↑

Properties

Label 36.0.77478915440...8125.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $5^{27}\cdot 7^{24}\cdot 13^{24}$
Root discriminant $67.65$
Ramified primes $5, 7, 13$
Class number $52852$ (GRH)
Class group $[2, 26426]$ (GRH)
Galois group $C_3\times C_{12}$ (as 36T3)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![4096, 30720, 246784, 1893376, 14561024, 2431744, 38305280, 3567392, 73074896, -14642248, 136087020, -33283168, 240290549, -67004790, 205249519, -46316204, 151542669, 37935396, 78438432, 24190390, 32849307, 7356788, 8191554, 1731140, 1750974, 342662, 332705, 53598, 51773, 5256, 4101, 296, 297, -8, 20, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 + 20*x^34 - 8*x^33 + 297*x^32 + 296*x^31 + 4101*x^30 + 5256*x^29 + 51773*x^28 + 53598*x^27 + 332705*x^26 + 342662*x^25 + 1750974*x^24 + 1731140*x^23 + 8191554*x^22 + 7356788*x^21 + 32849307*x^20 + 24190390*x^19 + 78438432*x^18 + 37935396*x^17 + 151542669*x^16 - 46316204*x^15 + 205249519*x^14 - 67004790*x^13 + 240290549*x^12 - 33283168*x^11 + 136087020*x^10 - 14642248*x^9 + 73074896*x^8 + 3567392*x^7 + 38305280*x^6 + 2431744*x^5 + 14561024*x^4 + 1893376*x^3 + 246784*x^2 + 30720*x + 4096)
 
gp: K = bnfinit(x^36 + 20*x^34 - 8*x^33 + 297*x^32 + 296*x^31 + 4101*x^30 + 5256*x^29 + 51773*x^28 + 53598*x^27 + 332705*x^26 + 342662*x^25 + 1750974*x^24 + 1731140*x^23 + 8191554*x^22 + 7356788*x^21 + 32849307*x^20 + 24190390*x^19 + 78438432*x^18 + 37935396*x^17 + 151542669*x^16 - 46316204*x^15 + 205249519*x^14 - 67004790*x^13 + 240290549*x^12 - 33283168*x^11 + 136087020*x^10 - 14642248*x^9 + 73074896*x^8 + 3567392*x^7 + 38305280*x^6 + 2431744*x^5 + 14561024*x^4 + 1893376*x^3 + 246784*x^2 + 30720*x + 4096, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} + 20 x^{34} - 8 x^{33} + 297 x^{32} + 296 x^{31} + 4101 x^{30} + 5256 x^{29} + 51773 x^{28} + 53598 x^{27} + 332705 x^{26} + 342662 x^{25} + 1750974 x^{24} + 1731140 x^{23} + 8191554 x^{22} + 7356788 x^{21} + 32849307 x^{20} + 24190390 x^{19} + 78438432 x^{18} + 37935396 x^{17} + 151542669 x^{16} - 46316204 x^{15} + 205249519 x^{14} - 67004790 x^{13} + 240290549 x^{12} - 33283168 x^{11} + 136087020 x^{10} - 14642248 x^{9} + 73074896 x^{8} + 3567392 x^{7} + 38305280 x^{6} + 2431744 x^{5} + 14561024 x^{4} + 1893376 x^{3} + 246784 x^{2} + 30720 x + 4096 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(774789154400244180875705134624385939659291459329426288604736328125=5^{27}\cdot 7^{24}\cdot 13^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $67.65$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 7, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(455=5\cdot 7\cdot 13\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{455}(256,·)$, $\chi_{455}(1,·)$, $\chi_{455}(386,·)$, $\chi_{455}(261,·)$, $\chi_{455}(263,·)$, $\chi_{455}(9,·)$, $\chi_{455}(16,·)$, $\chi_{455}(274,·)$, $\chi_{455}(22,·)$, $\chi_{455}(282,·)$, $\chi_{455}(29,·)$, $\chi_{455}(289,·)$, $\chi_{455}(326,·)$, $\chi_{455}(172,·)$, $\chi_{455}(302,·)$, $\chi_{455}(53,·)$, $\chi_{455}(438,·)$, $\chi_{455}(393,·)$, $\chi_{455}(443,·)$, $\chi_{455}(191,·)$, $\chi_{455}(198,·)$, $\chi_{455}(417,·)$, $\chi_{455}(74,·)$, $\chi_{455}(183,·)$, $\chi_{455}(204,·)$, $\chi_{455}(79,·)$, $\chi_{455}(81,·)$, $\chi_{455}(211,·)$, $\chi_{455}(347,·)$, $\chi_{455}(92,·)$, $\chi_{455}(352,·)$, $\chi_{455}(144,·)$, $\chi_{455}(354,·)$, $\chi_{455}(107,·)$, $\chi_{455}(113,·)$, $\chi_{455}(373,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $\frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4} a^{26} - \frac{1}{4} a^{22} - \frac{1}{4} a^{20} - \frac{1}{4} a^{18} - \frac{1}{4} a^{16} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{4} a^{6} + \frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{8} a^{27} + \frac{1}{8} a^{23} + \frac{1}{8} a^{21} + \frac{1}{8} a^{19} - \frac{1}{4} a^{18} + \frac{1}{8} a^{17} - \frac{1}{4} a^{16} - \frac{1}{4} a^{15} - \frac{1}{4} a^{13} + \frac{3}{8} a^{11} - \frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} + \frac{1}{8} a^{7} - \frac{1}{8} a^{5} + \frac{1}{4} a^{4} + \frac{1}{8} a^{3}$, $\frac{1}{48} a^{28} - \frac{1}{24} a^{27} + \frac{3}{16} a^{24} - \frac{5}{24} a^{23} + \frac{1}{48} a^{22} - \frac{5}{24} a^{21} - \frac{7}{48} a^{20} - \frac{1}{12} a^{19} + \frac{1}{48} a^{18} - \frac{1}{12} a^{17} - \frac{5}{24} a^{16} + \frac{1}{6} a^{15} - \frac{1}{8} a^{14} - \frac{1}{6} a^{13} - \frac{13}{48} a^{12} + \frac{1}{6} a^{11} - \frac{1}{12} a^{9} - \frac{11}{48} a^{8} + \frac{3}{8} a^{7} - \frac{5}{48} a^{6} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{11}{48} a^{4} - \frac{5}{24} a^{3} + \frac{1}{6} a^{2} + \frac{1}{3} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{96} a^{29} - \frac{1}{24} a^{27} + \frac{3}{32} a^{25} + \frac{1}{12} a^{24} - \frac{19}{96} a^{23} + \frac{1}{6} a^{22} + \frac{7}{32} a^{21} + \frac{1}{16} a^{20} - \frac{7}{96} a^{19} - \frac{1}{48} a^{18} + \frac{1}{16} a^{17} + \frac{1}{8} a^{16} - \frac{7}{48} a^{15} + \frac{1}{24} a^{14} - \frac{5}{96} a^{13} - \frac{7}{16} a^{12} - \frac{1}{12} a^{11} + \frac{11}{24} a^{10} - \frac{19}{96} a^{9} + \frac{5}{24} a^{8} + \frac{7}{96} a^{7} - \frac{23}{48} a^{6} - \frac{35}{96} a^{5} - \frac{1}{12} a^{4} + \frac{3}{8} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{2} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{192} a^{30} - \frac{1}{24} a^{27} + \frac{3}{64} a^{26} + \frac{1}{24} a^{25} + \frac{17}{192} a^{24} - \frac{1}{8} a^{23} - \frac{23}{192} a^{22} - \frac{17}{96} a^{21} + \frac{13}{192} a^{20} - \frac{3}{32} a^{19} - \frac{19}{96} a^{18} + \frac{11}{48} a^{17} - \frac{1}{32} a^{16} + \frac{3}{16} a^{15} + \frac{19}{192} a^{14} - \frac{13}{96} a^{13} + \frac{3}{16} a^{12} - \frac{5}{48} a^{11} + \frac{29}{192} a^{10} + \frac{1}{48} a^{9} + \frac{11}{192} a^{8} - \frac{35}{96} a^{7} + \frac{89}{192} a^{6} + \frac{11}{24} a^{5} - \frac{1}{24} a^{4} + \frac{11}{24} a^{3} + \frac{5}{12} a^{2} - \frac{1}{2} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{384} a^{31} - \frac{7}{384} a^{27} + \frac{1}{48} a^{26} + \frac{17}{384} a^{25} + \frac{1}{8} a^{24} - \frac{7}{384} a^{23} + \frac{35}{192} a^{22} - \frac{67}{384} a^{21} - \frac{37}{192} a^{20} - \frac{35}{192} a^{19} + \frac{13}{96} a^{18} + \frac{29}{192} a^{17} + \frac{13}{96} a^{16} + \frac{83}{384} a^{15} - \frac{37}{192} a^{14} - \frac{7}{96} a^{13} - \frac{31}{96} a^{12} + \frac{31}{128} a^{11} - \frac{23}{96} a^{10} - \frac{39}{128} a^{9} + \frac{17}{192} a^{8} - \frac{55}{384} a^{7} + \frac{1}{8} a^{6} + \frac{23}{48} a^{5} + \frac{1}{6} a^{2} - \frac{1}{2} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{417024} a^{32} - \frac{83}{208512} a^{31} + \frac{5}{104256} a^{30} + \frac{127}{52128} a^{29} + \frac{1625}{417024} a^{28} - \frac{1279}{23168} a^{27} - \frac{5459}{46336} a^{26} + \frac{11137}{208512} a^{25} + \frac{36301}{417024} a^{24} - \frac{3805}{17376} a^{23} - \frac{67795}{417024} a^{22} + \frac{3769}{17376} a^{21} + \frac{3271}{69504} a^{20} + \frac{2519}{17376} a^{19} - \frac{7939}{208512} a^{18} - \frac{8101}{52128} a^{17} - \frac{58301}{417024} a^{16} + \frac{2233}{104256} a^{15} + \frac{863}{104256} a^{14} + \frac{25171}{104256} a^{13} + \frac{17029}{417024} a^{12} + \frac{31267}{208512} a^{11} + \frac{202711}{417024} a^{10} + \frac{2165}{52128} a^{9} + \frac{8401}{46336} a^{8} - \frac{78475}{208512} a^{7} + \frac{1645}{34752} a^{6} - \frac{459}{5792} a^{5} + \frac{619}{1629} a^{4} + \frac{79}{181} a^{3} + \frac{2539}{6516} a^{2} + \frac{697}{3258} a + \frac{727}{1629}$, $\frac{1}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{33} - \frac{247669687269717022356464033246656531558046894701}{230701747182972591510994843339426134698573777824282368} a^{32} - \frac{56689135664455973383082176552340444802345660376349}{86513155193614721816623066252284800511965166684105888} a^{31} - \frac{928761327261438833836740124674961993342675855129}{43256577596807360908311533126142400255982583342052944} a^{30} - \frac{3709776068701178096076008514438969404574963955468487}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{29} + \frac{10739025073078606643930489876422700189288631568177}{1643955443109068348059345677003036589301000792097024} a^{28} - \frac{28713517503499526618472506305130496118123123466368037}{461403494365945183021989686678852269397147555648564736} a^{27} - \frac{33367358778525362835508275403833027570846029353922159}{692105241548917774532984530018278404095721333472847104} a^{26} - \frac{19172710867895406214831765440028866893711694287414463}{153801164788648394340663228892950756465715851882854912} a^{25} + \frac{4497050650565973909040422250813435860831614138930705}{173026310387229443633246132504569601023930333368211776} a^{24} + \frac{188257768259114415685681935142748826757680711332735705}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{23} - \frac{3559163257523558992525420156975780355577935800479647}{43256577596807360908311533126142400255982583342052944} a^{22} + \frac{3590602329128816664898176963946631130064252262446851}{76900582394324197170331614446475378232857925941427456} a^{21} - \frac{2617877568922214277307270500148277005610909627622543}{19225145598581049292582903611618844558214481485356864} a^{20} - \frac{10679053428193611859837773996486193079390443236319615}{692105241548917774532984530018278404095721333472847104} a^{19} + \frac{37444781953845008611281130141739451552118141916044465}{173026310387229443633246132504569601023930333368211776} a^{18} + \frac{320881239609560962417044596300662841968289213386738139}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{17} - \frac{28746813659272443954177797567394890401892980080660037}{346052620774458887266492265009139202047860666736423552} a^{16} + \frac{290454643224103078376519444505645155474900680032359}{1201571599911315580786431475726177784888405092834804} a^{15} + \frac{6033502722682648814131887899078436317955738834032699}{38450291197162098585165807223237689116428962970713728} a^{14} - \frac{8907075451245048967961613456725738007961645095333019}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{13} + \frac{15411614688334668899547421549932841746941139194132431}{76900582394324197170331614446475378232857925941427456} a^{12} + \frac{527882406012122482026055851531055412193419948738475}{153801164788648394340663228892950756465715851882854912} a^{11} + \frac{77598789954168301959466129305688185243506540364822013}{173026310387229443633246132504569601023930333368211776} a^{10} - \frac{306738901278073212451715753550480214217502519184371011}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{9} + \frac{222808619916812364831283043364874109516898584291996633}{692105241548917774532984530018278404095721333472847104} a^{8} - \frac{85597436151581027340828193226556580210805611582564015}{173026310387229443633246132504569601023930333368211776} a^{7} - \frac{6133501019199364982562888265054659642887182646595941}{28837718397871573938874355417428266837321722228035296} a^{6} - \frac{2678657198174847308537214086649685796210181074239327}{10814144399201840227077883281535600063995645835513236} a^{5} - \frac{1272884471793419722653205176204548996600463623669519}{5407072199600920113538941640767800031997822917756618} a^{4} - \frac{10551396224078455994513404264849713435076599296378525}{21628288798403680454155766563071200127991291671026472} a^{3} - \frac{1641231237444775164713059153040371861524229010039333}{3604714799733946742359294427178533354665215278504412} a^{2} + \frac{225986379411924593586150802194496356470965216467267}{600785799955657790393215737863088892444202546417402} a - \frac{776401451469666440219996655681601828282707750430}{2703536099800460056769470820383900015998911458878309}$, $\frac{1}{2768420966195671098131938120073113616382885333891388416} a^{34} - \frac{229768780574232950586408639016436646444783180515}{692105241548917774532984530018278404095721333472847104} a^{32} - \frac{186115212706750754850354139675799514980184480404345}{173026310387229443633246132504569601023930333368211776} a^{31} - \frac{18381502445938636046912691121314931715582654441303}{2768420966195671098131938120073113616382885333891388416} a^{30} + \frac{44164807469717464381040499942886677198483325880797}{346052620774458887266492265009139202047860666736423552} a^{29} + \frac{7849927305047302625182892138450270393829070357767479}{922806988731890366043979373357704538794295111297129472} a^{28} - \frac{1730231789692642453758357051721478813521584079539199}{43256577596807360908311533126142400255982583342052944} a^{27} + \frac{47073979441429681870421281302833485994580631440310687}{922806988731890366043979373357704538794295111297129472} a^{26} - \frac{69701667157525633978849105878759570493292760831945589}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{25} + \frac{5506380517956014779772150080254552024043851069761345}{2768420966195671098131938120073113616382885333891388416} a^{24} + \frac{250297646062906659914224368236432536558438471274832031}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{23} + \frac{28212724731000242060322490667039836024193076687235421}{461403494365945183021989686678852269397147555648564736} a^{22} + \frac{9301325382908408623095146843565462538805094518002559}{76900582394324197170331614446475378232857925941427456} a^{21} + \frac{47863458335563701450917905673267642901271436869516361}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{20} + \frac{21632595461818887623695019735829849226731984047502809}{692105241548917774532984530018278404095721333472847104} a^{19} - \frac{590320842302886833580851584682377055093377845559664773}{2768420966195671098131938120073113616382885333891388416} a^{18} - \frac{175887370180482367587687755667939238063084273279718477}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{17} + \frac{5111298230014816704332189166091719970119122845049603}{28837718397871573938874355417428266837321722228035296} a^{16} + \frac{54249068213546495406893582107896025687333806372714769}{230701747182972591510994843339426134698573777824282368} a^{15} + \frac{168127065951896762960130535427588401539643969188405341}{2768420966195671098131938120073113616382885333891388416} a^{14} + \frac{7450612130931603651159682755982646981030151666541845}{76900582394324197170331614446475378232857925941427456} a^{13} - \frac{18960692190178589025280608957720476418189332109155273}{307602329577296788681326457785901512931431703765709824} a^{12} - \frac{217587256817253438863164267251624817616407757045712623}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{11} + \frac{1359683768980912703542329471539665871549465372415121525}{2768420966195671098131938120073113616382885333891388416} a^{10} + \frac{40651618309746879809771940167480338878150193615336553}{346052620774458887266492265009139202047860666736423552} a^{9} + \frac{169456669034354759491616064745016624349268783703340799}{692105241548917774532984530018278404095721333472847104} a^{8} - \frac{1856262257815519361488863694629483059616713981736805}{19225145598581049292582903611618844558214481485356864} a^{7} + \frac{47601983470815318403915775665765801641843835550866225}{173026310387229443633246132504569601023930333368211776} a^{6} + \frac{5965530701443749941733439229088269600545656677313437}{86513155193614721816623066252284800511965166684105888} a^{5} - \frac{18583409508047608013210278187341233827843628899728595}{43256577596807360908311533126142400255982583342052944} a^{4} - \frac{1618273120349197636381644352636809146506452933281569}{3604714799733946742359294427178533354665215278504412} a^{3} + \frac{284309893338346693994796460160303931773113184527465}{600785799955657790393215737863088892444202546417402} a^{2} - \frac{383953888720507164617150074187394090640324499001470}{2703536099800460056769470820383900015998911458878309} a - \frac{441943971989603861757328187018068890267895586099122}{901178699933486685589823606794633338666303819626103}$, $\frac{1}{5536841932391342196263876240146227232765770667782776832} a^{35} + \frac{106915686777004020078620943610400375928921715129}{230701747182972591510994843339426134698573777824282368} a^{32} + \frac{5386287718247764558835188159856287110605360855933017}{5536841932391342196263876240146227232765770667782776832} a^{31} + \frac{284839582356177483078988854678358843045388155231453}{692105241548917774532984530018278404095721333472847104} a^{30} - \frac{849516337599132150072083743751169112150891640309495}{615204659154593577362652915571803025862863407531419648} a^{29} - \frac{5291025841329453976945136899099420375652691607752967}{692105241548917774532984530018278404095721333472847104} a^{28} - \frac{3448115974015752291821125795404418093796587951795951}{615204659154593577362652915571803025862863407531419648} a^{27} - \frac{47519755660573180085909310975614694640001217265883873}{2768420966195671098131938120073113616382885333891388416} a^{26} - \frac{15798278333064242077289050319586222661783918590959009}{1845613977463780732087958746715409077588590222594258944} a^{25} - \frac{25461095017585321895536858001180695224250355322796705}{307602329577296788681326457785901512931431703765709824} a^{24} - \frac{461200893325076314413566315792868247764781957693711531}{2768420966195671098131938120073113616382885333891388416} a^{23} - \frac{39533606228965925983063179335646118486914099819987565}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{22} + \frac{505381698703019354610421526178531146652902997750337109}{2768420966195671098131938120073113616382885333891388416} a^{21} - \frac{27762121433419781756252642554835762729109028219776127}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{20} - \frac{1019985545315781111989411190011880118840269246116011853}{5536841932391342196263876240146227232765770667782776832} a^{19} + \frac{252735952629406296223104774867173279540712578436804307}{2768420966195671098131938120073113616382885333891388416} a^{18} - \frac{69053758684900752988709698878446306892577404302446837}{461403494365945183021989686678852269397147555648564736} a^{17} - \frac{7136370897016048585075542716430512447452640813243023}{461403494365945183021989686678852269397147555648564736} a^{16} + \frac{535472509973394125852969745881672519786500782479329549}{5536841932391342196263876240146227232765770667782776832} a^{15} - \frac{194482938587753641608045863600241545988797538792121607}{1384210483097835549065969060036556808191442666945694208} a^{14} + \frac{7242465352310171406919797683868566656953870647234873}{1845613977463780732087958746715409077588590222594258944} a^{13} + \frac{744234116097409999018904536272816865886366287569129773}{2768420966195671098131938120073113616382885333891388416} a^{12} + \frac{416099897850143129117118994472731687298837113357101065}{5536841932391342196263876240146227232765770667782776832} a^{11} - \frac{124773057984266753056172109114708442067422206361378957}{692105241548917774532984530018278404095721333472847104} a^{10} + \frac{258595971757673056228666852082346447633246385797756313}{692105241548917774532984530018278404095721333472847104} a^{9} + \frac{324335989942301239705885466557047082237154338534497007}{692105241548917774532984530018278404095721333472847104} a^{8} - \frac{74173230645910485117508856553119635266818388929506745}{173026310387229443633246132504569601023930333368211776} a^{7} + \frac{60242641638293762340388525227632177397829433736009431}{173026310387229443633246132504569601023930333368211776} a^{6} + \frac{8596610769404266284264261775386746549918659813161979}{28837718397871573938874355417428266837321722228035296} a^{5} + \frac{5614085496216355827913165679235454745929227788106995}{43256577596807360908311533126142400255982583342052944} a^{4} - \frac{5856341400609822843975352271240057743001359016678767}{21628288798403680454155766563071200127991291671026472} a^{3} + \frac{408167195427213956498985861400280603817914251913123}{3604714799733946742359294427178533354665215278504412} a^{2} - \frac{690115095423671138026074428622646088690164499485033}{2703536099800460056769470820383900015998911458878309} a - \frac{66728150686572223749440739979597813150356796850428}{2703536099800460056769470820383900015998911458878309}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{2}\times C_{26426}$, which has order $52852$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{4512867828407830479474382366880302593500824881}{3398920768809909267196977434098359258910847555422208} a^{35} - \frac{29490387607139828438659173213970551506249933}{106216274025309664599905544815573726840963986106944} a^{34} + \frac{11067780323429781724422097985816926222207555685}{424865096101238658399622179262294907363855944427776} a^{33} - \frac{1706996680324024641287298795461636954218521177}{106216274025309664599905544815573726840963986106944} a^{32} + \frac{1313514205076188378462665977051686190549672506857}{3398920768809909267196977434098359258910847555422208} a^{31} + \frac{134515460863001706620815312524930186006400265673}{424865096101238658399622179262294907363855944427776} a^{30} + \frac{17714666059124438870906353533605971733404356339753}{3398920768809909267196977434098359258910847555422208} a^{29} + \frac{1215215646041684642698228909588163154835069958723}{212432548050619329199811089631147453681927972213888} a^{28} + \frac{221741380293250599005298295797947720840689438576401}{3398920768809909267196977434098359258910847555422208} a^{27} + \frac{92692386175405411064906589919715205080208482754019}{1699460384404954633598488717049179629455423777711104} a^{26} + \frac{1363661836388048739136943997832755826900077622182101}{3398920768809909267196977434098359258910847555422208} a^{25} + \frac{578868269859028300242145083117397321514227245619827}{1699460384404954633598488717049179629455423777711104} a^{24} + \frac{3511590835577220396689592529511407380600025488874897}{1699460384404954633598488717049179629455423777711104} a^{23} + \frac{1419394502761047988253533402238865286365902314191609}{849730192202477316799244358524589814727711888855552} a^{22} + \frac{16212756231412599432713163149756784025102647953923701}{1699460384404954633598488717049179629455423777711104} a^{21} + \frac{5760814564364634196078748278822157012494232891220045}{849730192202477316799244358524589814727711888855552} a^{20} + \frac{127719200073208603089885393869919207890827421057710579}{3398920768809909267196977434098359258910847555422208} a^{19} + \frac{34027331020194455808121044315517006648166163910784427}{1699460384404954633598488717049179629455423777711104} a^{18} + \frac{69180984401689777729908465539807712410199637103428311}{849730192202477316799244358524589814727711888855552} a^{17} + \frac{16382047706786571163295215265247888683171554768196709}{849730192202477316799244358524589814727711888855552} a^{16} + \frac{519336427244620977616093440414681186619339987570919533}{3398920768809909267196977434098359258910847555422208} a^{15} - \frac{99011089367570628187948421656278865257596716798667135}{849730192202477316799244358524589814727711888855552} a^{14} + \frac{716309930712735355386484016744496122936297028863700387}{3398920768809909267196977434098359258910847555422208} a^{13} - \frac{188367694017286029624228518927273303031143918293978319}{1699460384404954633598488717049179629455423777711104} a^{12} + \frac{768319659052074080397472624268240565267488747373819569}{3398920768809909267196977434098359258910847555422208} a^{11} - \frac{6519694884378342928272170881296193450489424053324023}{106216274025309664599905544815573726840963986106944} a^{10} + \frac{6717077042599394890221934196226621817836943662990409}{106216274025309664599905544815573726840963986106944} a^{9} - \frac{614711510542285083532713464953918603586400942564179}{26554068506327416149976386203893431710240996526736} a^{8} + \frac{1576304098706625497309115523846318576108485166367693}{53108137012654832299952772407786863420481993053472} a^{7} - \frac{368039410383655539906809967488260499122654171081071}{106216274025309664599905544815573726840963986106944} a^{6} + \frac{156975725445672349423893230082403113291058127666251}{13277034253163708074988193101946715855120498263368} a^{5} - \frac{26612926297854225385935601213643963737210277973671}{6638517126581854037494096550973357927560249131684} a^{4} - \frac{1728910701147440551523175223938681625445995604963}{3319258563290927018747048275486678963780124565842} a^{3} - \frac{114603955491184910851790874994270354096604513446}{1659629281645463509373524137743339481890062282921} a^{2} - \frac{25517923851115739162175653521770965567643039875911}{3319258563290927018747048275486678963780124565842} a - \frac{2646870279595174499266926896825921499233205196}{1659629281645463509373524137743339481890062282921} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 101496132655168.33 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_{12}$ (as 36T3):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{12}$
Character table for $C_3\times C_{12}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 3.3.169.1, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 3.3.8281.1, 3.3.8281.2, \(\Q(\zeta_{5})\), 6.6.3570125.1, 6.6.300125.1, 6.6.8571870125.2, 6.6.8571870125.1, 9.9.567869252041.1, 12.0.1593224064453125.1, 12.0.11259376953125.1, 12.0.9184619679983439453125.2, 12.0.9184619679983439453125.1, 18.18.629834936354696841143908203125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/3.12.0.1}{12} }^{3}$ R R ${\href{/LocalNumberField/11.3.0.1}{3} }^{12}$ R ${\href{/LocalNumberField/17.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/23.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/31.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/37.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/43.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/59.6.0.1}{6} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$5$5.12.9.2$x^{12} - 10 x^{8} + 25 x^{4} - 500$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
5.12.9.2$x^{12} - 10 x^{8} + 25 x^{4} - 500$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
5.12.9.2$x^{12} - 10 x^{8} + 25 x^{4} - 500$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
7Data not computed
$13$13.12.8.1$x^{12} - 39 x^{9} - 338 x^{6} + 10985 x^{3} + 228488$$3$$4$$8$$C_{12}$$[\ ]_{3}^{4}$
13.12.8.1$x^{12} - 39 x^{9} - 338 x^{6} + 10985 x^{3} + 228488$$3$$4$$8$$C_{12}$$[\ ]_{3}^{4}$
13.12.8.1$x^{12} - 39 x^{9} - 338 x^{6} + 10985 x^{3} + 228488$$3$$4$$8$$C_{12}$$[\ ]_{3}^{4}$