↑

Properties

Label 36.0.96859619271...3568.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $2^{99}\cdot 3^{48}\cdot 7^{24}$
Root discriminant $106.51$
Ramified primes $2, 3, 7$
Class number $47801988$ (GRH)
Class group $[3, 3, 234, 22698]$ (GRH)
Galois group $C_3\times C_{12}$ (as 36T3)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![12160977767, 65880963516, 191526766890, 324953099232, 373399441383, 245496957708, 41560681778, -98513884404, -97921001331, -22088255944, 27413396142, 24836211816, 4254421520, -5967524316, -3773616390, 143463500, 928023510, 267892788, -67476264, -66767160, -7129761, 8165264, 4474812, -320856, -220219, -46908, 91002, 96, 11523, -2412, 2630, -84, 360, -12, 24, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 + 24*x^34 - 12*x^33 + 360*x^32 - 84*x^31 + 2630*x^30 - 2412*x^29 + 11523*x^28 + 96*x^27 + 91002*x^26 - 46908*x^25 - 220219*x^24 - 320856*x^23 + 4474812*x^22 + 8165264*x^21 - 7129761*x^20 - 66767160*x^19 - 67476264*x^18 + 267892788*x^17 + 928023510*x^16 + 143463500*x^15 - 3773616390*x^14 - 5967524316*x^13 + 4254421520*x^12 + 24836211816*x^11 + 27413396142*x^10 - 22088255944*x^9 - 97921001331*x^8 - 98513884404*x^7 + 41560681778*x^6 + 245496957708*x^5 + 373399441383*x^4 + 324953099232*x^3 + 191526766890*x^2 + 65880963516*x + 12160977767)
 
gp: K = bnfinit(x^36 + 24*x^34 - 12*x^33 + 360*x^32 - 84*x^31 + 2630*x^30 - 2412*x^29 + 11523*x^28 + 96*x^27 + 91002*x^26 - 46908*x^25 - 220219*x^24 - 320856*x^23 + 4474812*x^22 + 8165264*x^21 - 7129761*x^20 - 66767160*x^19 - 67476264*x^18 + 267892788*x^17 + 928023510*x^16 + 143463500*x^15 - 3773616390*x^14 - 5967524316*x^13 + 4254421520*x^12 + 24836211816*x^11 + 27413396142*x^10 - 22088255944*x^9 - 97921001331*x^8 - 98513884404*x^7 + 41560681778*x^6 + 245496957708*x^5 + 373399441383*x^4 + 324953099232*x^3 + 191526766890*x^2 + 65880963516*x + 12160977767, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} + 24 x^{34} - 12 x^{33} + 360 x^{32} - 84 x^{31} + 2630 x^{30} - 2412 x^{29} + 11523 x^{28} + 96 x^{27} + 91002 x^{26} - 46908 x^{25} - 220219 x^{24} - 320856 x^{23} + 4474812 x^{22} + 8165264 x^{21} - 7129761 x^{20} - 66767160 x^{19} - 67476264 x^{18} + 267892788 x^{17} + 928023510 x^{16} + 143463500 x^{15} - 3773616390 x^{14} - 5967524316 x^{13} + 4254421520 x^{12} + 24836211816 x^{11} + 27413396142 x^{10} - 22088255944 x^{9} - 97921001331 x^{8} - 98513884404 x^{7} + 41560681778 x^{6} + 245496957708 x^{5} + 373399441383 x^{4} + 324953099232 x^{3} + 191526766890 x^{2} + 65880963516 x + 12160977767 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(9685961927111642346915876016581426876940970357243365413693185450802413568=2^{99}\cdot 3^{48}\cdot 7^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $106.51$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 7$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1008=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 7\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1008}(1,·)$, $\chi_{1008}(1003,·)$, $\chi_{1008}(193,·)$, $\chi_{1008}(907,·)$, $\chi_{1008}(529,·)$, $\chi_{1008}(403,·)$, $\chi_{1008}(793,·)$, $\chi_{1008}(25,·)$, $\chi_{1008}(667,·)$, $\chi_{1008}(289,·)$, $\chi_{1008}(547,·)$, $\chi_{1008}(163,·)$, $\chi_{1008}(169,·)$, $\chi_{1008}(43,·)$, $\chi_{1008}(883,·)$, $\chi_{1008}(841,·)$, $\chi_{1008}(697,·)$, $\chi_{1008}(571,·)$, $\chi_{1008}(961,·)$, $\chi_{1008}(835,·)$, $\chi_{1008}(673,·)$, $\chi_{1008}(457,·)$, $\chi_{1008}(331,·)$, $\chi_{1008}(337,·)$, $\chi_{1008}(211,·)$, $\chi_{1008}(121,·)$, $\chi_{1008}(865,·)$, $\chi_{1008}(67,·)$, $\chi_{1008}(739,·)$, $\chi_{1008}(715,·)$, $\chi_{1008}(361,·)$, $\chi_{1008}(235,·)$, $\chi_{1008}(625,·)$, $\chi_{1008}(499,·)$, $\chi_{1008}(505,·)$, $\chi_{1008}(379,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4}$, $\frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5}$, $\frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{6}$, $\frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{7}$, $\frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{4} a^{24} - \frac{1}{4} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{4} a^{25} - \frac{1}{4} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{4} a$, $\frac{1}{4} a^{26} - \frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{4} a^{27} - \frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{4} a^{3}$, $\frac{1}{284} a^{28} - \frac{25}{284} a^{27} + \frac{11}{284} a^{26} + \frac{9}{284} a^{25} + \frac{5}{142} a^{24} - \frac{8}{71} a^{23} - \frac{33}{142} a^{22} + \frac{17}{71} a^{21} + \frac{33}{142} a^{20} - \frac{9}{71} a^{19} + \frac{7}{71} a^{18} + \frac{12}{71} a^{17} - \frac{7}{142} a^{16} - \frac{4}{71} a^{15} - \frac{27}{142} a^{14} + \frac{3}{71} a^{13} + \frac{7}{284} a^{12} - \frac{111}{284} a^{11} - \frac{129}{284} a^{10} + \frac{31}{284} a^{9} - \frac{6}{71} a^{8} - \frac{11}{142} a^{7} + \frac{15}{142} a^{6} + \frac{61}{142} a^{5} + \frac{27}{284} a^{4} - \frac{123}{284} a^{3} - \frac{27}{284} a^{2} + \frac{67}{284} a$, $\frac{1}{284} a^{29} + \frac{25}{284} a^{27} + \frac{11}{142} a^{25} + \frac{5}{284} a^{24} - \frac{7}{142} a^{23} - \frac{5}{71} a^{22} + \frac{31}{142} a^{21} + \frac{13}{71} a^{20} - \frac{5}{71} a^{19} + \frac{19}{142} a^{18} + \frac{25}{142} a^{17} + \frac{15}{71} a^{16} - \frac{7}{71} a^{15} - \frac{15}{71} a^{14} + \frac{23}{284} a^{13} + \frac{16}{71} a^{12} - \frac{135}{284} a^{11} - \frac{35}{142} a^{10} + \frac{28}{71} a^{9} - \frac{125}{284} a^{8} + \frac{12}{71} a^{7} - \frac{61}{142} a^{6} + \frac{95}{284} a^{5} + \frac{63}{142} a^{4} + \frac{93}{284} a^{3} - \frac{10}{71} a^{2} - \frac{25}{71} a + \frac{1}{4}$, $\frac{1}{284} a^{30} - \frac{7}{142} a^{27} + \frac{31}{284} a^{26} - \frac{7}{284} a^{25} + \frac{5}{71} a^{24} + \frac{35}{142} a^{23} + \frac{2}{71} a^{22} + \frac{14}{71} a^{21} + \frac{17}{142} a^{20} - \frac{14}{71} a^{19} + \frac{15}{71} a^{18} - \frac{1}{71} a^{17} + \frac{19}{142} a^{16} + \frac{14}{71} a^{15} - \frac{47}{284} a^{14} + \frac{12}{71} a^{13} - \frac{13}{142} a^{12} - \frac{16}{71} a^{11} + \frac{1}{4} a^{10} + \frac{23}{284} a^{9} + \frac{20}{71} a^{8} + \frac{1}{142} a^{7} + \frac{55}{284} a^{6} + \frac{29}{142} a^{5} - \frac{7}{142} a^{4} + \frac{31}{71} a^{3} + \frac{7}{284} a^{2} - \frac{113}{284} a$, $\frac{1}{284} a^{31} - \frac{35}{284} a^{27} + \frac{5}{284} a^{26} + \frac{1}{71} a^{25} - \frac{3}{284} a^{24} - \frac{7}{142} a^{23} - \frac{4}{71} a^{22} - \frac{2}{71} a^{21} + \frac{4}{71} a^{20} - \frac{9}{142} a^{19} - \frac{19}{142} a^{18} + \frac{1}{142} a^{16} + \frac{13}{284} a^{15} + \frac{1}{142} a^{14} + \frac{17}{142} a^{12} - \frac{63}{284} a^{11} - \frac{79}{284} a^{10} + \frac{22}{71} a^{9} + \frac{21}{284} a^{8} + \frac{31}{284} a^{7} - \frac{45}{142} a^{6} + \frac{33}{71} a^{5} - \frac{33}{142} a^{4} + \frac{131}{284} a^{3} + \frac{77}{284} a^{2} - \frac{14}{71} a - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{284} a^{32} - \frac{9}{142} a^{27} + \frac{17}{142} a^{26} + \frac{7}{71} a^{25} - \frac{19}{284} a^{24} - \frac{23}{142} a^{22} - \frac{9}{142} a^{21} + \frac{5}{71} a^{20} - \frac{5}{71} a^{19} - \frac{7}{142} a^{18} - \frac{11}{142} a^{17} - \frac{51}{284} a^{16} + \frac{5}{142} a^{15} - \frac{11}{71} a^{14} + \frac{7}{71} a^{13} + \frac{10}{71} a^{12} - \frac{65}{142} a^{11} + \frac{23}{142} a^{10} + \frac{28}{71} a^{9} - \frac{7}{71} a^{8} + \frac{67}{142} a^{7} - \frac{24}{71} a^{6} - \frac{14}{71} a^{5} + \frac{41}{142} a^{4} + \frac{8}{71} a^{3} + \frac{16}{71} a^{2} + \frac{1}{142} a - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{284} a^{33} + \frac{5}{142} a^{27} + \frac{13}{284} a^{26} + \frac{1}{284} a^{25} - \frac{33}{284} a^{24} - \frac{27}{142} a^{23} - \frac{35}{142} a^{22} - \frac{17}{142} a^{21} + \frac{8}{71} a^{20} + \frac{12}{71} a^{19} + \frac{14}{71} a^{18} - \frac{39}{284} a^{17} + \frac{21}{142} a^{16} - \frac{12}{71} a^{15} + \frac{25}{142} a^{14} - \frac{7}{71} a^{13} - \frac{1}{71} a^{12} + \frac{9}{71} a^{11} + \frac{133}{284} a^{10} - \frac{19}{142} a^{9} - \frac{85}{284} a^{8} - \frac{33}{142} a^{7} + \frac{29}{142} a^{6} - \frac{34}{71} a^{5} + \frac{23}{71} a^{4} - \frac{5}{71} a^{3} - \frac{129}{284} a^{2} - \frac{1}{284} a - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{34} - \frac{84529930322986701128759539046377733927306390292256245854517163989948788902530316991318}{93768176100129289922558297685434167228601259314342631070120678742364309410410612839416177} a^{33} + \frac{381650529641212131890251601528752886765804232624824785964063343505843385717084989248463}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{32} - \frac{633785918280580011410634761419414480180059351674150340992318435324223857525729289120033}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{31} - \frac{180598773831103628440790503905671657743246637690600449629907869204683577611863935398349}{187536352200258579845116595370868334457202518628685262140241357484728618820821225678832354} a^{30} - \frac{173190264663494382815295303929349033268022566639311883284197565215340873850789786840495}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{29} + \frac{305870838831238298193201995599320250021132153903853931387304931301117678635253272253123}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{28} + \frac{38582193292271748022421340446339786568366657586045097555476516587235348674495849019347547}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{27} + \frac{18647810399109177992098043491502451128113206986549887594608279520223241445295176700702793}{187536352200258579845116595370868334457202518628685262140241357484728618820821225678832354} a^{26} - \frac{43831689069691909001986346671384177967221735922625317660701991133244922804030803364213153}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{25} + \frac{7320159624804570154784427600287590081899260856283280376472027675352799955620181138278783}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{24} - \frac{42300466041701769958272639253360359046736260676672236371024313030440163490239949808176301}{187536352200258579845116595370868334457202518628685262140241357484728618820821225678832354} a^{23} + \frac{3060446908180741729986610038987533314996598609525666108381980165751655169687063242246119}{93768176100129289922558297685434167228601259314342631070120678742364309410410612839416177} a^{22} + \frac{1688140940418819967456910403524175071404072520797980462474841518230145537290981828052561}{93768176100129289922558297685434167228601259314342631070120678742364309410410612839416177} a^{21} + \frac{13997060151105528666262896077645233036535333532848902729900546343701978251825325179972472}{93768176100129289922558297685434167228601259314342631070120678742364309410410612839416177} a^{20} - \frac{31890658279648054842045462964404798016063222301104693191440501128011308963098771781802151}{187536352200258579845116595370868334457202518628685262140241357484728618820821225678832354} a^{19} - \frac{1496276420541876148773560422957870036973377452357374289393551349810289773639936909934765}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{18} + \frac{16856857727543279796808829214476957171955347709264340297850589018282722335409013192569248}{93768176100129289922558297685434167228601259314342631070120678742364309410410612839416177} a^{17} + \frac{83765259946879859897374093691689880685043599758075411936927850856725957000405073443261555}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{16} + \frac{3328871623531249275941103393816090713942753815645577852310237317914283270337246064247539}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{15} - \frac{42812027637516723410148386809546167753303750989626567846310225435127183274569837834082947}{187536352200258579845116595370868334457202518628685262140241357484728618820821225678832354} a^{14} + \frac{38652415806396480893407392440411490482715868359556883981171820121555614834656220379642465}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{13} + \frac{38813577118906896768318562030728415329670711125252172805830786677832564479293086027447697}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{12} - \frac{179995915919665359777347399150558411737519347360029698950103527763498601776265957071360293}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{11} - \frac{32259759109993522161132262908882919166840862579127576914370508887191984356557856642290775}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{10} + \frac{130646296279731257055021503590808352808518944629461443707652817113021808024430000932231887}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{9} - \frac{74327138592975522615415388769122331492829249550285252515981453100172709461363784852072663}{187536352200258579845116595370868334457202518628685262140241357484728618820821225678832354} a^{8} - \frac{180717306309282475097554819003645089636546032077736723246318659492185050234786044785166975}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{7} - \frac{37218371430922831153768191034622218188515803762835535378788072023185332036314712922699460}{93768176100129289922558297685434167228601259314342631070120678742364309410410612839416177} a^{6} + \frac{5372957595596863443579612402194934477705580645679456150316893447360672580161031368131751}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{5} - \frac{111698308961132466917788652829900130098742975353860956923437374265779620305417411924284669}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{4} - \frac{137083714779394182475338354733436252473654940709381341454118341311274598776781059011781167}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a^{3} - \frac{13596052955988483767351049115560788520499039983939592783513915844197141366640287024466340}{93768176100129289922558297685434167228601259314342631070120678742364309410410612839416177} a^{2} - \frac{25453969060995819790631640009815640530541190051262015989330613233552914429256557974779969}{375072704400517159690233190741736668914405037257370524280482714969457237641642451357664708} a - \frac{187536909267379831933394072222062131833289097470188905272229289853626684484762626467}{12200263617750940366595101022728317630498163395158915014165264124173217891605973761756}$, $\frac{1}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a^{35} - \frac{14386973084413888034}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{34} - \frac{46306486810462704924576802908991923316752958745775606266164110715391929716389029642364626144339051255011691}{36946005564136357122641869965921344368436028819415540687276257534016547908145963997678022486799438692870865282} a^{33} + \frac{89547907468358546589421076191987024806355812842461461466902952394577344751802295949866530974579615077292085}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a^{32} + \frac{27885694159617584002455872883246375347261648590871607822424427518892541826150335613852454469677290784306775}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{31} - \frac{29898085710560931327374070661886684548692371904317620680902227703667780731561331796549014017674331482186763}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a^{30} - \frac{46802091113247343063379610652160392299872427029927040529764451905347560127917249534545079755546482890345887}{36946005564136357122641869965921344368436028819415540687276257534016547908145963997678022486799438692870865282} a^{29} - \frac{25835066192537584769626159294689565503081930843270543016742768738419719773264521557859384665862795834907631}{36946005564136357122641869965921344368436028819415540687276257534016547908145963997678022486799438692870865282} a^{28} + \frac{1294389515600107687177632273958483143242900220771310855536093184595694810042693637970678131078335566111922491}{36946005564136357122641869965921344368436028819415540687276257534016547908145963997678022486799438692870865282} a^{27} - \frac{315870978478014383959321579265422798977660886191567618313264440904183457503924354803012236755586552721710338}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{26} - \frac{6980169540657260246329104254881228385296271770916080760436526188953129462548796767782067940761639186689264577}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a^{25} - \frac{19875517383614036607458111572567814002467672565672481744453543687863316731103508254446659464658650579667487}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{24} - \frac{403438748435892364074362747428410209439438382335704371268892051215616532843055603363954236275828364219094469}{36946005564136357122641869965921344368436028819415540687276257534016547908145963997678022486799438692870865282} a^{23} - \frac{4555956928455674853358464847134585897369658201735060086354164326194394008800284139748458480769155566852530591}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{22} + \frac{8783745238700551849116520843714326100091218325265883650110671669047621835169181305226628659263581455925199067}{36946005564136357122641869965921344368436028819415540687276257534016547908145963997678022486799438692870865282} a^{21} + \frac{3542152560066813863951553181679323460193931778386537383104991788989104781911915849367692814190678068152418205}{36946005564136357122641869965921344368436028819415540687276257534016547908145963997678022486799438692870865282} a^{20} - \frac{3942793114974228760814849499225470020374401770113842970186854700155119390220575917468752468296537663157291303}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a^{19} - \frac{7317248640321754961850424628708598077416772046933816695342899462678837638518358783943197436805562890858403979}{36946005564136357122641869965921344368436028819415540687276257534016547908145963997678022486799438692870865282} a^{18} - \frac{4548923354566227516629425840459886350681816484329951658086625347664293974691429615639826217541368879351564495}{36946005564136357122641869965921344368436028819415540687276257534016547908145963997678022486799438692870865282} a^{17} + \frac{12842254265091066250859339775673754611809442070815452827872502958003425436941688256467232765880445235042778819}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a^{16} + \frac{5445413358712593343369160716237759975401663984237484855941775475926023778192559626141622601494283416555058629}{36946005564136357122641869965921344368436028819415540687276257534016547908145963997678022486799438692870865282} a^{15} - \frac{15495057470969007470415275116312849687696868062629805109772350614249563792361471258899532321311400053904562849}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a^{14} + \frac{12211901487477941335664797451071396085571127085873218086184153036002454988177522986180598007027838058884916}{260183137775608148750999084267051720904479076193067187938565193901524985268633549279422693569010131639935671} a^{13} + \frac{2433548337267683345738397376279988046206012446753732091475189623736722538389290810839043165376184622486878615}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{12} + \frac{7551199987015451948093200902778413026911460913024560775636084366060422806279147484655312581087918399983335165}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a^{11} - \frac{2545668542339815692498545147693548178348898887586840391221497023709558043849563398506947357945264399971358288}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{10} + \frac{7959155916022172852708937324004032543496315049557842107234888406861768022033902851928674390770888484822347273}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a^{9} + \frac{7379315535829498766202977704571426360599330021432108202617834976565404442684482748174629392864959213778580761}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a^{8} - \frac{7342641446823726380179732980094217718339453149457045832794858080409499963308465357035071917874308101339504107}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{7} - \frac{27221373538702958976839464613941703597085491332705765698651544341021323421814010242790638731066250417899008303}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a^{6} - \frac{8866572056605197559728047426022102598872976503021177312195493274968153407321576267716725209725469406455416860}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{5} + \frac{1303457962054994677813295342836332508021592911985406524103611573780145695713876076785292754739777087740262144}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{4} + \frac{2779362835226806869553517089618200615006575159318764626902701141781457811093461813633417311978317456925759654}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{3} - \frac{3138729546471586756434036147650628778006006139874890861072019007755735790126732351584247770900085868641437433}{18473002782068178561320934982960672184218014409707770343638128767008273954072981998839011243399719346435432641} a^{2} + \frac{9654610606472630858919322003340712126587904353829688085036897368074572519322995374301161028700680321206442985}{73892011128272714245283739931842688736872057638831081374552515068033095816291927995356044973598877385741730564} a - \frac{340353212000807606184816137628751190578041956511407377766599547476835120317570973674783251440537158245}{1364097263898667264791998827005065736785980010082323980667387699268493367911404210937197094258362356654}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{3}\times C_{3}\times C_{234}\times C_{22698}$, which has order $47801988$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 160258501280890.78 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_{12}$ (as 36T3):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{12}$
Character table for $C_3\times C_{12}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.3969.1, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 3.3.3969.2, 4.0.2048.2, 6.6.3359232.1, 6.6.8065516032.1, 6.6.1229312.1, 6.6.8065516032.2, 9.9.62523502209.1, 12.0.369768517790072832.1, 12.0.2131641921124729651986432.2, 12.0.49519263525896192.1, 12.0.2131641921124729651986432.3, 18.18.524682375772545974113841184768.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R ${\href{/LocalNumberField/5.12.0.1}{12} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/11.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/13.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/17.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/19.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/29.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/37.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/43.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/53.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/59.12.0.1}{12} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$2$2.12.33.344$x^{12} + 4 x^{10} + 10 x^{8} - 8 x^{6} + 8 x^{4} + 32 x^{2} + 8$$4$$3$$33$$C_{12}$$[3, 4]^{3}$
2.12.33.344$x^{12} + 4 x^{10} + 10 x^{8} - 8 x^{6} + 8 x^{4} + 32 x^{2} + 8$$4$$3$$33$$C_{12}$$[3, 4]^{3}$
2.12.33.344$x^{12} + 4 x^{10} + 10 x^{8} - 8 x^{6} + 8 x^{4} + 32 x^{2} + 8$$4$$3$$33$$C_{12}$$[3, 4]^{3}$
3Data not computed
$7$7.9.6.1$x^{9} + 42 x^{6} + 539 x^{3} + 2744$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.1$x^{9} + 42 x^{6} + 539 x^{3} + 2744$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.1$x^{9} + 42 x^{6} + 539 x^{3} + 2744$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.1$x^{9} + 42 x^{6} + 539 x^{3} + 2744$$3$$3$$6$$C_3^2$$[\ ]_{3}^{3}$