Normalized defining polynomial
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 6*x^35 + 60*x^33 - 57*x^32 - 294*x^31 + 291*x^30 + 1422*x^29 - 1557*x^28 - 5353*x^27 + 7917*x^26 + 10818*x^25 - 20355*x^24 - 13839*x^23 + 24501*x^22 + 25311*x^21 - 18582*x^20 - 41181*x^19 + 16259*x^18 + 26163*x^17 - 918*x^16 - 11901*x^15 + 2898*x^14 + 6225*x^13 - 12147*x^12 - 5766*x^11 + 6978*x^10 + 7189*x^9 - 354*x^8 - 3519*x^7 - 705*x^6 + 174*x^5 + 144*x^4 + 189*x^3 + 6*x^2 - 12*x + 1)
gp: K = bnfinit(y^36 - 6*y^35 + 60*y^33 - 57*y^32 - 294*y^31 + 291*y^30 + 1422*y^29 - 1557*y^28 - 5353*y^27 + 7917*y^26 + 10818*y^25 - 20355*y^24 - 13839*y^23 + 24501*y^22 + 25311*y^21 - 18582*y^20 - 41181*y^19 + 16259*y^18 + 26163*y^17 - 918*y^16 - 11901*y^15 + 2898*y^14 + 6225*y^13 - 12147*y^12 - 5766*y^11 + 6978*y^10 + 7189*y^9 - 354*y^8 - 3519*y^7 - 705*y^6 + 174*y^5 + 144*y^4 + 189*y^3 + 6*y^2 - 12*y + 1, 1)
magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(x^36 - 6*x^35 + 60*x^33 - 57*x^32 - 294*x^31 + 291*x^30 + 1422*x^29 - 1557*x^28 - 5353*x^27 + 7917*x^26 + 10818*x^25 - 20355*x^24 - 13839*x^23 + 24501*x^22 + 25311*x^21 - 18582*x^20 - 41181*x^19 + 16259*x^18 + 26163*x^17 - 918*x^16 - 11901*x^15 + 2898*x^14 + 6225*x^13 - 12147*x^12 - 5766*x^11 + 6978*x^10 + 7189*x^9 - 354*x^8 - 3519*x^7 - 705*x^6 + 174*x^5 + 144*x^4 + 189*x^3 + 6*x^2 - 12*x + 1);
oscar: Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 - 6*x^35 + 60*x^33 - 57*x^32 - 294*x^31 + 291*x^30 + 1422*x^29 - 1557*x^28 - 5353*x^27 + 7917*x^26 + 10818*x^25 - 20355*x^24 - 13839*x^23 + 24501*x^22 + 25311*x^21 - 18582*x^20 - 41181*x^19 + 16259*x^18 + 26163*x^17 - 918*x^16 - 11901*x^15 + 2898*x^14 + 6225*x^13 - 12147*x^12 - 5766*x^11 + 6978*x^10 + 7189*x^9 - 354*x^8 - 3519*x^7 - 705*x^6 + 174*x^5 + 144*x^4 + 189*x^3 + 6*x^2 - 12*x + 1)
\( x^{36} - 6 x^{35} + 60 x^{33} - 57 x^{32} - 294 x^{31} + 291 x^{30} + 1422 x^{29} - 1557 x^{28} + \cdots + 1 \)
sage: K.defining_polynomial()
gp: K.pol
magma: DefiningPolynomial(K);
oscar: defining_polynomial(K)
Invariants
| Degree: | $36$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[12, 12]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(2842548671938075360869242987103760242462158203125\)
\(\medspace = 3^{62}\cdot 5^{27}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(22.18\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $3^{31/18}5^{3/4}\approx 22.178712478478406$ | ||
| Ramified primes: |
\(3\), \(5\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q(\sqrt{5}) \) | ||
| $\card{ \Aut(K/\Q) }$: | $12$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is not Galois over $\Q$. | |||
| This is not a CM field. | |||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $a^{33}$, $\frac{1}{179}a^{34}-\frac{58}{179}a^{33}+\frac{70}{179}a^{32}-\frac{77}{179}a^{31}-\frac{3}{179}a^{30}-\frac{89}{179}a^{29}-\frac{26}{179}a^{28}+\frac{48}{179}a^{27}+\frac{48}{179}a^{26}+\frac{29}{179}a^{25}-\frac{33}{179}a^{24}-\frac{47}{179}a^{23}+\frac{10}{179}a^{22}+\frac{56}{179}a^{21}+\frac{5}{179}a^{20}+\frac{53}{179}a^{19}-\frac{89}{179}a^{18}-\frac{87}{179}a^{17}-\frac{22}{179}a^{16}+\frac{73}{179}a^{15}-\frac{46}{179}a^{14}+\frac{78}{179}a^{13}-\frac{71}{179}a^{12}-\frac{59}{179}a^{11}-\frac{35}{179}a^{10}-\frac{3}{179}a^{9}-\frac{20}{179}a^{8}+\frac{62}{179}a^{7}+\frac{31}{179}a^{6}-\frac{12}{179}a^{5}+\frac{62}{179}a^{4}+\frac{82}{179}a^{3}-\frac{75}{179}a^{2}+\frac{50}{179}a-\frac{24}{179}$, $\frac{1}{48\!\cdots\!49}a^{35}+\frac{89\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{59\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!49}a^{33}-\frac{22\!\cdots\!70}{48\!\cdots\!49}a^{32}+\frac{82\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{21\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!49}a^{29}-\frac{10\!\cdots\!78}{48\!\cdots\!49}a^{28}+\frac{23\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{21\!\cdots\!08}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{18\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{63\!\cdots\!66}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{78\!\cdots\!78}{48\!\cdots\!49}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!46}{48\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{84\!\cdots\!10}{48\!\cdots\!49}a^{21}-\frac{23\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!49}a^{20}+\frac{43\!\cdots\!09}{48\!\cdots\!49}a^{19}+\frac{46\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{99\!\cdots\!33}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!49}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!49}a^{12}+\frac{23\!\cdots\!38}{48\!\cdots\!49}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!45}{48\!\cdots\!49}a^{10}-\frac{13\!\cdots\!70}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{78\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{51\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!39}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{57\!\cdots\!25}{54\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!28}{48\!\cdots\!49}a-\frac{36\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!49}$
sage: K.integral_basis()
gp: K.zk
magma: IntegralBasis(K);
oscar: basis(OK)
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
Trivial group, which has order $1$ (assuming GRH)
sage: K.class_group().invariants()
gp: K.clgp
magma: ClassGroup(K);
oscar: class_group(K)
Unit group
sage: UK = K.unit_group()
magma: UK, fUK := UnitGroup(K);
oscar: UK, fUK = unit_group(OK)
| Rank: | $23$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
\( -1 \)
(order $2$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{16\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!41}a^{35}+\frac{49\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!41}a^{34}-\frac{31\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!41}a^{33}-\frac{96\!\cdots\!72}{54\!\cdots\!41}a^{32}+\frac{32\!\cdots\!07}{54\!\cdots\!41}a^{31}-\frac{16\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!41}a^{30}-\frac{16\!\cdots\!73}{54\!\cdots\!41}a^{29}+\frac{72\!\cdots\!99}{54\!\cdots\!41}a^{28}+\frac{79\!\cdots\!23}{54\!\cdots\!41}a^{27}-\frac{42\!\cdots\!97}{54\!\cdots\!41}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!88}{54\!\cdots\!41}a^{25}+\frac{25\!\cdots\!03}{54\!\cdots\!41}a^{24}+\frac{65\!\cdots\!78}{54\!\cdots\!41}a^{23}-\frac{64\!\cdots\!58}{54\!\cdots\!41}a^{22}-\frac{96\!\cdots\!49}{54\!\cdots\!41}a^{21}+\frac{51\!\cdots\!15}{54\!\cdots\!41}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!87}{54\!\cdots\!41}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!47}{54\!\cdots\!41}a^{18}-\frac{17\!\cdots\!53}{54\!\cdots\!41}a^{17}-\frac{25\!\cdots\!10}{54\!\cdots\!41}a^{16}+\frac{65\!\cdots\!94}{54\!\cdots\!41}a^{15}+\frac{39\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!41}a^{14}-\frac{17\!\cdots\!30}{54\!\cdots\!41}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!33}{54\!\cdots\!41}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!19}{54\!\cdots\!41}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!50}{54\!\cdots\!41}a^{10}-\frac{43\!\cdots\!45}{54\!\cdots\!41}a^{9}-\frac{50\!\cdots\!60}{54\!\cdots\!41}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!39}{54\!\cdots\!41}a^{7}+\frac{13\!\cdots\!12}{54\!\cdots\!41}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!31}{54\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!56}{54\!\cdots\!41}a^{4}-\frac{15\!\cdots\!81}{54\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{56\!\cdots\!62}{54\!\cdots\!41}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!79}{54\!\cdots\!41}a+\frac{46\!\cdots\!10}{54\!\cdots\!41}$, $\frac{63\!\cdots\!71}{86\!\cdots\!89}a^{35}-\frac{37\!\cdots\!27}{86\!\cdots\!89}a^{34}-\frac{59\!\cdots\!60}{86\!\cdots\!89}a^{33}+\frac{38\!\cdots\!94}{86\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{30\!\cdots\!21}{86\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{19\!\cdots\!13}{86\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!37}{86\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{92\!\cdots\!14}{86\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{84\!\cdots\!99}{86\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{35\!\cdots\!49}{86\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{44\!\cdots\!25}{86\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{75\!\cdots\!13}{86\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!33}{86\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!73}{86\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!59}{86\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!92}{86\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{89\!\cdots\!69}{86\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{27\!\cdots\!25}{86\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{63\!\cdots\!72}{86\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!17}{86\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{17\!\cdots\!58}{86\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{71\!\cdots\!44}{86\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{86\!\cdots\!48}{86\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!56}{86\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{70\!\cdots\!23}{86\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{46\!\cdots\!48}{86\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!18}{86\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{49\!\cdots\!69}{86\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{49\!\cdots\!19}{86\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{21\!\cdots\!66}{86\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{79\!\cdots\!84}{97\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{71\!\cdots\!23}{86\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{99\!\cdots\!39}{97\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!28}{86\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!41}{86\!\cdots\!89}a-\frac{39\!\cdots\!15}{86\!\cdots\!89}$, $\frac{44\!\cdots\!01}{86\!\cdots\!89}a^{35}-\frac{26\!\cdots\!16}{86\!\cdots\!89}a^{34}-\frac{33\!\cdots\!35}{86\!\cdots\!89}a^{33}+\frac{26\!\cdots\!80}{86\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{21\!\cdots\!34}{86\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{13\!\cdots\!67}{86\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!19}{86\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{64\!\cdots\!95}{86\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{60\!\cdots\!91}{86\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{24\!\cdots\!95}{86\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{31\!\cdots\!66}{86\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{51\!\cdots\!36}{86\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{83\!\cdots\!28}{86\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{71\!\cdots\!22}{86\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{98\!\cdots\!30}{86\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{12\!\cdots\!19}{86\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{65\!\cdots\!72}{86\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!64}{86\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{47\!\cdots\!20}{86\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{12\!\cdots\!34}{86\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!92}{86\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{50\!\cdots\!61}{86\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{65\!\cdots\!56}{86\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!26}{86\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!72}{86\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!04}{86\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!36}{86\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{34\!\cdots\!94}{86\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!60}{86\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!83}{86\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{55\!\cdots\!38}{97\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{96\!\cdots\!08}{86\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{70\!\cdots\!89}{97\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{90\!\cdots\!47}{86\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!53}{86\!\cdots\!89}a-\frac{33\!\cdots\!38}{86\!\cdots\!89}$, $\frac{35\!\cdots\!71}{86\!\cdots\!89}a^{35}-\frac{21\!\cdots\!35}{86\!\cdots\!89}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!86}{86\!\cdots\!89}a^{33}+\frac{21\!\cdots\!70}{86\!\cdots\!89}a^{32}-\frac{18\!\cdots\!09}{86\!\cdots\!89}a^{31}-\frac{10\!\cdots\!70}{86\!\cdots\!89}a^{30}+\frac{92\!\cdots\!15}{86\!\cdots\!89}a^{29}+\frac{51\!\cdots\!83}{86\!\cdots\!89}a^{28}-\frac{49\!\cdots\!46}{86\!\cdots\!89}a^{27}-\frac{19\!\cdots\!86}{86\!\cdots\!89}a^{26}+\frac{26\!\cdots\!05}{86\!\cdots\!89}a^{25}+\frac{41\!\cdots\!49}{86\!\cdots\!89}a^{24}-\frac{67\!\cdots\!63}{86\!\cdots\!89}a^{23}-\frac{56\!\cdots\!17}{86\!\cdots\!89}a^{22}+\frac{80\!\cdots\!85}{86\!\cdots\!89}a^{21}+\frac{99\!\cdots\!55}{86\!\cdots\!89}a^{20}-\frac{54\!\cdots\!21}{86\!\cdots\!89}a^{19}-\frac{15\!\cdots\!39}{86\!\cdots\!89}a^{18}+\frac{40\!\cdots\!97}{86\!\cdots\!89}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!31}{86\!\cdots\!89}a^{16}+\frac{83\!\cdots\!03}{86\!\cdots\!89}a^{15}-\frac{41\!\cdots\!90}{86\!\cdots\!89}a^{14}+\frac{55\!\cdots\!69}{86\!\cdots\!89}a^{13}+\frac{22\!\cdots\!42}{86\!\cdots\!89}a^{12}-\frac{40\!\cdots\!50}{86\!\cdots\!89}a^{11}-\frac{25\!\cdots\!16}{86\!\cdots\!89}a^{10}+\frac{21\!\cdots\!89}{86\!\cdots\!89}a^{9}+\frac{28\!\cdots\!84}{86\!\cdots\!89}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!84}{86\!\cdots\!89}a^{7}-\frac{12\!\cdots\!42}{86\!\cdots\!89}a^{6}-\frac{44\!\cdots\!21}{97\!\cdots\!01}a^{5}+\frac{10\!\cdots\!56}{86\!\cdots\!89}a^{4}+\frac{59\!\cdots\!98}{97\!\cdots\!01}a^{3}+\frac{73\!\cdots\!57}{86\!\cdots\!89}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!07}{86\!\cdots\!89}a-\frac{26\!\cdots\!90}{86\!\cdots\!89}$, $\frac{15\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{88\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{13\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{90\!\cdots\!21}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{72\!\cdots\!36}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{45\!\cdots\!42}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{37\!\cdots\!22}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{22\!\cdots\!76}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{20\!\cdots\!20}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{84\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{10\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{18\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!94}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{33\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{43\!\cdots\!64}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{21\!\cdots\!61}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{65\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{14\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{42\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{45\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{17\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!50}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{98\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{16\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!85}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{89\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!92}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{51\!\cdots\!92}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!67}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{24\!\cdots\!75}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{31\!\cdots\!50}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{52\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!49}a-\frac{12\!\cdots\!14}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{16\!\cdots\!93}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{98\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{13\!\cdots\!42}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{10\!\cdots\!91}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{81\!\cdots\!80}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{50\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{41\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{24\!\cdots\!61}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{22\!\cdots\!85}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{92\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{19\!\cdots\!60}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{31\!\cdots\!34}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{27\!\cdots\!42}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{37\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{47\!\cdots\!45}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{24\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{72\!\cdots\!79}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{46\!\cdots\!60}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{44\!\cdots\!76}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!77}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{23\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!26}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!50}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!80}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!02}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{21\!\cdots\!80}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{27\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{54\!\cdots\!70}{48\!\cdots\!49}a-\frac{12\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{11\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{69\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{11\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{70\!\cdots\!93}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{55\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{35\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{28\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{17\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{15\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{65\!\cdots\!61}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{82\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{21\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{19\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{33\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{50\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{11\!\cdots\!33}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!93}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{76\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{87\!\cdots\!58}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{67\!\cdots\!58}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{93\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{98\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{39\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{36\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{18\!\cdots\!04}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{24\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{39\!\cdots\!61}{48\!\cdots\!49}a-\frac{91\!\cdots\!20}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{19\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{11\!\cdots\!44}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{15\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{11\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{98\!\cdots\!03}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{59\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{50\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{28\!\cdots\!80}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{27\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!26}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{37\!\cdots\!61}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{32\!\cdots\!85}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{44\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{55\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{85\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{21\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{54\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{22\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!92}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!76}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!28}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!06}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!00}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{40\!\cdots\!29}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!46}{48\!\cdots\!49}a-\frac{15\!\cdots\!38}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{18\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{11\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{13\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{11\!\cdots\!82}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{94\!\cdots\!79}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{56\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{48\!\cdots\!02}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{27\!\cdots\!21}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{26\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!76}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!78}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!50}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{30\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!61}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{53\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{28\!\cdots\!33}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{81\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!91}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!77}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!93}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!16}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{65\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!80}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{31\!\cdots\!57}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{60\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!49}a-\frac{14\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{64\!\cdots\!76}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{36\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{36\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{23\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{17\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{86\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{62\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{32\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{35\!\cdots\!26}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{65\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{89\!\cdots\!85}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{84\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{82\!\cdots\!94}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!93}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{26\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!77}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{65\!\cdots\!40}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!92}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{32\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{37\!\cdots\!10}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{36\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{36\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{21\!\cdots\!82}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{78\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{25\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!49}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!21}{54\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!49}a^{4}-\frac{94\!\cdots\!67}{54\!\cdots\!41}a^{3}-\frac{29\!\cdots\!08}{48\!\cdots\!49}a^{2}-\frac{33\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!49}a-\frac{30\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{48\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{30\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}a^{34}+\frac{55\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{29\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{33\!\cdots\!77}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{14\!\cdots\!82}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!20}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{70\!\cdots\!70}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{91\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{26\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{44\!\cdots\!76}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{53\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{11\!\cdots\!68}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{68\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!38}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{12\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{23\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{72\!\cdots\!33}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{77\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{78\!\cdots\!68}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{69\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{29\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{45\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{47\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!49}a^{8}-\frac{28\!\cdots\!30}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!02}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{74\!\cdots\!58}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{84\!\cdots\!30}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{15\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!58}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{18\!\cdots\!20}{48\!\cdots\!49}a-\frac{71\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{10\!\cdots\!70}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{60\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!77}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{61\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{48\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{31\!\cdots\!61}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{24\!\cdots\!20}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{13\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{57\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{71\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!20}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{18\!\cdots\!44}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{17\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{22\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!44}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!77}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{94\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{33\!\cdots\!30}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!22}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{66\!\cdots\!58}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{77\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{57\!\cdots\!27}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{80\!\cdots\!46}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{94\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!29}{54\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!82}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{20\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!49}a-\frac{71\!\cdots\!29}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{69\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{40\!\cdots\!34}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{60\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{41\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{33\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!60}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{17\!\cdots\!46}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{92\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{38\!\cdots\!10}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{49\!\cdots\!10}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{81\!\cdots\!14}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{12\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{15\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{98\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{29\!\cdots\!95}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{69\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!76}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{78\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!95}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!31}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{77\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{50\!\cdots\!94}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{54\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{89\!\cdots\!26}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{46\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!39}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{14\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!49}a-\frac{54\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{23\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{13\!\cdots\!21}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{15\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{13\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{11\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{69\!\cdots\!14}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{60\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{33\!\cdots\!79}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{32\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{27\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{44\!\cdots\!27}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{53\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{65\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{36\!\cdots\!42}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!76}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{26\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{64\!\cdots\!60}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{52\!\cdots\!68}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{27\!\cdots\!09}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{35\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{14\!\cdots\!42}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{26\!\cdots\!03}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{16\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!31}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{81\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!69}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{88\!\cdots\!28}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!62}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{48\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!49}a-\frac{18\!\cdots\!14}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{20\!\cdots\!27}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{11\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{17\!\cdots\!21}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{12\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{97\!\cdots\!44}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{60\!\cdots\!20}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{49\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{29\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{27\!\cdots\!76}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!78}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!68}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{23\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{37\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{33\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{44\!\cdots\!78}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{57\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{29\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{86\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{20\!\cdots\!78}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{55\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!27}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{23\!\cdots\!77}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{27\!\cdots\!82}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{16\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{67\!\cdots\!79}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{26\!\cdots\!17}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{32\!\cdots\!85}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{41\!\cdots\!16}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{68\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!49}a-\frac{15\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{13\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{77\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{95\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{78\!\cdots\!36}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{64\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{39\!\cdots\!38}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{33\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!78}{27\!\cdots\!31}a^{27}-\frac{72\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{94\!\cdots\!26}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!77}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{24\!\cdots\!29}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{21\!\cdots\!08}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{29\!\cdots\!50}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{36\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{19\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{56\!\cdots\!66}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!28}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{35\!\cdots\!18}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{35\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{20\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{82\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{14\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{93\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{90\!\cdots\!70}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{43\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!61}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{16\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!52}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{41\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!49}a-\frac{10\!\cdots\!85}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{12\!\cdots\!32}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{73\!\cdots\!30}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{96\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{74\!\cdots\!30}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{60\!\cdots\!85}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{37\!\cdots\!22}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{31\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{18\!\cdots\!68}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{16\!\cdots\!30}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{68\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{20\!\cdots\!80}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{27\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!10}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{18\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{53\!\cdots\!28}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{33\!\cdots\!05}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{36\!\cdots\!36}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{18\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{78\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{13\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{89\!\cdots\!92}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{72\!\cdots\!94}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{98\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{93\!\cdots\!43}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{41\!\cdots\!94}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!24}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!86}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{25\!\cdots\!76}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!82}{48\!\cdots\!49}a-\frac{84\!\cdots\!77}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{74\!\cdots\!14}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{43\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{58\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{44\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{36\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{22\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{18\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{10\!\cdots\!22}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!50}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{41\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{53\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{89\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{14\!\cdots\!22}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{12\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{16\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{21\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{32\!\cdots\!88}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{76\!\cdots\!11}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!58}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{24\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{88\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{77\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!45}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{85\!\cdots\!44}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{56\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{46\!\cdots\!80}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{62\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{62\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{26\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{10\!\cdots\!80}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{13\!\cdots\!85}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{13\!\cdots\!58}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{30\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!49}a-\frac{30\!\cdots\!98}{27\!\cdots\!31}$, $\frac{45\!\cdots\!70}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{27\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{21\!\cdots\!82}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{27\!\cdots\!02}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{24\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{13\!\cdots\!80}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{12\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{66\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{66\!\cdots\!07}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{25\!\cdots\!06}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{34\!\cdots\!13}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{53\!\cdots\!58}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{90\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{74\!\cdots\!02}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{77\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{20\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{55\!\cdots\!80}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{13\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{11\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{58\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{50\!\cdots\!25}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{28\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{54\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{33\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{31\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{39\!\cdots\!14}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{17\!\cdots\!03}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{67\!\cdots\!00}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{95\!\cdots\!60}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{10\!\cdots\!93}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{19\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!49}a-\frac{41\!\cdots\!22}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{44\!\cdots\!10}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{26\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!46}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{26\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{22\!\cdots\!36}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{13\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!92}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{63\!\cdots\!84}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{62\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{23\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{32\!\cdots\!89}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{49\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{84\!\cdots\!54}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{65\!\cdots\!64}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{98\!\cdots\!79}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!38}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{68\!\cdots\!32}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{55\!\cdots\!81}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{11\!\cdots\!66}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{48\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!99}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{50\!\cdots\!16}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{28\!\cdots\!14}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{26\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{12\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!09}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{41\!\cdots\!43}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{27\!\cdots\!14}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{62\!\cdots\!33}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{81\!\cdots\!87}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{63\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!49}a-\frac{38\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{10\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{60\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{86\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{62\!\cdots\!98}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{50\!\cdots\!56}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{31\!\cdots\!60}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{25\!\cdots\!80}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{15\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{14\!\cdots\!82}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{57\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{41\!\cdots\!09}{27\!\cdots\!31}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!30}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{19\!\cdots\!31}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{16\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!71}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!69}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!60}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{28\!\cdots\!37}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{26\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{67\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!15}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{75\!\cdots\!23}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{61\!\cdots\!34}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{81\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{71\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{35\!\cdots\!02}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{13\!\cdots\!68}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{29\!\cdots\!01}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{16\!\cdots\!09}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{21\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!48}{48\!\cdots\!49}a-\frac{79\!\cdots\!14}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{18\!\cdots\!96}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{11\!\cdots\!83}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{16\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{11\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{91\!\cdots\!67}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{57\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{46\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{27\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!52}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{10\!\cdots\!93}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{22\!\cdots\!74}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{35\!\cdots\!35}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{31\!\cdots\!47}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!62}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{54\!\cdots\!21}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{27\!\cdots\!49}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{82\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!49}a^{18}+\frac{19\!\cdots\!97}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{53\!\cdots\!03}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{25\!\cdots\!72}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{21\!\cdots\!33}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{14\!\cdots\!19}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{11\!\cdots\!45}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{15\!\cdots\!39}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!65}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!41}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{24\!\cdots\!93}{54\!\cdots\!41}a^{5}+\frac{51\!\cdots\!44}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{30\!\cdots\!80}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{62\!\cdots\!90}{48\!\cdots\!49}a-\frac{15\!\cdots\!68}{48\!\cdots\!49}$, $\frac{26\!\cdots\!22}{48\!\cdots\!49}a^{35}-\frac{14\!\cdots\!53}{48\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{69\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!49}a^{33}+\frac{15\!\cdots\!04}{48\!\cdots\!49}a^{32}-\frac{75\!\cdots\!70}{48\!\cdots\!49}a^{31}-\frac{79\!\cdots\!51}{48\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{37\!\cdots\!26}{48\!\cdots\!49}a^{29}+\frac{38\!\cdots\!09}{48\!\cdots\!49}a^{28}-\frac{22\!\cdots\!08}{48\!\cdots\!49}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!08}{48\!\cdots\!49}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!58}{48\!\cdots\!49}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!17}{48\!\cdots\!49}a^{24}-\frac{36\!\cdots\!36}{48\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{50\!\cdots\!75}{48\!\cdots\!49}a^{22}+\frac{39\!\cdots\!12}{48\!\cdots\!49}a^{21}+\frac{77\!\cdots\!22}{48\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!63}{48\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!30}{48\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!57}{48\!\cdots\!49}a^{17}+\frac{59\!\cdots\!85}{48\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!44}{48\!\cdots\!49}a^{15}-\frac{20\!\cdots\!59}{48\!\cdots\!49}a^{14}+\frac{30\!\cdots\!42}{48\!\cdots\!49}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!24}{48\!\cdots\!49}a^{12}-\frac{22\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{23\!\cdots\!02}{48\!\cdots\!49}a^{10}+\frac{64\!\cdots\!73}{48\!\cdots\!49}a^{9}+\frac{17\!\cdots\!93}{48\!\cdots\!49}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!10}{48\!\cdots\!49}a^{7}-\frac{54\!\cdots\!21}{48\!\cdots\!49}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!47}{54\!\cdots\!41}a^{5}-\frac{23\!\cdots\!09}{48\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!36}{54\!\cdots\!41}a^{3}+\frac{34\!\cdots\!30}{48\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{72\!\cdots\!00}{48\!\cdots\!49}a-\frac{22\!\cdots\!55}{48\!\cdots\!49}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 30477301614.519817 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{12}\cdot(2\pi)^{12}\cdot 30477301614.519817 \cdot 1}{2\cdot\sqrt{2842548671938075360869242987103760242462158203125}}\cr\approx \mathstrut & 0.140155753557248 \end{aligned}\] (assuming GRH)
# self-contained SageMath code snippet to compute the analytic class number formula
x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 6*x^35 + 60*x^33 - 57*x^32 - 294*x^31 + 291*x^30 + 1422*x^29 - 1557*x^28 - 5353*x^27 + 7917*x^26 + 10818*x^25 - 20355*x^24 - 13839*x^23 + 24501*x^22 + 25311*x^21 - 18582*x^20 - 41181*x^19 + 16259*x^18 + 26163*x^17 - 918*x^16 - 11901*x^15 + 2898*x^14 + 6225*x^13 - 12147*x^12 - 5766*x^11 + 6978*x^10 + 7189*x^9 - 354*x^8 - 3519*x^7 - 705*x^6 + 174*x^5 + 144*x^4 + 189*x^3 + 6*x^2 - 12*x + 1)
DK = K.disc(); r1,r2 = K.signature(); RK = K.regulator(); RR = RK.parent()
hK = K.class_number(); wK = K.unit_group().torsion_generator().order();
2^r1 * (2*RR(pi))^r2 * RK * hK / (wK * RR(sqrt(abs(DK))))
# self-contained Pari/GP code snippet to compute the analytic class number formula
K = bnfinit(x^36 - 6*x^35 + 60*x^33 - 57*x^32 - 294*x^31 + 291*x^30 + 1422*x^29 - 1557*x^28 - 5353*x^27 + 7917*x^26 + 10818*x^25 - 20355*x^24 - 13839*x^23 + 24501*x^22 + 25311*x^21 - 18582*x^20 - 41181*x^19 + 16259*x^18 + 26163*x^17 - 918*x^16 - 11901*x^15 + 2898*x^14 + 6225*x^13 - 12147*x^12 - 5766*x^11 + 6978*x^10 + 7189*x^9 - 354*x^8 - 3519*x^7 - 705*x^6 + 174*x^5 + 144*x^4 + 189*x^3 + 6*x^2 - 12*x + 1, 1);
[polcoeff (lfunrootres (lfuncreate (K))[1][1][2], -1), 2^K.r1 * (2*Pi)^K.r2 * K.reg * K.no / (K.tu[1] * sqrt (abs (K.disc)))]
/* self-contained Magma code snippet to compute the analytic class number formula */
Qx<x> := PolynomialRing(QQ); K<a> := NumberField(x^36 - 6*x^35 + 60*x^33 - 57*x^32 - 294*x^31 + 291*x^30 + 1422*x^29 - 1557*x^28 - 5353*x^27 + 7917*x^26 + 10818*x^25 - 20355*x^24 - 13839*x^23 + 24501*x^22 + 25311*x^21 - 18582*x^20 - 41181*x^19 + 16259*x^18 + 26163*x^17 - 918*x^16 - 11901*x^15 + 2898*x^14 + 6225*x^13 - 12147*x^12 - 5766*x^11 + 6978*x^10 + 7189*x^9 - 354*x^8 - 3519*x^7 - 705*x^6 + 174*x^5 + 144*x^4 + 189*x^3 + 6*x^2 - 12*x + 1);
OK := Integers(K); DK := Discriminant(OK);
UK, fUK := UnitGroup(OK); clK, fclK := ClassGroup(OK);
r1,r2 := Signature(K); RK := Regulator(K); RR := Parent(RK);
hK := #clK; wK := #TorsionSubgroup(UK);
2^r1 * (2*Pi(RR))^r2 * RK * hK / (wK * Sqrt(RR!Abs(DK)));
# self-contained Oscar code snippet to compute the analytic class number formula
Qx, x = PolynomialRing(QQ); K, a = NumberField(x^36 - 6*x^35 + 60*x^33 - 57*x^32 - 294*x^31 + 291*x^30 + 1422*x^29 - 1557*x^28 - 5353*x^27 + 7917*x^26 + 10818*x^25 - 20355*x^24 - 13839*x^23 + 24501*x^22 + 25311*x^21 - 18582*x^20 - 41181*x^19 + 16259*x^18 + 26163*x^17 - 918*x^16 - 11901*x^15 + 2898*x^14 + 6225*x^13 - 12147*x^12 - 5766*x^11 + 6978*x^10 + 7189*x^9 - 354*x^8 - 3519*x^7 - 705*x^6 + 174*x^5 + 144*x^4 + 189*x^3 + 6*x^2 - 12*x + 1);
OK = ring_of_integers(K); DK = discriminant(OK);
UK, fUK = unit_group(OK); clK, fclK = class_group(OK);
r1,r2 = signature(K); RK = regulator(K); RR = parent(RK);
hK = order(clK); wK = torsion_units_order(K);
2^r1 * (2*pi)^r2 * RK * hK / (wK * sqrt(RR(abs(DK))))
Galois group
$S_3\times C_{12}$ (as 36T27):
sage: K.galois_group(type='pari')
gp: polgalois(K.pol)
magma: G = GaloisGroup(K);
oscar: G, Gtx = galois_group(K); G, transitive_group_identification(G)
| A solvable group of order 72 |
| The 36 conjugacy class representatives for $S_3\times C_{12}$ |
| Character table for $S_3\times C_{12}$ is not computed |
Intermediate fields
| \(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.1.135.1, \(\Q(\zeta_{15})^+\), 6.6.820125.1, 6.2.91125.1, 9.3.1793613375.1, \(\Q(\zeta_{45})^+\), 12.4.9341736328125.1, 18.6.402131117372361328125.1 |
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
sage: K.subfields()[1:-1]
gp: L = nfsubfields(K); L[2..length(b)]
magma: L := Subfields(K); L[2..#L];
oscar: subfields(K)[2:end-1]
Sibling fields
| Degree 24 sibling: | data not computed |
| Degree 36 sibling: | deg 36 |
| Minimal sibling: | 24.0.572565594852444156646728515625.2 |
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.12.0.1}{12} }^{3}$ | R | R | ${\href{/padicField/7.12.0.1}{12} }^{3}$ | ${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/13.12.0.1}{12} }^{3}$ | ${\href{/padicField/17.12.0.1}{12} }^{3}$ | ${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/23.12.0.1}{12} }^{3}$ | ${\href{/padicField/29.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{4}$ | ${\href{/padicField/31.3.0.1}{3} }^{12}$ | ${\href{/padicField/37.4.0.1}{4} }^{9}$ | ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/43.12.0.1}{12} }^{3}$ | ${\href{/padicField/47.12.0.1}{12} }^{3}$ | ${\href{/padicField/53.12.0.1}{12} }^{3}$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{4}{,}\,{\href{/padicField/59.3.0.1}{3} }^{4}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Sage:
p = 7; [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
\\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Pari:
p = 7; pfac = idealprimedec(K, p); vector(length(pfac), j, [pfac[j][3], pfac[j][4]])
// to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7 in Magma:
p := 7; [<pr[2], Valuation(Norm(pr[1]), p)> : pr in Factorization(p*Integers(K))];
# to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$ for $p=7$ in Oscar:
p = 7; pfac = factor(ideal(ring_of_integers(K), p)); [(e, valuation(norm(pr),p)) for (pr,e) in pfac]
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(3\)
| Deg $36$ | $18$ | $2$ | $62$ | |||
|
\(5\)
| 5.12.9.1 | $x^{12} - 30 x^{8} + 225 x^{4} + 1125$ | $4$ | $3$ | $9$ | $C_{12}$ | $[\ ]_{4}^{3}$ |
| Deg $24$ | $4$ | $6$ | $18$ |
Artin representations
| Label | Dimension | Conductor | Artin stem field | $G$ | Ind | $\chi(c)$ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| * | 1.1.1t1.a.a | $1$ | $1$ | \(\Q\) | $C_1$ | $1$ | $1$ |
| 1.3.2t1.a.a | $1$ | $ 3 $ | \(\Q(\sqrt{-3}) \) | $C_2$ (as 2T1) | $1$ | $-1$ | |
| 1.15.2t1.a.a | $1$ | $ 3 \cdot 5 $ | \(\Q(\sqrt{-15}) \) | $C_2$ (as 2T1) | $1$ | $-1$ | |
| * | 1.5.2t1.a.a | $1$ | $ 5 $ | \(\Q(\sqrt{5}) \) | $C_2$ (as 2T1) | $1$ | $1$ |
| * | 1.9.3t1.a.a | $1$ | $ 3^{2}$ | \(\Q(\zeta_{9})^+\) | $C_3$ (as 3T1) | $0$ | $1$ |
| 1.9.6t1.a.a | $1$ | $ 3^{2}$ | \(\Q(\zeta_{9})\) | $C_6$ (as 6T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.45.6t1.a.a | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | 6.6.820125.1 | $C_6$ (as 6T1) | $0$ | $1$ |
| 1.45.6t1.b.a | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | 6.0.2460375.1 | $C_6$ (as 6T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.45.6t1.a.b | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | 6.6.820125.1 | $C_6$ (as 6T1) | $0$ | $1$ |
| 1.9.6t1.a.b | $1$ | $ 3^{2}$ | \(\Q(\zeta_{9})\) | $C_6$ (as 6T1) | $0$ | $-1$ | |
| 1.45.6t1.b.b | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | 6.0.2460375.1 | $C_6$ (as 6T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.9.3t1.a.b | $1$ | $ 3^{2}$ | \(\Q(\zeta_{9})^+\) | $C_3$ (as 3T1) | $0$ | $1$ |
| 1.5.4t1.a.a | $1$ | $ 5 $ | \(\Q(\zeta_{5})\) | $C_4$ (as 4T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.15.4t1.a.a | $1$ | $ 3 \cdot 5 $ | \(\Q(\zeta_{15})^+\) | $C_4$ (as 4T1) | $0$ | $1$ |
| * | 1.15.4t1.a.b | $1$ | $ 3 \cdot 5 $ | \(\Q(\zeta_{15})^+\) | $C_4$ (as 4T1) | $0$ | $1$ |
| 1.5.4t1.a.b | $1$ | $ 5 $ | \(\Q(\zeta_{5})\) | $C_4$ (as 4T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.45.12t1.b.a | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | \(\Q(\zeta_{45})^+\) | $C_{12}$ (as 12T1) | $0$ | $1$ |
| * | 1.45.12t1.b.b | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | \(\Q(\zeta_{45})^+\) | $C_{12}$ (as 12T1) | $0$ | $1$ |
| 1.45.12t1.a.a | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | 12.0.84075626953125.1 | $C_{12}$ (as 12T1) | $0$ | $-1$ | |
| 1.45.12t1.a.b | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | 12.0.84075626953125.1 | $C_{12}$ (as 12T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.45.12t1.b.c | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | \(\Q(\zeta_{45})^+\) | $C_{12}$ (as 12T1) | $0$ | $1$ |
| 1.45.12t1.a.c | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | 12.0.84075626953125.1 | $C_{12}$ (as 12T1) | $0$ | $-1$ | |
| 1.45.12t1.a.d | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | 12.0.84075626953125.1 | $C_{12}$ (as 12T1) | $0$ | $-1$ | |
| * | 1.45.12t1.b.d | $1$ | $ 3^{2} \cdot 5 $ | \(\Q(\zeta_{45})^+\) | $C_{12}$ (as 12T1) | $0$ | $1$ |
| * | 2.135.3t2.b.a | $2$ | $ 3^{3} \cdot 5 $ | 3.1.135.1 | $S_3$ (as 3T2) | $1$ | $0$ |
| * | 2.135.6t3.b.a | $2$ | $ 3^{3} \cdot 5 $ | 6.0.54675.1 | $D_{6}$ (as 6T3) | $1$ | $0$ |
| * | 2.405.12t18.a.a | $2$ | $ 3^{4} \cdot 5 $ | 12.0.6053445140625.2 | $C_6\times S_3$ (as 12T18) | $0$ | $0$ |
| * | 2.405.6t5.a.a | $2$ | $ 3^{4} \cdot 5 $ | 6.0.2460375.2 | $S_3\times C_3$ (as 6T5) | $0$ | $0$ |
| * | 2.405.12t18.a.b | $2$ | $ 3^{4} \cdot 5 $ | 12.0.6053445140625.2 | $C_6\times S_3$ (as 12T18) | $0$ | $0$ |
| * | 2.405.6t5.a.b | $2$ | $ 3^{4} \cdot 5 $ | 6.0.2460375.2 | $S_3\times C_3$ (as 6T5) | $0$ | $0$ |
| * | 2.675.12t11.b.a | $2$ | $ 3^{3} \cdot 5^{2}$ | 12.4.9341736328125.1 | $S_3 \times C_4$ (as 12T11) | $0$ | $0$ |
| * | 2.675.12t11.b.b | $2$ | $ 3^{3} \cdot 5^{2}$ | 12.4.9341736328125.1 | $S_3 \times C_4$ (as 12T11) | $0$ | $0$ |
| * | 2.2025.24t65.b.a | $2$ | $ 3^{4} \cdot 5^{2}$ | 36.12.2842548671938075360869242987103760242462158203125.1 | $S_3\times C_{12}$ (as 36T27) | $0$ | $0$ |
| * | 2.2025.24t65.b.b | $2$ | $ 3^{4} \cdot 5^{2}$ | 36.12.2842548671938075360869242987103760242462158203125.1 | $S_3\times C_{12}$ (as 36T27) | $0$ | $0$ |
| * | 2.2025.24t65.b.c | $2$ | $ 3^{4} \cdot 5^{2}$ | 36.12.2842548671938075360869242987103760242462158203125.1 | $S_3\times C_{12}$ (as 36T27) | $0$ | $0$ |
| * | 2.2025.24t65.b.d | $2$ | $ 3^{4} \cdot 5^{2}$ | 36.12.2842548671938075360869242987103760242462158203125.1 | $S_3\times C_{12}$ (as 36T27) | $0$ | $0$ |
Data is given for all irreducible
representations of the Galois group for the Galois closure
of this field. Those marked with * are summands in the
permutation representation coming from this field. Representations
which appear with multiplicity greater than one are indicated
by exponents on the *.