Normalized defining polynomial
\( x^{36} + 9 x^{34} - 4 x^{33} + 72 x^{32} - 69 x^{31} + 584 x^{30} + 981 x^{29} + 4881 x^{28} + 7326 x^{27} + \cdots + 1 \)
Invariants
Degree: | $36$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
Signature: | $[0, 18]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
Discriminant: | \(6858379380370190025774854438611053598470472411685943603515625\) \(\medspace = 3^{48}\cdot 5^{18}\cdot 7^{30}\) | sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
Root discriminant: | \(48.97\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
Galois root discriminant: | $3^{4/3}5^{1/2}7^{5/6}\approx 48.96604662897932$ | ||
Ramified primes: | \(3\), \(5\), \(7\) | sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
$\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $36$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
Conductor: | \(315=3^{2}\cdot 5\cdot 7\) | ||
Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{315}(256,·)$, $\chi_{315}(1,·)$, $\chi_{315}(4,·)$, $\chi_{315}(136,·)$, $\chi_{315}(139,·)$, $\chi_{315}(271,·)$, $\chi_{315}(16,·)$, $\chi_{315}(274,·)$, $\chi_{315}(19,·)$, $\chi_{315}(151,·)$, $\chi_{315}(286,·)$, $\chi_{315}(31,·)$, $\chi_{315}(289,·)$, $\chi_{315}(34,·)$, $\chi_{315}(166,·)$, $\chi_{315}(169,·)$, $\chi_{315}(46,·)$, $\chi_{315}(304,·)$, $\chi_{315}(181,·)$, $\chi_{315}(184,·)$, $\chi_{315}(61,·)$, $\chi_{315}(64,·)$, $\chi_{315}(199,·)$, $\chi_{315}(76,·)$, $\chi_{315}(79,·)$, $\chi_{315}(211,·)$, $\chi_{315}(214,·)$, $\chi_{315}(94,·)$, $\chi_{315}(226,·)$, $\chi_{315}(229,·)$, $\chi_{315}(106,·)$, $\chi_{315}(109,·)$, $\chi_{315}(241,·)$, $\chi_{315}(244,·)$, $\chi_{315}(121,·)$, $\chi_{315}(124,·)$$\rbrace$ | ||
This is a CM field. | |||
Reflex fields: | unavailable$^{131072}$ |
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $\frac{1}{2}a^{14}-\frac{1}{2}a^{7}-\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}a^{15}-\frac{1}{2}a^{8}-\frac{1}{2}a$, $\frac{1}{2}a^{16}-\frac{1}{2}a^{9}-\frac{1}{2}a^{2}$, $\frac{1}{2}a^{17}-\frac{1}{2}a^{10}-\frac{1}{2}a^{3}$, $\frac{1}{2}a^{18}-\frac{1}{2}a^{11}-\frac{1}{2}a^{4}$, $\frac{1}{2}a^{19}-\frac{1}{2}a^{12}-\frac{1}{2}a^{5}$, $\frac{1}{2}a^{20}-\frac{1}{2}a^{13}-\frac{1}{2}a^{6}$, $\frac{1}{26}a^{21}-\frac{3}{26}a^{14}+\frac{3}{26}a^{7}-\frac{4}{13}$, $\frac{1}{26}a^{22}-\frac{3}{26}a^{15}+\frac{3}{26}a^{8}-\frac{4}{13}a$, $\frac{1}{26}a^{23}-\frac{3}{26}a^{16}+\frac{3}{26}a^{9}-\frac{4}{13}a^{2}$, $\frac{1}{26}a^{24}-\frac{3}{26}a^{17}+\frac{3}{26}a^{10}-\frac{4}{13}a^{3}$, $\frac{1}{26}a^{25}-\frac{3}{26}a^{18}+\frac{3}{26}a^{11}-\frac{4}{13}a^{4}$, $\frac{1}{60814}a^{26}+\frac{775}{60814}a^{25}-\frac{498}{30407}a^{24}-\frac{45}{60814}a^{23}+\frac{175}{30407}a^{22}-\frac{527}{30407}a^{21}+\frac{225}{4678}a^{20}+\frac{4646}{30407}a^{19}-\frac{2273}{60814}a^{18}+\frac{5835}{60814}a^{17}-\frac{4320}{30407}a^{16}-\frac{9591}{60814}a^{15}+\frac{3955}{60814}a^{14}+\frac{1885}{4678}a^{13}-\frac{9300}{30407}a^{12}-\frac{12365}{60814}a^{11}-\frac{25361}{60814}a^{10}+\frac{5360}{30407}a^{9}-\frac{26679}{60814}a^{8}-\frac{19139}{60814}a^{7}+\frac{501}{4678}a^{6}+\frac{30399}{60814}a^{5}-\frac{13266}{30407}a^{4}-\frac{28913}{60814}a^{3}+\frac{30377}{60814}a^{2}+\frac{30337}{60814}a-\frac{22937}{60814}$, $\frac{1}{60814}a^{27}-\frac{249}{30407}a^{25}-\frac{15}{60814}a^{24}+\frac{70}{30407}a^{23}-\frac{490}{30407}a^{22}+\frac{1125}{60814}a^{21}-\frac{7465}{60814}a^{20}+\frac{111}{2339}a^{19}-\frac{2776}{30407}a^{18}+\frac{2278}{30407}a^{17}+\frac{10903}{60814}a^{16}-\frac{2859}{30407}a^{15}-\frac{6937}{60814}a^{14}+\frac{24807}{60814}a^{13}+\frac{774}{2339}a^{12}+\frac{9536}{30407}a^{11}-\frac{6256}{30407}a^{10}-\frac{17195}{60814}a^{9}+\frac{1858}{30407}a^{8}+\frac{7639}{60814}a^{7}+\frac{15193}{30407}a^{6}-\frac{782}{2339}a^{5}+\frac{1992}{30407}a^{4}-\frac{75}{60814}a^{3}+\frac{30197}{60814}a^{2}+\frac{9809}{30407}a+\frac{15091}{30407}$, $\frac{1}{121628}a^{28}-\frac{27}{2339}a^{21}+\frac{6247}{121628}a^{14}+\frac{14125}{60814}a^{7}-\frac{10645}{121628}$, $\frac{1}{121628}a^{29}-\frac{27}{2339}a^{22}+\frac{6247}{121628}a^{15}+\frac{14125}{60814}a^{8}-\frac{10645}{121628}a$, $\frac{1}{2310932}a^{30}-\frac{7}{2310932}a^{29}+\frac{9}{2310932}a^{28}-\frac{5}{1155466}a^{27}-\frac{7}{1155466}a^{26}-\frac{2637}{577733}a^{25}+\frac{15}{577733}a^{24}+\frac{12947}{1155466}a^{23}-\frac{3335}{577733}a^{22}-\frac{13921}{1155466}a^{21}-\frac{256813}{1155466}a^{20}-\frac{70144}{577733}a^{19}+\frac{25344}{577733}a^{18}+\frac{109461}{1155466}a^{17}+\frac{4277}{177764}a^{16}+\frac{110301}{2310932}a^{15}-\frac{420967}{2310932}a^{14}-\frac{143535}{1155466}a^{13}-\frac{15617}{577733}a^{12}-\frac{68725}{577733}a^{11}-\frac{358697}{1155466}a^{10}+\frac{216023}{577733}a^{9}+\frac{17419}{44441}a^{8}-\frac{282670}{577733}a^{7}-\frac{53150}{577733}a^{6}+\frac{253751}{1155466}a^{5}+\frac{183479}{577733}a^{4}+\frac{410937}{1155466}a^{3}+\frac{132215}{2310932}a^{2}-\frac{1051607}{2310932}a-\frac{1082277}{2310932}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!08}a^{31}+\frac{23105260015}{11\!\cdots\!77}a^{30}-\frac{1111292257065}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{207947340134}{11\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{703862467853}{11\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{117156495543}{22\!\cdots\!54}a^{26}-\frac{42927993103091}{88\!\cdots\!29}a^{25}+\frac{31\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{175977625160275}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{168219920864031}{11\!\cdots\!77}a^{22}-\frac{481231921091797}{11\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!54}a^{20}+\frac{11\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{26\!\cdots\!21}{17\!\cdots\!58}a^{18}-\frac{58\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!08}a^{17}-\frac{11\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!54}a^{16}+\frac{46\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!08}a^{15}-\frac{21\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!66}a^{14}-\frac{71\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{58\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{25\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!58}a^{11}-\frac{203517809502569}{60\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{54\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!54}a^{9}-\frac{29\!\cdots\!90}{88\!\cdots\!29}a^{8}-\frac{34\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!45}{22\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{5}-\frac{51\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!58}a^{4}-\frac{22\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!08}a^{3}-\frac{27\!\cdots\!17}{88\!\cdots\!29}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a+\frac{10\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!54}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!08}a^{32}-\frac{23764359469}{45\!\cdots\!08}a^{30}-\frac{15135525266}{88\!\cdots\!29}a^{29}-\frac{106939617615}{22\!\cdots\!54}a^{28}-\frac{1605218042699}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{359288843370}{11\!\cdots\!77}a^{26}-\frac{10\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{43\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{13\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a^{22}-\frac{169629107282369}{88\!\cdots\!29}a^{21}-\frac{50\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!54}a^{20}+\frac{25\!\cdots\!24}{11\!\cdots\!77}a^{19}-\frac{44\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!08}a^{18}-\frac{11\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{22\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!08}a^{16}-\frac{11\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!54}a^{15}+\frac{25\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!77}a^{14}-\frac{68\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{24\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{20\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{17\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{42\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{58\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!54}a^{8}-\frac{41\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{7}+\frac{79\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!20}{11\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{54\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!08}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!54}a^{3}-\frac{35\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!08}a^{2}+\frac{23\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!77}a+\frac{45\!\cdots\!34}{11\!\cdots\!77}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!08}a^{33}-\frac{18297050831}{11\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{58351001975}{17\!\cdots\!58}a^{29}-\frac{658693829913}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{100503475839}{17\!\cdots\!58}a^{27}-\frac{707998243103}{22\!\cdots\!54}a^{26}+\frac{186753388451783}{17\!\cdots\!58}a^{25}-\frac{21\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!54}a^{24}-\frac{23\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!54}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{667686234541668}{11\!\cdots\!77}a^{21}-\frac{10\!\cdots\!23}{88\!\cdots\!29}a^{20}-\frac{10\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{15\!\cdots\!61}{88\!\cdots\!29}a^{18}+\frac{29\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{17}-\frac{44\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!54}a^{16}-\frac{73\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!77}a^{15}-\frac{70\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!08}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!52}{88\!\cdots\!29}a^{13}-\frac{47\!\cdots\!45}{22\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!99}{88\!\cdots\!29}a^{11}+\frac{11\!\cdots\!09}{22\!\cdots\!54}a^{10}+\frac{40\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!54}a^{9}-\frac{45\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!54}a^{8}-\frac{95\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{536371961634459}{17\!\cdots\!58}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!16}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!58}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!50}{11\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{14\!\cdots\!46}{11\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{15\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!77}a+\frac{33\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!08}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!08}a^{34}+\frac{4514409845}{45\!\cdots\!08}a^{30}-\frac{204492063713}{11\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{1562680331}{17\!\cdots\!58}a^{28}-\frac{308911468941}{11\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{90510886477}{22\!\cdots\!54}a^{26}-\frac{790221906980721}{11\!\cdots\!77}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{27\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!54}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!54}a^{21}+\frac{79\!\cdots\!39}{45\!\cdots\!08}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{19}+\frac{36\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!54}a^{18}-\frac{37\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{97\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!08}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!54}a^{14}-\frac{95\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{20\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!54}a^{11}-\frac{26\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!54}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{27\!\cdots\!98}{60\!\cdots\!83}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!08}a^{6}-\frac{51\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{24\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{4}-\frac{11\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!77}a^{3}+\frac{16\!\cdots\!61}{35\!\cdots\!16}a^{2}-\frac{10\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!54}a-\frac{28\!\cdots\!72}{11\!\cdots\!77}$, $\frac{1}{45\!\cdots\!08}a^{35}-\frac{705869272569}{22\!\cdots\!54}a^{28}+\frac{74\!\cdots\!45}{45\!\cdots\!08}a^{21}-\frac{49\!\cdots\!77}{22\!\cdots\!54}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!67}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{25\!\cdots\!85}{22\!\cdots\!54}$
Monogenic: | Not computed | |
Index: | $1$ | |
Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{18}\times C_{126}$, which has order $2268$ (assuming GRH)
Unit group
Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
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$\frac{62\!\cdots\!83}{45\!\cdots\!08}a^{35}+\frac{289858430406762}{60\!\cdots\!83}a^{34}+\frac{14\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!66}a^{33}-\frac{27\!\cdots\!81}{24\!\cdots\!32}a^{32}+\frac{58\!\cdots\!10}{60\!\cdots\!83}a^{31}-\frac{35\!\cdots\!50}{60\!\cdots\!83}a^{30}+\frac{18\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!32}a^{29}+\frac{36\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!54}a^{28}+\frac{86\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!66}a^{27}+\frac{74\!\cdots\!58}{60\!\cdots\!83}a^{26}+\frac{30\!\cdots\!87}{60\!\cdots\!83}a^{25}+\frac{65\!\cdots\!81}{930166700266582}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!89}{60\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{41\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!66}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!89}{45\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{25\!\cdots\!45}{465083350133291}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!22}{60\!\cdots\!83}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!32}a^{18}+\frac{52\!\cdots\!34}{60\!\cdots\!83}a^{17}+\frac{40\!\cdots\!31}{12\!\cdots\!66}a^{16}+\frac{14\!\cdots\!87}{24\!\cdots\!32}a^{15}+\frac{61\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{36\!\cdots\!50}{60\!\cdots\!83}a^{13}+\frac{41\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!66}a^{12}+\frac{37\!\cdots\!09}{60\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{23\!\cdots\!11}{60\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!66}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!66}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{34\!\cdots\!23}{12\!\cdots\!66}a^{6}+\frac{95\!\cdots\!37}{60\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{32\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!32}a^{4}-\frac{33\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!66}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!13}{12\!\cdots\!66}a^{2}-\frac{25\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!32}a+\frac{11\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!77}$, $\frac{36\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!32}a^{35}+\frac{37\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!08}a^{34}+\frac{62\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!08}a^{33}-\frac{12\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!54}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!89}{11\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{45\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!08}a^{30}+\frac{10\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{71\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{26\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!54}a^{26}+\frac{12\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!54}a^{25}+\frac{71\!\cdots\!62}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{42\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{61\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!54}a^{22}+\frac{23\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{19\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{30\!\cdots\!47}{45\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{95\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!58}a^{18}+\frac{88\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{52\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{69\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{56\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{13\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{45\!\cdots\!15}{22\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{29\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{15\!\cdots\!01}{11\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!49}{60\!\cdots\!83}a^{8}+\frac{20\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{72\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{50\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!08}a^{5}-\frac{26\!\cdots\!54}{11\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!01}{88\!\cdots\!29}a^{3}+\frac{73\!\cdots\!41}{24\!\cdots\!32}a^{2}-\frac{11\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a+\frac{35\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!32}$, $\frac{20\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!58}a^{35}-\frac{33\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!08}a^{34}+\frac{47\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!08}a^{33}-\frac{51\!\cdots\!21}{45\!\cdots\!08}a^{32}+\frac{76\!\cdots\!14}{88\!\cdots\!29}a^{31}-\frac{60\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!08}a^{30}+\frac{33\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{33\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{56\!\cdots\!80}{11\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{11\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a^{26}+\frac{42\!\cdots\!47}{12\!\cdots\!66}a^{25}+\frac{47\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{28\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!35}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{32\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{29\!\cdots\!99}{45\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{14\!\cdots\!29}{45\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!23}{45\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{39\!\cdots\!21}{11\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!73}{45\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{15\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!16}a^{15}-\frac{11\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{45\!\cdots\!76}{11\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{13\!\cdots\!63}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{84\!\cdots\!30}{11\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{43\!\cdots\!33}{22\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{28\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!54}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!16}a^{6}+\frac{93\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!08}a^{5}-\frac{35\!\cdots\!15}{45\!\cdots\!08}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!54}a^{3}-\frac{10\!\cdots\!81}{45\!\cdots\!08}a^{2}+\frac{34\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!08}a-\frac{74\!\cdots\!97}{45\!\cdots\!08}$, $\frac{49\!\cdots\!69}{22\!\cdots\!54}a^{35}-\frac{28742904687885}{24\!\cdots\!32}a^{34}+\frac{46\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!32}a^{33}-\frac{52\!\cdots\!75}{60\!\cdots\!83}a^{32}+\frac{18\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!66}a^{31}-\frac{35\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!32}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!66}a^{29}+\frac{96\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{63\!\cdots\!22}{60\!\cdots\!83}a^{27}+\frac{18\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!66}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!66}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!74}{60\!\cdots\!83}a^{24}+\frac{31\!\cdots\!90}{60\!\cdots\!83}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!77}{60\!\cdots\!83}a^{22}+\frac{13\!\cdots\!05}{17\!\cdots\!58}a^{21}+\frac{14\!\cdots\!61}{24\!\cdots\!32}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!32}a^{19}+\frac{44\!\cdots\!34}{60\!\cdots\!83}a^{18}+\frac{13\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!66}a^{17}+\frac{31\!\cdots\!33}{24\!\cdots\!32}a^{16}+\frac{55\!\cdots\!20}{60\!\cdots\!83}a^{15}+\frac{51\!\cdots\!91}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!66}a^{13}+\frac{27\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!66}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!60}{60\!\cdots\!83}a^{11}+\frac{19\!\cdots\!26}{60\!\cdots\!83}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!99}{60\!\cdots\!83}a^{9}+\frac{12\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!66}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!54}a^{7}+\frac{41\!\cdots\!45}{18\!\cdots\!64}a^{6}+\frac{41\!\cdots\!11}{24\!\cdots\!32}a^{5}-\frac{44\!\cdots\!97}{12\!\cdots\!66}a^{4}+\frac{96\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!66}a^{3}-\frac{39\!\cdots\!99}{24\!\cdots\!32}a^{2}-\frac{48\!\cdots\!49}{60\!\cdots\!83}a-\frac{34\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!16}$, $\frac{17\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!77}a^{35}+\frac{27\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!16}a^{34}+\frac{62\!\cdots\!41}{45\!\cdots\!08}a^{33}+\frac{10\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!77}a^{32}+\frac{24\!\cdots\!31}{22\!\cdots\!54}a^{31}-\frac{22\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!08}a^{30}+\frac{38\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{90\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{34\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!54}a^{25}+\frac{98\!\cdots\!29}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{45\!\cdots\!93}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!94}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{14\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!54}a^{21}+\frac{30\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{38\!\cdots\!79}{45\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{94\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{22\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{20\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!08}a^{16}+\frac{22\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!16}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{14\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!57}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{59\!\cdots\!48}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{52\!\cdots\!49}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{27\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{78\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{14\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{70\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!08}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!54}a^{4}-\frac{42\!\cdots\!17}{22\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!75}{45\!\cdots\!08}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a+\frac{20\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!08}$, $\frac{373508643476079}{22\!\cdots\!54}a^{34}-\frac{83001920772462}{11\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{14\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{28\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!54}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!77}a^{30}-\frac{35\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!54}a^{29}+\frac{20\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!54}a^{28}+\frac{15\!\cdots\!53}{11\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{71\!\cdots\!17}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{81\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{50\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{34\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{56\!\cdots\!31}{11\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!54}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!12}{88\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{10\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{25\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{87\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{47\!\cdots\!00}{88\!\cdots\!29}a^{15}+\frac{17\!\cdots\!01}{22\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{21\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{84\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{30\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{21\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{99\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{10\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{21\!\cdots\!25}{11\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{33\!\cdots\!79}{22\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{18\!\cdots\!95}{60\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{77\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{373508643476079}{11\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{10\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!77}a+\frac{41500960386231}{22\!\cdots\!54}$, $\frac{705522253076829}{22\!\cdots\!54}a^{34}-\frac{156782722905962}{11\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{28\!\cdots\!16}{11\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{54\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!54}a^{31}+\frac{22\!\cdots\!52}{11\!\cdots\!77}a^{30}-\frac{13\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{38\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!54}a^{28}+\frac{28\!\cdots\!03}{11\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{13\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{15\!\cdots\!92}{11\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{94\!\cdots\!10}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{64\!\cdots\!05}{11\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{67\!\cdots\!39}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!81}{11\!\cdots\!77}a^{21}+\frac{34\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!12}{88\!\cdots\!29}a^{19}+\frac{20\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{48\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!04}{11\!\cdots\!77}a^{16}-\frac{46\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a^{15}+\frac{32\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!88}{11\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!56}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{40\!\cdots\!26}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{18\!\cdots\!98}{11\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{15\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!58}a^{8}+\frac{40\!\cdots\!75}{11\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{62\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!54}a^{6}-\frac{35\!\cdots\!45}{60\!\cdots\!83}a^{5}+\frac{14\!\cdots\!66}{11\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{60\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!54}a^{3}+\frac{705522253076829}{11\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{67\!\cdots\!51}{45\!\cdots\!08}a+\frac{78391361452981}{22\!\cdots\!54}$, $\frac{26\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!54}a^{35}-\frac{5052798119743}{35\!\cdots\!16}a^{34}+\frac{46\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a^{33}-\frac{21\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!08}a^{32}+\frac{93\!\cdots\!47}{11\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{18\!\cdots\!11}{22\!\cdots\!54}a^{30}+\frac{15\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!54}a^{29}+\frac{51\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{12\!\cdots\!81}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{94\!\cdots\!99}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{89\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!54}a^{25}+\frac{10\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{62\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{42\!\cdots\!75}{22\!\cdots\!54}a^{22}+\frac{87\!\cdots\!97}{22\!\cdots\!54}a^{21}+\frac{13\!\cdots\!31}{45\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!03}{45\!\cdots\!08}a^{19}+\frac{16\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{12\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{73\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!54}a^{16}+\frac{50\!\cdots\!91}{11\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{23\!\cdots\!47}{22\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{76\!\cdots\!79}{17\!\cdots\!58}a^{11}+\frac{34\!\cdots\!61}{22\!\cdots\!54}a^{10}+\frac{75\!\cdots\!50}{88\!\cdots\!29}a^{9}+\frac{71\!\cdots\!07}{22\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{46\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{7}+\frac{18\!\cdots\!33}{45\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{17\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!16}a^{5}-\frac{15\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!08}a^{4}-\frac{21\!\cdots\!70}{60\!\cdots\!83}a^{3}-\frac{18\!\cdots\!78}{11\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{26\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!54}a+\frac{37\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!08}$, $\frac{27\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!32}a^{35}+\frac{997922446367715}{35\!\cdots\!16}a^{34}+\frac{11\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!77}a^{33}-\frac{23\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!77}a^{32}+\frac{18\!\cdots\!35}{22\!\cdots\!54}a^{31}-\frac{20\!\cdots\!97}{35\!\cdots\!16}a^{30}+\frac{14\!\cdots\!53}{22\!\cdots\!54}a^{29}+\frac{29\!\cdots\!29}{22\!\cdots\!54}a^{28}+\frac{67\!\cdots\!73}{11\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{22\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{26}+\frac{47\!\cdots\!67}{11\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{62\!\cdots\!96}{11\!\cdots\!77}a^{24}+\frac{50\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!58}a^{23}+\frac{29\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!17}{45\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{18\!\cdots\!53}{45\!\cdots\!08}a^{20}+\frac{13\!\cdots\!51}{22\!\cdots\!54}a^{19}+\frac{60\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!77}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{80\!\cdots\!77}{35\!\cdots\!16}a^{16}+\frac{59\!\cdots\!06}{11\!\cdots\!77}a^{15}+\frac{41\!\cdots\!67}{22\!\cdots\!54}a^{14}+\frac{11\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{13}+\frac{42\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!58}a^{12}+\frac{58\!\cdots\!33}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{33\!\cdots\!60}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{30\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!58}a^{9}+\frac{20\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!54}a^{8}+\frac{23\!\cdots\!65}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{99\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!08}a^{6}+\frac{14\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{25\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!77}a^{4}-\frac{91\!\cdots\!41}{22\!\cdots\!54}a^{3}-\frac{42\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!16}a^{2}-\frac{71\!\cdots\!23}{88\!\cdots\!29}a-\frac{16\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!54}$, $\frac{87\!\cdots\!05}{45\!\cdots\!08}a^{35}-\frac{69\!\cdots\!19}{11\!\cdots\!77}a^{34}+\frac{19\!\cdots\!13}{11\!\cdots\!77}a^{33}-\frac{60\!\cdots\!01}{45\!\cdots\!08}a^{32}+\frac{64\!\cdots\!59}{45\!\cdots\!08}a^{31}-\frac{40\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{30}+\frac{26\!\cdots\!91}{22\!\cdots\!54}a^{29}+\frac{69\!\cdots\!35}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{10\!\cdots\!87}{11\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{14\!\cdots\!99}{22\!\cdots\!54}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!63}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!77}{11\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{26\!\cdots\!87}{45\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{38\!\cdots\!85}{12\!\cdots\!66}a^{20}+\frac{79\!\cdots\!49}{11\!\cdots\!77}a^{19}+\frac{18\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{36\!\cdots\!77}{45\!\cdots\!08}a^{17}-\frac{20\!\cdots\!22}{11\!\cdots\!77}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!37}{22\!\cdots\!54}a^{15}-\frac{67\!\cdots\!55}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{17\!\cdots\!59}{22\!\cdots\!54}a^{13}-\frac{19\!\cdots\!90}{465083350133291}a^{12}+\frac{16\!\cdots\!05}{22\!\cdots\!54}a^{11}+\frac{10\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!54}a^{10}+\frac{28\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{46\!\cdots\!55}{11\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{15\!\cdots\!95}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{85\!\cdots\!93}{22\!\cdots\!54}a^{6}+\frac{12\!\cdots\!69}{11\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{34\!\cdots\!57}{45\!\cdots\!08}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!16}a^{3}-\frac{78\!\cdots\!73}{22\!\cdots\!54}a^{2}+\frac{53\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a+\frac{49\!\cdots\!43}{45\!\cdots\!08}$, $\frac{15\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!08}a^{35}+\frac{32\!\cdots\!82}{11\!\cdots\!77}a^{34}+\frac{35\!\cdots\!42}{11\!\cdots\!77}a^{33}-\frac{52\!\cdots\!11}{45\!\cdots\!08}a^{32}+\frac{56\!\cdots\!95}{22\!\cdots\!54}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!71}{11\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{91\!\cdots\!07}{45\!\cdots\!08}a^{29}+\frac{16\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!08}a^{28}+\frac{39\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!54}a^{27}+\frac{30\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{13\!\cdots\!83}{11\!\cdots\!77}a^{25}+\frac{33\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!54}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!89}{22\!\cdots\!54}a^{23}+\frac{14\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!54}a^{22}+\frac{55\!\cdots\!93}{45\!\cdots\!08}a^{21}+\frac{11\!\cdots\!79}{11\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!55}{22\!\cdots\!54}a^{19}+\frac{58\!\cdots\!61}{45\!\cdots\!08}a^{18}+\frac{41\!\cdots\!39}{22\!\cdots\!54}a^{17}+\frac{68\!\cdots\!57}{22\!\cdots\!54}a^{16}+\frac{64\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!08}a^{15}+\frac{13\!\cdots\!71}{45\!\cdots\!08}a^{14}+\frac{15\!\cdots\!38}{11\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!83}{22\!\cdots\!54}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!00}{11\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{69\!\cdots\!97}{11\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{77\!\cdots\!23}{22\!\cdots\!54}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!37}{11\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{47\!\cdots\!69}{45\!\cdots\!08}a^{7}+\frac{84\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!54}a^{6}+\frac{59\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!54}a^{5}-\frac{10\!\cdots\!29}{18\!\cdots\!64}a^{4}-\frac{31\!\cdots\!48}{88\!\cdots\!29}a^{3}-\frac{15\!\cdots\!58}{11\!\cdots\!77}a^{2}+\frac{40\!\cdots\!85}{45\!\cdots\!08}a+\frac{80\!\cdots\!25}{45\!\cdots\!08}$ (assuming GRH) | sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
Regulator: | \( 13624539961495.691 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{18}\cdot 13624539961495.691 \cdot 2268}{14\cdot\sqrt{6858379380370190025774854438611053598470472411685943603515625}}\cr\approx \mathstrut & 0.196319635721282 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
An abelian group of order 36 |
The 36 conjugacy class representatives for $C_6^2$ |
Character table for $C_6^2$ |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
$p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Cycle type | ${\href{/padicField/2.6.0.1}{6} }^{6}$ | R | R | R | ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{12}$ | ${\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/17.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/19.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/23.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/29.3.0.1}{3} }^{12}$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/37.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/43.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/53.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{6}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
$p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
---|---|---|---|---|---|---|---|
\(3\) | Deg $18$ | $3$ | $6$ | $24$ | |||
Deg $18$ | $3$ | $6$ | $24$ | ||||
\(5\) | 5.12.6.1 | $x^{12} + 120 x^{11} + 6032 x^{10} + 163208 x^{9} + 2529528 x^{8} + 21853448 x^{7} + 92223962 x^{6} + 138649448 x^{5} + 223472880 x^{4} + 401794296 x^{3} + 295909124 x^{2} + 118616440 x + 126881009$ | $2$ | $6$ | $6$ | $C_6\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{6}$ |
5.12.6.1 | $x^{12} + 120 x^{11} + 6032 x^{10} + 163208 x^{9} + 2529528 x^{8} + 21853448 x^{7} + 92223962 x^{6} + 138649448 x^{5} + 223472880 x^{4} + 401794296 x^{3} + 295909124 x^{2} + 118616440 x + 126881009$ | $2$ | $6$ | $6$ | $C_6\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{6}$ | |
5.12.6.1 | $x^{12} + 120 x^{11} + 6032 x^{10} + 163208 x^{9} + 2529528 x^{8} + 21853448 x^{7} + 92223962 x^{6} + 138649448 x^{5} + 223472880 x^{4} + 401794296 x^{3} + 295909124 x^{2} + 118616440 x + 126881009$ | $2$ | $6$ | $6$ | $C_6\times C_2$ | $[\ ]_{2}^{6}$ | |
\(7\) | Deg $36$ | $6$ | $6$ | $30$ |