↑

Properties

Label 36.36.1009415729...8125.1
Degree $36$
Signature $[36, 0]$
Discriminant $5^{27}\cdot 7^{18}\cdot 19^{32}$
Root discriminant $121.18$
Ramified primes $5, 7, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{36}$ (as 36T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![-38741779, 440202944, -1194513983, -4396742158, 31289390741, -50437624086, -52118240795, 241065482259, -120956160490, -383461167983, 453633366839, 245721510051, -592676197584, 11187896154, 426442427850, -122122737810, -189283268344, 89890122764, 53688190461, -35750739076, -9534770098, 9108603560, 914490403, -1569853689, -2650226, 186285918, -11682690, -15168779, 1629697, 828348, -115949, -28843, 4748, 576, -106, -5, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 5*x^35 - 106*x^34 + 576*x^33 + 4748*x^32 - 28843*x^31 - 115949*x^30 + 828348*x^29 + 1629697*x^28 - 15168779*x^27 - 11682690*x^26 + 186285918*x^25 - 2650226*x^24 - 1569853689*x^23 + 914490403*x^22 + 9108603560*x^21 - 9534770098*x^20 - 35750739076*x^19 + 53688190461*x^18 + 89890122764*x^17 - 189283268344*x^16 - 122122737810*x^15 + 426442427850*x^14 + 11187896154*x^13 - 592676197584*x^12 + 245721510051*x^11 + 453633366839*x^10 - 383461167983*x^9 - 120956160490*x^8 + 241065482259*x^7 - 52118240795*x^6 - 50437624086*x^5 + 31289390741*x^4 - 4396742158*x^3 - 1194513983*x^2 + 440202944*x - 38741779)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 5*x^35 - 106*x^34 + 576*x^33 + 4748*x^32 - 28843*x^31 - 115949*x^30 + 828348*x^29 + 1629697*x^28 - 15168779*x^27 - 11682690*x^26 + 186285918*x^25 - 2650226*x^24 - 1569853689*x^23 + 914490403*x^22 + 9108603560*x^21 - 9534770098*x^20 - 35750739076*x^19 + 53688190461*x^18 + 89890122764*x^17 - 189283268344*x^16 - 122122737810*x^15 + 426442427850*x^14 + 11187896154*x^13 - 592676197584*x^12 + 245721510051*x^11 + 453633366839*x^10 - 383461167983*x^9 - 120956160490*x^8 + 241065482259*x^7 - 52118240795*x^6 - 50437624086*x^5 + 31289390741*x^4 - 4396742158*x^3 - 1194513983*x^2 + 440202944*x - 38741779, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 5 x^{35} - 106 x^{34} + 576 x^{33} + 4748 x^{32} - 28843 x^{31} - 115949 x^{30} + 828348 x^{29} + 1629697 x^{28} - 15168779 x^{27} - 11682690 x^{26} + 186285918 x^{25} - 2650226 x^{24} - 1569853689 x^{23} + 914490403 x^{22} + 9108603560 x^{21} - 9534770098 x^{20} - 35750739076 x^{19} + 53688190461 x^{18} + 89890122764 x^{17} - 189283268344 x^{16} - 122122737810 x^{15} + 426442427850 x^{14} + 11187896154 x^{13} - 592676197584 x^{12} + 245721510051 x^{11} + 453633366839 x^{10} - 383461167983 x^{9} - 120956160490 x^{8} + 241065482259 x^{7} - 52118240795 x^{6} - 50437624086 x^{5} + 31289390741 x^{4} - 4396742158 x^{3} - 1194513983 x^{2} + 440202944 x - 38741779 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[36, 0]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1009415729163654044784755917747959274289665160574567203886806964874267578125=5^{27}\cdot 7^{18}\cdot 19^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $121.18$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 7, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(665=5\cdot 7\cdot 19\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{665}(1,·)$, $\chi_{665}(258,·)$, $\chi_{665}(643,·)$, $\chi_{665}(517,·)$, $\chi_{665}(134,·)$, $\chi_{665}(519,·)$, $\chi_{665}(631,·)$, $\chi_{665}(386,·)$, $\chi_{665}(272,·)$, $\chi_{665}(657,·)$, $\chi_{665}(153,·)$, $\chi_{665}(538,·)$, $\chi_{665}(36,·)$, $\chi_{665}(552,·)$, $\chi_{665}(169,·)$, $\chi_{665}(176,·)$, $\chi_{665}(309,·)$, $\chi_{665}(188,·)$, $\chi_{665}(62,·)$, $\chi_{665}(64,·)$, $\chi_{665}(328,·)$, $\chi_{665}(587,·)$, $\chi_{665}(83,·)$, $\chi_{665}(596,·)$, $\chi_{665}(351,·)$, $\chi_{665}(482,·)$, $\chi_{665}(99,·)$, $\chi_{665}(484,·)$, $\chi_{665}(106,·)$, $\chi_{665}(491,·)$, $\chi_{665}(237,·)$, $\chi_{665}(239,·)$, $\chi_{665}(624,·)$, $\chi_{665}(118,·)$, $\chi_{665}(503,·)$, $\chi_{665}(377,·)$$\rbrace$
This is not a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $\frac{1}{151} a^{33} - \frac{28}{151} a^{32} - \frac{6}{151} a^{31} + \frac{21}{151} a^{30} - \frac{24}{151} a^{29} - \frac{35}{151} a^{28} + \frac{28}{151} a^{27} - \frac{45}{151} a^{26} - \frac{15}{151} a^{25} - \frac{10}{151} a^{24} - \frac{58}{151} a^{23} + \frac{59}{151} a^{22} + \frac{66}{151} a^{21} + \frac{35}{151} a^{20} + \frac{57}{151} a^{19} - \frac{74}{151} a^{18} - \frac{21}{151} a^{17} - \frac{9}{151} a^{16} - \frac{70}{151} a^{15} + \frac{11}{151} a^{14} + \frac{37}{151} a^{13} + \frac{21}{151} a^{12} + \frac{22}{151} a^{11} + \frac{53}{151} a^{10} - \frac{13}{151} a^{9} + \frac{59}{151} a^{8} - \frac{52}{151} a^{7} - \frac{41}{151} a^{6} - \frac{30}{151} a^{5} - \frac{31}{151} a^{4} + \frac{39}{151} a^{3} + \frac{12}{151} a^{2} + \frac{39}{151} a + \frac{2}{151}$, $\frac{1}{6604589} a^{34} - \frac{11270}{6604589} a^{33} + \frac{497480}{6604589} a^{32} - \frac{1028485}{6604589} a^{31} + \frac{607984}{6604589} a^{30} + \frac{2397967}{6604589} a^{29} - \frac{3292110}{6604589} a^{28} - \frac{2812814}{6604589} a^{27} - \frac{9337}{6604589} a^{26} - \frac{1283396}{6604589} a^{25} - \frac{1429499}{6604589} a^{24} + \frac{728954}{6604589} a^{23} - \frac{2066153}{6604589} a^{22} - \frac{379235}{6604589} a^{21} + \frac{341957}{6604589} a^{20} + \frac{1258108}{6604589} a^{19} + \frac{954197}{6604589} a^{18} + \frac{2559812}{6604589} a^{17} - \frac{1484090}{6604589} a^{16} + \frac{464717}{6604589} a^{15} - \frac{888440}{6604589} a^{14} + \frac{2735437}{6604589} a^{13} + \frac{59749}{6604589} a^{12} - \frac{954253}{6604589} a^{11} + \frac{1751305}{6604589} a^{10} - \frac{2391501}{6604589} a^{9} - \frac{659253}{6604589} a^{8} - \frac{1397483}{6604589} a^{7} - \frac{1923247}{6604589} a^{6} - \frac{564392}{6604589} a^{5} - \frac{2287768}{6604589} a^{4} - \frac{2892176}{6604589} a^{3} + \frac{1977625}{6604589} a^{2} - \frac{626884}{6604589} a + \frac{1000390}{6604589}$, $\frac{1}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{35} - \frac{492221395452521543728635208422039696728912178410428695219623765002988060006290628525781040418760816128577110675063118968025972539361526182375341950355578}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{34} - \frac{13264184256971056901468209925483214735047555331262103937135611522766834168395714843199218092266913551318602121646100037244847606358045491302787698695564046353}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{33} + \frac{2626165279970035681595563756110811354135135915392740922883431766081988120782574429234233560274176825805145627745111413240818206749630160446335907965595853446975}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{32} - \frac{7267319499344776791487836793043761741113169669035664020494214542637840285217853510300613081040741284046482754331212399000803009810751290269339833246866051801425}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{31} + \frac{4158618188762116751773317595299410913601949148336307098236975264366745027612537116864808989403806873452335040487845831662134654217857325743349108338649349763773}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{30} + \frac{5926839282772718845179358457992213860820413887095193639336922403278006569932591463716956695417669026618814819927376329084731707146010457797948110249455530438411}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{29} - \frac{1329435633452927864838210077035030960261427999959372702787623890974311530690741341555106470484616843653366685281321871399554936740327941295487882841888762019826}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{28} - \frac{5955193853954524468587873654229092328270007146794877895405392567142690653175527585766408388117912120805017330749750572040553134152574590942702209976491309788641}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{27} - \frac{6245660052460358408462012195155499013049923584307046488877885399053409227104895839167691105378999050770126962973012318786493963549485825917061599118024312552127}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{26} + \frac{7423887269528733522684039109626889311012790079568968031816717521282841449309000000348542177319487370648749208842018794752426883073703857820079285940854586633334}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{25} - \frac{5865615783819084277644673239979421424012948189536673769153178178949794184592596565461455366188137055641553755562097193958670729708460201126704476005586328630182}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{24} - \frac{5104584169665218762791103458891471410142026773401039880519262372151844679587200282240989772268555706724678513536587052250433744853606958347595038860286217266485}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{23} + \frac{3962364314837827902374491450883330551803200546311338704724041159931070123985505043078234525410147915869399735912497273797070703880888547821022936387021016656847}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{22} - \frac{1264725600148804315363351430382600655622382590700039772279212564926068331355233553742731121259499330260542727532491997629479654953276181460264564634609451289275}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{21} + \frac{6753810893538649584957514980523707299701804019279429134752561876056167272042041427462761690152235452060523039393708642850879899939846153288196339939876085502375}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{20} + \frac{3439306223836179827598586079516452928178657849909910385108859724864434226266255331310895737721465535314157123872167182530509966837688840961278129169247534336649}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{19} - \frac{1632493558846202078616741947859369971225033556354931733187529887015274736705383787384751777960273850208875117188028424968751481608988261791698711084328660066325}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{18} + \frac{3351438219153720399123826309411977064121613141582549703978408392575713706846909131989011606178849109583173081484285921911387025885159252136510656104202806346934}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{17} - \frac{2149391126825880076176998220673668732332533324069246698345623860759689237723031596297935748924545451023950744077857825297359318522768981657589995955859967312838}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{16} + \frac{1327479549049684323864917645886987450120770044746082200208319457363422558811595867225441715127025265520569392074074560557315654029229134984834016999025854896278}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{15} + \frac{7673604150070884448497314499028804986558656489194701643391666654568959503563138076411322102315804695080690177385741919280054209694293047952591891692775022311144}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{14} - \frac{2789466982884470517940260281217164367423897819413167246715379718773521756301852524776026711049035821596459977859183634743291978472918063928996626750036127582087}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{13} - \frac{7073521867277356477586127090337087082045277521171703116559659519483685338833429309475902429757019042370932520951338305806021345987735130046753058940588214637670}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{12} + \frac{2542274178350475889392311904843396683487987309135946588732322808151144804839504663217478294911360963976316789870315925992012654681997496242674684300838115778827}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{11} - \frac{240622737750502541863317773075804173570544379030829101571856857863779758859870361321164201205499979698203975455789017854792408124270023191668426348442656582471}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{10} - \frac{5056921756135869702614240743309425504510613020598861193991225453641024561081334262094399911480115759584152986897547826668532979626281189024009034108247776279558}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{9} - \frac{1343943187964894650330024329215916016493964010031445874365233455127176361132985711602686198899105765419058285047079972800002495874024746181712618038743562797246}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{8} - \frac{2454297062915217626856275544798631482583936104133905360352680043380752479087236505665737801394271879518431788236001897796477621607699788592369680217869025200778}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{7} + \frac{1027609090026918444918664723334646495696700364442418450808712755392646158149432642522178925162281624961137912043936788591229165875295200944644575975066302616221}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{6} + \frac{295611016272246805897424602497378996443803196829382184988687580687585752806011001161489284853704054451915677482999037628842605341209704160238290945772447994920}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{5} - \frac{4453277447767375129734597667627440060484979080575040188422503907009683742773988319510964392727290447213949077680598303211205032318458478404685982222323839397469}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{4} + \frac{7143219681080415116359768368421891255803224999957715192750067398212415081337097004376878331423361549697597322700093312919754708569455370970526363047179864638564}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{3} + \frac{861062133799678616040617462627312672716395828776169254184063212348332229550170718375274399193200431109816737005898966018423993422205923467422386923865467761409}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a^{2} - \frac{4126901270291310609059195058423621105269334035128156367608167170668651006453692355596265616503593074757717216298395023900146095788783603395733450246205246360051}{17464381025106306600769334557370167498145806564054354047107791726954354149856518770933515159157233315407345637372716430981879037650610210442023980142341391964049} a - \frac{12266779591245511877040623893479440046058425116488540752719340503156853110964451902174690327721313780174605512844660011029968953458062894634859211414877371762}{30585605998434862698370113060192937825124004490462966807544293742476977495370435675890569455616870955179239294873408810826408121980052907954507846133697709219}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $35$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{36}$ (as 36T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_{36}$
Character table for $C_{36}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 3.3.361.1, 4.4.6125.1, 6.6.16290125.1, \(\Q(\zeta_{19})^+\), 12.12.3902537516036345703125.1, 18.18.563362135874260093126953125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $36$ $36$ R R ${\href{/LocalNumberField/11.3.0.1}{3} }^{12}$ $36$ $36$ R $36$ $18^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/37.4.0.1}{4} }^{9}$ $18^{2}$ $36$ $36$ $36$ ${\href{/LocalNumberField/59.9.0.1}{9} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
5Data not computed
$7$7.12.6.2$x^{12} + 7203 x^{4} - 16807 x^{2} + 588245$$2$$6$$6$$C_{12}$$[\ ]_{2}^{6}$
7.12.6.2$x^{12} + 7203 x^{4} - 16807 x^{2} + 588245$$2$$6$$6$$C_{12}$$[\ ]_{2}^{6}$
7.12.6.2$x^{12} + 7203 x^{4} - 16807 x^{2} + 588245$$2$$6$$6$$C_{12}$$[\ ]_{2}^{6}$
$19$19.9.8.8$x^{9} - 19$$9$$1$$8$$C_9$$[\ ]_{9}$
19.9.8.8$x^{9} - 19$$9$$1$$8$$C_9$$[\ ]_{9}$
19.9.8.8$x^{9} - 19$$9$$1$$8$$C_9$$[\ ]_{9}$
19.9.8.8$x^{9} - 19$$9$$1$$8$$C_9$$[\ ]_{9}$