30525471*y^4 - 24720957*y^3 + 2832975*y^2 - 30861*y - 3561, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^36 - 90*x^34 + 3537*x^32 - 80130*x^30 + 1165662*x^28 - 1187*x^27 - 11505240*x^26 + 60876*x^25 + 79561287*x^24 - 1248885*x^23 - 393214770*x^22 + 13538481*x^21 + 1405474902*x^20 - 87330726*x^19 - 3650721350*x^18 + 358455213*x^17 + 6873288795*x^16 - 971296587*x^15 - 9272415006*x^14 + 1763581788*x^13 + 8756851740*x^12 - 2137188807*x^11 - 5555566935*x^10 + 1686910755*x^9 + 2198845116*x^8 - 821976822*x^7 - 465058575*x^6 + 221243481*x^5 + 30525471*x^4 - 24720957*x^3 + 2832975*x^2 - 30861*x - 3561);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 - 90*x^34 + 3537*x^32 - 80130*x^30 + 1165662*x^28 - 1187*x^27 - 11505240*x^26 + 60876*x^25 + 79561287*x^24 - 1248885*x^23 - 393214770*x^22 + 13538481*x^21 + 1405474902*x^20 - 87330726*x^19 - 3650721350*x^18 + 358455213*x^17 + 6873288795*x^16 - 971296587*x^15 - 9272415006*x^14 + 1763581788*x^13 + 8756851740*x^12 - 2137188807*x^11 - 5555566935*x^10 + 1686910755*x^9 + 2198845116*x^8 - 821976822*x^7 - 465058575*x^6 + 221243481*x^5 + 30525471*x^4 - 24720957*x^3 + 2832975*x^2 - 30861*x - 3561)
\( x^{36} - 90 x^{34} + 3537 x^{32} - 80130 x^{30} + 1165662 x^{28} - 1187 x^{27} - 11505240 x^{26} + \cdots - 3561 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $36$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[36, 0]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(10408387130780717493462032934955905615684680986496729607398257892671441533\)
\(\medspace = 3^{90}\cdot 13^{27}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(106.72\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{5/2}13^{3/4}\approx 106.7236453612354$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(13\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{13}) \) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $36$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(351=3^{3}\cdot 13\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{351}(1,·)$, $\chi_{351}(259,·)$, $\chi_{351}(5,·)$, $\chi_{351}(8,·)$, $\chi_{351}(142,·)$, $\chi_{351}(274,·)$, $\chi_{351}(278,·)$, $\chi_{351}(25,·)$, $\chi_{351}(281,·)$, $\chi_{351}(157,·)$, $\chi_{351}(161,·)$, $\chi_{351}(164,·)$, $\chi_{351}(40,·)$, $\chi_{351}(64,·)$, $\chi_{351}(298,·)$, $\chi_{351}(44,·)$, $\chi_{351}(47,·)$, $\chi_{351}(181,·)$, $\chi_{351}(313,·)$, $\chi_{351}(317,·)$, $\chi_{351}(320,·)$, $\chi_{351}(196,·)$, $\chi_{351}(200,·)$, $\chi_{351}(203,·)$, $\chi_{351}(79,·)$, $\chi_{351}(337,·)$, $\chi_{351}(83,·)$, $\chi_{351}(86,·)$, $\chi_{351}(220,·)$, $\chi_{351}(103,·)$, $\chi_{351}(235,·)$, $\chi_{351}(239,·)$, $\chi_{351}(242,·)$, $\chi_{351}(118,·)$, $\chi_{351}(122,·)$, $\chi_{351}(125,·)$$\rbrace$ | ||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{17}a^{27}-\frac{6}{17}a^{25}+\frac{1}{17}a^{23}+\frac{7}{17}a^{21}-\frac{3}{17}a^{19}-\frac{7}{17}a^{18}-\frac{7}{17}a^{17}-\frac{2}{17}a^{16}-\frac{2}{17}a^{15}+\frac{3}{17}a^{14}+\frac{1}{17}a^{13}+\frac{8}{17}a^{12}+\frac{2}{17}a^{11}+\frac{4}{17}a^{10}+\frac{8}{17}a^{9}+\frac{7}{17}a^{8}+\frac{7}{17}a^{7}-\frac{6}{17}a^{6}+\frac{8}{17}a^{5}+\frac{4}{17}a^{4}+\frac{6}{17}a^{3}+\frac{6}{17}a^{2}-\frac{2}{17}a+\frac{6}{17}$, $\frac{1}{17}a^{28}-\frac{6}{17}a^{26}+\frac{1}{17}a^{24}+\frac{7}{17}a^{22}-\frac{3}{17}a^{20}-\frac{7}{17}a^{19}-\frac{7}{17}a^{18}-\frac{2}{17}a^{17}-\frac{2}{17}a^{16}+\frac{3}{17}a^{15}+\frac{1}{17}a^{14}+\frac{8}{17}a^{13}+\frac{2}{17}a^{12}+\frac{4}{17}a^{11}+\frac{8}{17}a^{10}+\frac{7}{17}a^{9}+\frac{7}{17}a^{8}-\frac{6}{17}a^{7}+\frac{8}{17}a^{6}+\frac{4}{17}a^{5}+\frac{6}{17}a^{4}+\frac{6}{17}a^{3}-\frac{2}{17}a^{2}+\frac{6}{17}a$, $\frac{1}{17}a^{29}-\frac{1}{17}a^{25}-\frac{4}{17}a^{23}+\frac{5}{17}a^{21}-\frac{7}{17}a^{20}-\frac{8}{17}a^{19}+\frac{7}{17}a^{18}+\frac{7}{17}a^{17}+\frac{8}{17}a^{16}+\frac{6}{17}a^{15}-\frac{8}{17}a^{14}+\frac{8}{17}a^{13}+\frac{1}{17}a^{12}+\frac{3}{17}a^{11}-\frac{3}{17}a^{10}+\frac{4}{17}a^{9}+\frac{2}{17}a^{8}-\frac{1}{17}a^{7}+\frac{2}{17}a^{6}+\frac{3}{17}a^{5}-\frac{4}{17}a^{4}+\frac{8}{17}a^{2}+\frac{5}{17}a+\frac{2}{17}$, $\frac{1}{17}a^{30}-\frac{1}{17}a^{26}-\frac{4}{17}a^{24}+\frac{5}{17}a^{22}-\frac{7}{17}a^{21}-\frac{8}{17}a^{20}+\frac{7}{17}a^{19}+\frac{7}{17}a^{18}+\frac{8}{17}a^{17}+\frac{6}{17}a^{16}-\frac{8}{17}a^{15}+\frac{8}{17}a^{14}+\frac{1}{17}a^{13}+\frac{3}{17}a^{12}-\frac{3}{17}a^{11}+\frac{4}{17}a^{10}+\frac{2}{17}a^{9}-\frac{1}{17}a^{8}+\frac{2}{17}a^{7}+\frac{3}{17}a^{6}-\frac{4}{17}a^{5}+\frac{8}{17}a^{3}+\frac{5}{17}a^{2}+\frac{2}{17}a$, $\frac{1}{1698317}a^{31}-\frac{34192}{1698317}a^{30}-\frac{29693}{1698317}a^{29}-\frac{43544}{1698317}a^{28}-\frac{29541}{1698317}a^{27}+\frac{539491}{1698317}a^{26}+\frac{8199}{1698317}a^{25}+\frac{117313}{1698317}a^{24}+\frac{438094}{1698317}a^{23}+\frac{837458}{1698317}a^{22}-\frac{515647}{1698317}a^{21}+\frac{314169}{1698317}a^{20}+\frac{310562}{1698317}a^{19}+\frac{40108}{1698317}a^{18}-\frac{692005}{1698317}a^{17}-\frac{517808}{1698317}a^{16}+\frac{47029}{99901}a^{15}+\frac{329894}{1698317}a^{14}+\frac{406211}{1698317}a^{13}-\frac{815859}{1698317}a^{12}-\frac{733206}{1698317}a^{11}+\frac{6995}{99901}a^{10}-\frac{26168}{1698317}a^{9}+\frac{221114}{1698317}a^{8}-\frac{710206}{1698317}a^{7}-\frac{255303}{1698317}a^{6}+\frac{609491}{1698317}a^{5}+\frac{23232}{99901}a^{4}+\frac{473596}{1698317}a^{3}-\frac{581665}{1698317}a^{2}+\frac{27777}{99901}a-\frac{53315}{1698317}$, $\frac{1}{1698317}a^{32}+\frac{18846}{1698317}a^{30}-\frac{12737}{1698317}a^{29}+\frac{38515}{1698317}a^{28}-\frac{26776}{1698317}a^{27}-\frac{235377}{1698317}a^{26}-\frac{264289}{1698317}a^{25}+\frac{279337}{1698317}a^{24}-\frac{506949}{1698317}a^{23}+\frac{13157}{99901}a^{22}-\frac{259476}{1698317}a^{21}+\frac{222282}{1698317}a^{20}-\frac{600387}{1698317}a^{19}-\frac{160791}{1698317}a^{18}+\frac{698389}{1698317}a^{17}+\frac{563379}{1698317}a^{16}+\frac{22601}{99901}a^{15}-\frac{679061}{1698317}a^{14}-\frac{385872}{1698317}a^{13}-\frac{428696}{1698317}a^{12}+\frac{695115}{1698317}a^{11}-\frac{754495}{1698317}a^{10}-\frac{600994}{1698317}a^{9}+\frac{510616}{1698317}a^{8}+\frac{16522}{1698317}a^{7}+\frac{738596}{1698317}a^{6}-\frac{36592}{1698317}a^{5}+\frac{381070}{1698317}a^{4}-\frac{839828}{1698317}a^{3}+\frac{673411}{1698317}a^{2}+\frac{24500}{99901}a-\frac{452537}{1698317}$, $\frac{1}{1698317}a^{33}+\frac{485}{99901}a^{30}-\frac{12609}{1698317}a^{29}+\frac{16634}{1698317}a^{28}+\frac{45739}{1698317}a^{27}-\frac{586905}{1698317}a^{26}-\frac{691180}{1698317}a^{25}+\frac{620195}{1698317}a^{24}+\frac{222290}{1698317}a^{23}+\frac{665749}{1698317}a^{22}-\frac{163735}{1698317}a^{21}-\frac{197190}{1698317}a^{20}+\frac{287248}{1698317}a^{19}-\frac{824528}{1698317}a^{18}+\frac{513564}{1698317}a^{17}+\frac{364402}{1698317}a^{16}-\frac{655517}{1698317}a^{15}-\frac{329362}{1698317}a^{14}+\frac{631339}{1698317}a^{13}-\frac{687794}{1698317}a^{12}+\frac{837580}{1698317}a^{11}+\frac{5455}{1698317}a^{10}+\frac{33024}{99901}a^{9}-\frac{127311}{1698317}a^{8}-\frac{454118}{1698317}a^{7}+\frac{371388}{1698317}a^{6}-\frac{68742}{1698317}a^{5}+\frac{568167}{1698317}a^{4}-\frac{460574}{1698317}a^{3}+\frac{138558}{1698317}a^{2}+\frac{776442}{1698317}a-\frac{529273}{1698317}$, $\frac{1}{1698317}a^{34}-\frac{20191}{1698317}a^{30}-\frac{21932}{1698317}a^{29}+\frac{21825}{1698317}a^{28}+\frac{19408}{1698317}a^{27}-\frac{103044}{1698317}a^{26}+\frac{152912}{1698317}a^{25}+\frac{317988}{1698317}a^{24}+\frac{301572}{1698317}a^{23}+\frac{551779}{1698317}a^{22}-\frac{74631}{1698317}a^{21}+\frac{696476}{1698317}a^{20}+\frac{453026}{1698317}a^{19}-\frac{603497}{1698317}a^{18}-\frac{399493}{1698317}a^{17}+\frac{1614}{1698317}a^{16}+\frac{417744}{1698317}a^{15}-\frac{37581}{99901}a^{14}-\frac{416761}{1698317}a^{13}-\frac{237810}{1698317}a^{12}+\frac{479217}{1698317}a^{11}+\frac{2126}{99901}a^{10}-\frac{158311}{1698317}a^{9}-\frac{645501}{1698317}a^{8}+\frac{622446}{1698317}a^{7}+\frac{190225}{1698317}a^{6}-\frac{464036}{1698317}a^{5}+\frac{598152}{1698317}a^{4}+\frac{70024}{1698317}a^{3}+\frac{657060}{1698317}a^{2}-\frac{51201}{1698317}a+\frac{217577}{1698317}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!47}a^{35}-\frac{47\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{34}+\frac{12\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{59\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{32}-\frac{69\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{65\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!47}a^{30}+\frac{12\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{22\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!47}a^{27}-\frac{33\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!47}a^{26}+\frac{16\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{25}+\frac{87\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!47}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{19\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{73\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{20\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!91}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!47}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{89\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{60\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{15\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!47}a+\frac{57\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $35$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
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| Fundamental units: |
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$\frac{11\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{75\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{67\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{42\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{26\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{94\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{59\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{84\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{81\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{54\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{44\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{25\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{82\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{40\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{19\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{73\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{97\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!63}{27\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{24\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{46\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{64\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!18}{27\!\cdots\!91}a+\frac{15\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{72\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{37\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{64\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{19\!\cdots\!47}{27\!\cdots\!91}a^{32}+\frac{25\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{77\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!91}a^{30}-\frac{57\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{17\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!91}a^{28}+\frac{82\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{42\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{80\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{55\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{26\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{55\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!91}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{24\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{98\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!73}{27\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{15\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{58\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{17\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{53\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{12\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{33\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{91\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{84\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{36\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{36\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a+\frac{43\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{29\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{14\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{26\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{79\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!91}a^{32}+\frac{10\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{31\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!91}a^{30}-\frac{23\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{70\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!91}a^{28}+\frac{33\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{17\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{22\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{52\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!74}{27\!\cdots\!91}a^{19}+\frac{17\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{40\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!98}{27\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{65\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{25\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{70\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{49\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{14\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{19\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{57\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{75\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{11\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}a+\frac{25\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{95\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{35}-\frac{88\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{86\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!47}a^{33}+\frac{77\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{34\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{31}-\frac{29\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{78\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!47}a^{29}+\frac{36\!\cdots\!42}{27\!\cdots\!91}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{27}-\frac{84\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{25}+\frac{76\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{81\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{47\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{41\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{64\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{75\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{25\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{96\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{19\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{61\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{52\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{78\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!91}a^{2}-\frac{47\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!47}a+\frac{26\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{10\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{72\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{95\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{65\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{37\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{25\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{84\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{56\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{81\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{78\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{83\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{40\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{80\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{68\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{30\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{33\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{85\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!40}{27\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{45\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{63\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{74\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!47}a+\frac{84\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{36\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{18\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{32\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{16\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{65\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!91}a^{29}-\frac{14\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{41\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{41\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{79\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{29\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{87\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{27\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{62\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{66\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{42\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{50\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a+\frac{25\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{11\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{41\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{38\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{42\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{15\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{95\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{34\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{51\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{50\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{93\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{34\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{45\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{16\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{55\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{76\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!99}{27\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{10\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{57\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{69\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{22\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{98\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{45\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{64\!\cdots\!45}{27\!\cdots\!91}a+\frac{90\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{61\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{32\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{55\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{29\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{11\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{49\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{25\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{71\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{37\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{69\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{47\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{23\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{23\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{48\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!91}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{84\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{14\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{47\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{29\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{41\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{61\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{25\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{12\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{37\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a+\frac{48\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{42\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!47}a^{35}-\frac{32\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{35\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!47}a^{33}+\frac{44\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{24\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{29}+\frac{78\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{29\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!47}a^{27}-\frac{15\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{13\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{20}-\frac{67\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!47}a^{18}+\frac{46\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!47}a^{15}-\frac{26\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!47}a^{14}+\frac{24\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!47}a^{13}+\frac{36\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!47}a^{12}-\frac{28\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!47}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!91}a^{6}+\frac{29\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{60\!\cdots\!61}{27\!\cdots\!91}a^{4}-\frac{45\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{44\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a-\frac{17\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{52\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{39\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{46\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{35\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{18\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{13\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{40\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{29\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{58\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{42\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{56\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{39\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{37\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{18\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{62\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{37\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{87\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{78\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{46\!\cdots\!32}{27\!\cdots\!91}a+\frac{52\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{51\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{21\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{45\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{19\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{18\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{77\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{40\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{17\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{59\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{15\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{58\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{39\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{19\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{81\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{69\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{64\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{44\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{40\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{85\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{25\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{22\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{70\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{28\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{37\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a+\frac{35\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{61\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{35\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{54\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{31\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{21\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{48\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{27\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{69\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{39\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{68\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{38\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{46\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{22\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{11\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{79\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{39\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{20\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{90\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{37\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{14\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{16\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{48\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!91}a^{7}+\frac{87\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{57\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{22\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{30\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a+\frac{36\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{45\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{23\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{41\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{21\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{16\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{83\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{36\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{52\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{27\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{51\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{17\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{82\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{59\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{63\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{10\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{11\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{20\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{82\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{21\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{82\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!26}{27\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{34\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{98\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a+\frac{29\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{16\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{76\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{14\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{68\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{56\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{26\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{12\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{59\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{84\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{18\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{81\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{53\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{60\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!64}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{77\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{54\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{17\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{73\!\cdots\!60}{27\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{78\!\cdots\!22}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{35\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{71\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{85\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{16\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!47}a+\frac{48\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{98\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{53\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{88\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{48\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{34\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{18\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{78\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{42\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{66\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!91}a^{27}+\frac{61\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{59\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{75\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{39\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{36\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{60\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{22\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!64}{27\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{73\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{45\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{71\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{53\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!47}a+\frac{51\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{80\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{41\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{72\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{36\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{28\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{14\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{63\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{32\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{91\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{46\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{89\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{45\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{60\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{29\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{46\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{63\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{13\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{57\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{30\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{87\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{59\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!47}a+\frac{44\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{19\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{52\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{17\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{47\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{67\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{18\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{43\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{22\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{63\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{21\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{63\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{88\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!91}a^{23}+\frac{43\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!77}{27\!\cdots\!91}a^{21}-\frac{20\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{26\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{67\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{12\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{24\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{25\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{98\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{37\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{38\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{84\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{75\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{17\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{80\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a+\frac{23\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{33\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{16\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{29\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{15\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{59\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{26\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{22\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!91}a^{27}+\frac{19\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{58\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{19\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!92}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{72\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{27\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{78\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{55\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{22\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{61\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{36\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{52\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{12\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}a+\frac{24\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{15\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{43\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{13\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{39\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{54\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{15\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{12\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{34\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{48\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{46\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{12\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{30\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{60\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{42\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{56\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{89\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{70\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{14\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{92\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{80\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{15\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{87\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!47}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!47}a^{7}-\frac{38\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{79\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{19\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!47}a+\frac{27\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{22\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{22\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{19\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{20\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{77\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{76\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!91}a^{29}-\frac{16\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{24\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{23\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{22\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{22\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{70\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{64\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{23\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{57\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{58\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{67\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{12\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{69\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{46\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{36\!\cdots\!97}{27\!\cdots\!91}a^{9}-\frac{18\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!89}{27\!\cdots\!91}a^{7}+\frac{35\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{48\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{63\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{75\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a+\frac{13\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{13\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{19\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{11\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{17\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{44\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{66\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{97\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{14\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{13\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{20\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{82\!\cdots\!84}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{12\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{53\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{28\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{36\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{48\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{55\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{57\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{39\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{31\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!24}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{96\!\cdots\!02}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{28\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{43\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!47}a-\frac{18\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{13\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{98\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{11\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{87\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{45\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{33\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!13}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{75\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{13\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{92\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{66\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{43\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{30\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{97\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{36\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{22\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{34\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{37\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{72\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{11\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{16\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{27\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{34\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{17\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{60\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!47}a+\frac{60\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{36\!\cdots\!57}{27\!\cdots\!91}a^{35}+\frac{46\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{32\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!91}a^{33}-\frac{24\!\cdots\!02}{27\!\cdots\!91}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!54}{27\!\cdots\!91}a^{31}+\frac{16\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{28\!\cdots\!43}{27\!\cdots\!91}a^{29}-\frac{35\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{67\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{50\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{64\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{28\!\cdots\!38}{27\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{31\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{20\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{14\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{67\!\cdots\!54}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{47\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{16\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{18\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{35\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{31\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{16\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{18\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{81\!\cdots\!68}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{68\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{24\!\cdots\!96}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{14\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!47}a^{5}-\frac{39\!\cdots\!42}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!47}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{2}-\frac{40\!\cdots\!52}{45\!\cdots\!47}a-\frac{96\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{10\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{47\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{94\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{42\!\cdots\!30}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{36\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{16\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{82\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{37\!\cdots\!36}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{54\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{53\!\cdots\!08}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{79\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{38\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{97\!\cdots\!59}{27\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!56}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{12\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!28}{27\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{21\!\cdots\!82}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{46\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{73\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{39\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{22\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{61\!\cdots\!70}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{14\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a+\frac{94\!\cdots\!40}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{99\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{34\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{89\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{31\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{34\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{78\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{28\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{11\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{42\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{41\!\cdots\!18}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{76\!\cdots\!48}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{28\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{37\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{13\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{46\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{33\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{10\!\cdots\!66}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{62\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!04}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{81\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{20\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{75\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!14}{27\!\cdots\!91}a^{9}-\frac{62\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{40\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!63}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{50\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{55\!\cdots\!72}{45\!\cdots\!47}a+\frac{35\!\cdots\!03}{27\!\cdots\!91}$, $\frac{49\!\cdots\!14}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{33\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{44\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{29\!\cdots\!58}{45\!\cdots\!47}a^{32}+\frac{17\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{11\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{39\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{25\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{56\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{36\!\cdots\!06}{45\!\cdots\!47}a^{26}-\frac{54\!\cdots\!00}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{35\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{36\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{22\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!88}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{61\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{33\!\cdots\!78}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!76}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{76\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{28\!\cdots\!37}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{36\!\cdots\!60}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{33\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!47}a^{11}+\frac{90\!\cdots\!98}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{36\!\cdots\!38}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{81\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{63\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!93}{27\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{17\!\cdots\!32}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{17\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!47}a+\frac{42\!\cdots\!28}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{17\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!47}a^{35}+\frac{74\!\cdots\!49}{45\!\cdots\!47}a^{34}-\frac{16\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!47}a^{33}-\frac{39\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!91}a^{32}+\frac{62\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!47}a^{31}+\frac{26\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!47}a^{30}-\frac{14\!\cdots\!20}{45\!\cdots\!47}a^{29}-\frac{58\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{28}+\frac{20\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!47}a^{27}+\frac{49\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{19\!\cdots\!26}{45\!\cdots\!47}a^{25}-\frac{81\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!47}a^{24}+\frac{13\!\cdots\!10}{45\!\cdots\!47}a^{23}+\frac{53\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!47}a^{22}-\frac{64\!\cdots\!46}{45\!\cdots\!47}a^{21}-\frac{24\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!47}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!47}a^{19}+\frac{80\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{18}-\frac{55\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{17}-\frac{18\!\cdots\!80}{45\!\cdots\!47}a^{16}+\frac{10\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!47}a^{15}+\frac{28\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!47}a^{14}-\frac{13\!\cdots\!34}{45\!\cdots\!47}a^{13}-\frac{30\!\cdots\!50}{45\!\cdots\!47}a^{12}+\frac{68\!\cdots\!87}{27\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!47}a^{10}-\frac{69\!\cdots\!94}{45\!\cdots\!47}a^{9}-\frac{85\!\cdots\!12}{45\!\cdots\!47}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!86}{45\!\cdots\!47}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!47}a^{6}-\frac{50\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!47}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{4}+\frac{41\!\cdots\!62}{45\!\cdots\!47}a^{3}-\frac{34\!\cdots\!19}{45\!\cdots\!47}a^{2}+\frac{87\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!47}a+\frac{10\!\cdots\!16}{45\!\cdots\!47}$, $\frac{37\!\cdots\!51}{27\!\cdots\!91}a^{35}+\frac{18\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!91}a^{34}-\frac{33\!\cdots\!83}{27\!\cdots\!91}a^{33}-\frac{16\!\cdots\!72}{27\!\cdots\!91}a^{32}+\frac{13\!\cdots\!84}{27\!\cdots\!91}a^{31}+\frac{65\!\cdots\!44}{27\!\cdots\!91}a^{30}-\frac{29\!\cdots\!68}{27\!\cdots\!91}a^{29}-\frac{14\!\cdots\!21}{27\!\cdots\!91}a^{28}+\frac{43\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!91}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!79}{27\!\cdots\!91}a^{26}-\frac{42\!\cdots\!19}{27\!\cdots\!91}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!06}{27\!\cdots\!91}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!82}{27\!\cdots\!91}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!91}a^{22}-\frac{14\!\cdots\!85}{27\!\cdots\!91}a^{21}-\frac{65\!\cdots\!22}{27\!\cdots\!91}a^{20}+\frac{49\!\cdots\!17}{27\!\cdots\!91}a^{19}+\frac{21\!\cdots\!35}{27\!\cdots\!91}a^{18}-\frac{12\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!91}a^{17}-\frac{49\!\cdots\!49}{27\!\cdots\!91}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!91}a^{15}+\frac{80\!\cdots\!80}{27\!\cdots\!91}a^{14}-\frac{31\!\cdots\!76}{27\!\cdots\!91}a^{13}-\frac{88\!\cdots\!71}{27\!\cdots\!91}a^{12}+\frac{28\!\cdots\!95}{27\!\cdots\!91}a^{11}+\frac{62\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!91}a^{10}-\frac{17\!\cdots\!39}{27\!\cdots\!91}a^{9}-\frac{25\!\cdots\!00}{27\!\cdots\!91}a^{8}+\frac{70\!\cdots\!27}{27\!\cdots\!91}a^{7}+\frac{39\!\cdots\!29}{27\!\cdots\!91}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!90}{27\!\cdots\!91}a^{5}+\frac{64\!\cdots\!05}{27\!\cdots\!91}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!11}{27\!\cdots\!91}a^{3}-\frac{21\!\cdots\!36}{27\!\cdots\!91}a^{2}+\frac{42\!\cdots\!66}{27\!\cdots\!91}a+\frac{30\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!91}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 20453357667044700000000000 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{36}\cdot(2\pi)^{0}\cdot 20453357667044700000000000 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{10408387130780717493462032934955905615684680986496729607398257892671441533}}\cr\approx \mathstrut & 0.217832533527973 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 90*x^34 + 3537*x^32 - 80130*x^30 + 1165662*x^28 - 1187*x^27 - 11505240*x^26 + 60876*x^25 + 79561287*x^24 - 1248885*x^23 - 393214770*x^22 + 13538481*x^21 + 1405474902*x^20 - 87330726*x^19 - 3650721350*x^18 + 358455213*x^17 + 6873288795*x^16 - 971296587*x^15 - 9272415006*x^14 + 1763581788*x^13 + 8756851740*x^12 - 2137188807*x^11 - 5555566935*x^10 + 1686910755*x^9 + 2198845116*x^8 - 821976822*x^7 - 465058575*x^6 + 221243481*x^5 + 30525471*x^4 - 24720957*x^3 + 2832975*x^2 - 30861*x - 3561)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^36 - 90*x^34 + 3537*x^32 - 80130*x^30 + 1165662*x^28 - 1187*x^27 - 11505240*x^26 + 60876*x^25 + 79561287*x^24 - 1248885*x^23 - 393214770*x^22 + 13538481*x^21 + 1405474902*x^20 - 87330726*x^19 - 3650721350*x^18 + 358455213*x^17 + 6873288795*x^16 - 971296587*x^15 - 9272415006*x^14 + 1763581788*x^13 + 8756851740*x^12 - 2137188807*x^11 - 5555566935*x^10 + 1686910755*x^9 + 2198845116*x^8 - 821976822*x^7 - 465058575*x^6 + 221243481*x^5 + 30525471*x^4 - 24720957*x^3 + 2832975*x^2 - 30861*x - 3561, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^36 - 90*x^34 + 3537*x^32 - 80130*x^30 + 1165662*x^28 - 1187*x^27 - 11505240*x^26 + 60876*x^25 + 79561287*x^24 - 1248885*x^23 - 393214770*x^22 + 13538481*x^21 + 1405474902*x^20 - 87330726*x^19 - 3650721350*x^18 + 358455213*x^17 + 6873288795*x^16 - 971296587*x^15 - 9272415006*x^14 + 1763581788*x^13 + 8756851740*x^12 - 2137188807*x^11 - 5555566935*x^10 + 1686910755*x^9 + 2198845116*x^8 - 821976822*x^7 - 465058575*x^6 + 221243481*x^5 + 30525471*x^4 - 24720957*x^3 + 2832975*x^2 - 30861*x - 3561);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 - 90*x^34 + 3537*x^32 - 80130*x^30 + 1165662*x^28 - 1187*x^27 - 11505240*x^26 + 60876*x^25 + 79561287*x^24 - 1248885*x^23 - 393214770*x^22 + 13538481*x^21 + 1405474902*x^20 - 87330726*x^19 - 3650721350*x^18 + 358455213*x^17 + 6873288795*x^16 - 971296587*x^15 - 9272415006*x^14 + 1763581788*x^13 + 8756851740*x^12 - 2137188807*x^11 - 5555566935*x^10 + 1686910755*x^9 + 2198845116*x^8 - 821976822*x^7 - 465058575*x^6 + 221243481*x^5 + 30525471*x^4 - 24720957*x^3 + 2832975*x^2 - 30861*x - 3561);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A cyclic group of order 36 |
| The 36 conjugacy class representatives for $C_{36}$ |
| Character table for $C_{36}$ is not computed |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{13}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 4.4.19773.1, 6.6.14414517.1, \(\Q(\zeta_{27})^+\), 12.12.4108400332687853397.1, 18.18.10443002414754749649962321483613.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | $36$ | R | $36$ | $36$ | $36$ | R | ${\href{/padicField/17.3.0.1}{3} }^{12}$ | ${\href{/padicField/19.12.0.1}{12} }^{3}$ | ${\href{/padicField/23.9.0.1}{9} }^{4}$ | $18^{2}$ | $36$ | ${\href{/padicField/37.12.0.1}{12} }^{3}$ | $36$ | $18^{2}$ | $36$ | ${\href{/padicField/53.2.0.1}{2} }^{18}$ | $36$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $18$ | $18$ | $1$ | $45$ | |||
| Deg $18$ | $18$ | $1$ | $45$ | ||||
|
\(13\)
| Deg $36$ | $4$ | $9$ | $27$ |