↑

Properties

Label 36.0.70610662448...1072.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $2^{99}\cdot 3^{54}\cdot 7^{24}$
Root discriminant $127.91$
Ramified primes $2, 3, 7$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_3\times C_{12}$ (as 36T3)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![66191511889, -219262177512, 443927747412, -504014501660, 430616836146, -234723540492, 150054670958, -131526335532, 143740618215, -120007128040, 81557728002, -53997803892, 41712329035, -33027263592, 23994963972, -15541129312, 9744782631, -6146155488, 3793817988, -2187042156, 1185262668, -610491148, 302605242, -142650108, 63374392, -26143512, 10049106, -3564384, 1163349, -342108, 90754, -21156, 4383, -760, 114, -12, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 12*x^35 + 114*x^34 - 760*x^33 + 4383*x^32 - 21156*x^31 + 90754*x^30 - 342108*x^29 + 1163349*x^28 - 3564384*x^27 + 10049106*x^26 - 26143512*x^25 + 63374392*x^24 - 142650108*x^23 + 302605242*x^22 - 610491148*x^21 + 1185262668*x^20 - 2187042156*x^19 + 3793817988*x^18 - 6146155488*x^17 + 9744782631*x^16 - 15541129312*x^15 + 23994963972*x^14 - 33027263592*x^13 + 41712329035*x^12 - 53997803892*x^11 + 81557728002*x^10 - 120007128040*x^9 + 143740618215*x^8 - 131526335532*x^7 + 150054670958*x^6 - 234723540492*x^5 + 430616836146*x^4 - 504014501660*x^3 + 443927747412*x^2 - 219262177512*x + 66191511889)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 12*x^35 + 114*x^34 - 760*x^33 + 4383*x^32 - 21156*x^31 + 90754*x^30 - 342108*x^29 + 1163349*x^28 - 3564384*x^27 + 10049106*x^26 - 26143512*x^25 + 63374392*x^24 - 142650108*x^23 + 302605242*x^22 - 610491148*x^21 + 1185262668*x^20 - 2187042156*x^19 + 3793817988*x^18 - 6146155488*x^17 + 9744782631*x^16 - 15541129312*x^15 + 23994963972*x^14 - 33027263592*x^13 + 41712329035*x^12 - 53997803892*x^11 + 81557728002*x^10 - 120007128040*x^9 + 143740618215*x^8 - 131526335532*x^7 + 150054670958*x^6 - 234723540492*x^5 + 430616836146*x^4 - 504014501660*x^3 + 443927747412*x^2 - 219262177512*x + 66191511889, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 12 x^{35} + 114 x^{34} - 760 x^{33} + 4383 x^{32} - 21156 x^{31} + 90754 x^{30} - 342108 x^{29} + 1163349 x^{28} - 3564384 x^{27} + 10049106 x^{26} - 26143512 x^{25} + 63374392 x^{24} - 142650108 x^{23} + 302605242 x^{22} - 610491148 x^{21} + 1185262668 x^{20} - 2187042156 x^{19} + 3793817988 x^{18} - 6146155488 x^{17} + 9744782631 x^{16} - 15541129312 x^{15} + 23994963972 x^{14} - 33027263592 x^{13} + 41712329035 x^{12} - 53997803892 x^{11} + 81557728002 x^{10} - 120007128040 x^{9} + 143740618215 x^{8} - 131526335532 x^{7} + 150054670958 x^{6} - 234723540492 x^{5} + 430616836146 x^{4} - 504014501660 x^{3} + 443927747412 x^{2} - 219262177512 x + 66191511889 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(7061066244864387270901673616087860193289967390430413386582332193634959491072=2^{99}\cdot 3^{54}\cdot 7^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $127.91$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 7$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1008=2^{4}\cdot 3^{2}\cdot 7\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1008}(1,·)$, $\chi_{1008}(389,·)$, $\chi_{1008}(193,·)$, $\chi_{1008}(653,·)$, $\chi_{1008}(529,·)$, $\chi_{1008}(149,·)$, $\chi_{1008}(793,·)$, $\chi_{1008}(25,·)$, $\chi_{1008}(29,·)$, $\chi_{1008}(289,·)$, $\chi_{1008}(169,·)$, $\chi_{1008}(557,·)$, $\chi_{1008}(989,·)$, $\chi_{1008}(821,·)$, $\chi_{1008}(841,·)$, $\chi_{1008}(697,·)$, $\chi_{1008}(317,·)$, $\chi_{1008}(53,·)$, $\chi_{1008}(961,·)$, $\chi_{1008}(197,·)$, $\chi_{1008}(673,·)$, $\chi_{1008}(457,·)$, $\chi_{1008}(337,·)$, $\chi_{1008}(725,·)$, $\chi_{1008}(121,·)$, $\chi_{1008}(221,·)$, $\chi_{1008}(869,·)$, $\chi_{1008}(865,·)$, $\chi_{1008}(485,·)$, $\chi_{1008}(361,·)$, $\chi_{1008}(365,·)$, $\chi_{1008}(701,·)$, $\chi_{1008}(625,·)$, $\chi_{1008}(505,·)$, $\chi_{1008}(893,·)$, $\chi_{1008}(533,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{6} a^{18} + \frac{1}{6} a^{15} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{6} a^{6} - \frac{1}{6} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{6} a^{19} + \frac{1}{6} a^{16} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{6} a^{7} - \frac{1}{6} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{3} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{6} a^{20} + \frac{1}{6} a^{17} - \frac{1}{2} a^{9} + \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{6} a^{5} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{6} a^{21} - \frac{1}{6} a^{15} - \frac{1}{2} a^{11} + \frac{1}{3} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{6} a^{3} - \frac{1}{2} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{6} a^{22} - \frac{1}{6} a^{16} + \frac{1}{3} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{6} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} + \frac{1}{3} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{6} a^{23} - \frac{1}{6} a^{17} + \frac{1}{3} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{6} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{12} a^{24} - \frac{1}{4} a^{16} - \frac{1}{6} a^{15} + \frac{1}{6} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{8} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{6} a^{3} - \frac{5}{12}$, $\frac{1}{12} a^{25} - \frac{1}{4} a^{17} - \frac{1}{6} a^{16} + \frac{1}{6} a^{13} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} + \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{6} a^{4} - \frac{5}{12} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{12} a^{26} - \frac{1}{12} a^{18} - \frac{1}{6} a^{17} + \frac{1}{6} a^{15} + \frac{1}{6} a^{14} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} + \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{6} a^{5} - \frac{1}{6} a^{3} + \frac{1}{12} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{12} a^{27} - \frac{1}{12} a^{19} + \frac{1}{6} a^{16} - \frac{1}{6} a^{15} + \frac{1}{3} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} + \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{6} a^{4} + \frac{5}{12} a^{3} - \frac{1}{3} a + \frac{1}{6}$, $\frac{1}{12} a^{28} - \frac{1}{12} a^{20} + \frac{1}{6} a^{17} - \frac{1}{6} a^{16} + \frac{1}{3} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} + \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{6} a^{5} + \frac{5}{12} a^{4} - \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{6} a$, $\frac{1}{852} a^{29} - \frac{7}{284} a^{28} + \frac{13}{426} a^{27} + \frac{1}{284} a^{26} + \frac{1}{142} a^{25} - \frac{11}{852} a^{24} - \frac{2}{213} a^{23} + \frac{17}{213} a^{22} + \frac{19}{852} a^{21} + \frac{65}{852} a^{20} - \frac{2}{213} a^{19} + \frac{47}{852} a^{18} + \frac{85}{426} a^{17} + \frac{209}{852} a^{16} + \frac{101}{426} a^{15} - \frac{13}{71} a^{14} + \frac{29}{142} a^{13} + \frac{19}{426} a^{12} - \frac{3}{71} a^{11} + \frac{58}{213} a^{10} - \frac{83}{213} a^{9} + \frac{19}{71} a^{8} - \frac{131}{426} a^{7} - \frac{3}{142} a^{6} - \frac{25}{852} a^{5} + \frac{121}{284} a^{4} - \frac{137}{426} a^{3} + \frac{49}{284} a^{2} - \frac{23}{426} a + \frac{11}{284}$, $\frac{1}{14484} a^{30} + \frac{7}{14484} a^{29} + \frac{361}{14484} a^{28} + \frac{589}{14484} a^{27} + \frac{445}{14484} a^{26} + \frac{5}{4828} a^{25} + \frac{21}{1207} a^{24} + \frac{32}{3621} a^{23} - \frac{775}{14484} a^{22} - \frac{823}{14484} a^{21} - \frac{247}{14484} a^{20} + \frac{817}{14484} a^{19} + \frac{421}{14484} a^{18} - \frac{3409}{14484} a^{17} + \frac{185}{1207} a^{16} - \frac{826}{3621} a^{15} - \frac{658}{3621} a^{14} - \frac{223}{2414} a^{13} + \frac{541}{3621} a^{12} + \frac{161}{3621} a^{11} + \frac{2443}{7242} a^{10} + \frac{928}{3621} a^{9} + \frac{1925}{7242} a^{8} - \frac{1831}{7242} a^{7} - \frac{7061}{14484} a^{6} - \frac{1189}{14484} a^{5} - \frac{2251}{14484} a^{4} - \frac{167}{852} a^{3} + \frac{1475}{4828} a^{2} - \frac{1397}{14484} a - \frac{491}{1207}$, $\frac{1}{14484} a^{31} + \frac{1}{2414} a^{29} - \frac{5}{213} a^{28} + \frac{109}{3621} a^{27} - \frac{397}{14484} a^{26} - \frac{241}{7242} a^{25} + \frac{523}{14484} a^{24} + \frac{259}{4828} a^{23} + \frac{173}{3621} a^{22} - \frac{25}{1207} a^{21} - \frac{223}{7242} a^{20} - \frac{109}{3621} a^{19} - \frac{73}{4828} a^{18} + \frac{152}{1207} a^{17} + \frac{485}{14484} a^{16} - \frac{673}{3621} a^{15} - \frac{89}{3621} a^{14} - \frac{515}{2414} a^{13} + \frac{211}{7242} a^{12} - \frac{515}{2414} a^{11} - \frac{47}{7242} a^{10} + \frac{68}{213} a^{9} + \frac{1459}{3621} a^{8} - \frac{881}{4828} a^{7} - \frac{148}{1207} a^{6} + \frac{2033}{7242} a^{5} + \frac{407}{7242} a^{4} - \frac{443}{1207} a^{3} + \frac{367}{4828} a^{2} + \frac{8}{51} a - \frac{481}{4828}$, $\frac{1}{1839468} a^{32} - \frac{35}{1839468} a^{31} - \frac{11}{459867} a^{30} - \frac{67}{1839468} a^{29} + \frac{10415}{306578} a^{28} - \frac{15820}{459867} a^{27} + \frac{60047}{1839468} a^{26} - \frac{2135}{108204} a^{25} - \frac{65845}{1839468} a^{24} - \frac{32501}{613156} a^{23} + \frac{18322}{459867} a^{22} + \frac{2829}{36068} a^{21} + \frac{4559}{306578} a^{20} + \frac{9685}{459867} a^{19} - \frac{113629}{1839468} a^{18} + \frac{28989}{613156} a^{17} + \frac{19301}{919734} a^{16} + \frac{56755}{919734} a^{15} + \frac{46549}{919734} a^{14} + \frac{114503}{459867} a^{13} - \frac{96625}{459867} a^{12} - \frac{180446}{459867} a^{11} - \frac{93985}{919734} a^{10} + \frac{36166}{459867} a^{9} + \frac{252845}{613156} a^{8} - \frac{173747}{1839468} a^{7} + \frac{453197}{919734} a^{6} + \frac{235273}{613156} a^{5} - \frac{5813}{18034} a^{4} - \frac{343651}{919734} a^{3} - \frac{800119}{1839468} a^{2} - \frac{435671}{1839468} a + \frac{244}{3621}$, $\frac{1}{1839468} a^{33} + \frac{1}{1839468} a^{31} + \frac{11}{459867} a^{30} - \frac{11}{36068} a^{29} - \frac{195}{18034} a^{28} + \frac{26825}{919734} a^{27} + \frac{63449}{1839468} a^{26} + \frac{49781}{1839468} a^{25} + \frac{11}{1207} a^{24} + \frac{30755}{1839468} a^{23} - \frac{28795}{919734} a^{22} - \frac{6633}{613156} a^{21} + \frac{608}{27051} a^{20} - \frac{20680}{459867} a^{19} - \frac{7675}{613156} a^{18} + \frac{146573}{919734} a^{17} - \frac{93214}{459867} a^{16} - \frac{100859}{459867} a^{15} + \frac{9313}{459867} a^{14} - \frac{11869}{54102} a^{13} - \frac{149929}{919734} a^{12} + \frac{155863}{459867} a^{11} - \frac{78973}{919734} a^{10} - \frac{723043}{1839468} a^{9} - \frac{225235}{919734} a^{8} - \frac{28705}{613156} a^{7} - \frac{293227}{919734} a^{6} - \frac{7229}{108204} a^{5} - \frac{20467}{459867} a^{4} + \frac{485}{306578} a^{3} + \frac{558709}{1839468} a^{2} - \frac{2069}{27051} a + \frac{208}{3621}$, $\frac{1}{38355930959471006906274175192624524688678599712190832927867242092521514543583911212} a^{34} - \frac{2500166873659129727697140589825308347514924902560357941393061769576753246990}{9588982739867751726568543798156131172169649928047708231966810523130378635895977803} a^{33} - \frac{212616449132134081974411712337797741648472338139655035397524520780086165155}{19177965479735503453137087596312262344339299856095416463933621046260757271791955606} a^{32} - \frac{638475757814541420147848938609773946408610660903963429094678081371729594845777}{19177965479735503453137087596312262344339299856095416463933621046260757271791955606} a^{31} - \frac{1008064225634245931476129124513933068980283715195671072784096825727104242095841}{38355930959471006906274175192624524688678599712190832927867242092521514543583911212} a^{30} - \frac{7095781123051289073929317841412935250894280112579921060055491211986183066975855}{38355930959471006906274175192624524688678599712190832927867242092521514543583911212} a^{29} + \frac{205112513219137138581250894315675813417727269154809156377477352266839539455194069}{38355930959471006906274175192624524688678599712190832927867242092521514543583911212} a^{28} - \frac{2735994353663765564755692950158495938283609095615411856338443704751136889701689}{540224379710859252201044721022880629418008446650575111660102001303119923149069172} a^{27} + \frac{78819697302638868424361747141274720344032936010054252909418336580334523711936962}{3196327579955917242189514599385377057389883309349236077322270174376792878631992601} a^{26} - \frac{318205224282139176008329641254197837989920867051095708409394635343497662419826433}{19177965479735503453137087596312262344339299856095416463933621046260757271791955606} a^{25} + \frac{576900755658480877636738099274162290226398779218235436306510111696416042491986945}{19177965479735503453137087596312262344339299856095416463933621046260757271791955606} a^{24} + \frac{1819613932904986979180952861802275079201028238772743557470089636866787054003763}{75503801101320879736760187387056150961965747464942584503675673410475422329889589} a^{23} + \frac{1355297073789138242264725911246501206580851279798102305351811017978412255949027911}{38355930959471006906274175192624524688678599712190832927867242092521514543583911212} a^{22} + \frac{1571296326207545623506570910667435370386275810883468045353605466346540118710646163}{38355930959471006906274175192624524688678599712190832927867242092521514543583911212} a^{21} - \frac{372178579133583424422807559202456243328788002682008155041553694774125964082649691}{12785310319823668968758058397541508229559533237396944309289080697507171514527970404} a^{20} - \frac{740303365281770584777499979242519153303781943052223116475778416862453582619946391}{12785310319823668968758058397541508229559533237396944309289080697507171514527970404} a^{19} - \frac{2813731882620743475853818487218183310911801180656162766945110754378708387654900637}{38355930959471006906274175192624524688678599712190832927867242092521514543583911212} a^{18} + \frac{1542957761049007785848325156571376314373200976361755971358137964095020175453498841}{9588982739867751726568543798156131172169649928047708231966810523130378635895977803} a^{17} - \frac{485906507802673147687862801882896576864362351186878507237899046599564061413788274}{3196327579955917242189514599385377057389883309349236077322270174376792878631992601} a^{16} + \frac{1181767667721013898919792870394211538650592274774027313475234137502629894589913954}{9588982739867751726568543798156131172169649928047708231966810523130378635895977803} a^{15} - \frac{85603318086151136327201890276722621232534081360658754303907077016525318686396217}{19177965479735503453137087596312262344339299856095416463933621046260757271791955606} a^{14} - \frac{1994743642464797002999233876010424165304657017143704193191676659046994107415482619}{9588982739867751726568543798156131172169649928047708231966810523130378635895977803} a^{13} - \frac{552756630359969369573867644989014632595058888282189290495142533159246987439222041}{9588982739867751726568543798156131172169649928047708231966810523130378635895977803} a^{12} - \frac{6368193118406571756620559301913620647862482792026750832968394536001104263584622493}{19177965479735503453137087596312262344339299856095416463933621046260757271791955606} a^{11} + \frac{1782746826434145636653392550632127781827140263036630093462544031587894666313854163}{38355930959471006906274175192624524688678599712190832927867242092521514543583911212} a^{10} - \frac{1245569290777280715818007212863049294791100611793884467612992994637502399584977640}{9588982739867751726568543798156131172169649928047708231966810523130378635895977803} a^{9} - \frac{847026116361878593139307594435325717208416767160896830761104592119556862349669298}{9588982739867751726568543798156131172169649928047708231966810523130378635895977803} a^{8} + \frac{2143003407284276708225373559313662477304591229067922754444660568388259467559776882}{9588982739867751726568543798156131172169649928047708231966810523130378635895977803} a^{7} - \frac{13113348413184314507927151153471729575516090864255583786052868257090217828715814567}{38355930959471006906274175192624524688678599712190832927867242092521514543583911212} a^{6} - \frac{3068670669611563271975800754484702324098469256945789009239146834313416061947243435}{38355930959471006906274175192624524688678599712190832927867242092521514543583911212} a^{5} + \frac{840955606975611581097169905708516316134992947488300526349616847500685803815362027}{2256231232910059229780833834860266158157564688952401936933367181913030267269641836} a^{4} + \frac{16695815616507652614877780504818615247739512902793554860209943939407117945316468213}{38355930959471006906274175192624524688678599712190832927867242092521514543583911212} a^{3} + \frac{5153638590877386390727283079411512804284507496796997568090859799914277475904725201}{12785310319823668968758058397541508229559533237396944309289080697507171514527970404} a^{2} + \frac{5963616977503476588244728641474827584309305152746200260632083609914523260942905143}{19177965479735503453137087596312262344339299856095416463933621046260757271791955606} a - \frac{1901954230163125349168150061507615412607287039534013082239049523699940211684521}{8882800129567162321971786751418370701407734995875598176903020401232402627045834}$, $\frac{1}{1805971705309789568433221958689536915704963033761570126353943824848020331370224104427566286453829436182068} a^{35} + \frac{234042344368318302641}{902985852654894784216610979344768457852481516880785063176971912424010165685112052213783143226914718091034} a^{34} + \frac{415274637073932518803715975782415907192186274735833946721269679936417104607177527668038644251242987}{1805971705309789568433221958689536915704963033761570126353943824848020331370224104427566286453829436182068} a^{33} + \frac{3698457621063389448052903775222821173423157161251254972073903873249430253071201846971632863393029}{26558407431026317182841499392493189936837691672964266564028585659529710755444472123934798330203374061501} a^{32} - \frac{3991340722976262058088914039843822372095876332504911643240187655744042416220820188470584920552419409}{150497642109149130702768496557461409642080252813464177196161985404001694280852008702297190537819119681839} a^{31} - \frac{16683307720016296848299903447099850383818223699650606683060786718236934467013965765471998370724953745}{601990568436596522811073986229845638568321011253856708784647941616006777123408034809188762151276478727356} a^{30} - \frac{88646881323451863797140358379450862072515818740935266364534962591569826934641170410427596183080808121}{451492926327447392108305489672384228926240758440392531588485956212005082842556026106891571613457359045517} a^{29} - \frac{331481497451175978584881267908047496899715576475431812004150293366762314410458563357701855946992257672}{451492926327447392108305489672384228926240758440392531588485956212005082842556026106891571613457359045517} a^{28} - \frac{13928550082016517303972601325180104759504211663715548804619915420022210486503281880257461840034522494777}{601990568436596522811073986229845638568321011253856708784647941616006777123408034809188762151276478727356} a^{27} + \frac{8690969733187472596916130653902999871435903035014339562018398481199163739649843250681090434883279382561}{902985852654894784216610979344768457852481516880785063176971912424010165685112052213783143226914718091034} a^{26} + \frac{55192332820469210496496307354431019375808315983944548394055277885678940358787004010123690661629114293123}{1805971705309789568433221958689536915704963033761570126353943824848020331370224104427566286453829436182068} a^{25} - \frac{4219314807022657857441010059097126807342382608785190880867952226717774830985710848157498538152284972991}{150497642109149130702768496557461409642080252813464177196161985404001694280852008702297190537819119681839} a^{24} + \frac{25227185700295474561371973694190323208619364347379153325684991482090553710038032551795306682244175567899}{902985852654894784216610979344768457852481516880785063176971912424010165685112052213783143226914718091034} a^{23} + \frac{22420805017133295777099067069499319643962947780556537393115190372880737484412730924011624882594751894661}{601990568436596522811073986229845638568321011253856708784647941616006777123408034809188762151276478727356} a^{22} + \frac{10275905942444961210826930002469383004941110535488124099432647623664689430271475892618210403304812629005}{451492926327447392108305489672384228926240758440392531588485956212005082842556026106891571613457359045517} a^{21} + \frac{63950958016932688159529039445352310934641231084067345821694162767496553681689791425335329421949529290625}{902985852654894784216610979344768457852481516880785063176971912424010165685112052213783143226914718091034} a^{20} - \frac{16102397924761039217546786512202265726175773938381239838799654932296585200549501126139758092221374145540}{451492926327447392108305489672384228926240758440392531588485956212005082842556026106891571613457359045517} a^{19} - \frac{22443753711590860347011832533160483121503247791526611343562641961688763765480988753213532142358083998909}{300995284218298261405536993114922819284160505626928354392323970808003388561704017404594381075638239363678} a^{18} - \frac{148900178673597613325274984107053566490769220046146971126306468829327041165712889049672878849395236221637}{902985852654894784216610979344768457852481516880785063176971912424010165685112052213783143226914718091034} a^{17} - \frac{1972008256696700038095207526472664034178342084299055848059224023873055680026210061119610289986675947935}{17705604954017544788560999594995459957891794448642844376019057106353140503629648082623198886802249374334} a^{16} - \frac{66356400688850720379181951646109841328101262056458794909156779124138485447647169165680648104023104612759}{300995284218298261405536993114922819284160505626928354392323970808003388561704017404594381075638239363678} a^{15} + \frac{4421580421110474221877259015738585737218411894224807916363422283916077134099581020615564194495893595066}{451492926327447392108305489672384228926240758440392531588485956212005082842556026106891571613457359045517} a^{14} - \frac{110163121690324218879075135829815339677890972964165992683618705889129543363172672733200916466452016683973}{902985852654894784216610979344768457852481516880785063176971912424010165685112052213783143226914718091034} a^{13} + \frac{12469386272200136239172249440925412820298339801491198683577144705026731199120120508207810035747422119159}{451492926327447392108305489672384228926240758440392531588485956212005082842556026106891571613457359045517} a^{12} - \frac{232879536344972348430121736344954009153341348672689276861482721594047644738390386660080446484580802655777}{601990568436596522811073986229845638568321011253856708784647941616006777123408034809188762151276478727356} a^{11} + \frac{450633157623808015578881089934508646452352794255661062544880013328223328983129723296446474710003854927997}{902985852654894784216610979344768457852481516880785063176971912424010165685112052213783143226914718091034} a^{10} - \frac{819660324228470731015737914630350758364675766102853181266429188910035528741482905293624826735367128377635}{1805971705309789568433221958689536915704963033761570126353943824848020331370224104427566286453829436182068} a^{9} - \frac{167882147968133383706585382467511737023099311134143754169218234015341408056936903086782090433373390504523}{902985852654894784216610979344768457852481516880785063176971912424010165685112052213783143226914718091034} a^{8} - \frac{82903021233336852185687423929809136713736376131489011417292599901086571850919719299800592461419342934329}{300995284218298261405536993114922819284160505626928354392323970808003388561704017404594381075638239363678} a^{7} + \frac{186056647105524213354673568414136233311642291787470979096825589862009874064501020334898615100709402302269}{1805971705309789568433221958689536915704963033761570126353943824848020331370224104427566286453829436182068} a^{6} + \frac{302110687286997233079157856990398497091773170800159771124120891306062103233106217434423635702535009030659}{902985852654894784216610979344768457852481516880785063176971912424010165685112052213783143226914718091034} a^{5} - \frac{111365761332344287128406116485290689394017789268044458562503538078779630401666145112076708721896142112271}{451492926327447392108305489672384228926240758440392531588485956212005082842556026106891571613457359045517} a^{4} + \frac{170044380052809576630699848478018963097995852634718843650487265134535626412698643542555706815393968801535}{902985852654894784216610979344768457852481516880785063176971912424010165685112052213783143226914718091034} a^{3} + \frac{49433133847206157287068171870752663972609972966789869591331212390283935603361721329380111010975187217387}{150497642109149130702768496557461409642080252813464177196161985404001694280852008702297190537819119681839} a^{2} + \frac{128879603698857257640530555704728271599294739620237913257478577247122064554245238638803697303922622318365}{300995284218298261405536993114922819284160505626928354392323970808003388561704017404594381075638239363678} a - \frac{621422293760302891429632259563661093703513834173566172173849075125092002499123224296414147898512756699}{3555062412027144819750436926554206526978273688507027807783353985921299864902015953597571430027223299571}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_{12}$ (as 36T3):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{12}$
Character table for $C_3\times C_{12}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{2}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.3969.1, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 3.3.3969.2, 4.0.18432.2, 6.6.3359232.1, 6.6.8065516032.1, 6.6.1229312.1, 6.6.8065516032.2, 9.9.62523502209.1, 12.0.3327916660110655488.1, 12.0.19184777290122566867877888.2, 12.0.36099543110378323968.1, 12.0.19184777290122566867877888.3, 18.18.524682375772545974113841184768.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R ${\href{/LocalNumberField/5.12.0.1}{12} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/11.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/13.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/19.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/29.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/31.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/37.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/43.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/53.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/59.12.0.1}{12} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$2$2.12.33.374$x^{12} + 28 x^{10} - 6 x^{8} + 40 x^{6} - 56 x^{4} - 32 x^{2} - 56$$4$$3$$33$$C_{12}$$[3, 4]^{3}$
2.12.33.374$x^{12} + 28 x^{10} - 6 x^{8} + 40 x^{6} - 56 x^{4} - 32 x^{2} - 56$$4$$3$$33$$C_{12}$$[3, 4]^{3}$
2.12.33.374$x^{12} + 28 x^{10} - 6 x^{8} + 40 x^{6} - 56 x^{4} - 32 x^{2} - 56$$4$$3$$33$$C_{12}$$[3, 4]^{3}$
3Data not computed
7Data not computed