↑

Properties

Label 36.0.99216920390...6037.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $13^{27}\cdot 19^{32}$
Root discriminant $93.78$
Ramified primes $13, 19$
Class number $1841425$ (GRH)
Class group $[5, 368285]$ (GRH)
Galois group $C_{36}$ (as 36T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![315944957, -108094043, 674282638, -678416260, 1043809061, 1586432839, -578854318, -1876566909, 1554079591, 813479078, -43268279, 255532625, -148847787, -36566989, 113310286, 1626183, 52647189, 27598749, 5421194, 10847659, 1661905, 1250746, 1076336, -206918, 151074, 70188, -7679, 10602, -6487, 1043, 2258, -739, -134, 113, -7, -5, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 5*x^35 - 7*x^34 + 113*x^33 - 134*x^32 - 739*x^31 + 2258*x^30 + 1043*x^29 - 6487*x^28 + 10602*x^27 - 7679*x^26 + 70188*x^25 + 151074*x^24 - 206918*x^23 + 1076336*x^22 + 1250746*x^21 + 1661905*x^20 + 10847659*x^19 + 5421194*x^18 + 27598749*x^17 + 52647189*x^16 + 1626183*x^15 + 113310286*x^14 - 36566989*x^13 - 148847787*x^12 + 255532625*x^11 - 43268279*x^10 + 813479078*x^9 + 1554079591*x^8 - 1876566909*x^7 - 578854318*x^6 + 1586432839*x^5 + 1043809061*x^4 - 678416260*x^3 + 674282638*x^2 - 108094043*x + 315944957)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 5*x^35 - 7*x^34 + 113*x^33 - 134*x^32 - 739*x^31 + 2258*x^30 + 1043*x^29 - 6487*x^28 + 10602*x^27 - 7679*x^26 + 70188*x^25 + 151074*x^24 - 206918*x^23 + 1076336*x^22 + 1250746*x^21 + 1661905*x^20 + 10847659*x^19 + 5421194*x^18 + 27598749*x^17 + 52647189*x^16 + 1626183*x^15 + 113310286*x^14 - 36566989*x^13 - 148847787*x^12 + 255532625*x^11 - 43268279*x^10 + 813479078*x^9 + 1554079591*x^8 - 1876566909*x^7 - 578854318*x^6 + 1586432839*x^5 + 1043809061*x^4 - 678416260*x^3 + 674282638*x^2 - 108094043*x + 315944957, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 5 x^{35} - 7 x^{34} + 113 x^{33} - 134 x^{32} - 739 x^{31} + 2258 x^{30} + 1043 x^{29} - 6487 x^{28} + 10602 x^{27} - 7679 x^{26} + 70188 x^{25} + 151074 x^{24} - 206918 x^{23} + 1076336 x^{22} + 1250746 x^{21} + 1661905 x^{20} + 10847659 x^{19} + 5421194 x^{18} + 27598749 x^{17} + 52647189 x^{16} + 1626183 x^{15} + 113310286 x^{14} - 36566989 x^{13} - 148847787 x^{12} + 255532625 x^{11} - 43268279 x^{10} + 813479078 x^{9} + 1554079591 x^{8} - 1876566909 x^{7} - 578854318 x^{6} + 1586432839 x^{5} + 1043809061 x^{4} - 678416260 x^{3} + 674282638 x^{2} - 108094043 x + 315944957 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(99216920390512987112529537310963502726811295296409064060877118250466037=13^{27}\cdot 19^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $93.78$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $13, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(247=13\cdot 19\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{247}(1,·)$, $\chi_{247}(131,·)$, $\chi_{247}(5,·)$, $\chi_{247}(138,·)$, $\chi_{247}(66,·)$, $\chi_{247}(142,·)$, $\chi_{247}(144,·)$, $\chi_{247}(25,·)$, $\chi_{247}(157,·)$, $\chi_{247}(161,·)$, $\chi_{247}(168,·)$, $\chi_{247}(92,·)$, $\chi_{247}(44,·)$, $\chi_{247}(47,·)$, $\chi_{247}(177,·)$, $\chi_{247}(187,·)$, $\chi_{247}(64,·)$, $\chi_{247}(194,·)$, $\chi_{247}(196,·)$, $\chi_{247}(73,·)$, $\chi_{247}(77,·)$, $\chi_{247}(207,·)$, $\chi_{247}(83,·)$, $\chi_{247}(213,·)$, $\chi_{247}(216,·)$, $\chi_{247}(220,·)$, $\chi_{247}(96,·)$, $\chi_{247}(226,·)$, $\chi_{247}(99,·)$, $\chi_{247}(229,·)$, $\chi_{247}(233,·)$, $\chi_{247}(235,·)$, $\chi_{247}(239,·)$, $\chi_{247}(112,·)$, $\chi_{247}(118,·)$, $\chi_{247}(125,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{3} a^{27} - \frac{1}{3} a^{21} + \frac{1}{3} a^{19} - \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{28} - \frac{1}{3} a^{22} + \frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{3} a^{16} + \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{29} - \frac{1}{3} a^{23} + \frac{1}{3} a^{21} - \frac{1}{3} a^{17} + \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2}$, $\frac{1}{3} a^{30} - \frac{1}{3} a^{24} + \frac{1}{3} a^{22} - \frac{1}{3} a^{18} + \frac{1}{3} a^{16} + \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{3} a^{31} - \frac{1}{3} a^{25} + \frac{1}{3} a^{23} - \frac{1}{3} a^{19} + \frac{1}{3} a^{17} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4}$, $\frac{1}{3} a^{32} - \frac{1}{3} a^{26} + \frac{1}{3} a^{24} - \frac{1}{3} a^{20} + \frac{1}{3} a^{18} + \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{9} - \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{7} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{5}$, $\frac{1}{339} a^{33} + \frac{16}{113} a^{32} - \frac{32}{339} a^{31} + \frac{38}{339} a^{30} + \frac{1}{113} a^{29} - \frac{34}{339} a^{28} - \frac{34}{339} a^{27} + \frac{40}{113} a^{26} - \frac{23}{113} a^{25} + \frac{97}{339} a^{24} + \frac{49}{339} a^{23} + \frac{13}{113} a^{22} - \frac{157}{339} a^{21} + \frac{8}{339} a^{20} + \frac{24}{113} a^{19} + \frac{109}{339} a^{18} + \frac{133}{339} a^{17} - \frac{14}{113} a^{16} - \frac{71}{339} a^{15} - \frac{79}{339} a^{14} + \frac{17}{339} a^{13} + \frac{48}{113} a^{12} + \frac{46}{339} a^{11} - \frac{24}{113} a^{10} + \frac{118}{339} a^{9} - \frac{161}{339} a^{8} + \frac{154}{339} a^{7} + \frac{157}{339} a^{6} + \frac{155}{339} a^{5} - \frac{85}{339} a^{4} - \frac{31}{113} a^{3} - \frac{28}{339} a^{2} + \frac{40}{339} a - \frac{51}{113}$, $\frac{1}{39302643} a^{34} + \frac{28123}{39302643} a^{33} - \frac{5715497}{39302643} a^{32} - \frac{373808}{13100881} a^{31} - \frac{774533}{13100881} a^{30} + \frac{4353557}{39302643} a^{29} + \frac{3562591}{39302643} a^{28} + \frac{6530803}{39302643} a^{27} - \frac{2955758}{13100881} a^{26} - \frac{17777531}{39302643} a^{25} - \frac{10764017}{39302643} a^{24} + \frac{16164250}{39302643} a^{23} + \frac{3303676}{13100881} a^{22} - \frac{2835598}{39302643} a^{21} - \frac{13521439}{39302643} a^{20} - \frac{5026637}{13100881} a^{19} - \frac{5404070}{39302643} a^{18} - \frac{1212416}{39302643} a^{17} - \frac{16681804}{39302643} a^{16} - \frac{397844}{39302643} a^{15} + \frac{17407819}{39302643} a^{14} - \frac{18290864}{39302643} a^{13} + \frac{4603439}{39302643} a^{12} + \frac{13529956}{39302643} a^{11} + \frac{15248960}{39302643} a^{10} + \frac{12378905}{39302643} a^{9} - \frac{17648713}{39302643} a^{8} + \frac{5754626}{39302643} a^{7} - \frac{18548924}{39302643} a^{6} + \frac{7000034}{39302643} a^{5} - \frac{12523246}{39302643} a^{4} + \frac{14548499}{39302643} a^{3} + \frac{18744860}{39302643} a^{2} + \frac{2710821}{13100881} a + \frac{11073655}{39302643}$, $\frac{1}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{35} + \frac{1008834105060239096810541909416130233300071067110412984254042780199662864118974193988273239091651766431409038711506718632316342523679250027310930157805248346284986927605524929}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{34} + \frac{6523030130213172232465244820538192636435204758460657922710917711840635079844107097610944693712715612186559953733318693919736330018930274723643784924978425446058736142426634878535}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{33} + \frac{4293463582186471313703008939000340781531010758923789723502342336311399497019563503255835837152341997729769018471212159716523335921131972533718958464481573207493964590995214547889950}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{32} - \frac{6870844059038564743426088582725441115742167508192459409870114978175367583134486984556521886143705211195172753741463346192306293170505924062409062301824669527146449880009862199187681}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{31} + \frac{1833568600117330456207599414130812819139209299732025124755476185412711981738275288243426936004357069737464887013835404686732262933373386863392131451134604907341695012472441249502972}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{30} - \frac{6133910336266054042393332376701956222084769260213109543480518720727187208295897096569186207506222037168747856293811976914010374833291584568336312322879088408775634767438262788918640}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{29} + \frac{7605430869458786624258756738433826836740842854281640532851097257186190386807715572319517204173289512641091129366866194817772636824547521430155407643739347650350419182037867209810657}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{28} - \frac{20161168026529194130056558289008383613196426318873046154939305800416440813272960246295939916500858184643874127715242737620858088643780120635203181307938682556930509836171003665826689}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{27} + \frac{69685652727559438929122764545998429847597016198973924098701833014155771124715473639328503013869839258911032968764013046362369761419096109168040321421526254403849522211146235711582058}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{26} + \frac{49248930727047857531804748013532671575649698116392388026375909579121888960568162532731391956325297847752055772545434013178407453381828380640860759236218455236391904677921251316923656}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{25} + \frac{17775301384585138659117753676417734675704840943225037670787489732110852445239943513468654672866593332149330383266829930165102485067205240212850274085815933258968638534282001533965111}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{24} - \frac{33728792505996979715868938585807403656066692233663697736802771459161949926512189273554690300483652623466268618759038712950297541115403296828385671805554415606004692147241414600888087}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{23} - \frac{29465316059059607360232630221035037011842828167796220931571653133005681258621085771163122881863951632563971897114326647029560721033580478755777664452779588011107374258786140833678453}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{22} - \frac{3643546734926941278389489272148710094630865334139402550861129113423348201256121444926391378837664782628547309114004677803409566601785549532431896635141967609893621746146007834267053}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{21} - \frac{34024461367374464390193078871591227831609447700540707629597420848870695620687474684532688402339124148541323774152044280037940559008956344313878718696070396550272536515063263033655464}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{20} + \frac{14703784836885189338302108785591272249529011019646236586705712136942819303898773107315012212188821355287605919303515988439461068284629384097393747614230696867005850707388921247989469}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{19} - \frac{10681205976831426176173704154905973140016082326793597524042153796411799594313442520665033042932069396914344253139497660536792549538694957748432525262799552037163747209955349922672577}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{18} + \frac{15814162459306821064357934645563140447688402742434698292774355166525326662051702379586092351217546825684911146989954508157136078785604371967360341822531255137318167038661000153218039}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{17} + \frac{13549791451045077820129889305272974075793536413400488741420970344741063742507577163808247756382905174836853150148322184313142750098438517234366334896877336916445848691479111996248336}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{16} + \frac{11873628303586045394421225900469271309103845846463149466790233732296146494183030121467059576396114209085244165832443849660168926920072954333739590147465229981317601595067487164331563}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{15} - \frac{19728492264869105006461837458196175603275183872837630561361637110818857045327841051521841732281347681062675950765623708262923392470100060374702833173010680273157183958154457291882099}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{14} - \frac{19714330758115375511740585299662535406156743557231120456748959059755631512297119821363339998613363542713358982296016124091921846458929003029169097506412463817825920572401899478867735}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{13} - \frac{10265718410476846595833941525580976330793619648957918433602002395066513607550846310860140746675681020275040844211604855178816233336971181713609313217862382223742943209644723440633375}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{12} - \frac{50993140598092182198473227692486578673186683676770571607723684923254240331983131772502311285246759055197109063875513784705601508017229348760351979595470225680484039848469488079714385}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{11} + \frac{10648998802819623548366939921911479865889164590377634983527774046124210898661797320326588704982845616210774216605378116868787168158949485038684099588604836605530650470774461702173619}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{10} + \frac{14810423935594772072652114585705760267936812904687053749098681833543156121021217794073588255615342309112971295907497762627127109608747218880841432292293218238002693430581115116749700}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{9} - \frac{32981533962754682197526942346011680385674202462748948946410889565999660686968906341991838890732898859634469903918148842309661719350307775553941339963163208566082637538712070289240410}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{8} + \frac{40074586686445238330735786633819819437832986721126072181154272293547105928268425359014426123349110864618001792091464185414335647070044454060234875539540518804808145895965439117758386}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{7} - \frac{16483100829003503571201473096593439792400513299776208985354200127845093190662758923743770099940580808485638062038867541318919329475884723453797163710344210165527838869353067003430347}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{6} - \frac{19765562632353917280545081605686889173228171163518364266016277538979126233744347130159728376597454397067032787090448064468590260138945165342712203876096019177297463633274566023963436}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{5} - \frac{11634014822488992144403616619424497970326346267120185998951399311097912779376628879062215114696693241290935162578892740161751877388382712973367451879845026296086318092393746396222327}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{4} - \frac{21474795063013638738470455458665271603805199164165682391003451722189485622704931984547303199389122147321210224741338490282591027759881019038186615757211728182465712447502596443703785}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a^{3} + \frac{1261576829085914156068955935182651098886702146145558515422148836901106577224207997310701718471296857622418235398898011905848967659095099112649842999322261436945079798382002671039870}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987} a^{2} + \frac{65238512682336203981106495818710701358686211603094104668964922796227743218307625040786781113843704718364386610393505195603272100404737686334341933966628359625753792240442240072131392}{142178715173832912455814103463427140459449917675712564317914067668763640430004375350800580458950919149695016574717276279906790536139612078052168697914863204028326421379048802802383961} a - \frac{13490245437377228641703489845599209698910894626920103636994156760653944856836271563599318261541721679455645563543732194726424352998657547417300861933294380950738445362441268779050923}{47392905057944304151938034487809046819816639225237521439304689222921213476668125116933526819650306383231672191572425426635596845379870692684056232638287734676108807126349600934127987}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{5}\times C_{368285}$, which has order $1841425$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 224157691393563.94 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{36}$ (as 36T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_{36}$
Character table for $C_{36}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{13}) \), 3.3.361.1, 4.0.2197.1, 6.6.286315237.1, \(\Q(\zeta_{19})^+\), 12.0.180102183619590473293.1, 18.18.3058776789325072365774692364013.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $36$ ${\href{/LocalNumberField/3.9.0.1}{9} }^{4}$ $36$ ${\href{/LocalNumberField/7.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/11.12.0.1}{12} }^{3}$ R $18^{2}$ R $18^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/29.9.0.1}{9} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/31.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.4.0.1}{4} }^{9}$ $36$ $18^{2}$ $36$ ${\href{/LocalNumberField/53.9.0.1}{9} }^{4}$ $36$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
13Data not computed
19Data not computed