↑

Properties

Label 36.0.99960808431...5609.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $3^{48}\cdot 7^{30}\cdot 11^{18}$
Root discriminant $72.63$
Ramified primes $3, 7, 11$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_6^2$ (as 36T4)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![225433657, -1825389327, 11317240791, -31748050043, 57261249099, -93315446433, 159238717534, -268465079178, 404506262502, -518843066985, 567877593576, -539735803575, 457679683451, -357245583000, 264621008625, -189990042153, 132728096550, -89255367057, 56822053891, -33761779752, 18553048287, -9385700703, 4363272450, -1862961681, 730353369, -262681356, 86537859, -26031435, 7119996, -1758153, 388741, -75852, 12864, -1834, 213, -18, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 18*x^35 + 213*x^34 - 1834*x^33 + 12864*x^32 - 75852*x^31 + 388741*x^30 - 1758153*x^29 + 7119996*x^28 - 26031435*x^27 + 86537859*x^26 - 262681356*x^25 + 730353369*x^24 - 1862961681*x^23 + 4363272450*x^22 - 9385700703*x^21 + 18553048287*x^20 - 33761779752*x^19 + 56822053891*x^18 - 89255367057*x^17 + 132728096550*x^16 - 189990042153*x^15 + 264621008625*x^14 - 357245583000*x^13 + 457679683451*x^12 - 539735803575*x^11 + 567877593576*x^10 - 518843066985*x^9 + 404506262502*x^8 - 268465079178*x^7 + 159238717534*x^6 - 93315446433*x^5 + 57261249099*x^4 - 31748050043*x^3 + 11317240791*x^2 - 1825389327*x + 225433657)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 18*x^35 + 213*x^34 - 1834*x^33 + 12864*x^32 - 75852*x^31 + 388741*x^30 - 1758153*x^29 + 7119996*x^28 - 26031435*x^27 + 86537859*x^26 - 262681356*x^25 + 730353369*x^24 - 1862961681*x^23 + 4363272450*x^22 - 9385700703*x^21 + 18553048287*x^20 - 33761779752*x^19 + 56822053891*x^18 - 89255367057*x^17 + 132728096550*x^16 - 189990042153*x^15 + 264621008625*x^14 - 357245583000*x^13 + 457679683451*x^12 - 539735803575*x^11 + 567877593576*x^10 - 518843066985*x^9 + 404506262502*x^8 - 268465079178*x^7 + 159238717534*x^6 - 93315446433*x^5 + 57261249099*x^4 - 31748050043*x^3 + 11317240791*x^2 - 1825389327*x + 225433657, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 18 x^{35} + 213 x^{34} - 1834 x^{33} + 12864 x^{32} - 75852 x^{31} + 388741 x^{30} - 1758153 x^{29} + 7119996 x^{28} - 26031435 x^{27} + 86537859 x^{26} - 262681356 x^{25} + 730353369 x^{24} - 1862961681 x^{23} + 4363272450 x^{22} - 9385700703 x^{21} + 18553048287 x^{20} - 33761779752 x^{19} + 56822053891 x^{18} - 89255367057 x^{17} + 132728096550 x^{16} - 189990042153 x^{15} + 264621008625 x^{14} - 357245583000 x^{13} + 457679683451 x^{12} - 539735803575 x^{11} + 567877593576 x^{10} - 518843066985 x^{9} + 404506262502 x^{8} - 268465079178 x^{7} + 159238717534 x^{6} - 93315446433 x^{5} + 57261249099 x^{4} - 31748050043 x^{3} + 11317240791 x^{2} - 1825389327 x + 225433657 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(9996080843172961874887314085754195764362313040335219282385815425609=3^{48}\cdot 7^{30}\cdot 11^{18}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $72.63$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 7, 11$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(693=3^{2}\cdot 7\cdot 11\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{693}(1,·)$, $\chi_{693}(265,·)$, $\chi_{693}(10,·)$, $\chi_{693}(397,·)$, $\chi_{693}(142,·)$, $\chi_{693}(529,·)$, $\chi_{693}(274,·)$, $\chi_{693}(661,·)$, $\chi_{693}(538,·)$, $\chi_{693}(670,·)$, $\chi_{693}(34,·)$, $\chi_{693}(166,·)$, $\chi_{693}(298,·)$, $\chi_{693}(43,·)$, $\chi_{693}(430,·)$, $\chi_{693}(562,·)$, $\chi_{693}(307,·)$, $\chi_{693}(439,·)$, $\chi_{693}(571,·)$, $\chi_{693}(67,·)$, $\chi_{693}(199,·)$, $\chi_{693}(331,·)$, $\chi_{693}(76,·)$, $\chi_{693}(463,·)$, $\chi_{693}(208,·)$, $\chi_{693}(340,·)$, $\chi_{693}(472,·)$, $\chi_{693}(604,·)$, $\chi_{693}(100,·)$, $\chi_{693}(232,·)$, $\chi_{693}(109,·)$, $\chi_{693}(496,·)$, $\chi_{693}(241,·)$, $\chi_{693}(628,·)$, $\chi_{693}(373,·)$, $\chi_{693}(505,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $\frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4}$, $\frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5}$, $\frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6}$, $\frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{4} a^{16} - \frac{1}{4} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{4} a^{17} - \frac{1}{4} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{4} a$, $\frac{1}{4} a^{18} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{4} a^{19} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{4} a^{3}$, $\frac{1}{4} a^{20} - \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{4} a^{4}$, $\frac{1}{4} a^{21} - \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{4} a^{5}$, $\frac{1}{4} a^{22} - \frac{1}{4} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{4} a^{6}$, $\frac{1}{4} a^{23} - \frac{1}{4} a^{9} - \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{8} a^{24} - \frac{1}{8} a^{17} - \frac{1}{8} a^{16} - \frac{1}{8} a^{10} - \frac{1}{4} a^{9} - \frac{1}{8} a^{8} + \frac{1}{8} a^{3} + \frac{3}{8} a^{2} + \frac{3}{8} a + \frac{1}{8}$, $\frac{1}{8} a^{25} - \frac{1}{8} a^{18} - \frac{1}{8} a^{17} - \frac{1}{8} a^{11} - \frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{8} a^{9} + \frac{1}{8} a^{4} + \frac{3}{8} a^{3} + \frac{3}{8} a^{2} + \frac{1}{8} a$, $\frac{1}{18712} a^{26} + \frac{97}{2339} a^{25} - \frac{357}{9356} a^{24} - \frac{235}{9356} a^{23} - \frac{71}{2339} a^{22} + \frac{225}{2339} a^{21} - \frac{11}{4678} a^{20} + \frac{407}{18712} a^{19} + \frac{597}{18712} a^{18} - \frac{1133}{9356} a^{17} - \frac{29}{4678} a^{16} - \frac{63}{4678} a^{15} - \frac{657}{4678} a^{14} + \frac{247}{4678} a^{13} + \frac{3519}{18712} a^{12} - \frac{1259}{9356} a^{11} + \frac{2041}{18712} a^{10} + \frac{959}{9356} a^{9} + \frac{975}{9356} a^{8} + \frac{503}{9356} a^{7} + \frac{1455}{4678} a^{6} - \frac{4731}{18712} a^{5} + \frac{2141}{18712} a^{4} - \frac{8611}{18712} a^{3} + \frac{4727}{18712} a^{2} - \frac{1199}{9356} a - \frac{416}{2339}$, $\frac{1}{18712} a^{27} + \frac{143}{4678} a^{25} - \frac{749}{18712} a^{24} - \frac{183}{4678} a^{23} - \frac{921}{9356} a^{22} + \frac{939}{9356} a^{21} + \frac{1805}{18712} a^{20} - \frac{1809}{18712} a^{19} + \frac{1131}{9356} a^{18} + \frac{1711}{18712} a^{17} - \frac{1457}{18712} a^{16} - \frac{444}{2339} a^{15} + \frac{177}{4678} a^{14} + \frac{4023}{18712} a^{13} - \frac{655}{9356} a^{12} - \frac{4073}{18712} a^{11} + \frac{1605}{18712} a^{10} + \frac{593}{9356} a^{9} + \frac{1139}{18712} a^{8} + \frac{3195}{9356} a^{7} + \frac{7253}{18712} a^{6} + \frac{5845}{18712} a^{5} - \frac{9337}{18712} a^{4} + \frac{4509}{9356} a^{3} - \frac{659}{18712} a^{2} - \frac{1985}{18712} a - \frac{2067}{18712}$, $\frac{1}{18712} a^{28} - \frac{211}{18712} a^{25} + \frac{345}{9356} a^{24} + \frac{44}{2339} a^{23} - \frac{343}{9356} a^{22} + \frac{1365}{18712} a^{21} - \frac{31}{18712} a^{20} - \frac{165}{2339} a^{19} + \frac{1721}{18712} a^{18} - \frac{1111}{18712} a^{17} + \frac{993}{9356} a^{16} + \frac{564}{2339} a^{15} + \frac{923}{18712} a^{14} + \frac{2135}{9356} a^{13} + \frac{3955}{18712} a^{12} - \frac{3601}{18712} a^{11} - \frac{361}{4678} a^{10} - \frac{1305}{18712} a^{9} - \frac{81}{4678} a^{8} - \frac{2141}{18712} a^{7} + \frac{2863}{18712} a^{6} - \frac{2411}{18712} a^{5} + \frac{323}{9356} a^{4} + \frac{3577}{18712} a^{3} + \frac{7411}{18712} a^{2} + \frac{8291}{18712} a - \frac{165}{9356}$, $\frac{1}{18712} a^{29} + \frac{87}{2339} a^{25} - \frac{303}{9356} a^{24} - \frac{809}{9356} a^{23} - \frac{1533}{18712} a^{22} + \frac{851}{18712} a^{21} - \frac{156}{2339} a^{20} - \frac{321}{4678} a^{19} - \frac{725}{9356} a^{18} + \frac{127}{2339} a^{17} - \frac{313}{4678} a^{16} + \frac{3887}{18712} a^{15} + \frac{883}{9356} a^{14} - \frac{2765}{18712} a^{13} - \frac{27}{2339} a^{12} - \frac{516}{2339} a^{11} - \frac{515}{9356} a^{10} + \frac{1033}{9356} a^{9} + \frac{2323}{18712} a^{8} + \frac{9297}{18712} a^{7} + \frac{4651}{18712} a^{6} - \frac{5859}{18712} a^{5} + \frac{781}{9356} a^{4} + \frac{219}{4678} a^{3} - \frac{41}{9356} a^{2} + \frac{1034}{2339} a + \frac{1106}{2339}$, $\frac{1}{37424} a^{30} - \frac{1}{37424} a^{29} - \frac{1}{37424} a^{27} - \frac{1}{37424} a^{26} - \frac{49}{18712} a^{25} + \frac{1527}{37424} a^{24} + \frac{947}{37424} a^{23} + \frac{623}{9356} a^{22} - \frac{195}{37424} a^{21} - \frac{3919}{37424} a^{20} + \frac{1661}{18712} a^{19} - \frac{4241}{37424} a^{18} + \frac{3615}{37424} a^{17} + \frac{811}{9356} a^{16} + \frac{8667}{37424} a^{15} + \frac{2057}{37424} a^{14} - \frac{3561}{18712} a^{13} - \frac{4073}{37424} a^{12} - \frac{6067}{37424} a^{11} + \frac{513}{18712} a^{10} + \frac{133}{37424} a^{9} + \frac{7983}{37424} a^{8} + \frac{879}{9356} a^{7} - \frac{4443}{37424} a^{6} - \frac{3585}{37424} a^{5} - \frac{1257}{4678} a^{4} - \frac{627}{37424} a^{3} + \frac{3803}{18712} a^{2} + \frac{8599}{37424} a - \frac{16809}{37424}$, $\frac{1}{37424} a^{31} - \frac{1}{37424} a^{29} - \frac{1}{37424} a^{28} - \frac{1}{37424} a^{26} - \frac{905}{37424} a^{25} + \frac{587}{18712} a^{24} + \frac{2695}{37424} a^{23} - \frac{915}{37424} a^{22} - \frac{861}{18712} a^{21} - \frac{1299}{37424} a^{20} - \frac{2075}{37424} a^{19} + \frac{795}{18712} a^{18} + \frac{3401}{37424} a^{17} + \frac{2307}{37424} a^{16} - \frac{591}{9356} a^{15} + \frac{775}{37424} a^{14} + \frac{115}{37424} a^{13} - \frac{2357}{18712} a^{12} + \frac{6695}{37424} a^{11} - \frac{6123}{37424} a^{10} - \frac{1351}{18712} a^{9} + \frac{3723}{37424} a^{8} - \frac{1831}{37424} a^{7} - \frac{1617}{18712} a^{6} - \frac{7145}{37424} a^{5} + \frac{16731}{37424} a^{4} - \frac{14247}{37424} a^{3} + \frac{10333}{37424} a^{2} - \frac{491}{4678} a - \frac{14949}{37424}$, $\frac{1}{37424} a^{32} + \frac{145}{18712} a^{25} + \frac{12}{2339} a^{24} - \frac{7}{2339} a^{23} + \frac{837}{9356} a^{22} - \frac{317}{4678} a^{21} + \frac{509}{9356} a^{20} + \frac{323}{4678} a^{19} + \frac{231}{2339} a^{18} + \frac{1333}{18712} a^{17} + \frac{1319}{18712} a^{16} + \frac{793}{4678} a^{15} + \frac{161}{2339} a^{14} + \frac{793}{4678} a^{13} + \frac{843}{4678} a^{12} + \frac{2855}{18712} a^{11} - \frac{967}{9356} a^{10} + \frac{1587}{18712} a^{9} - \frac{1805}{9356} a^{8} - \frac{233}{4678} a^{7} + \frac{1107}{2339} a^{6} + \frac{1485}{4678} a^{5} + \frac{14659}{37424} a^{4} + \frac{3721}{18712} a^{3} + \frac{561}{4678} a^{2} + \frac{9131}{18712} a - \frac{5783}{37424}$, $\frac{1}{2657104} a^{33} + \frac{23}{2657104} a^{32} - \frac{5}{664276} a^{31} - \frac{11}{2657104} a^{30} - \frac{49}{2657104} a^{29} + \frac{4}{166069} a^{28} + \frac{55}{2657104} a^{27} + \frac{1}{2657104} a^{26} - \frac{30461}{1328552} a^{25} - \frac{37611}{2657104} a^{24} + \frac{134083}{2657104} a^{23} + \frac{5417}{332138} a^{22} - \frac{118787}{2657104} a^{21} - \frac{213459}{2657104} a^{20} - \frac{95335}{1328552} a^{19} - \frac{1559}{37424} a^{18} + \frac{242815}{2657104} a^{17} + \frac{11156}{166069} a^{16} - \frac{31513}{2657104} a^{15} - \frac{454795}{2657104} a^{14} - \frac{96857}{1328552} a^{13} + \frac{486341}{2657104} a^{12} - \frac{16143}{2657104} a^{11} - \frac{201295}{1328552} a^{10} - \frac{343135}{2657104} a^{9} - \frac{294883}{2657104} a^{8} - \frac{287299}{664276} a^{7} - \frac{835547}{2657104} a^{6} - \frac{274501}{1328552} a^{5} + \frac{382969}{2657104} a^{4} - \frac{577937}{2657104} a^{3} - \frac{10097}{166069} a^{2} + \frac{119315}{1328552} a + \frac{36137}{332138}$, $\frac{1}{1007042416} a^{34} - \frac{63}{1007042416} a^{33} + \frac{5391}{503521208} a^{32} + \frac{4691}{1007042416} a^{31} + \frac{451}{62940151} a^{30} + \frac{20537}{1007042416} a^{29} - \frac{2893}{1007042416} a^{28} + \frac{6333}{503521208} a^{27} - \frac{19757}{1007042416} a^{26} + \frac{4922793}{1007042416} a^{25} - \frac{9492115}{503521208} a^{24} + \frac{32839273}{1007042416} a^{23} - \frac{64081373}{1007042416} a^{22} - \frac{3494463}{62940151} a^{21} - \frac{68276335}{1007042416} a^{20} + \frac{49489229}{1007042416} a^{19} - \frac{13672153}{503521208} a^{18} - \frac{1828599}{1007042416} a^{17} - \frac{64532487}{1007042416} a^{16} + \frac{14550989}{62940151} a^{15} - \frac{197872521}{1007042416} a^{14} - \frac{139071153}{1007042416} a^{13} + \frac{123737257}{503521208} a^{12} - \frac{7109357}{1007042416} a^{11} - \frac{205985815}{1007042416} a^{10} - \frac{63572405}{503521208} a^{9} + \frac{206878477}{1007042416} a^{8} + \frac{484550833}{1007042416} a^{7} + \frac{490227423}{1007042416} a^{6} - \frac{44330525}{125880302} a^{5} + \frac{22333199}{1007042416} a^{4} - \frac{236487795}{1007042416} a^{3} + \frac{217613711}{503521208} a^{2} + \frac{266446385}{1007042416} a - \frac{82066885}{1007042416}$, $\frac{1}{654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632} a^{35} + \frac{99529903821029373495419164580036936828251897564510055223944805791134781518972119839895714732606888277200059338636181284448210864497381}{654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632} a^{34} - \frac{63533823143502871407552633738138994823294580539834609538941319139793349652577807070523208976379631880432666181989598423220345753655845105}{654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632} a^{33} - \frac{2978227568498832817886704254536389228174656670663528605633934599334049688989580970638154697237561443639638605065452558309944351581888309147}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816} a^{32} + \frac{1645979685465437024432858290072319301421399665497748131395525138486915642951863999725787830627997524976194940821884968362163827851360156961}{163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908} a^{31} - \frac{1626525935112215043603150708140195324059607202011725659275413865979995803628797264912594611779681767713160417974562557212373237897599268463}{163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908} a^{30} - \frac{3089995315642533498572926918763584564997102660871535536179803876220492512307058165549993758559943830694631839274688046676396432659568600193}{163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908} a^{29} + \frac{8395698614311022979288435720589619516089013623295639176978585792324768005162093186373915549794199175619601147703544221724938549104392677941}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816} a^{28} - \frac{5440322642020909166877438333920928931615330165119121699908311041643961016084970836073405588796586841831240002697560558960544103613720661607}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816} a^{27} + \frac{854528100677475972379332546737831496756218621864587245508977880668981706959450095790032988912794577135099179409605123131671278914139672527}{81850770721227089686536296609342868879751823939425447662570748768622570968993754422492408832618024479927007849349386575136352434595537242926954} a^{26} - \frac{7367468922743277501688882292101620712372937409159315305355286774769434677732319115745974579689627270267636823453854173217830536045985432130821}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816} a^{25} - \frac{3010843379596188242134972390057098268216364340783447453974397459145224797914565461608856243030170143833098674680433338231895326804096595925325}{163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908} a^{24} - \frac{5174038796065012133140410649881711322581241441217675511100661697162951533392096008412051054577977967856265183708121716521429262001720940297941}{81850770721227089686536296609342868879751823939425447662570748768622570968993754422492408832618024479927007849349386575136352434595537242926954} a^{23} - \frac{7000516804456571068455468556413931671289190410865303786458571352007340944812705204732820175239724357132729145774797428326318533029224273377245}{163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908} a^{22} - \frac{15037575194897760787547766803311634395635572345619904210262032111876884241805556884026542597418078584080224236157517410708485294795242006713813}{163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908} a^{21} + \frac{39068703037809835781729297403230982503973222925391592781469120336139456006618231868853471814289057575652731891885322127983222268897005829699069}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816} a^{20} - \frac{7417491922100697622019804535612423651267385545865888412250955317132572009132825289224316890365617467173382053316876755925098413383501670852499}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816} a^{19} + \frac{15130324457321727465148054199848017236448076584241274411145328901156801286680200246825681342368275682725858994502954392740181504898466356618675}{163701541442454179373072593218685737759503647878850895325141497537245141937987508844984817665236048959854015698698773150272704869191074485853908} a^{18} + \frac{1481629190193598241427793905923984935522124929529080675846036213769342304544454543308154720994258957797214421817429381619668361372398440312733}{40925385360613544843268148304671434439875911969712723831285374384311285484496877211246204416309012239963503924674693287568176217297768621463477} a^{17} - \frac{7746547431419288633978906852945654288170293661858290340095746310356998089509064047792900615733411362007004538696272029423822090384435399497939}{81850770721227089686536296609342868879751823939425447662570748768622570968993754422492408832618024479927007849349386575136352434595537242926954} a^{16} + \frac{18896838253226531456253064861192552790067145571937173576164837628694012559521501466686831924222414313547621645001337096437281568299729849207665}{81850770721227089686536296609342868879751823939425447662570748768622570968993754422492408832618024479927007849349386575136352434595537242926954} a^{15} + \frac{25211493053894643841221801710576453507521812158363753877592868118154089625075259438067944724511307401672870544873291182274777197700743067257953}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816} a^{14} - \frac{31432573819004534143832288146120516601778873211303394672211879068487725999832413861822253365440881503758805857405857534961140413002706572357145}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816} a^{13} - \frac{61733031536905053397238516265036232825092095566294386270178840554944328132088228977239601612169566253802628684610246213888302953964590737927483}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816} a^{12} - \frac{5329475158881709192205122624964629190766597198507151148290075178181867350427172587126803951072417414239404014203874782412420421732321819562015}{81850770721227089686536296609342868879751823939425447662570748768622570968993754422492408832618024479927007849349386575136352434595537242926954} a^{11} + \frac{10048803284230951269991414030387355732666293210186454171011027689049317800886747964385223991411919731755691061759540897329934784315655415426212}{40925385360613544843268148304671434439875911969712723831285374384311285484496877211246204416309012239963503924674693287568176217297768621463477} a^{10} + \frac{76639207465562811144680524866168768976645895552826421070979698702683039339018613519178510539841857854996678329824612661108435680974801994108865}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816} a^{9} + \frac{1515346918307160841499673179592975604755243958238339711486427197699426069940621636831354931910811286835947444048014268301378389213932334519661}{40925385360613544843268148304671434439875911969712723831285374384311285484496877211246204416309012239963503924674693287568176217297768621463477} a^{8} - \frac{6878590378350091770708200092581807409008366298637346572176451349229795475561961240134332961187529190749951024777551189023173994139964723823429}{654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632} a^{7} - \frac{126754251859767982047574744101928464424277308251681492678332494824399275038362571060212471344884540156688730388574014851091178082948137156212063}{654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632} a^{6} - \frac{255020496483988972106054482114702989639962234617553074034747822700671164454919131178012463231796507401913334324800497595948692863761743695736515}{654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632} a^{5} + \frac{34731421960156704966072371833133332229796601110899083249827648973967185110579446536143680087258365730729491660466102289095815327486223211065183}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816} a^{4} + \frac{282843497516403350959882650706696149287005563260944206346289658049866245613725497541508099204687302027339591530919450651566431781700429246840771}{654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632} a^{3} - \frac{115433382301385833891607945110530383597137555690546920683730955798236484088386823125334135253487754787075361401566791395635658656288491466940301}{654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632} a^{2} + \frac{320422816089053399586966191874400813812703629718518630721566254388756282975224011103947369546853180712843029447558762818395456553922106604879629}{654806165769816717492290372874742951038014591515403581300565990148980567751950035379939270660944195839416062794795092601090819476764297943415632} a + \frac{115766567081871639120398127097677911577616994817782387180656576790149060465747547278133256416084364840953775434238962099863491894050374419114997}{327403082884908358746145186437371475519007295757701790650282995074490283875975017689969635330472097919708031397397546300545409738382148971707816}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{1948472461975804732312066020614828935121747005675589780158523113119478060075474815890879327287795831013280565253563322811}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{35} + \frac{33327852642171438936807691549663752832576889134211193139682234383856717703057290272702012290664602091997435166172405059723}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{34} - \frac{192148926038207654800028850504017923276421134484716543186208016546123053219432162058035485273618315803221959558133350086137}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} a^{33} + \frac{3215746340696662447685434521523310423704184987174685593840695814735881795482080950890898962846832337485223407712383902277707}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{32} - \frac{11018718947463280015611843550298598032293246780601310000379659747676513066817084166323919350938193671236184321728792896097177}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} a^{31} + \frac{126906436131843769168372674472469742170823601033689342471456322501635247504098493605577870092432019017085957648489899838697531}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{30} - \frac{636371226252463813419755389633507041126119926539333859065907901379677184931062145976823850288839943776997386647494188532684137}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{29} + \frac{175989954562419847200625332214831056609185874143912361432323385547583281836075288489048672274542540855575499511347303854976978}{45161206332026124718427308415630429858974046037658245089068164268639530841534929575751692883771942465637130847290374152658040749} a^{28} - \frac{11164071357326387859490635070453717964611047771881445683160761017116282083042186058548194902432023703229663147030425180135559693}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{27} + \frac{39953140431095881023747759220311683213814676429883168786013206533425614545576190023908166395803360978954223644534823532055507907}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{26} - \frac{16250979434714252476865685638156174921564802240550183745263940643886430798260882589322333728240494075951791941026954937472888531}{90322412664052249436854616831260859717948092075316490178136328537279061683069859151503385767543884931274261694580748305316081498} a^{25} + \frac{386090818083715758282975727756818206610872012299773534596478386719039679551340715940465858172588636610924490125129204552218499661}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{24} - \frac{1049676389279908322807282405067564205043745495379749494013990668244125791659305989456401540757754130555806266676305241927239622673}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{23} + \frac{1307936008310086494812465258414094913606669560297604558545717765504548808411725893534344488736274674155387092364070749372232197631}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} a^{22} - \frac{5980169579059578017411224954798451706622789315916708080083592382202314869693481700000690216173498179107176052294579510573389748953}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{21} + \frac{12543771277746893043697047728015362836596929135942007809275957465074276543791541525127007139148266250178042156119887635074405739539}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{20} - \frac{6040862690084644644290545933556656866903782901797405259231851353368045934134326369989774002490606396002348078099246352539903452463}{180644825328104498873709233662521719435896184150632980356272657074558123366139718303006771535087769862548523389161496610632162996} a^{19} + \frac{42854519305875079275938259668082979727904625995931846493429210740539154090310175402075522110278100777442867689831809143916825193385}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{18} - \frac{70411237510880247569929686397156289365800412568926144732736800164671932583703401117232231412936337778119323504155023288966318681613}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{17} + \frac{6773943401708452467416923712089571645930203919679670700287659824042857611679332353125398150767897762750853302876905084386013233141}{45161206332026124718427308415630429858974046037658245089068164268639530841534929575751692883771942465637130847290374152658040749} a^{16} - \frac{158847008892807797362312010906260978341442222519542961570251354830543431671604880913343037796982038605941511312288415799992292706135}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{15} + \frac{225317550622971936724207449690307917953526696754444166136572646108166970950732266580774320234681669900724472867944175222197858602039}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{14} - \frac{155646198825224909007381613989009567844286742744900075549039533656837634177721445947190079944094364028452691225103918485186032940083}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} a^{13} + \frac{414586453863066565530691747587627767926293764599735720156929790445288445115931828017005712032907018506297070173269010950917324891907}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{12} - \frac{518368664658695095217240906285569767384076434694770513398832662512496106179390059577519050848319877382091223856170132916777651131961}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{11} + \frac{147429071848821161338420781390414087205363717606043875210810733378339647731634277306279825566991515304223794440382559751027659920203}{180644825328104498873709233662521719435896184150632980356272657074558123366139718303006771535087769862548523389161496610632162996} a^{10} - \frac{592558257179199226382611571822344031662504710539665672580161172205964687837451043448659082648486701756901388741720756930018977146541}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{9} + \frac{513220486551894737330457771310863188513901654747520284844157280381732507983599296621739371650492352887453484178541249063139604315359}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{8} - \frac{378778427281237831036118927507366611547423122702765401749735027420277415989169229713465116893867349634497471429740889295449765276099}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{7} + \frac{119392296907778012869690224775549662288789815555512582973275209804906437333380771423156398318367299748751597447072221751447092920847}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} a^{6} - \frac{138257423738011933296444167963289353962381235391515403561754671399403194266986116726126132218077248948803912250066495969760996713633}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{5} + \frac{80136251635160187697676969526246248398247803822485764058830331418166021879111239379988541796546067046277932372048505651185241568855}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{4} - \frac{12107184678485166574006610577321432777445979470841392094567943726283127580742867750523182982250679537467373417355964315792541812999}{180644825328104498873709233662521719435896184150632980356272657074558123366139718303006771535087769862548523389161496610632162996} a^{3} + \frac{24693819569938966711261870915693027927652575858286628465399890467755504253322745806392245871239839836776152160144072482132690838369}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a^{2} - \frac{7300205954686389009540842370933926917418859311712121202152799540403718749799787928852066636572595237552223447620440205494577112161}{722579301312417995494836934650086877743584736602531921425090628298232493464558873212027086140351079450194093556645986442528651984} a + \frac{217615812908268322036849526221515324841901806395402810420920067848735205557287379956721562869002299638915642908095369149342093709}{361289650656208997747418467325043438871792368301265960712545314149116246732279436606013543070175539725097046778322993221264325992} \) (order $14$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_6^2$ (as 36T4):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_6^2$
Character table for $C_6^2$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{77}) \), \(\Q(\sqrt{-11}) \), \(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.3969.2, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 3.3.3969.1, \(\Q(\sqrt{-7}, \sqrt{-11})\), 6.6.2995313013.2, 6.6.146770337637.4, 6.6.22370117.1, 6.6.146770337637.3, 6.0.8732691.1, 6.0.2250423.1, 6.0.20967191091.5, 6.0.110270727.1, 6.0.3195731.1, \(\Q(\zeta_{7})\), 6.0.20967191091.4, 6.0.110270727.2, 9.9.62523502209.1, 12.0.8971900045847138169.1, 12.0.21541532010078978743769.1, 12.0.500422134593689.1, 12.0.21541532010078978743769.2, 18.18.3161657926337534997259122239933853.2, 18.0.9217661592820801741280239766571.4, 18.0.1340851596668237962730583.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.6.0.1}{6} }^{6}$ R ${\href{/LocalNumberField/5.6.0.1}{6} }^{6}$ R R ${\href{/LocalNumberField/13.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/19.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/37.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/43.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/47.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/53.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/59.6.0.1}{6} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
7Data not computed
$11$11.6.3.2$x^{6} - 121 x^{2} + 3993$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$
11.6.3.2$x^{6} - 121 x^{2} + 3993$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$
11.6.3.2$x^{6} - 121 x^{2} + 3993$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$
11.6.3.2$x^{6} - 121 x^{2} + 3993$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$
11.6.3.2$x^{6} - 121 x^{2} + 3993$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$
11.6.3.2$x^{6} - 121 x^{2} + 3993$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$