↑

Properties

Label 36.0.57038838883...0000.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $2^{36}\cdot 3^{54}\cdot 5^{27}\cdot 7^{24}$
Root discriminant $127.16$
Ramified primes $2, 3, 5, 7$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_3\times C_{12}$ (as 36T3)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![6311298334321, -13710464052024, 25534530115587, -27230959523324, 28052657251047, -22224248926686, 19080633257687, -14696441624388, 11730030510336, -8462912247118, 6031372465950, -4009568149062, 2640055694434, -1636097978718, 986494828509, -559522976788, 307045487688, -159170870298, 79573970631, -37490949888, 16934574060, -7183606822, 2908195344, -1099808568, 394830604, -131377506, 41299005, -11908044, 3224823, -786024, 178450, -35316, 6462, -964, 132, -12, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 12*x^35 + 132*x^34 - 964*x^33 + 6462*x^32 - 35316*x^31 + 178450*x^30 - 786024*x^29 + 3224823*x^28 - 11908044*x^27 + 41299005*x^26 - 131377506*x^25 + 394830604*x^24 - 1099808568*x^23 + 2908195344*x^22 - 7183606822*x^21 + 16934574060*x^20 - 37490949888*x^19 + 79573970631*x^18 - 159170870298*x^17 + 307045487688*x^16 - 559522976788*x^15 + 986494828509*x^14 - 1636097978718*x^13 + 2640055694434*x^12 - 4009568149062*x^11 + 6031372465950*x^10 - 8462912247118*x^9 + 11730030510336*x^8 - 14696441624388*x^7 + 19080633257687*x^6 - 22224248926686*x^5 + 28052657251047*x^4 - 27230959523324*x^3 + 25534530115587*x^2 - 13710464052024*x + 6311298334321)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 12*x^35 + 132*x^34 - 964*x^33 + 6462*x^32 - 35316*x^31 + 178450*x^30 - 786024*x^29 + 3224823*x^28 - 11908044*x^27 + 41299005*x^26 - 131377506*x^25 + 394830604*x^24 - 1099808568*x^23 + 2908195344*x^22 - 7183606822*x^21 + 16934574060*x^20 - 37490949888*x^19 + 79573970631*x^18 - 159170870298*x^17 + 307045487688*x^16 - 559522976788*x^15 + 986494828509*x^14 - 1636097978718*x^13 + 2640055694434*x^12 - 4009568149062*x^11 + 6031372465950*x^10 - 8462912247118*x^9 + 11730030510336*x^8 - 14696441624388*x^7 + 19080633257687*x^6 - 22224248926686*x^5 + 28052657251047*x^4 - 27230959523324*x^3 + 25534530115587*x^2 - 13710464052024*x + 6311298334321, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 12 x^{35} + 132 x^{34} - 964 x^{33} + 6462 x^{32} - 35316 x^{31} + 178450 x^{30} - 786024 x^{29} + 3224823 x^{28} - 11908044 x^{27} + 41299005 x^{26} - 131377506 x^{25} + 394830604 x^{24} - 1099808568 x^{23} + 2908195344 x^{22} - 7183606822 x^{21} + 16934574060 x^{20} - 37490949888 x^{19} + 79573970631 x^{18} - 159170870298 x^{17} + 307045487688 x^{16} - 559522976788 x^{15} + 986494828509 x^{14} - 1636097978718 x^{13} + 2640055694434 x^{12} - 4009568149062 x^{11} + 6031372465950 x^{10} - 8462912247118 x^{9} + 11730030510336 x^{8} - 14696441624388 x^{7} + 19080633257687 x^{6} - 22224248926686 x^{5} + 28052657251047 x^{4} - 27230959523324 x^{3} + 25534530115587 x^{2} - 13710464052024 x + 6311298334321 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(5703883888383233171152145715330477984271576969728000000000000000000000000000=2^{36}\cdot 3^{54}\cdot 5^{27}\cdot 7^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $127.16$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 5, 7$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(1260=2^{2}\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{1260}(1,·)$, $\chi_{1260}(263,·)$, $\chi_{1260}(1163,·)$, $\chi_{1260}(781,·)$, $\chi_{1260}(527,·)$, $\chi_{1260}(529,·)$, $\chi_{1260}(407,·)$, $\chi_{1260}(541,·)$, $\chi_{1260}(289,·)$, $\chi_{1260}(1187,·)$, $\chi_{1260}(421,·)$, $\chi_{1260}(169,·)$, $\chi_{1260}(683,·)$, $\chi_{1260}(1201,·)$, $\chi_{1260}(947,·)$, $\chi_{1260}(949,·)$, $\chi_{1260}(23,·)$, $\chi_{1260}(827,·)$, $\chi_{1260}(961,·)$, $\chi_{1260}(863,·)$, $\chi_{1260}(323,·)$, $\chi_{1260}(709,·)$, $\chi_{1260}(841,·)$, $\chi_{1260}(589,·)$, $\chi_{1260}(1103,·)$, $\chi_{1260}(347,·)$, $\chi_{1260}(1247,·)$, $\chi_{1260}(443,·)$, $\chi_{1260}(743,·)$, $\chi_{1260}(1129,·)$, $\chi_{1260}(107,·)$, $\chi_{1260}(109,·)$, $\chi_{1260}(1009,·)$, $\chi_{1260}(361,·)$, $\chi_{1260}(121,·)$, $\chi_{1260}(767,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $\frac{1}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{11} - \frac{2}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{13} + \frac{2}{5} a^{11} + \frac{1}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} - \frac{1}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{14} - \frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{10} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{1}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} - \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{2} - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{5} a^{15} - \frac{1}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{5} + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{5} a^{16} - \frac{1}{5} a^{11} - \frac{2}{5} a^{6} + \frac{1}{5} a$, $\frac{1}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{11} - \frac{2}{5} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} + \frac{2}{5} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{15} a^{18} + \frac{1}{15} a^{15} - \frac{1}{5} a^{11} - \frac{1}{5} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} + \frac{2}{15} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} + \frac{2}{5} a^{4} + \frac{1}{3} a^{3} - \frac{1}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{15} a^{19} + \frac{1}{15} a^{16} + \frac{1}{5} a^{11} - \frac{2}{5} a^{10} - \frac{2}{5} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} - \frac{4}{15} a^{7} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{15} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{15} a^{20} + \frac{1}{15} a^{17} + \frac{2}{5} a^{11} - \frac{2}{5} a^{9} - \frac{1}{15} a^{8} + \frac{2}{5} a^{7} - \frac{1}{5} a^{6} - \frac{7}{15} a^{5} + \frac{2}{5} a^{3} + \frac{1}{15} a^{2} - \frac{1}{5} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{15} a^{21} - \frac{1}{15} a^{15} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{2}{5} a^{10} + \frac{1}{3} a^{9} - \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{3} a^{3} + \frac{2}{5} a - \frac{1}{15}$, $\frac{1}{15} a^{22} - \frac{1}{15} a^{16} - \frac{2}{5} a^{11} - \frac{1}{15} a^{10} - \frac{1}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} + \frac{1}{5} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{5} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{3} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{15} a^{23} - \frac{1}{15} a^{17} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{2}{5} a^{9} - \frac{1}{5} a^{8} + \frac{2}{5} a^{7} - \frac{2}{5} a^{6} - \frac{1}{15} a^{5} + \frac{1}{5} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{1}{3} a^{2} + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{150} a^{24} + \frac{1}{75} a^{23} + \frac{1}{75} a^{22} + \frac{2}{75} a^{21} - \frac{1}{30} a^{20} - \frac{1}{75} a^{19} - \frac{1}{30} a^{18} + \frac{1}{75} a^{17} - \frac{1}{15} a^{16} - \frac{7}{75} a^{15} - \frac{1}{25} a^{14} - \frac{1}{25} a^{13} + \frac{1}{75} a^{12} - \frac{1}{75} a^{11} - \frac{41}{150} a^{10} + \frac{34}{75} a^{9} + \frac{19}{75} a^{8} - \frac{23}{75} a^{7} + \frac{17}{50} a^{6} - \frac{7}{25} a^{5} - \frac{7}{50} a^{4} - \frac{14}{75} a^{3} + \frac{7}{75} a^{2} - \frac{8}{75} a + \frac{1}{150}$, $\frac{1}{150} a^{25} - \frac{1}{75} a^{23} - \frac{1}{50} a^{21} - \frac{1}{75} a^{20} - \frac{1}{150} a^{19} + \frac{1}{75} a^{18} + \frac{1}{25} a^{17} + \frac{1}{25} a^{16} + \frac{1}{75} a^{15} + \frac{1}{25} a^{14} + \frac{7}{75} a^{13} - \frac{1}{25} a^{12} - \frac{67}{150} a^{11} - \frac{3}{25} a^{9} + \frac{19}{75} a^{8} + \frac{23}{150} a^{7} + \frac{8}{75} a^{6} - \frac{17}{150} a^{5} - \frac{23}{75} a^{4} + \frac{4}{15} a^{3} + \frac{1}{25} a^{2} - \frac{19}{50} a - \frac{26}{75}$, $\frac{1}{150} a^{26} + \frac{2}{75} a^{23} + \frac{1}{150} a^{22} - \frac{2}{75} a^{21} - \frac{1}{150} a^{20} - \frac{1}{75} a^{19} - \frac{2}{75} a^{18} - \frac{1}{15} a^{17} + \frac{2}{25} a^{16} - \frac{2}{25} a^{15} + \frac{1}{75} a^{14} + \frac{2}{25} a^{13} - \frac{1}{50} a^{12} - \frac{2}{75} a^{11} - \frac{4}{15} a^{10} + \frac{17}{75} a^{9} + \frac{29}{150} a^{8} - \frac{23}{75} a^{7} + \frac{1}{6} a^{6} - \frac{2}{15} a^{5} + \frac{14}{75} a^{4} - \frac{4}{15} a^{3} + \frac{11}{150} a^{2} + \frac{6}{25} a - \frac{3}{25}$, $\frac{1}{150} a^{27} + \frac{1}{50} a^{23} - \frac{1}{75} a^{22} + \frac{1}{50} a^{21} - \frac{1}{75} a^{20} + \frac{2}{75} a^{19} + \frac{2}{75} a^{17} - \frac{2}{25} a^{16} - \frac{1}{75} a^{15} + \frac{1}{25} a^{14} - \frac{3}{50} a^{13} - \frac{2}{25} a^{12} - \frac{2}{25} a^{11} - \frac{11}{75} a^{10} - \frac{53}{150} a^{9} + \frac{31}{75} a^{8} - \frac{31}{150} a^{7} - \frac{17}{75} a^{6} + \frac{28}{75} a^{5} + \frac{32}{75} a^{4} - \frac{37}{150} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2} - \frac{9}{25} a - \frac{17}{75}$, $\frac{1}{10650} a^{28} + \frac{1}{2130} a^{27} - \frac{7}{5325} a^{26} - \frac{16}{5325} a^{25} - \frac{3}{1775} a^{24} - \frac{17}{3550} a^{23} + \frac{217}{10650} a^{22} + \frac{211}{10650} a^{21} + \frac{277}{10650} a^{20} + \frac{76}{5325} a^{19} - \frac{329}{10650} a^{18} - \frac{233}{5325} a^{17} - \frac{82}{1775} a^{16} - \frac{23}{5325} a^{15} - \frac{373}{10650} a^{14} + \frac{593}{10650} a^{13} - \frac{2}{71} a^{12} + \frac{23}{71} a^{11} + \frac{468}{1775} a^{10} + \frac{2299}{10650} a^{9} - \frac{1327}{3550} a^{8} - \frac{601}{2130} a^{7} - \frac{1579}{3550} a^{6} - \frac{17}{71} a^{5} + \frac{29}{1775} a^{4} - \frac{757}{10650} a^{3} - \frac{1517}{5325} a^{2} - \frac{469}{5325} a - \frac{841}{2130}$, $\frac{1}{10650} a^{29} + \frac{16}{5325} a^{27} - \frac{11}{3550} a^{26} - \frac{16}{5325} a^{24} - \frac{167}{10650} a^{23} + \frac{191}{10650} a^{22} - \frac{139}{10650} a^{21} + \frac{3}{710} a^{20} + \frac{331}{10650} a^{19} + \frac{19}{1775} a^{18} - \frac{167}{1775} a^{17} - \frac{1}{75} a^{16} - \frac{143}{10650} a^{15} + \frac{31}{1775} a^{14} + \frac{12}{1775} a^{13} + \frac{761}{10650} a^{12} - \frac{64}{1775} a^{11} + \frac{839}{5325} a^{10} - \frac{35}{142} a^{9} - \frac{4471}{10650} a^{8} - \frac{4267}{10650} a^{7} - \frac{4567}{10650} a^{6} + \frac{1208}{5325} a^{5} - \frac{638}{1775} a^{4} - \frac{573}{1775} a^{3} + \frac{617}{2130} a^{2} + \frac{949}{2130} a + \frac{392}{1775}$, $\frac{1}{10650} a^{30} + \frac{2}{1065} a^{27} + \frac{11}{5325} a^{26} - \frac{1}{5325} a^{25} - \frac{17}{10650} a^{24} - \frac{118}{5325} a^{23} - \frac{89}{3550} a^{22} - \frac{41}{1775} a^{21} - \frac{31}{2130} a^{20} + \frac{22}{1065} a^{19} + \frac{2}{1775} a^{18} + \frac{143}{5325} a^{17} - \frac{871}{10650} a^{16} + \frac{38}{1065} a^{15} + \frac{253}{5325} a^{14} - \frac{197}{5325} a^{13} + \frac{9}{355} a^{12} + \frac{238}{5325} a^{11} - \frac{297}{3550} a^{10} - \frac{289}{5325} a^{9} + \frac{619}{3550} a^{8} + \frac{27}{71} a^{7} + \frac{604}{5325} a^{6} - \frac{331}{1065} a^{5} + \frac{558}{1775} a^{4} - \frac{1007}{5325} a^{3} + \frac{4279}{10650} a^{2} + \frac{67}{5325} a - \frac{2371}{5325}$, $\frac{1}{10650} a^{31} - \frac{7}{10650} a^{27} - \frac{1}{1775} a^{26} - \frac{8}{5325} a^{25} - \frac{3}{1775} a^{24} + \frac{19}{1775} a^{23} - \frac{163}{5325} a^{22} - \frac{257}{10650} a^{21} - \frac{7}{213} a^{20} + \frac{167}{10650} a^{19} + \frac{167}{5325} a^{18} + \frac{1}{30} a^{17} - \frac{2}{5325} a^{16} - \frac{494}{5325} a^{15} - \frac{53}{1775} a^{14} - \frac{301}{10650} a^{13} - \frac{104}{1775} a^{12} - \frac{79}{355} a^{11} + \frac{386}{5325} a^{10} - \frac{868}{5325} a^{9} + \frac{2359}{5325} a^{8} + \frac{846}{1775} a^{7} - \frac{171}{355} a^{6} - \frac{109}{10650} a^{5} - \frac{2108}{5325} a^{4} - \frac{266}{5325} a^{3} + \frac{1439}{5325} a^{2} - \frac{221}{2130} a - \frac{763}{5325}$, $\frac{1}{10650} a^{32} + \frac{29}{10650} a^{27} + \frac{14}{5325} a^{26} - \frac{29}{10650} a^{25} - \frac{2}{1775} a^{24} + \frac{169}{10650} a^{23} - \frac{8}{5325} a^{22} - \frac{8}{1065} a^{21} + \frac{59}{5325} a^{20} + \frac{191}{10650} a^{19} + \frac{4}{1065} a^{18} + \frac{2}{25} a^{17} - \frac{74}{1065} a^{16} + \frac{106}{5325} a^{15} + \frac{26}{355} a^{14} - \frac{307}{10650} a^{13} + \frac{36}{1775} a^{12} - \frac{1277}{10650} a^{11} + \frac{301}{1065} a^{10} + \frac{101}{2130} a^{9} + \frac{7}{50} a^{8} + \frac{301}{5325} a^{7} - \frac{96}{355} a^{6} - \frac{2257}{10650} a^{5} - \frac{146}{1775} a^{4} - \frac{3841}{10650} a^{3} + \frac{599}{3550} a^{2} + \frac{2629}{10650} a - \frac{2597}{10650}$, $\frac{1}{10650} a^{33} + \frac{1}{426} a^{27} + \frac{11}{5325} a^{26} - \frac{7}{10650} a^{25} - \frac{19}{10650} a^{24} + \frac{37}{2130} a^{23} + \frac{44}{5325} a^{22} + \frac{17}{5325} a^{21} - \frac{49}{2130} a^{20} - \frac{37}{10650} a^{19} + \frac{9}{3550} a^{18} - \frac{1}{1775} a^{17} + \frac{23}{1775} a^{16} + \frac{347}{5325} a^{15} + \frac{427}{5325} a^{14} + \frac{769}{10650} a^{13} + \frac{42}{1775} a^{12} + \frac{4987}{10650} a^{11} + \frac{1859}{10650} a^{10} + \frac{118}{1775} a^{9} + \frac{231}{1775} a^{8} - \frac{641}{1775} a^{7} + \frac{199}{710} a^{6} + \frac{4417}{10650} a^{5} - \frac{2071}{10650} a^{4} - \frac{1402}{5325} a^{3} - \frac{553}{1775} a^{2} + \frac{468}{1775} a + \frac{3943}{10650}$, $\frac{1}{1531613124929437879381684690973786954293585459446069597567566359037753316166760057149350} a^{34} - \frac{13900109228415064489312996904434651897826773936722177918567441740511985816496923102}{765806562464718939690842345486893477146792729723034798783783179518876658083380028574675} a^{33} + \frac{11784675577397601661378610448559354428871568399904128336462834999891734131286984433}{255268854154906313230280781828964492382264243241011599594594393172958886027793342858225} a^{32} - \frac{5501639307771885697971301147124236611171900412562364819371387616107946449190791737}{306322624985887575876336938194757390858717091889213919513513271807550663233352011429870} a^{31} + \frac{2326009918417639133228427937493527998370930039335112913935042594175906465559015542}{255268854154906313230280781828964492382264243241011599594594393172958886027793342858225} a^{30} + \frac{18774368878618915928732421666146235159878508506700485552231447967496177744591015133}{1531613124929437879381684690973786954293585459446069597567566359037753316166760057149350} a^{29} - \frac{810184481848791192909423197794405099201797177575865010974089692417769763071636353}{21572015844076589850446263253151928933712471259803797148838962803348638255869859959850} a^{28} + \frac{799487838816837015092334296883436571405608341969848001975326333557453890896355778868}{765806562464718939690842345486893477146792729723034798783783179518876658083380028574675} a^{27} + \frac{1047879817349302586999897075617038315989599981787029430841036686741927696152297208498}{765806562464718939690842345486893477146792729723034798783783179518876658083380028574675} a^{26} - \frac{4070768947150338580634132140851828822808415523498891807266804369924543960039403555641}{1531613124929437879381684690973786954293585459446069597567566359037753316166760057149350} a^{25} - \frac{479710740898524171639915602990118913897308525012646535467122144079486415196245927074}{153161312492943787938168469097378695429358545944606959756756635903775331616676005714935} a^{24} - \frac{5061984165917521491484397142111272903319040510444202155744252394496250998776115709724}{153161312492943787938168469097378695429358545944606959756756635903775331616676005714935} a^{23} + \frac{16336798904575105583781449720165303370972018970225768551063577916657097771675135998107}{1531613124929437879381684690973786954293585459446069597567566359037753316166760057149350} a^{22} + \frac{5511064438856313417804616585193286627557576249744331535646058918492184876662232637977}{765806562464718939690842345486893477146792729723034798783783179518876658083380028574675} a^{21} - \frac{16278734918083447645867224901167860791990069175361228247432658878967814929862769416717}{510537708309812626460561563657928984764528486482023199189188786345917772055586685716450} a^{20} - \frac{16744100023076092407874414393089440949526302172225617293489648728360263074004714666713}{1531613124929437879381684690973786954293585459446069597567566359037753316166760057149350} a^{19} - \frac{6309520824203049569961118826966104325972332139106718552485450078444879426286141708267}{510537708309812626460561563657928984764528486482023199189188786345917772055586685716450} a^{18} - \frac{47804886903925578428649370526207027533013540934834266411905625657497146956383503394027}{1531613124929437879381684690973786954293585459446069597567566359037753316166760057149350} a^{17} + \frac{13781924032425109037969895383193746048168625411257812901613355125346806456697585962278}{255268854154906313230280781828964492382264243241011599594594393172958886027793342858225} a^{16} + \frac{21463632627885444970610407130546733939995131798156932511607443215322308912997141642259}{510537708309812626460561563657928984764528486482023199189188786345917772055586685716450} a^{15} - \frac{75068713668298992284959383609347435701687087691212173707108390654832841685316551310313}{1531613124929437879381684690973786954293585459446069597567566359037753316166760057149350} a^{14} - \frac{66327074888704073653710868161462292722246102640324796727993366783985657149673818271148}{765806562464718939690842345486893477146792729723034798783783179518876658083380028574675} a^{13} + \frac{620427782341133262924559284313072500095152370298219870599342238246128372811872946022}{51053770830981262646056156365792898476452848648202319918918878634591777205558668571645} a^{12} - \frac{493587958168134508223533750669960040780240418838573373842318696350011856985669612661909}{1531613124929437879381684690973786954293585459446069597567566359037753316166760057149350} a^{11} + \frac{430488927691170731821553938761838129365090567627084732829130312155935425236689364438127}{1531613124929437879381684690973786954293585459446069597567566359037753316166760057149350} a^{10} - \frac{222997480749033575442196064749377691536410239996923263540965815625567664772527806188122}{765806562464718939690842345486893477146792729723034798783783179518876658083380028574675} a^{9} - \frac{337561768226928289853878084306086847665104032193123906836929920781090496221963866473483}{1531613124929437879381684690973786954293585459446069597567566359037753316166760057149350} a^{8} + \frac{692341958936128306818209578420813332780745763645963322837575341505193227146385769216547}{1531613124929437879381684690973786954293585459446069597567566359037753316166760057149350} a^{7} + \frac{12385246274553298960958047879913870220165152794776343283958584709526249439029649643339}{102107541661962525292112312731585796952905697296404639837837757269183554411117337143290} a^{6} - \frac{270912206135158159017305548418897596103665549898775221785571329549865916035587914812644}{765806562464718939690842345486893477146792729723034798783783179518876658083380028574675} a^{5} + \frac{121041705578766846888250847034356797689475972050048072184139746130897250805832055235477}{306322624985887575876336938194757390858717091889213919513513271807550663233352011429870} a^{4} + \frac{91397534930078381168526083078502242407813867933473793340728119720322114472157173663943}{510537708309812626460561563657928984764528486482023199189188786345917772055586685716450} a^{3} - \frac{129532432736653149972486333047631600582645315568957423708932484362241966462171107274213}{306322624985887575876336938194757390858717091889213919513513271807550663233352011429870} a^{2} - \frac{3575615926228048244036090732301372587165925147723168060873106235255804808804307851755}{20421508332392505058422462546317159390581139459280927967567551453836710882223467428658} a - \frac{244655861268369934381888947413039324083371153440928402645640968032077341612579184513883}{510537708309812626460561563657928984764528486482023199189188786345917772055586685716450}$, $\frac{1}{126878929037253118514126114940219366082878278245624227338113000614992323290835062021567113984781670247435227350} a^{35} + \frac{21408723547534067093843}{126878929037253118514126114940219366082878278245624227338113000614992323290835062021567113984781670247435227350} a^{34} - \frac{485213312642294074062873530050410630892112554836608990402600751633670528262675661295237730727185588281893}{21146488172875519752354352490036561013813046374270704556352166769165387215139177003594518997463611707905871225} a^{33} - \frac{540179247642819951865108150520740117176904823181393906529659491848924455612563334451570827706662527428133}{42292976345751039504708704980073122027626092748541409112704333538330774430278354007189037994927223415811742450} a^{32} + \frac{362378966977687264968030152861265122881644472558770099530849441703040384400330806132244144367510855319427}{25375785807450623702825222988043873216575655649124845467622600122998464658167012404313422796956334049487045470} a^{31} + \frac{5194604990499789268342099226718436555828366580308552187757649980173246993085050892031908851176556992860653}{126878929037253118514126114940219366082878278245624227338113000614992323290835062021567113984781670247435227350} a^{30} - \frac{1662415203597822554629796962868553896597439248066761230307254984260301835886274853439125018009579955743681}{63439464518626559257063057470109683041439139122812113669056500307496161645417531010783556992390835123717613675} a^{29} - \frac{26272398174891081970577930293880504965842373846606226751277254932198874923118148912336879366128510751573}{25375785807450623702825222988043873216575655649124845467622600122998464658167012404313422796956334049487045470} a^{28} - \frac{208472542586016645959382767758462447617160178468846567636981684636387789521055313725915847710008243740991862}{63439464518626559257063057470109683041439139122812113669056500307496161645417531010783556992390835123717613675} a^{27} + \frac{130583480719751058205756875173028228783930625884649478210077221261395976998415008743516590488619185749434157}{63439464518626559257063057470109683041439139122812113669056500307496161645417531010783556992390835123717613675} a^{26} - \frac{120204421134588710733900222504254647957041168512180602421640734609467227072001470946180947303726542415241429}{63439464518626559257063057470109683041439139122812113669056500307496161645417531010783556992390835123717613675} a^{25} + \frac{405238347334203018678122634161266864834027763118034093737336280237954609347389449853172029571293980075560341}{126878929037253118514126114940219366082878278245624227338113000614992323290835062021567113984781670247435227350} a^{24} + \frac{3202073516051127418770774548515672271252773810496216671891060814172536856996178567089970214978153744955017579}{126878929037253118514126114940219366082878278245624227338113000614992323290835062021567113984781670247435227350} a^{23} + \frac{945947857210879361327232514571695425376871687216082952218637471776821524091923261037790053496065198320894973}{63439464518626559257063057470109683041439139122812113669056500307496161645417531010783556992390835123717613675} a^{22} + \frac{1000987764995441390258090994705827257256921327600055852312102238573417150834665121747860522138228243657334358}{63439464518626559257063057470109683041439139122812113669056500307496161645417531010783556992390835123717613675} a^{21} - \frac{46293065945670775396838135230340229567454998238045691522403722123991434694035630142090332356512716618142554}{21146488172875519752354352490036561013813046374270704556352166769165387215139177003594518997463611707905871225} a^{20} + \frac{1117435023400789693352795053986167940482312503674518447730465987079170992654044124787402322941523875346552373}{126878929037253118514126114940219366082878278245624227338113000614992323290835062021567113984781670247435227350} a^{19} + \frac{183041101546514780853537982721425321070507722725219457764320508848804609860697433356356085599145254215982841}{25375785807450623702825222988043873216575655649124845467622600122998464658167012404313422796956334049487045470} a^{18} + \frac{1638235452323558706710467887272701503176214313749935491721622181656099123700033850479188205301328853778413389}{42292976345751039504708704980073122027626092748541409112704333538330774430278354007189037994927223415811742450} a^{17} - \frac{2917687311189373813905940165230018458980199106343910911219418780037985544794082150781219323013540366666576153}{42292976345751039504708704980073122027626092748541409112704333538330774430278354007189037994927223415811742450} a^{16} + \frac{77536045825686787839154525315251162397731978027279579309312592645884398112279025975437651003935991841442564}{893513584769388158550183908029713845654072382011438220690936624049241713315739873391317704118180776390388925} a^{15} + \frac{7732507207135909552825050050701766226191505433599739984380810231474231375623630941176209741860348170965781}{119135144635918421140024521070628512753876317601525096092124883206565561775431983118842360549090770185385190} a^{14} - \frac{600516200379007382950066159505179948223879937595059040138341659955102814028634619188968967315820807539635792}{12687892903725311851412611494021936608287827824562422733811300061499232329083506202156711398478167024743522735} a^{13} - \frac{944540928336196990632470365796871056628328558443864028447078711572087176193466916932466748388677058849340433}{21146488172875519752354352490036561013813046374270704556352166769165387215139177003594518997463611707905871225} a^{12} + \frac{10421555757717302758443055138991139353108741309316108865931013925189282513836168380691618195215107458051746371}{25375785807450623702825222988043873216575655649124845467622600122998464658167012404313422796956334049487045470} a^{11} - \frac{1267832008473801836613927708106919477439150009029731112286128938156734560754333590111286496531304061317228842}{12687892903725311851412611494021936608287827824562422733811300061499232329083506202156711398478167024743522735} a^{10} + \frac{60132861950529870275201917224455088611449616644915257627162607541344689325143766663001684473462035106554803693}{126878929037253118514126114940219366082878278245624227338113000614992323290835062021567113984781670247435227350} a^{9} + \frac{1726621534753172645308700618210042004109937106150030212255748095056089657188162362165464363107404231367518217}{42292976345751039504708704980073122027626092748541409112704333538330774430278354007189037994927223415811742450} a^{8} - \frac{2585026478616794954788701894879432543408271228244140116080504204318771696983810487776712301470830948851736919}{25375785807450623702825222988043873216575655649124845467622600122998464658167012404313422796956334049487045470} a^{7} - \frac{21586102180723288807658550284105499266231241511261108771587113092879029509990606043817967820680146372010768713}{126878929037253118514126114940219366082878278245624227338113000614992323290835062021567113984781670247435227350} a^{6} + \frac{9626504275382771465553959124469694519087432006386620781527333861267790032163656755616643989401254166959122989}{21146488172875519752354352490036561013813046374270704556352166769165387215139177003594518997463611707905871225} a^{5} - \frac{2390305845280051284311118479602549478449758367365928554878972834176620943092759212159644386509932781932773955}{5075157161490124740565044597608774643315131129824969093524520024599692931633402480862684559391266809897409094} a^{4} + \frac{29487866475695832690961687541279151932321204435560150007311931890632291417313712961210289510074382386954235061}{63439464518626559257063057470109683041439139122812113669056500307496161645417531010783556992390835123717613675} a^{3} + \frac{1889702337160086721423418500571772220596439046437514165641088933529885351211386198825808489341946066429974861}{8458595269150207900941740996014624405525218549708281822540866707666154886055670801437807598985444683162348490} a^{2} - \frac{2997888498010497878458238063522931369401186020107061623399184070946341811574053966907889759086630914395162761}{126878929037253118514126114940219366082878278245624227338113000614992323290835062021567113984781670247435227350} a - \frac{22888695904653012568868143707560320207910204109181769371666926106907742601608967062904464101937815653981812817}{63439464518626559257063057470109683041439139122812113669056500307496161645417531010783556992390835123717613675}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_{12}$ (as 36T3):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{12}$
Character table for $C_3\times C_{12}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.3969.2, 3.3.3969.1, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 4.0.18000.1, 6.6.820125.1, 6.6.1969120125.2, 6.6.1969120125.1, 6.6.300125.1, 9.9.62523502209.1, 12.0.3099363912000000000.1, 12.0.17867216179261512000000000.2, 12.0.17867216179261512000000000.1, 12.0.33620319432000000000.1, 18.18.7635133454060210702501953125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R R R ${\href{/LocalNumberField/11.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/13.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/17.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/23.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/37.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/43.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/59.6.0.1}{6} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$2$2.12.12.25$x^{12} - 78 x^{10} - 1621 x^{8} + 460 x^{6} - 1977 x^{4} + 866 x^{2} + 749$$2$$6$$12$$C_{12}$$[2]^{6}$
2.12.12.25$x^{12} - 78 x^{10} - 1621 x^{8} + 460 x^{6} - 1977 x^{4} + 866 x^{2} + 749$$2$$6$$12$$C_{12}$$[2]^{6}$
2.12.12.25$x^{12} - 78 x^{10} - 1621 x^{8} + 460 x^{6} - 1977 x^{4} + 866 x^{2} + 749$$2$$6$$12$$C_{12}$$[2]^{6}$
3Data not computed
$5$5.12.9.1$x^{12} - 10 x^{8} - 375 x^{4} - 2000$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
5.12.9.1$x^{12} - 10 x^{8} - 375 x^{4} - 2000$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
5.12.9.1$x^{12} - 10 x^{8} - 375 x^{4} - 2000$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
7Data not computed