↑

Properties

Label 36.0.82712399226...2272.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $2^{54}\cdot 3^{48}\cdot 13^{33}$
Root discriminant $128.48$
Ramified primes $2, 3, 13$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_3\times C_{12}$ (as 36T3)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![9724193509447, 21093689536332, 41429002968336, 38912147678040, 35763130408821, 18337221438216, 10600537969942, 3325143168012, 2334611060583, 837202367648, 858443199054, 256259966832, 248970781930, 47710693968, 68331137634, 10373579276, 18620376480, 1820606652, 4266665390, 236070696, 868074111, 27331592, 149530704, 1371384, 21412793, -61164, 2554524, -26424, 244113, -3600, 18566, -228, 1062, -12, 42, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 + 42*x^34 - 12*x^33 + 1062*x^32 - 228*x^31 + 18566*x^30 - 3600*x^29 + 244113*x^28 - 26424*x^27 + 2554524*x^26 - 61164*x^25 + 21412793*x^24 + 1371384*x^23 + 149530704*x^22 + 27331592*x^21 + 868074111*x^20 + 236070696*x^19 + 4266665390*x^18 + 1820606652*x^17 + 18620376480*x^16 + 10373579276*x^15 + 68331137634*x^14 + 47710693968*x^13 + 248970781930*x^12 + 256259966832*x^11 + 858443199054*x^10 + 837202367648*x^9 + 2334611060583*x^8 + 3325143168012*x^7 + 10600537969942*x^6 + 18337221438216*x^5 + 35763130408821*x^4 + 38912147678040*x^3 + 41429002968336*x^2 + 21093689536332*x + 9724193509447)
 
gp: K = bnfinit(x^36 + 42*x^34 - 12*x^33 + 1062*x^32 - 228*x^31 + 18566*x^30 - 3600*x^29 + 244113*x^28 - 26424*x^27 + 2554524*x^26 - 61164*x^25 + 21412793*x^24 + 1371384*x^23 + 149530704*x^22 + 27331592*x^21 + 868074111*x^20 + 236070696*x^19 + 4266665390*x^18 + 1820606652*x^17 + 18620376480*x^16 + 10373579276*x^15 + 68331137634*x^14 + 47710693968*x^13 + 248970781930*x^12 + 256259966832*x^11 + 858443199054*x^10 + 837202367648*x^9 + 2334611060583*x^8 + 3325143168012*x^7 + 10600537969942*x^6 + 18337221438216*x^5 + 35763130408821*x^4 + 38912147678040*x^3 + 41429002968336*x^2 + 21093689536332*x + 9724193509447, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} + 42 x^{34} - 12 x^{33} + 1062 x^{32} - 228 x^{31} + 18566 x^{30} - 3600 x^{29} + 244113 x^{28} - 26424 x^{27} + 2554524 x^{26} - 61164 x^{25} + 21412793 x^{24} + 1371384 x^{23} + 149530704 x^{22} + 27331592 x^{21} + 868074111 x^{20} + 236070696 x^{19} + 4266665390 x^{18} + 1820606652 x^{17} + 18620376480 x^{16} + 10373579276 x^{15} + 68331137634 x^{14} + 47710693968 x^{13} + 248970781930 x^{12} + 256259966832 x^{11} + 858443199054 x^{10} + 837202367648 x^{9} + 2334611060583 x^{8} + 3325143168012 x^{7} + 10600537969942 x^{6} + 18337221438216 x^{5} + 35763130408821 x^{4} + 38912147678040 x^{3} + 41429002968336 x^{2} + 21093689536332 x + 9724193509447 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(8271239922641569611168572203596233566179805157456691895516946594759832502272=2^{54}\cdot 3^{48}\cdot 13^{33}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $128.48$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(936=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 13\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{936}(1,·)$, $\chi_{936}(649,·)$, $\chi_{936}(397,·)$, $\chi_{936}(877,·)$, $\chi_{936}(529,·)$, $\chi_{936}(661,·)$, $\chi_{936}(601,·)$, $\chi_{936}(25,·)$, $\chi_{936}(541,·)$, $\chi_{936}(673,·)$, $\chi_{936}(37,·)$, $\chi_{936}(49,·)$, $\chi_{936}(301,·)$, $\chi_{936}(925,·)$, $\chi_{936}(433,·)$, $\chi_{936}(565,·)$, $\chi_{936}(313,·)$, $\chi_{936}(709,·)$, $\chi_{936}(289,·)$, $\chi_{936}(841,·)$, $\chi_{936}(337,·)$, $\chi_{936}(853,·)$, $\chi_{936}(217,·)$, $\chi_{936}(733,·)$, $\chi_{936}(421,·)$, $\chi_{936}(229,·)$, $\chi_{936}(913,·)$, $\chi_{936}(361,·)$, $\chi_{936}(109,·)$, $\chi_{936}(613,·)$, $\chi_{936}(625,·)$, $\chi_{936}(349,·)$, $\chi_{936}(745,·)$, $\chi_{936}(121,·)$, $\chi_{936}(253,·)$, $\chi_{936}(85,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $\frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4} a^{12} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{4} a^{13} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{4} a$, $\frac{1}{4} a^{14} - \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{4} a^{15} - \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{4} a^{3}$, $\frac{1}{4} a^{16} - \frac{1}{4} a^{8} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{4} a^{17} - \frac{1}{4} a^{9} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{8} a^{18} - \frac{1}{8} a^{14} - \frac{1}{8} a^{12} - \frac{1}{8} a^{10} - \frac{1}{4} a^{8} + \frac{3}{8} a^{4} + \frac{3}{8} a^{2} + \frac{1}{8}$, $\frac{1}{8} a^{19} - \frac{1}{8} a^{15} - \frac{1}{8} a^{13} - \frac{1}{8} a^{11} - \frac{1}{4} a^{9} + \frac{3}{8} a^{5} + \frac{3}{8} a^{3} + \frac{1}{8} a$, $\frac{1}{8} a^{20} - \frac{1}{8} a^{16} - \frac{1}{8} a^{14} - \frac{1}{8} a^{12} - \frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{8} a^{6} + \frac{3}{8} a^{4} - \frac{3}{8} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{8} a^{21} - \frac{1}{8} a^{17} - \frac{1}{8} a^{15} - \frac{1}{8} a^{13} - \frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{8} a^{7} + \frac{3}{8} a^{5} - \frac{3}{8} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{8} a^{22} - \frac{1}{8} a^{16} - \frac{1}{8} a^{12} - \frac{1}{8} a^{10} + \frac{1}{8} a^{8} + \frac{1}{8} a^{6} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{3}{8} a^{2} - \frac{1}{8}$, $\frac{1}{8} a^{23} - \frac{1}{8} a^{17} - \frac{1}{8} a^{13} - \frac{1}{8} a^{11} + \frac{1}{8} a^{9} + \frac{1}{8} a^{7} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{3}{8} a^{3} - \frac{1}{8} a$, $\frac{1}{16} a^{24} - \frac{1}{8} a^{16} - \frac{1}{8} a^{12} + \frac{1}{16} a^{8} - \frac{1}{8} a^{4} + \frac{1}{16}$, $\frac{1}{16} a^{25} - \frac{1}{8} a^{17} - \frac{1}{8} a^{13} + \frac{1}{16} a^{9} - \frac{1}{8} a^{5} + \frac{1}{16} a$, $\frac{1}{16} a^{26} - \frac{1}{8} a^{12} - \frac{1}{16} a^{10} - \frac{1}{4} a^{8} + \frac{1}{8} a^{6} - \frac{1}{8} a^{4} - \frac{5}{16} a^{2} - \frac{3}{8}$, $\frac{1}{16} a^{27} - \frac{1}{8} a^{13} - \frac{1}{16} a^{11} - \frac{1}{4} a^{9} + \frac{1}{8} a^{7} - \frac{1}{8} a^{5} - \frac{5}{16} a^{3} - \frac{3}{8} a$, $\frac{1}{16} a^{28} - \frac{1}{8} a^{14} - \frac{1}{16} a^{12} - \frac{1}{4} a^{10} + \frac{1}{8} a^{8} - \frac{1}{8} a^{6} - \frac{5}{16} a^{4} - \frac{3}{8} a^{2}$, $\frac{1}{16} a^{29} - \frac{1}{8} a^{15} - \frac{1}{16} a^{13} - \frac{1}{4} a^{11} + \frac{1}{8} a^{9} - \frac{1}{8} a^{7} - \frac{5}{16} a^{5} - \frac{3}{8} a^{3}$, $\frac{1}{32} a^{30} - \frac{1}{32} a^{26} - \frac{1}{32} a^{24} - \frac{1}{16} a^{22} + \frac{1}{16} a^{16} + \frac{3}{32} a^{14} + \frac{1}{16} a^{12} - \frac{3}{32} a^{10} - \frac{1}{32} a^{8} + \frac{3}{32} a^{6} + \frac{1}{16} a^{4} - \frac{1}{32} a^{2} - \frac{1}{32}$, $\frac{1}{32} a^{31} - \frac{1}{32} a^{27} - \frac{1}{32} a^{25} - \frac{1}{16} a^{23} + \frac{1}{16} a^{17} + \frac{3}{32} a^{15} + \frac{1}{16} a^{13} - \frac{3}{32} a^{11} - \frac{1}{32} a^{9} + \frac{3}{32} a^{7} + \frac{1}{16} a^{5} - \frac{1}{32} a^{3} - \frac{1}{32} a$, $\frac{1}{32} a^{32} - \frac{1}{32} a^{28} - \frac{1}{32} a^{26} - \frac{1}{16} a^{18} - \frac{1}{32} a^{16} - \frac{1}{16} a^{14} - \frac{3}{32} a^{12} + \frac{3}{32} a^{10} - \frac{3}{32} a^{8} - \frac{3}{16} a^{6} + \frac{15}{32} a^{4} - \frac{5}{32} a^{2} + \frac{7}{16}$, $\frac{1}{32} a^{33} - \frac{1}{32} a^{29} - \frac{1}{32} a^{27} - \frac{1}{16} a^{19} - \frac{1}{32} a^{17} - \frac{1}{16} a^{15} - \frac{3}{32} a^{13} + \frac{3}{32} a^{11} - \frac{3}{32} a^{9} - \frac{3}{16} a^{7} + \frac{15}{32} a^{5} - \frac{5}{32} a^{3} + \frac{7}{16} a$, $\frac{1}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{34} + \frac{121789551509512842051687590501072989448107721591511640230589442787928476556360267491168519351}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{33} - \frac{125066442750762794626948152640911301565932531429273855970500615050077616027949770111406153733}{11775728464174181482511434220858267014981696528941926620196980565224720126475435353318572323912} a^{32} + \frac{338325548524172570149191405520074595351537791511480757697171370249957789097004480579363974925}{23551456928348362965022868441716534029963393057883853240393961130449440252950870706637144647824} a^{31} - \frac{10364035480216439745970934823251025161912673906928294011748664937953195537558760834407667191}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{30} - \frac{1317010553687292946955133344851421949001752481239898398515531654579996392067474813804725537561}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{29} - \frac{932189662656274627344273364592152064378131267429529755546232140301721022478817317135903143899}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{28} + \frac{1297687131997636523553567373094430480262719876513748016836536374164958057823874783102547053249}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{27} + \frac{161348710162934165552158255178271292358314368501813132485350695638592915107350478322793013831}{23551456928348362965022868441716534029963393057883853240393961130449440252950870706637144647824} a^{26} + \frac{706861986497090417969960295393355113746505417825449715609311684412354629482282076013595027821}{23551456928348362965022868441716534029963393057883853240393961130449440252950870706637144647824} a^{25} - \frac{315515291210537663895905795402920036630897180573143815714069865869905966487953614030116354249}{11775728464174181482511434220858267014981696528941926620196980565224720126475435353318572323912} a^{24} + \frac{155331454213265931660935138417601330499108644494528920626048597653960072462650667266506313805}{5887864232087090741255717110429133507490848264470963310098490282612360063237717676659286161956} a^{23} - \frac{181731835765316682325986720751575961108133545755245424689488730555060098341529294612597451859}{11775728464174181482511434220858267014981696528941926620196980565224720126475435353318572323912} a^{22} - \frac{64576853144324610221653097874836788761757793719401341589988644128121924663240898251363115869}{1471966058021772685313929277607283376872712066117740827524622570653090015809429419164821540489} a^{21} + \frac{1108282673809380410612358507168918413307661954869875512378453729608882054580748685595368855725}{23551456928348362965022868441716534029963393057883853240393961130449440252950870706637144647824} a^{20} - \frac{1116495931976018404209355184097611683996715559784417871329808365752904682863030851300359613183}{23551456928348362965022868441716534029963393057883853240393961130449440252950870706637144647824} a^{19} + \frac{1719421704818904340196633235659647398561178953616871159391611593334070489007230031463593997847}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{18} + \frac{2134787555809564572513861096854674561986222743521915622474976358873904802365364646245342039089}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{17} + \frac{226995314052544061297712717250993261712848994608829193199217469682731803462384810983132187807}{23551456928348362965022868441716534029963393057883853240393961130449440252950870706637144647824} a^{16} + \frac{664469212553569455952441549513257244210368554934652496305128081440263049981636928553498496833}{11775728464174181482511434220858267014981696528941926620196980565224720126475435353318572323912} a^{15} - \frac{1643989649688601345466725414011761527564593644569269202191940189919671096201665130587140813717}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{14} + \frac{5069236679305135190670539083042611468420707950740146121627916226062464909024505299158039024009}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{13} - \frac{827870797274523377662533581360891780240979777206653267433966234281198693546668916067813905095}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{12} - \frac{3656995361892663062077014111608059795788101153361551073392110310728824898715414628224331708271}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{11} - \frac{3675604220624819554363826172697843317585215419610111752248263165371495423825492438297146387529}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{10} + \frac{1667734358730166396603787852577579110260330193577877155668042857917993041499627533897065590765}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{9} - \frac{1280108544125834090688444275230023789291528195418651599073804773989735038997321412822038854741}{23551456928348362965022868441716534029963393057883853240393961130449440252950870706637144647824} a^{8} - \frac{1377574172324173708770560366530486008948000726062123914294283007305079582348295581175873141455}{5887864232087090741255717110429133507490848264470963310098490282612360063237717676659286161956} a^{7} - \frac{11315022039413883280089462775381717587031529439320065773986756055264907965387783179969300279507}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{6} + \frac{12601037850635729231879714449466050385660325375126602258312058683737165882025689738685542669227}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{5} + \frac{20577597350426959582405540488888429869288715286473291216603738815799340266537446199875957693777}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{4} + \frac{19838346619259001887678341667196147753079408791275134452481936641713393342933346648344639880577}{47102913856696725930045736883433068059926786115767706480787922260898880505901741413274289295648} a^{3} + \frac{5682904304594532766713087118038528494697915242410799968674054964411968626837610118227548743205}{11775728464174181482511434220858267014981696528941926620196980565224720126475435353318572323912} a^{2} + \frac{5470495621773179822241729419475271327346282989264678329987000417443811399078278174302925884121}{11775728464174181482511434220858267014981696528941926620196980565224720126475435353318572323912} a + \frac{2556261647152201117526588690258671339521145059235765358278187566639235579257257525821574125493}{11775728464174181482511434220858267014981696528941926620196980565224720126475435353318572323912}$, $\frac{1}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{35} + \frac{33316587217551818943935}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{34} - \frac{61283714530710731874933422073396441634591613888122352322612689386501057096197196898093514467672175457681497587294483}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{33} - \frac{24348428956324561347648841031495827958413050389950682795091283542788252108169804371346189722112093098688292783335249}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368} a^{32} + \frac{23151262845955619843373246118277486647117335480732889731333214688594186206705131991162989144514602538697284158052069}{1967827806313075652899893731440458801074297996357702695532955707723326140377414404360740717322711120787797855729858184} a^{31} + \frac{4700947406631796525495316408698492874499646120765520316005687512219149031215876279299249924334925169726831136958271}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{30} + \frac{10087811697111247136417098875159168305383244243869158224475832031338670187300354677948820345202817649106757221197107}{491956951578268913224973432860114700268574499089425673883238926930831535094353601090185179330677780196949463932464546} a^{29} + \frac{99460318325809550226260116839122139779874160134656939684144035749646077722107340572301446874674358524138023631093999}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{28} + \frac{108884141226851760705044450566201017627980399908041592991344170027083284504264502278659887299405995568206623276200685}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368} a^{27} + \frac{5619031375115178322937862582218199937038311269103265764862824663351686456491529948929520096396984829500113109839317}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368} a^{26} + \frac{75883289188061550755888162659189954183068334187701470838268796124450865690962048770244719857828093678484606877301383}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{25} + \frac{23081579015262424108318210360654780454681351945952289952718838331157789900383187760931997939465185888049505520632969}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368} a^{24} + \frac{139019335643759152966192199462735516943131937645268887833975905641221773976025082294389686430009401348265355331154541}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368} a^{23} - \frac{6539703927119161391406688267391532418240401929162329373766552458516124138366550827574223422770804785748491777371426}{245978475789134456612486716430057350134287249544712836941619463465415767547176800545092589665338890098474731966232273} a^{22} + \frac{157366561150421373711807685493194648102570469840914119782324008846445242395192858699197848893514261660389908284401871}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368} a^{21} + \frac{211737928812427873411393514995556456508965538355288744683803227289677388197463204896700038212582575918820768191172059}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368} a^{20} + \frac{34052896428400394461519698802997406140903607840721795739269722445841849425798693732023955043456620879132768585787517}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{19} - \frac{342358288034252485459027760402876006025209090631654041816815341705750514637093406434180024870225356368775647035836631}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{18} - \frac{496679489197338705309555042722829435646015526436497992583247144441025724333911614705669050847701820233340787529325705}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{17} + \frac{96228712583336223882414186886500054833147225855860367862152016340191203096353391031304223223798283972397180401494689}{983913903156537826449946865720229400537148998178851347766477853861663070188707202180370358661355560393898927864929092} a^{16} - \frac{9909681778095128340209982535753647076580108498925616362397865129441090929425425135085876606173092061660354121956049}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368} a^{15} + \frac{538410166330604760557684178081518072343608333289411094482328663603981771267533543253997206467685313654907334633611097}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{14} + \frac{191348511385207837199332698213263329466213097352714845224671308995939229039763834286545300194314976558441179709552065}{1967827806313075652899893731440458801074297996357702695532955707723326140377414404360740717322711120787797855729858184} a^{13} - \frac{128414142010719849513441627923634000375841932059356501272225205604220172551042183740481037099783614043071176945567109}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{12} + \frac{1694548858766871576810538898324689388096261563321313563485370456072917420467364567825449714970080802112225791146130821}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{11} + \frac{967717822872067854796472118073750115686079384304497771516858324782465972329085378795281157189677709887310773848122341}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{10} - \frac{125115143827234607915976924448033725822560575968116683624270159942605970037597327882912948818221419872179320349581631}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368} a^{9} + \frac{286963004507215105725899104651894354098489138476110093153559722799914871727036488803797155868435450654551409480624973}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368} a^{8} - \frac{47681183520086544763334582993057233800658549998401459269534203084941027823692832541386218468839344006529630468159368}{245978475789134456612486716430057350134287249544712836941619463465415767547176800545092589665338890098474731966232273} a^{7} - \frac{1625012818235584858671517523918502635420424850874560660746680749181551891785607109215600569084570333001717985368027541}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{6} - \frac{1751381814142808055265529462482127206011221955524052795450012333863124553843644847688758018188038562424220316439956295}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368} a^{5} - \frac{2657076252685136015128456464163161206594585066310308803869458032835861946044876063052950758348982112242189731949272965}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a^{4} - \frac{959606388981662725916409868541827150523889804111803743460673826339843430541217304674611836582011643995465284306308359}{1967827806313075652899893731440458801074297996357702695532955707723326140377414404360740717322711120787797855729858184} a^{3} - \frac{366476728126191308942006326038994813998818296163404020962663675747401522148021161753854129702214517145821414801941965}{1967827806313075652899893731440458801074297996357702695532955707723326140377414404360740717322711120787797855729858184} a^{2} - \frac{2114654929785861754874795063554801816742446301976429290360108061927942999593493653831309969455131345950005641711776079}{7871311225252302611599574925761835204297191985430810782131822830893304561509657617442962869290844483151191422919432736} a - \frac{1480604672838794884503908762645364642103313966563936175105616177965689438039737295714995547705549044039342711042601351}{3935655612626151305799787462880917602148595992715405391065911415446652280754828808721481434645422241575595711459716368}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_{12}$ (as 36T3):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{12}$
Character table for $C_3\times C_{12}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{13}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.169.1, 3.3.13689.2, 3.3.13689.1, 4.0.140608.2, 6.6.14414517.1, \(\Q(\zeta_{13})^+\), 6.6.2436053373.2, 6.6.2436053373.1, 9.9.2565164201769.1, 12.0.119665832979124960100352.1, 12.0.469804094334435328.1, 12.0.20223525773472118256959488.1, 12.0.20223525773472118256959488.2, 18.18.14456408038335708501176406117.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R ${\href{/LocalNumberField/5.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/7.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/11.12.0.1}{12} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/19.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/31.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/47.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.2.0.1}{2} }^{18}$ ${\href{/LocalNumberField/59.12.0.1}{12} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$2$2.12.18.28$x^{12} - 52 x^{10} + 1100 x^{8} - 12000 x^{6} - 61072 x^{4} + 62144 x^{2} - 62144$$2$$6$$18$$C_{12}$$[3]^{6}$
2.12.18.28$x^{12} - 52 x^{10} + 1100 x^{8} - 12000 x^{6} - 61072 x^{4} + 62144 x^{2} - 62144$$2$$6$$18$$C_{12}$$[3]^{6}$
2.12.18.28$x^{12} - 52 x^{10} + 1100 x^{8} - 12000 x^{6} - 61072 x^{4} + 62144 x^{2} - 62144$$2$$6$$18$$C_{12}$$[3]^{6}$
3Data not computed
13Data not computed