Normalized defining polynomial
\( x^{36} - x^{35} - x^{34} + 11 x^{33} - 16 x^{32} - 20 x^{31} + 137 x^{30} + 128 x^{29} - 626 x^{28} + \cdots + 117649 \)
Invariants
| Degree: | $36$ | sage: K.degree()
gp: poldegree(K.pol)
magma: Degree(K);
oscar: degree(K)
| |
| Signature: | $[0, 18]$ | sage: K.signature()
gp: K.sign
magma: Signature(K);
oscar: signature(K)
| |
| Discriminant: |
\(5194565526429829568692289293990783055042612231547038493482119849\)
\(\medspace = 7^{30}\cdot 19^{30}\)
| sage: K.disc()
gp: K.disc
magma: OK := Integers(K); Discriminant(OK);
oscar: OK = ring_of_integers(K); discriminant(OK)
| |
| Root discriminant: | \(58.87\) | sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
magma: Abs(Discriminant(OK))^(1/Degree(K));
oscar: (1.0 * dK)^(1/degree(K))
| |
| Galois root discriminant: | $7^{5/6}19^{5/6}\approx 58.867605049021115$ | ||
| Ramified primes: |
\(7\), \(19\)
| sage: K.disc().support()
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
magma: PrimeDivisors(Discriminant(OK));
oscar: prime_divisors(discriminant((OK)))
| |
| Discriminant root field: | \(\Q\) | ||
| $\card{ \Gal(K/\Q) }$: | $36$ | sage: K.automorphisms()
magma: Automorphisms(K);
oscar: automorphisms(K)
| |
| This field is Galois and abelian over $\Q$. | |||
| Conductor: | \(133=7\cdot 19\) | ||
| Dirichlet character group: | $\lbrace$$\chi_{133}(1,·)$, $\chi_{133}(132,·)$, $\chi_{133}(8,·)$, $\chi_{133}(11,·)$, $\chi_{133}(12,·)$, $\chi_{133}(18,·)$, $\chi_{133}(20,·)$, $\chi_{133}(26,·)$, $\chi_{133}(27,·)$, $\chi_{133}(30,·)$, $\chi_{133}(31,·)$, $\chi_{133}(37,·)$, $\chi_{133}(39,·)$, $\chi_{133}(45,·)$, $\chi_{133}(46,·)$, $\chi_{133}(50,·)$, $\chi_{133}(58,·)$, $\chi_{133}(64,·)$, $\chi_{133}(65,·)$, $\chi_{133}(68,·)$, $\chi_{133}(69,·)$, $\chi_{133}(75,·)$, $\chi_{133}(83,·)$, $\chi_{133}(87,·)$, $\chi_{133}(88,·)$, $\chi_{133}(94,·)$, $\chi_{133}(96,·)$, $\chi_{133}(102,·)$, $\chi_{133}(103,·)$, $\chi_{133}(106,·)$, $\chi_{133}(107,·)$, $\chi_{133}(113,·)$, $\chi_{133}(115,·)$, $\chi_{133}(121,·)$, $\chi_{133}(122,·)$, $\chi_{133}(125,·)$$\rbrace$ | ||
| This is a CM field. | |||
| Reflex fields: | unavailable$^{131072}$ | ||
Integral basis (with respect to field generator \(a\))
$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $\frac{1}{7}a^{25}+\frac{3}{7}a^{24}+\frac{2}{7}a^{23}+\frac{1}{7}a^{19}+\frac{1}{7}a^{16}+\frac{1}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{10}+\frac{1}{7}a^{7}-\frac{3}{7}a^{3}-\frac{2}{7}a^{2}+\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{7}a^{26}+\frac{1}{7}a^{23}+\frac{1}{7}a^{20}-\frac{3}{7}a^{19}+\frac{1}{7}a^{17}-\frac{3}{7}a^{16}+\frac{1}{7}a^{14}-\frac{3}{7}a^{13}+\frac{1}{7}a^{11}-\frac{3}{7}a^{10}+\frac{1}{7}a^{8}-\frac{3}{7}a^{7}-\frac{3}{7}a^{4}-\frac{3}{7}a$, $\frac{1}{49}a^{27}+\frac{15}{49}a^{24}-\frac{2}{7}a^{23}-\frac{3}{7}a^{22}+\frac{15}{49}a^{21}-\frac{3}{49}a^{20}-\frac{3}{7}a^{19}-\frac{20}{49}a^{18}-\frac{10}{49}a^{17}-\frac{6}{49}a^{15}-\frac{17}{49}a^{14}+\frac{3}{7}a^{13}+\frac{8}{49}a^{12}-\frac{24}{49}a^{11}-\frac{1}{7}a^{10}+\frac{22}{49}a^{9}+\frac{18}{49}a^{8}+\frac{2}{7}a^{7}-\frac{2}{7}a^{6}+\frac{11}{49}a^{5}-\frac{2}{7}a^{4}-\frac{2}{7}a^{3}+\frac{18}{49}a^{2}-\frac{3}{7}a$, $\frac{1}{49}a^{28}+\frac{1}{49}a^{25}-\frac{1}{7}a^{24}+\frac{15}{49}a^{22}-\frac{3}{49}a^{21}-\frac{3}{7}a^{20}+\frac{15}{49}a^{19}-\frac{10}{49}a^{18}-\frac{20}{49}a^{16}-\frac{17}{49}a^{15}+\frac{3}{7}a^{14}-\frac{6}{49}a^{13}-\frac{24}{49}a^{12}-\frac{1}{7}a^{11}+\frac{8}{49}a^{10}+\frac{18}{49}a^{9}+\frac{2}{7}a^{8}+\frac{3}{7}a^{7}+\frac{11}{49}a^{6}-\frac{2}{7}a^{5}-\frac{2}{7}a^{4}+\frac{11}{49}a^{3}+\frac{1}{7}a^{2}-\frac{2}{7}a$, $\frac{1}{49}a^{29}+\frac{1}{49}a^{26}+\frac{3}{7}a^{24}-\frac{20}{49}a^{23}-\frac{3}{49}a^{22}-\frac{3}{7}a^{21}+\frac{15}{49}a^{20}-\frac{3}{49}a^{19}-\frac{20}{49}a^{17}-\frac{10}{49}a^{16}+\frac{3}{7}a^{15}-\frac{6}{49}a^{14}-\frac{17}{49}a^{13}-\frac{1}{7}a^{12}+\frac{8}{49}a^{11}-\frac{24}{49}a^{10}+\frac{2}{7}a^{9}+\frac{3}{7}a^{8}+\frac{18}{49}a^{7}-\frac{2}{7}a^{6}-\frac{2}{7}a^{5}+\frac{11}{49}a^{4}-\frac{2}{7}a^{3}+\frac{3}{7}a^{2}+\frac{1}{7}a$, $\frac{1}{539}a^{30}+\frac{2}{539}a^{29}-\frac{4}{539}a^{28}-\frac{3}{539}a^{27}-\frac{5}{539}a^{26}+\frac{31}{539}a^{25}-\frac{6}{49}a^{24}-\frac{64}{539}a^{23}-\frac{150}{539}a^{22}-\frac{173}{539}a^{21}+\frac{116}{539}a^{20}+\frac{102}{539}a^{19}-\frac{96}{539}a^{18}+\frac{228}{539}a^{17}+\frac{18}{539}a^{16}-\frac{24}{49}a^{15}+\frac{95}{539}a^{14}+\frac{32}{539}a^{13}-\frac{89}{539}a^{12}-\frac{87}{539}a^{11}+\frac{193}{539}a^{10}-\frac{13}{539}a^{9}+\frac{268}{539}a^{8}-\frac{181}{539}a^{7}+\frac{24}{49}a^{6}-\frac{250}{539}a^{5}-\frac{104}{539}a^{4}+\frac{208}{539}a^{3}+\frac{68}{539}a^{2}+\frac{34}{77}a+\frac{1}{11}$, $\frac{1}{35\!\cdots\!39}a^{31}+\frac{29\!\cdots\!15}{35\!\cdots\!39}a^{30}-\frac{32\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!39}a^{29}+\frac{26\!\cdots\!50}{35\!\cdots\!39}a^{28}-\frac{13\!\cdots\!28}{50\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!26}{35\!\cdots\!39}a^{26}-\frac{23\!\cdots\!02}{35\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{16\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!39}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{10\!\cdots\!17}{35\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{65\!\cdots\!45}{35\!\cdots\!39}a^{21}-\frac{33\!\cdots\!31}{31\!\cdots\!49}a^{20}-\frac{13\!\cdots\!14}{35\!\cdots\!39}a^{19}+\frac{11\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!39}a^{18}+\frac{15\!\cdots\!86}{35\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{14\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{15\!\cdots\!81}{35\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{64\!\cdots\!07}{35\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{52\!\cdots\!01}{35\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{59\!\cdots\!30}{35\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!94}{31\!\cdots\!49}a^{11}-\frac{81\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!39}a^{10}-\frac{15\!\cdots\!13}{35\!\cdots\!39}a^{9}+\frac{31\!\cdots\!87}{50\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{10\!\cdots\!19}{35\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{34\!\cdots\!32}{35\!\cdots\!39}a^{6}+\frac{16\!\cdots\!05}{50\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{13\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!39}a^{4}-\frac{18\!\cdots\!18}{50\!\cdots\!77}a^{3}-\frac{72\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!66}{50\!\cdots\!77}a+\frac{21\!\cdots\!32}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{1}{35\!\cdots\!39}a^{32}-\frac{29\!\cdots\!08}{31\!\cdots\!49}a^{30}+\frac{13\!\cdots\!23}{35\!\cdots\!39}a^{29}-\frac{71\!\cdots\!46}{35\!\cdots\!39}a^{28}+\frac{37\!\cdots\!86}{50\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{12\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{23\!\cdots\!02}{35\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!90}{45\!\cdots\!07}a^{24}+\frac{74\!\cdots\!42}{31\!\cdots\!49}a^{23}-\frac{36\!\cdots\!47}{35\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{98\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!39}a^{21}+\frac{87\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!22}{35\!\cdots\!39}a^{19}-\frac{87\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!39}a^{18}-\frac{63\!\cdots\!59}{35\!\cdots\!39}a^{17}-\frac{15\!\cdots\!91}{35\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{38\!\cdots\!35}{35\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{16\!\cdots\!48}{35\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!27}{35\!\cdots\!39}a^{13}-\frac{93\!\cdots\!00}{35\!\cdots\!39}a^{12}-\frac{10\!\cdots\!13}{50\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!10}{35\!\cdots\!39}a^{10}+\frac{17\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!39}a^{9}-\frac{13\!\cdots\!23}{50\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!60}{35\!\cdots\!39}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!87}{31\!\cdots\!49}a^{6}+\frac{99\!\cdots\!74}{45\!\cdots\!07}a^{5}-\frac{16\!\cdots\!90}{71\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{43\!\cdots\!30}{35\!\cdots\!39}a^{3}-\frac{47\!\cdots\!85}{35\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{73\!\cdots\!84}{50\!\cdots\!77}a-\frac{19\!\cdots\!69}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{1}{24\!\cdots\!73}a^{33}-\frac{1}{24\!\cdots\!73}a^{32}-\frac{1}{24\!\cdots\!73}a^{31}+\frac{17\!\cdots\!20}{24\!\cdots\!73}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!73}a^{29}+\frac{14\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!73}a^{28}-\frac{15\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!73}a^{27}-\frac{11\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!73}a^{26}-\frac{17\!\cdots\!69}{24\!\cdots\!73}a^{25}+\frac{14\!\cdots\!96}{35\!\cdots\!39}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!63}{35\!\cdots\!39}a^{23}-\frac{15\!\cdots\!88}{50\!\cdots\!77}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!27}{24\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{17\!\cdots\!54}{35\!\cdots\!39}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!66}{31\!\cdots\!49}a^{19}-\frac{95\!\cdots\!31}{24\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!73}{35\!\cdots\!39}a^{17}+\frac{74\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!39}a^{16}-\frac{26\!\cdots\!40}{24\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!72}{35\!\cdots\!39}a^{14}-\frac{49\!\cdots\!98}{35\!\cdots\!39}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!39}a^{12}+\frac{12\!\cdots\!67}{24\!\cdots\!73}a^{11}+\frac{20\!\cdots\!87}{22\!\cdots\!43}a^{10}+\frac{12\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!73}a^{9}-\frac{90\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!73}a^{8}+\frac{64\!\cdots\!44}{24\!\cdots\!73}a^{7}-\frac{64\!\cdots\!91}{24\!\cdots\!73}a^{6}+\frac{71\!\cdots\!94}{24\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{11\!\cdots\!57}{24\!\cdots\!73}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!93}{35\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{32\!\cdots\!77}{71\!\cdots\!11}a-\frac{14\!\cdots\!63}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{1}{17\!\cdots\!11}a^{34}-\frac{1}{17\!\cdots\!11}a^{33}-\frac{1}{17\!\cdots\!11}a^{32}+\frac{1}{15\!\cdots\!01}a^{31}+\frac{46\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!11}a^{30}-\frac{42\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!11}a^{29}+\frac{32\!\cdots\!61}{17\!\cdots\!11}a^{28}-\frac{71\!\cdots\!52}{17\!\cdots\!11}a^{27}-\frac{32\!\cdots\!91}{17\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{44\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{15\!\cdots\!57}{35\!\cdots\!39}a^{24}-\frac{58\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!73}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!01}a^{22}-\frac{17\!\cdots\!51}{24\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{86\!\cdots\!74}{24\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{39\!\cdots\!77}{17\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{34\!\cdots\!25}{24\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{97\!\cdots\!46}{24\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{10\!\cdots\!59}{24\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{45\!\cdots\!05}{35\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{95\!\cdots\!17}{24\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{80\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{39\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{98\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{55\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!11}a^{9}+\frac{19\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{72\!\cdots\!07}{17\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{19\!\cdots\!45}{15\!\cdots\!01}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{33\!\cdots\!11}{17\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{67\!\cdots\!50}{24\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{38\!\cdots\!55}{35\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{41\!\cdots\!73}{50\!\cdots\!77}a+\frac{79\!\cdots\!55}{65\!\cdots\!01}$, $\frac{1}{12\!\cdots\!77}a^{35}-\frac{1}{12\!\cdots\!77}a^{34}-\frac{1}{12\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{1}{10\!\cdots\!07}a^{32}-\frac{16}{12\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{27\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!77}a^{30}-\frac{49\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{73\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!77}a^{28}+\frac{29\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{97\!\cdots\!70}{17\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{22\!\cdots\!65}{24\!\cdots\!73}a^{25}+\frac{30\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{24\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{58\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{51\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{26\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{15\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{77\!\cdots\!93}{17\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{48\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{41\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{62\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{26\!\cdots\!19}{17\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{43\!\cdots\!94}{12\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{16\!\cdots\!96}{10\!\cdots\!07}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{56\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{56\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{57\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{15\!\cdots\!34}{12\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!58}{17\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{39\!\cdots\!13}{24\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{59\!\cdots\!69}{50\!\cdots\!77}a^{2}-\frac{19\!\cdots\!44}{45\!\cdots\!07}a+\frac{12\!\cdots\!77}{71\!\cdots\!11}$
| Monogenic: | Not computed | |
| Index: | $1$ | |
| Inessential primes: | None |
Class group and class number
$C_{3}\times C_{6}\times C_{78}$, which has order $1404$ (assuming GRH)
Unit group
| Rank: | $17$ | sage: UK.rank()
gp: K.fu
magma: UnitRank(K);
oscar: rank(UK)
| |
| Torsion generator: |
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(order $14$)
| sage: UK.torsion_generator()
gp: K.tu[2]
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
oscar: torsion_units_generator(OK)
| |
| Fundamental units: |
$\frac{85\!\cdots\!77}{15\!\cdots\!01}a^{35}-\frac{17\!\cdots\!81}{15\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{16\!\cdots\!06}{15\!\cdots\!01}a^{33}+\frac{10\!\cdots\!40}{15\!\cdots\!01}a^{32}-\frac{22\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!01}a^{31}-\frac{41\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!01}a^{30}+\frac{13\!\cdots\!09}{15\!\cdots\!01}a^{29}-\frac{18\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!01}a^{28}-\frac{65\!\cdots\!64}{15\!\cdots\!01}a^{27}+\frac{17\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!01}a^{26}-\frac{24\!\cdots\!15}{22\!\cdots\!43}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!13}{22\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{21\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!01}a^{23}-\frac{92\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!01}a^{22}+\frac{20\!\cdots\!71}{22\!\cdots\!43}a^{21}+\frac{68\!\cdots\!85}{15\!\cdots\!01}a^{20}+\frac{36\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!01}a^{19}+\frac{28\!\cdots\!64}{31\!\cdots\!49}a^{18}-\frac{10\!\cdots\!29}{15\!\cdots\!01}a^{17}+\frac{23\!\cdots\!61}{15\!\cdots\!01}a^{16}-\frac{72\!\cdots\!27}{22\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{11\!\cdots\!43}{22\!\cdots\!43}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!01}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!04}{15\!\cdots\!01}a^{12}-\frac{18\!\cdots\!69}{15\!\cdots\!01}a^{11}-\frac{73\!\cdots\!32}{15\!\cdots\!01}a^{10}+\frac{95\!\cdots\!86}{15\!\cdots\!01}a^{9}-\frac{58\!\cdots\!17}{15\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{96\!\cdots\!52}{15\!\cdots\!01}a^{7}-\frac{45\!\cdots\!27}{15\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{73\!\cdots\!25}{22\!\cdots\!43}a^{5}+\frac{30\!\cdots\!95}{15\!\cdots\!01}a^{4}-\frac{46\!\cdots\!64}{22\!\cdots\!43}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!34}{31\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{31\!\cdots\!27}{45\!\cdots\!07}a+\frac{91\!\cdots\!30}{65\!\cdots\!01}$, 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$\frac{11\!\cdots\!51}{12\!\cdots\!77}a^{35}+\frac{40\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!77}a^{34}-\frac{12\!\cdots\!55}{12\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{19\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!77}a^{32}+\frac{37\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{18\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{23\!\cdots\!90}{12\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{89\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{10\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!77}a^{27}-\frac{20\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{39\!\cdots\!90}{35\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{26\!\cdots\!44}{17\!\cdots\!11}a^{24}-\frac{28\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{50\!\cdots\!51}{35\!\cdots\!39}a^{22}-\frac{69\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{20\!\cdots\!99}{10\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{35\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!89}{17\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{91\!\cdots\!01}{12\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{31\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!60}{24\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{13\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{19\!\cdots\!42}{12\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{15\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{79\!\cdots\!21}{10\!\cdots\!07}a^{11}-\frac{11\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{32\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{64\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{84\!\cdots\!87}{12\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{34\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{90\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{97\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!92}{35\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{82\!\cdots\!27}{50\!\cdots\!77}a+\frac{13\!\cdots\!64}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{12\!\cdots\!71}{10\!\cdots\!07}a^{35}-\frac{16\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!77}a^{34}-\frac{71\!\cdots\!03}{12\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{14\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{25\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{19\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{18\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{14\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{86\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{31\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{24\!\cdots\!85}{31\!\cdots\!49}a^{25}-\frac{18\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{25\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{19\!\cdots\!67}{17\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{71\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{50\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{15\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{12\!\cdots\!97}{17\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!48}{12\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{43\!\cdots\!14}{15\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{20\!\cdots\!77}{24\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{59\!\cdots\!25}{17\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{31\!\cdots\!82}{12\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{50\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{14\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{72\!\cdots\!33}{10\!\cdots\!07}a^{10}+\frac{84\!\cdots\!98}{12\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{78\!\cdots\!16}{12\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{48\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{36\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{34\!\cdots\!37}{24\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{56\!\cdots\!89}{35\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{23\!\cdots\!53}{71\!\cdots\!11}a+\frac{14\!\cdots\!42}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{82\!\cdots\!74}{12\!\cdots\!77}a^{35}-\frac{17\!\cdots\!10}{10\!\cdots\!07}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{11\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{21\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{25\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{16\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{99\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{20\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{17\!\cdots\!29}{24\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{18\!\cdots\!54}{10\!\cdots\!07}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!25}{17\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{35\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{54\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!77}a^{20}-\frac{11\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!39}{15\!\cdots\!01}a^{18}-\frac{34\!\cdots\!93}{12\!\cdots\!77}a^{17}-\frac{26\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{17\!\cdots\!21}{35\!\cdots\!39}a^{15}-\frac{68\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{59\!\cdots\!79}{12\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{77\!\cdots\!06}{12\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{97\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{18\!\cdots\!00}{12\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{25\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{73\!\cdots\!12}{12\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{44\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{40\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!67}{12\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{75\!\cdots\!80}{24\!\cdots\!73}a^{4}-\frac{88\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{13\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{90\!\cdots\!09}{45\!\cdots\!07}a-\frac{92\!\cdots\!43}{65\!\cdots\!01}$, $\frac{69\!\cdots\!50}{12\!\cdots\!77}a^{35}-\frac{38\!\cdots\!04}{10\!\cdots\!07}a^{34}-\frac{75\!\cdots\!76}{12\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{57\!\cdots\!84}{12\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{39\!\cdots\!79}{10\!\cdots\!07}a^{31}-\frac{17\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{66\!\cdots\!75}{12\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{17\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{25\!\cdots\!19}{12\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{86\!\cdots\!34}{17\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{25\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{60\!\cdots\!23}{15\!\cdots\!01}a^{24}+\frac{53\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{21\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{66\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{54\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{33\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{18\!\cdots\!94}{17\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!67}{35\!\cdots\!39}a^{15}+\frac{60\!\cdots\!41}{17\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{37\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{46\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{24\!\cdots\!52}{12\!\cdots\!77}a^{10}-\frac{12\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{32\!\cdots\!88}{12\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{54\!\cdots\!46}{12\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{12\!\cdots\!70}{10\!\cdots\!07}a^{6}+\frac{25\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{22\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{12\!\cdots\!24}{24\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{60\!\cdots\!56}{35\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{50\!\cdots\!26}{50\!\cdots\!77}a+\frac{12\!\cdots\!13}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{14\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!77}a^{35}-\frac{10\!\cdots\!35}{10\!\cdots\!07}a^{34}-\frac{41\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{15\!\cdots\!65}{12\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{64\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{66\!\cdots\!28}{12\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{19\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{40\!\cdots\!27}{12\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{94\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{31\!\cdots\!71}{35\!\cdots\!39}a^{26}+\frac{94\!\cdots\!54}{24\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{20\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{91\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{84\!\cdots\!85}{17\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{65\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{76\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{28\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{23\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{32\!\cdots\!18}{10\!\cdots\!07}a^{17}+\frac{27\!\cdots\!10}{17\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{13\!\cdots\!86}{24\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{43\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{49\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{72\!\cdots\!63}{12\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{41\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{76\!\cdots\!09}{10\!\cdots\!07}a^{10}-\frac{20\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{92\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{80\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{99\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{47\!\cdots\!77}{24\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{88\!\cdots\!69}{35\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{53\!\cdots\!10}{50\!\cdots\!77}a+\frac{11\!\cdots\!68}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{84\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!77}a^{35}-\frac{99\!\cdots\!15}{12\!\cdots\!77}a^{34}-\frac{51\!\cdots\!43}{12\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{92\!\cdots\!64}{12\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{16\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{81\!\cdots\!53}{12\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{67\!\cdots\!04}{12\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{47\!\cdots\!54}{12\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{61\!\cdots\!02}{50\!\cdots\!77}a^{26}+\frac{92\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{10\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{16\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{75\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{42\!\cdots\!36}{17\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{45\!\cdots\!00}{10\!\cdots\!07}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!73}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!01}a^{18}+\frac{18\!\cdots\!38}{12\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{41\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{21\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{42\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{41\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{47\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{52\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{20\!\cdots\!37}{12\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{80\!\cdots\!25}{12\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{54\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{54\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{32\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{20\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{82\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{14\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!80}{35\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{13\!\cdots\!37}{71\!\cdots\!11}a-\frac{76\!\cdots\!19}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{20\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!77}a^{35}-\frac{97\!\cdots\!99}{12\!\cdots\!77}a^{34}+\frac{95\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{26\!\cdots\!52}{10\!\cdots\!07}a^{32}-\frac{12\!\cdots\!35}{12\!\cdots\!77}a^{31}+\frac{11\!\cdots\!57}{12\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{41\!\cdots\!22}{12\!\cdots\!77}a^{29}-\frac{91\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{16\!\cdots\!76}{10\!\cdots\!07}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{31\!\cdots\!44}{35\!\cdots\!39}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!80}{12\!\cdots\!77}a^{23}-\frac{25\!\cdots\!12}{24\!\cdots\!73}a^{22}-\frac{42\!\cdots\!22}{17\!\cdots\!11}a^{21}-\frac{34\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{73\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{33\!\cdots\!00}{17\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{53\!\cdots\!32}{12\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{14\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{36\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{10\!\cdots\!92}{17\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{50\!\cdots\!14}{12\!\cdots\!77}a^{13}-\frac{18\!\cdots\!96}{12\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{15\!\cdots\!77}{12\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{32\!\cdots\!26}{12\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{51\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{75\!\cdots\!03}{10\!\cdots\!07}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!66}{12\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{11\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{10\!\cdots\!92}{12\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!28}{17\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{37\!\cdots\!97}{24\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{37\!\cdots\!26}{35\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{79\!\cdots\!62}{50\!\cdots\!77}a-\frac{11\!\cdots\!18}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{10\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!77}a^{35}-\frac{13\!\cdots\!58}{12\!\cdots\!77}a^{34}-\frac{21\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{13\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{17\!\cdots\!44}{12\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{31\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{16\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{13\!\cdots\!49}{12\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{88\!\cdots\!05}{12\!\cdots\!77}a^{27}+\frac{21\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{35\!\cdots\!01}{24\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!61}{12\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{35\!\cdots\!30}{17\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{11\!\cdots\!08}{17\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{65\!\cdots\!56}{12\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{40\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{27\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!11}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!73}{12\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{21\!\cdots\!84}{15\!\cdots\!01}a^{16}+\frac{40\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{66\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!11}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!10}{12\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{19\!\cdots\!07}{12\!\cdots\!77}a^{12}-\frac{11\!\cdots\!86}{12\!\cdots\!77}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{53\!\cdots\!40}{12\!\cdots\!77}a^{9}+\frac{63\!\cdots\!33}{12\!\cdots\!77}a^{8}-\frac{47\!\cdots\!02}{12\!\cdots\!77}a^{7}+\frac{15\!\cdots\!29}{12\!\cdots\!77}a^{6}-\frac{11\!\cdots\!11}{12\!\cdots\!77}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!08}{17\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{35\!\cdots\!80}{35\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{32\!\cdots\!78}{35\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{80\!\cdots\!85}{50\!\cdots\!77}a-\frac{55\!\cdots\!98}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{12\!\cdots\!09}{12\!\cdots\!77}a^{35}-\frac{11\!\cdots\!17}{12\!\cdots\!77}a^{34}+\frac{52\!\cdots\!08}{12\!\cdots\!77}a^{33}+\frac{10\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!77}a^{32}-\frac{19\!\cdots\!83}{12\!\cdots\!77}a^{31}-\frac{59\!\cdots\!41}{12\!\cdots\!77}a^{30}+\frac{12\!\cdots\!21}{12\!\cdots\!77}a^{29}+\frac{14\!\cdots\!95}{12\!\cdots\!77}a^{28}-\frac{45\!\cdots\!01}{10\!\cdots\!07}a^{27}+\frac{26\!\cdots\!73}{17\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{87\!\cdots\!63}{24\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!11}a^{24}+\frac{20\!\cdots\!68}{12\!\cdots\!77}a^{23}+\frac{52\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{10\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!11}a^{21}+\frac{71\!\cdots\!36}{12\!\cdots\!77}a^{20}+\frac{22\!\cdots\!74}{17\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{24\!\cdots\!32}{17\!\cdots\!11}a^{18}+\frac{10\!\cdots\!81}{12\!\cdots\!77}a^{17}+\frac{63\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{39\!\cdots\!10}{24\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{12\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!11}a^{14}+\frac{64\!\cdots\!24}{12\!\cdots\!77}a^{13}+\frac{10\!\cdots\!60}{12\!\cdots\!77}a^{12}+\frac{92\!\cdots\!20}{12\!\cdots\!77}a^{11}+\frac{14\!\cdots\!69}{12\!\cdots\!77}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!62}{12\!\cdots\!77}a^{9}-\frac{77\!\cdots\!71}{12\!\cdots\!77}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!39}{12\!\cdots\!77}a^{7}-\frac{13\!\cdots\!45}{12\!\cdots\!77}a^{6}+\frac{60\!\cdots\!30}{12\!\cdots\!77}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{27\!\cdots\!02}{24\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{12\!\cdots\!42}{35\!\cdots\!39}a^{2}-\frac{14\!\cdots\!41}{71\!\cdots\!11}a+\frac{19\!\cdots\!70}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{76\!\cdots\!65}{17\!\cdots\!11}a^{35}-\frac{11\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!11}a^{34}-\frac{78\!\cdots\!96}{17\!\cdots\!11}a^{33}+\frac{89\!\cdots\!71}{17\!\cdots\!11}a^{32}-\frac{16\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!11}a^{31}-\frac{13\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{11\!\cdots\!40}{17\!\cdots\!11}a^{29}+\frac{52\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!11}a^{28}-\frac{58\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!11}a^{27}+\frac{12\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{72\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{11\!\cdots\!82}{24\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!56}{17\!\cdots\!11}a^{23}+\frac{85\!\cdots\!45}{17\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{18\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{93\!\cdots\!86}{17\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!48}{17\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{25\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{93\!\cdots\!98}{17\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{56\!\cdots\!54}{22\!\cdots\!43}a^{15}-\frac{91\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{80\!\cdots\!75}{17\!\cdots\!11}a^{13}-\frac{13\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!11}a^{12}-\frac{23\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{90\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{52\!\cdots\!31}{17\!\cdots\!11}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!20}{17\!\cdots\!11}a^{7}+\frac{67\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!11}a^{6}-\frac{12\!\cdots\!30}{24\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{41\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{52\!\cdots\!69}{24\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{90\!\cdots\!51}{71\!\cdots\!11}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!61}{50\!\cdots\!77}a-\frac{13\!\cdots\!13}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{13\!\cdots\!80}{24\!\cdots\!73}a^{35}-\frac{16\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!11}a^{34}+\frac{77\!\cdots\!33}{17\!\cdots\!11}a^{33}+\frac{10\!\cdots\!81}{17\!\cdots\!11}a^{32}-\frac{23\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!11}a^{31}+\frac{12\!\cdots\!70}{17\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{13\!\cdots\!42}{17\!\cdots\!11}a^{29}+\frac{12\!\cdots\!53}{17\!\cdots\!11}a^{28}-\frac{57\!\cdots\!50}{17\!\cdots\!11}a^{27}+\frac{20\!\cdots\!04}{17\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{45\!\cdots\!89}{24\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{17\!\cdots\!52}{35\!\cdots\!39}a^{24}+\frac{33\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!73}a^{23}-\frac{40\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{46\!\cdots\!31}{24\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{52\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!73}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{13\!\cdots\!71}{24\!\cdots\!73}a^{18}+\frac{35\!\cdots\!70}{24\!\cdots\!73}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!78}{17\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{51\!\cdots\!19}{22\!\cdots\!43}a^{15}+\frac{78\!\cdots\!12}{35\!\cdots\!39}a^{14}+\frac{48\!\cdots\!03}{24\!\cdots\!73}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{49\!\cdots\!70}{17\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{10\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{14\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{86\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!11}a^{8}+\frac{29\!\cdots\!01}{17\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{33\!\cdots\!96}{17\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{72\!\cdots\!49}{17\!\cdots\!11}a^{5}-\frac{12\!\cdots\!82}{17\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{26\!\cdots\!75}{35\!\cdots\!39}a^{3}+\frac{63\!\cdots\!37}{35\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{22\!\cdots\!99}{50\!\cdots\!77}a+\frac{26\!\cdots\!69}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{11\!\cdots\!66}{17\!\cdots\!11}a^{35}+\frac{12\!\cdots\!18}{17\!\cdots\!11}a^{34}-\frac{21\!\cdots\!37}{17\!\cdots\!11}a^{33}+\frac{17\!\cdots\!96}{24\!\cdots\!73}a^{32}-\frac{66\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!73}a^{31}-\frac{58\!\cdots\!28}{24\!\cdots\!73}a^{30}+\frac{13\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!11}a^{29}+\frac{29\!\cdots\!17}{17\!\cdots\!11}a^{28}-\frac{53\!\cdots\!57}{17\!\cdots\!11}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!51}{17\!\cdots\!11}a^{26}+\frac{46\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{13\!\cdots\!75}{24\!\cdots\!73}a^{24}+\frac{74\!\cdots\!90}{15\!\cdots\!01}a^{23}+\frac{38\!\cdots\!68}{17\!\cdots\!11}a^{22}+\frac{67\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!73}a^{21}+\frac{10\!\cdots\!55}{17\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!11}a^{19}+\frac{34\!\cdots\!21}{22\!\cdots\!43}a^{18}+\frac{17\!\cdots\!27}{17\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{39\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!11}a^{16}+\frac{97\!\cdots\!80}{24\!\cdots\!73}a^{15}+\frac{89\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!73}a^{14}+\frac{10\!\cdots\!83}{17\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{12\!\cdots\!24}{17\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!88}{17\!\cdots\!11}a^{11}+\frac{61\!\cdots\!13}{17\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{13\!\cdots\!93}{24\!\cdots\!73}a^{9}+\frac{18\!\cdots\!79}{24\!\cdots\!73}a^{8}-\frac{45\!\cdots\!88}{24\!\cdots\!73}a^{7}+\frac{59\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!11}a^{6}+\frac{23\!\cdots\!60}{17\!\cdots\!11}a^{5}+\frac{33\!\cdots\!52}{17\!\cdots\!11}a^{4}+\frac{19\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!73}a^{3}-\frac{93\!\cdots\!39}{35\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{61\!\cdots\!10}{50\!\cdots\!77}a-\frac{12\!\cdots\!35}{71\!\cdots\!11}$, $\frac{32\!\cdots\!43}{17\!\cdots\!11}a^{35}-\frac{11\!\cdots\!55}{15\!\cdots\!01}a^{34}+\frac{60\!\cdots\!06}{17\!\cdots\!11}a^{33}+\frac{49\!\cdots\!54}{17\!\cdots\!11}a^{32}-\frac{13\!\cdots\!80}{15\!\cdots\!01}a^{31}+\frac{69\!\cdots\!64}{17\!\cdots\!11}a^{30}+\frac{67\!\cdots\!12}{17\!\cdots\!11}a^{29}-\frac{83\!\cdots\!29}{17\!\cdots\!11}a^{28}-\frac{34\!\cdots\!90}{17\!\cdots\!11}a^{27}+\frac{10\!\cdots\!03}{17\!\cdots\!11}a^{26}-\frac{11\!\cdots\!15}{24\!\cdots\!73}a^{25}-\frac{57\!\cdots\!65}{22\!\cdots\!43}a^{24}+\frac{14\!\cdots\!95}{17\!\cdots\!11}a^{23}-\frac{84\!\cdots\!86}{17\!\cdots\!11}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!35}{24\!\cdots\!73}a^{21}-\frac{12\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!11}a^{20}+\frac{44\!\cdots\!02}{17\!\cdots\!11}a^{19}-\frac{13\!\cdots\!14}{24\!\cdots\!73}a^{18}-\frac{67\!\cdots\!99}{17\!\cdots\!11}a^{17}+\frac{17\!\cdots\!87}{17\!\cdots\!11}a^{16}-\frac{87\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!73}a^{15}-\frac{52\!\cdots\!09}{24\!\cdots\!73}a^{14}-\frac{47\!\cdots\!46}{17\!\cdots\!11}a^{13}+\frac{64\!\cdots\!84}{17\!\cdots\!11}a^{12}+\frac{69\!\cdots\!35}{17\!\cdots\!11}a^{11}-\frac{31\!\cdots\!63}{17\!\cdots\!11}a^{10}+\frac{10\!\cdots\!16}{17\!\cdots\!11}a^{9}-\frac{48\!\cdots\!75}{15\!\cdots\!01}a^{8}+\frac{11\!\cdots\!38}{17\!\cdots\!11}a^{7}-\frac{22\!\cdots\!59}{15\!\cdots\!01}a^{6}+\frac{21\!\cdots\!19}{24\!\cdots\!73}a^{5}+\frac{35\!\cdots\!15}{17\!\cdots\!11}a^{4}-\frac{13\!\cdots\!95}{24\!\cdots\!73}a^{3}+\frac{39\!\cdots\!10}{35\!\cdots\!39}a^{2}+\frac{24\!\cdots\!17}{71\!\cdots\!11}a-\frac{72\!\cdots\!25}{71\!\cdots\!11}$
| sage: UK.fundamental_units()
gp: K.fu
magma: [K|fUK(g): g in Generators(UK)];
oscar: [K(fUK(a)) for a in gens(UK)]
| |
| Regulator: | \( 1017338455548356.9 \) (assuming GRH) | sage: K.regulator()
gp: K.reg
magma: Regulator(K);
oscar: regulator(K)
|
Class number formula
\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{18}\cdot 1017338455548356.9 \cdot 1404}{14\cdot\sqrt{5194565526429829568692289293990783055042612231547038493482119849}}\cr\approx \mathstrut & 0.329736898960345 \end{aligned}\] (assuming GRH)
Galois group
| An abelian group of order 36 |
| The 36 conjugacy class representatives for $C_6^2$ |
| Character table for $C_6^2$ |
Intermediate fields
Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.
Frobenius cycle types
| $p$ | $2$ | $3$ | $5$ | $7$ | $11$ | $13$ | $17$ | $19$ | $23$ | $29$ | $31$ | $37$ | $41$ | $43$ | $47$ | $53$ | $59$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cycle type | ${\href{/padicField/2.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/3.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/5.6.0.1}{6} }^{6}$ | R | ${\href{/padicField/11.3.0.1}{3} }^{12}$ | ${\href{/padicField/13.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/17.6.0.1}{6} }^{6}$ | R | ${\href{/padicField/23.3.0.1}{3} }^{12}$ | ${\href{/padicField/29.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/37.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/43.3.0.1}{3} }^{12}$ | ${\href{/padicField/47.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/53.6.0.1}{6} }^{6}$ | ${\href{/padicField/59.6.0.1}{6} }^{6}$ |
In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.
Local algebras for ramified primes
| $p$ | Label | Polynomial | $e$ | $f$ | $c$ | Galois group | Slope content |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
\(7\)
| 7.6.5.5 | $x^{6} + 7$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ |
| 7.6.5.5 | $x^{6} + 7$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ | |
| 7.6.5.5 | $x^{6} + 7$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ | |
| 7.6.5.5 | $x^{6} + 7$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ | |
| 7.6.5.5 | $x^{6} + 7$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ | |
| 7.6.5.5 | $x^{6} + 7$ | $6$ | $1$ | $5$ | $C_6$ | $[\ ]_{6}$ | |
|
\(19\)
| Deg $36$ | $6$ | $6$ | $30$ |