↑

Properties

Label 36.0.63750366984...0673.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $3^{18}\cdot 73^{35}$
Root discriminant $112.23$
Ramified primes $3, 73$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{36}$ (as 36T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![352837909, 66691066, 517519970, 1221427512, -581240646, 205773888, 735644116, -795120590, 204165408, -272723622, 51376587, -15614599, -6979148, 3265491, 7937927, 13576136, 9417109, -1463792, 4232753, -2430972, 999062, -156751, -184657, 121974, -167907, -1012, -19312, -15478, 10264, -4530, 3888, -601, 561, -39, 38, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - x^35 + 38*x^34 - 39*x^33 + 561*x^32 - 601*x^31 + 3888*x^30 - 4530*x^29 + 10264*x^28 - 15478*x^27 - 19312*x^26 - 1012*x^25 - 167907*x^24 + 121974*x^23 - 184657*x^22 - 156751*x^21 + 999062*x^20 - 2430972*x^19 + 4232753*x^18 - 1463792*x^17 + 9417109*x^16 + 13576136*x^15 + 7937927*x^14 + 3265491*x^13 - 6979148*x^12 - 15614599*x^11 + 51376587*x^10 - 272723622*x^9 + 204165408*x^8 - 795120590*x^7 + 735644116*x^6 + 205773888*x^5 - 581240646*x^4 + 1221427512*x^3 + 517519970*x^2 + 66691066*x + 352837909)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - x^35 + 38*x^34 - 39*x^33 + 561*x^32 - 601*x^31 + 3888*x^30 - 4530*x^29 + 10264*x^28 - 15478*x^27 - 19312*x^26 - 1012*x^25 - 167907*x^24 + 121974*x^23 - 184657*x^22 - 156751*x^21 + 999062*x^20 - 2430972*x^19 + 4232753*x^18 - 1463792*x^17 + 9417109*x^16 + 13576136*x^15 + 7937927*x^14 + 3265491*x^13 - 6979148*x^12 - 15614599*x^11 + 51376587*x^10 - 272723622*x^9 + 204165408*x^8 - 795120590*x^7 + 735644116*x^6 + 205773888*x^5 - 581240646*x^4 + 1221427512*x^3 + 517519970*x^2 + 66691066*x + 352837909, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - x^{35} + 38 x^{34} - 39 x^{33} + 561 x^{32} - 601 x^{31} + 3888 x^{30} - 4530 x^{29} + 10264 x^{28} - 15478 x^{27} - 19312 x^{26} - 1012 x^{25} - 167907 x^{24} + 121974 x^{23} - 184657 x^{22} - 156751 x^{21} + 999062 x^{20} - 2430972 x^{19} + 4232753 x^{18} - 1463792 x^{17} + 9417109 x^{16} + 13576136 x^{15} + 7937927 x^{14} + 3265491 x^{13} - 6979148 x^{12} - 15614599 x^{11} + 51376587 x^{10} - 272723622 x^{9} + 204165408 x^{8} - 795120590 x^{7} + 735644116 x^{6} + 205773888 x^{5} - 581240646 x^{4} + 1221427512 x^{3} + 517519970 x^{2} + 66691066 x + 352837909 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(63750366984933541673958695695138024609776280706542570767445962531327680673=3^{18}\cdot 73^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $112.23$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 73$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(219=3\cdot 73\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{219}(1,·)$, $\chi_{219}(130,·)$, $\chi_{219}(4,·)$, $\chi_{219}(134,·)$, $\chi_{219}(140,·)$, $\chi_{219}(142,·)$, $\chi_{219}(143,·)$, $\chi_{219}(16,·)$, $\chi_{219}(145,·)$, $\chi_{219}(148,·)$, $\chi_{219}(149,·)$, $\chi_{219}(23,·)$, $\chi_{219}(152,·)$, $\chi_{219}(154,·)$, $\chi_{219}(158,·)$, $\chi_{219}(35,·)$, $\chi_{219}(37,·)$, $\chi_{219}(38,·)$, $\chi_{219}(170,·)$, $\chi_{219}(173,·)$, $\chi_{219}(50,·)$, $\chi_{219}(55,·)$, $\chi_{219}(187,·)$, $\chi_{219}(64,·)$, $\chi_{219}(194,·)$, $\chi_{219}(200,·)$, $\chi_{219}(82,·)$, $\chi_{219}(211,·)$, $\chi_{219}(217,·)$, $\chi_{219}(91,·)$, $\chi_{219}(92,·)$, $\chi_{219}(98,·)$, $\chi_{219}(178,·)$, $\chi_{219}(109,·)$, $\chi_{219}(119,·)$, $\chi_{219}(122,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $\frac{1}{3} a^{26} + \frac{1}{3} a^{24} + \frac{1}{3} a^{22} + \frac{1}{3} a^{20} + \frac{1}{3} a^{19} - \frac{1}{3} a^{18} - \frac{1}{3} a^{16} - \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{3} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{27} + \frac{1}{3} a^{25} + \frac{1}{3} a^{23} + \frac{1}{3} a^{21} + \frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{3} a^{19} - \frac{1}{3} a^{17} - \frac{1}{3} a^{16} + \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} + \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{28} + \frac{1}{3} a^{21} + \frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{3} a^{19} - \frac{1}{3} a^{17} + \frac{1}{3} a^{16} - \frac{1}{3} a^{15} - \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{11} - \frac{1}{3} a^{8} + \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{29} + \frac{1}{3} a^{22} + \frac{1}{3} a^{21} - \frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{3} a^{18} + \frac{1}{3} a^{17} - \frac{1}{3} a^{16} - \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{12} - \frac{1}{3} a^{9} + \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{30} + \frac{1}{3} a^{23} + \frac{1}{3} a^{22} - \frac{1}{3} a^{21} - \frac{1}{3} a^{19} + \frac{1}{3} a^{18} - \frac{1}{3} a^{17} - \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{13} - \frac{1}{3} a^{10} + \frac{1}{3} a^{9} - \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2}$, $\frac{1}{3} a^{31} + \frac{1}{3} a^{24} + \frac{1}{3} a^{23} - \frac{1}{3} a^{22} - \frac{1}{3} a^{20} + \frac{1}{3} a^{19} - \frac{1}{3} a^{18} - \frac{1}{3} a^{16} + \frac{1}{3} a^{14} - \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{10} - \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{6} - \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{3} a^{32} + \frac{1}{3} a^{25} + \frac{1}{3} a^{24} - \frac{1}{3} a^{23} - \frac{1}{3} a^{21} + \frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{3} a^{19} - \frac{1}{3} a^{17} + \frac{1}{3} a^{15} - \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{11} - \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{3} a^{4}$, $\frac{1}{519} a^{33} - \frac{7}{519} a^{32} - \frac{24}{173} a^{31} + \frac{80}{519} a^{30} + \frac{77}{519} a^{29} - \frac{20}{173} a^{28} + \frac{8}{173} a^{27} - \frac{32}{519} a^{26} - \frac{62}{173} a^{25} - \frac{161}{519} a^{24} - \frac{53}{173} a^{23} - \frac{81}{173} a^{22} + \frac{182}{519} a^{21} + \frac{140}{519} a^{20} - \frac{169}{519} a^{19} - \frac{148}{519} a^{18} - \frac{137}{519} a^{17} + \frac{188}{519} a^{16} + \frac{37}{173} a^{15} + \frac{208}{519} a^{14} + \frac{4}{519} a^{13} + \frac{238}{519} a^{12} + \frac{107}{519} a^{11} + \frac{175}{519} a^{10} + \frac{113}{519} a^{9} - \frac{25}{519} a^{8} - \frac{146}{519} a^{7} - \frac{30}{173} a^{6} + \frac{44}{519} a^{5} - \frac{196}{519} a^{4} - \frac{65}{519} a^{3} - \frac{55}{519} a^{2} - \frac{248}{519} a - \frac{4}{173}$, $\frac{1}{3595113} a^{34} + \frac{425}{1198371} a^{33} - \frac{135509}{3595113} a^{32} + \frac{70396}{3595113} a^{31} - \frac{33200}{1198371} a^{30} + \frac{14230}{3595113} a^{29} + \frac{493312}{3595113} a^{28} + \frac{378}{399457} a^{27} + \frac{20921}{1198371} a^{26} + \frac{333671}{3595113} a^{25} + \frac{1028140}{3595113} a^{24} + \frac{769909}{3595113} a^{23} - \frac{134287}{1198371} a^{22} + \frac{1289975}{3595113} a^{21} + \frac{712843}{3595113} a^{20} + \frac{1314244}{3595113} a^{19} + \frac{180866}{3595113} a^{18} - \frac{1402016}{3595113} a^{17} - \frac{1277294}{3595113} a^{16} - \frac{475619}{3595113} a^{15} + \frac{1243591}{3595113} a^{14} - \frac{1224145}{3595113} a^{13} + \frac{87209}{1198371} a^{12} + \frac{1373953}{3595113} a^{11} - \frac{1635979}{3595113} a^{10} + \frac{292960}{1198371} a^{9} + \frac{916363}{3595113} a^{8} - \frac{218402}{3595113} a^{7} - \frac{86071}{399457} a^{6} + \frac{508039}{1198371} a^{5} - \frac{1359056}{3595113} a^{4} - \frac{1389362}{3595113} a^{3} + \frac{148011}{399457} a^{2} + \frac{718322}{3595113} a - \frac{473315}{3595113}$, $\frac{1}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{35} + \frac{129351862119741045135438953926547878039273597687544062586474319806837771183861389648941138150686581049994534322803340602741400717796179242886220822415634829941066}{1165104120900581985686424890596781738471055564591535583006561255198137649378131673272729196891771391339248423865574976411073257042457735111139517839748495263476370097121} a^{34} + \frac{3115538352652905239811439682732934770332939998438918789501026130026321708901936569917121200227292979681741492638837548981198999112141905183764994124785203465499453181}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{33} - \frac{217642255570782544819028578318992173305032910730971823357385587628805316482361101145611715912560892669990861135392095495577463657441971987286363620656857010955069874666}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{32} - \frac{80423356135529992071207542234889053553875438790929219340813008568345384020280437284235432185449876336107059806316188533183461252613139498789064497482627387747238779396}{1165104120900581985686424890596781738471055564591535583006561255198137649378131673272729196891771391339248423865574976411073257042457735111139517839748495263476370097121} a^{31} - \frac{188365206879605733036898796051582420814402718939266606478157903072538161369337806762690265739004251430624459412207386073829864696473092753717247105005046969089735796113}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{30} - \frac{309292151812181371283397206737919731973725191036286382860814921887122002657515362298679298379318314370319703350138027205057209774773315584003308773161808746984852801011}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{29} - \frac{101695683040566254611886961277615996263969410122874610224160548202050571429469171681193251475469078911261465492595327095036082198678205175645127869713052963087810782936}{1165104120900581985686424890596781738471055564591535583006561255198137649378131673272729196891771391339248423865574976411073257042457735111139517839748495263476370097121} a^{28} - \frac{116079925802347725260295431856510220234045572860674558138723538957288021394410916038722135418767068122257648920878976646187952663295772609241607233264701549059268357188}{1165104120900581985686424890596781738471055564591535583006561255198137649378131673272729196891771391339248423865574976411073257042457735111139517839748495263476370097121} a^{27} - \frac{240463354777524958731056135241053263366135859407639945657435012687610015209326539813927938453441553154483217144951700029472174355184688313546762819466540618552296534709}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{26} + \frac{579840945434400711635225876182001522403989810825981258871752547623458144454362580077649984265089848721201088286473891322472117743753462812045468364183430839242238879570}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{25} + \frac{1401834861055834110983639777428651176782088601258942947371181851296112294001856490219050735382897105794214386429606708590994792716656007517561322647951970113195606688662}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{24} + \frac{455911532821190917232926154103422636467229115114182802067121045143014482678034750832236525412784889107981541147061691966378227978355889306358077377761936390641473680466}{1165104120900581985686424890596781738471055564591535583006561255198137649378131673272729196891771391339248423865574976411073257042457735111139517839748495263476370097121} a^{23} + \frac{1216719764030247395369753377498757571814507340043242656100381898950491915242819776298077806335481297329316998565852441474345969015833613225189153933342474206843338793251}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{22} - \frac{827097159607306938179027544770609345619644998919745185124301911943525847100734899694502963573073047578025284595853425286349111110689251228045297738524525470147115250372}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{21} + \frac{49872911861453144681996067605271181532066376461626583860619075214766267750746027573671511950902588807121190512940863986179246027496872015105020913521761851714049339429}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{20} + \frac{1123251669251170825925304730920749049658970327791241879209287334094648869831383970584877079001703371670542251104865025426203374603538768823072200657402012714304423125666}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{19} + \frac{297832756630458914578708490567818559887489673422402907562907998012200119963823262506160016182526403068422633029029805527620070824000590183618688444322126313213447142292}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{18} - \frac{327303181365496079920707586356844965687602854029861969067683035366551352480140121533001684222854357629594828563468219172610820288720158814639700071617521139916627658161}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{17} - \frac{1527927602413843926470714140252865825595778656530808029394469973449685868188993229786122426225676119640024232445568274939942531668342583728526687893937992734593566839636}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{16} - \frac{94391917020479663109324649661347011083374918282520391923247638195487326658709160893196460853070015345616645426443202283089022379384531004576842837323352403943366007633}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{15} - \frac{28926595701043909416615137150903529858162241550481242327000735283567608134905008363462395789360583891851550615156797043838108067584977582056728930865884442454441377873}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{14} - \frac{47774697284424062554179299136114325400088824836836239661409497917013034572393977454584873401473574496232757826238021407149193962876501300326214977175020901186499221972}{1165104120900581985686424890596781738471055564591535583006561255198137649378131673272729196891771391339248423865574976411073257042457735111139517839748495263476370097121} a^{13} - \frac{704754229587428528243247816789189124193579466993280573413517864787029944836866053629009879313149035530665503766763055867414926430115836159757133075086061973951548309962}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{12} - \frac{260207800245868255188385431058437158908160747911035962242921297430897573982050725847723780340320134845406714880459621461377150044441641874631432536404916100330465391627}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{11} - \frac{57165119699879914886073043605844488046571490241462775377053721819429756204470113237514185748948298139283119655494455342800001189070778232648265258869223701783464513731}{1165104120900581985686424890596781738471055564591535583006561255198137649378131673272729196891771391339248423865574976411073257042457735111139517839748495263476370097121} a^{10} - \frac{1690060627789154386264737185766626832390313987125243673298304463388317132841011240781070411855839137884566717080264461250242848090882930597207243957771827551628391194961}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{9} + \frac{1519919580649768267916574128863408163089007363584924754312030992793672208911761554310556614838047155843846679888832006751624812754592792808839511804204265181426289037916}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{8} - \frac{18149631651449573564770114155934590909645371808570230384852225132515410004019153600026247294801195389455987481402302148361966144436544022181656356929730338460975659380}{388368040300193995228808296865593912823685188197178527668853751732712549792710557757576398963923797113082807955191658803691085680819245037046505946582831754492123365707} a^{7} - \frac{316892874326509297916495297345156902403049147818652954370686515813080649010456564733647913793997484989553015498649877369600439251922287954045384894139960467505597194625}{1165104120900581985686424890596781738471055564591535583006561255198137649378131673272729196891771391339248423865574976411073257042457735111139517839748495263476370097121} a^{6} - \frac{875469912943692376023704916165243203829351523668761926251802069942809930255252204706832271375131235681558564279481456730110286915280009950314628270351940220264614692834}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{5} + \frac{545037718056474079049896257932114729921217301727178797179045164716776369105787586864396605519477510788848457417880695890921947420892924497541610821027666311425564320922}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{4} + \frac{342080472242607856306421387454717402633725177074008337050105525963808935622919023530710197606040297051506582872087249972776976337350473036185735244186087796857295134221}{1165104120900581985686424890596781738471055564591535583006561255198137649378131673272729196891771391339248423865574976411073257042457735111139517839748495263476370097121} a^{3} + \frac{863122293518786302117351472562370575652516157595596558699147580470056410331006340706792020383133870688108396273274058492071093659776408798855617081629030153102777286991}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a^{2} + \frac{676489138010943522646995302104502618680473453368858712096577816951227527367846529325169646452450497521595803737114363073388793441338149347171305392250136334066654503766}{3495312362701745957059274671790345215413166693774606749019683765594412948134395019818187590675314174017745271596724929233219771127373205333418553519245485790429110291363} a - \frac{348542405603405824988091917354459118647999669841766841743828298265094906689627881858006657797981857838401802015811105112767944864650887174625102575444205198914229281}{884665239863767642890223910855566999598371727100634459382354787546042254653099220404502047753812749688115735661028835543715457131706708512634409901099844543262240013}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{36}$ (as 36T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_{36}$
Character table for $C_{36}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{73}) \), 3.3.5329.1, 4.0.3501153.1, 6.6.2073071593.1, 9.9.806460091894081.1, 12.0.228706753779334227406833.1, 18.18.47477585226700098686074966922953.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $18^{2}$ R $36$ ${\href{/LocalNumberField/7.12.0.1}{12} }^{3}$ $36$ $36$ ${\href{/LocalNumberField/17.12.0.1}{12} }^{3}$ $18^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/23.9.0.1}{9} }^{4}$ $36$ $36$ ${\href{/LocalNumberField/37.9.0.1}{9} }^{4}$ $18^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.12.0.1}{12} }^{3}$ $36$ $36$ $36$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$3$3.6.3.1$x^{6} - 6 x^{4} + 9 x^{2} - 27$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$
3.6.3.1$x^{6} - 6 x^{4} + 9 x^{2} - 27$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$
3.6.3.1$x^{6} - 6 x^{4} + 9 x^{2} - 27$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$
3.6.3.1$x^{6} - 6 x^{4} + 9 x^{2} - 27$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$
3.6.3.1$x^{6} - 6 x^{4} + 9 x^{2} - 27$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$
3.6.3.1$x^{6} - 6 x^{4} + 9 x^{2} - 27$$2$$3$$3$$C_6$$[\ ]_{2}^{3}$
73Data not computed