↑

Properties

Label 36.0.46670422643...5625.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $5^{18}\cdot 7^{30}\cdot 13^{24}$
Root discriminant $62.57$
Ramified primes $5, 7, 13$
Class number $18252$ (GRH)
Class group $[3, 78, 78]$ (GRH)
Galois group $C_6^2$ (as 36T4)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![15625, 31250, 121875, 321875, 988125, 2810625, 8256125, -3353375, 15076150, -10539950, 25873295, -17241760, 56036661, 6924502, 43737647, 12539976, 40517626, 6109454, 41203829, -19685757, 15331678, -7515837, 4847897, -2018276, 1434220, -238348, 149073, -26274, 14878, -2451, 1346, -102, 136, -12, 13, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - x^35 + 13*x^34 - 12*x^33 + 136*x^32 - 102*x^31 + 1346*x^30 - 2451*x^29 + 14878*x^28 - 26274*x^27 + 149073*x^26 - 238348*x^25 + 1434220*x^24 - 2018276*x^23 + 4847897*x^22 - 7515837*x^21 + 15331678*x^20 - 19685757*x^19 + 41203829*x^18 + 6109454*x^17 + 40517626*x^16 + 12539976*x^15 + 43737647*x^14 + 6924502*x^13 + 56036661*x^12 - 17241760*x^11 + 25873295*x^10 - 10539950*x^9 + 15076150*x^8 - 3353375*x^7 + 8256125*x^6 + 2810625*x^5 + 988125*x^4 + 321875*x^3 + 121875*x^2 + 31250*x + 15625)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - x^35 + 13*x^34 - 12*x^33 + 136*x^32 - 102*x^31 + 1346*x^30 - 2451*x^29 + 14878*x^28 - 26274*x^27 + 149073*x^26 - 238348*x^25 + 1434220*x^24 - 2018276*x^23 + 4847897*x^22 - 7515837*x^21 + 15331678*x^20 - 19685757*x^19 + 41203829*x^18 + 6109454*x^17 + 40517626*x^16 + 12539976*x^15 + 43737647*x^14 + 6924502*x^13 + 56036661*x^12 - 17241760*x^11 + 25873295*x^10 - 10539950*x^9 + 15076150*x^8 - 3353375*x^7 + 8256125*x^6 + 2810625*x^5 + 988125*x^4 + 321875*x^3 + 121875*x^2 + 31250*x + 15625, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - x^{35} + 13 x^{34} - 12 x^{33} + 136 x^{32} - 102 x^{31} + 1346 x^{30} - 2451 x^{29} + 14878 x^{28} - 26274 x^{27} + 149073 x^{26} - 238348 x^{25} + 1434220 x^{24} - 2018276 x^{23} + 4847897 x^{22} - 7515837 x^{21} + 15331678 x^{20} - 19685757 x^{19} + 41203829 x^{18} + 6109454 x^{17} + 40517626 x^{16} + 12539976 x^{15} + 43737647 x^{14} + 6924502 x^{13} + 56036661 x^{12} - 17241760 x^{11} + 25873295 x^{10} - 10539950 x^{9} + 15076150 x^{8} - 3353375 x^{7} + 8256125 x^{6} + 2810625 x^{5} + 988125 x^{4} + 321875 x^{3} + 121875 x^{2} + 31250 x + 15625 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(46670422643729575749553066692313283284467702220107608795166015625=5^{18}\cdot 7^{30}\cdot 13^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $62.57$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 7, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(455=5\cdot 7\cdot 13\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{455}(256,·)$, $\chi_{455}(1,·)$, $\chi_{455}(386,·)$, $\chi_{455}(131,·)$, $\chi_{455}(261,·)$, $\chi_{455}(391,·)$, $\chi_{455}(9,·)$, $\chi_{455}(139,·)$, $\chi_{455}(269,·)$, $\chi_{455}(16,·)$, $\chi_{455}(274,·)$, $\chi_{455}(276,·)$, $\chi_{455}(29,·)$, $\chi_{455}(159,·)$, $\chi_{455}(289,·)$, $\chi_{455}(419,·)$, $\chi_{455}(61,·)$, $\chi_{455}(191,·)$, $\chi_{455}(321,·)$, $\chi_{455}(66,·)$, $\chi_{455}(451,·)$, $\chi_{455}(326,·)$, $\chi_{455}(74,·)$, $\chi_{455}(204,·)$, $\chi_{455}(334,·)$, $\chi_{455}(79,·)$, $\chi_{455}(81,·)$, $\chi_{455}(339,·)$, $\chi_{455}(341,·)$, $\chi_{455}(94,·)$, $\chi_{455}(144,·)$, $\chi_{455}(354,·)$, $\chi_{455}(209,·)$, $\chi_{455}(146,·)$, $\chi_{455}(211,·)$, $\chi_{455}(404,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{3} a^{21} - \frac{1}{3} a^{14} - \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{3} a^{22} - \frac{1}{3} a^{15} - \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a$, $\frac{1}{3} a^{23} - \frac{1}{3} a^{16} - \frac{1}{3} a^{9} - \frac{1}{3} a^{2}$, $\frac{1}{3} a^{24} - \frac{1}{3} a^{17} - \frac{1}{3} a^{10} - \frac{1}{3} a^{3}$, $\frac{1}{3} a^{25} - \frac{1}{3} a^{18} - \frac{1}{3} a^{11} - \frac{1}{3} a^{4}$, $\frac{1}{15} a^{26} - \frac{1}{15} a^{25} - \frac{2}{15} a^{24} - \frac{2}{15} a^{23} + \frac{1}{15} a^{22} - \frac{2}{15} a^{21} + \frac{2}{5} a^{20} - \frac{1}{15} a^{19} - \frac{2}{15} a^{18} - \frac{4}{15} a^{17} - \frac{7}{15} a^{16} + \frac{2}{15} a^{15} + \frac{1}{3} a^{14} - \frac{2}{5} a^{13} + \frac{2}{15} a^{12} - \frac{2}{15} a^{11} - \frac{7}{15} a^{10} - \frac{7}{15} a^{9} - \frac{1}{15} a^{8} - \frac{1}{15} a^{7} + \frac{2}{5} a^{6} - \frac{4}{15} a^{5} + \frac{7}{15} a^{4} + \frac{2}{15} a^{3} - \frac{4}{15} a^{2} + \frac{1}{3} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{15} a^{27} + \frac{2}{15} a^{25} + \frac{1}{15} a^{24} - \frac{1}{15} a^{23} - \frac{1}{15} a^{22} - \frac{1}{15} a^{21} + \frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{5} a^{19} + \frac{4}{15} a^{18} - \frac{1}{15} a^{17} - \frac{1}{3} a^{16} + \frac{7}{15} a^{15} + \frac{4}{15} a^{14} - \frac{4}{15} a^{13} + \frac{1}{15} a^{11} - \frac{4}{15} a^{10} + \frac{7}{15} a^{9} - \frac{2}{15} a^{8} - \frac{1}{3} a^{7} + \frac{2}{15} a^{6} + \frac{1}{5} a^{5} + \frac{4}{15} a^{4} - \frac{7}{15} a^{3} + \frac{1}{15} a^{2} - \frac{1}{3} a - \frac{1}{3}$, $\frac{1}{75} a^{28} - \frac{1}{75} a^{27} - \frac{2}{75} a^{26} + \frac{1}{25} a^{25} - \frac{3}{25} a^{24} + \frac{1}{25} a^{23} + \frac{2}{25} a^{22} + \frac{4}{75} a^{21} + \frac{13}{75} a^{20} - \frac{34}{75} a^{19} + \frac{1}{25} a^{18} + \frac{4}{25} a^{17} - \frac{2}{25} a^{15} - \frac{1}{25} a^{14} + \frac{28}{75} a^{13} + \frac{23}{75} a^{12} - \frac{9}{25} a^{11} + \frac{3}{25} a^{10} + \frac{3}{25} a^{9} - \frac{3}{25} a^{8} - \frac{3}{25} a^{7} + \frac{7}{75} a^{6} - \frac{13}{75} a^{5} + \frac{2}{25} a^{4} - \frac{1}{5} a^{3} + \frac{2}{5} a^{2} + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{75} a^{29} + \frac{2}{75} a^{27} + \frac{1}{75} a^{26} + \frac{4}{75} a^{25} - \frac{1}{75} a^{24} + \frac{4}{75} a^{23} + \frac{1}{15} a^{22} + \frac{4}{25} a^{21} + \frac{4}{75} a^{20} + \frac{29}{75} a^{19} + \frac{7}{15} a^{18} + \frac{7}{75} a^{17} - \frac{31}{75} a^{16} + \frac{26}{75} a^{15} - \frac{2}{5} a^{14} + \frac{31}{75} a^{13} - \frac{4}{75} a^{12} - \frac{13}{75} a^{11} - \frac{2}{75} a^{10} + \frac{7}{15} a^{9} - \frac{28}{75} a^{8} - \frac{9}{25} a^{7} + \frac{4}{75} a^{6} + \frac{8}{75} a^{5} + \frac{11}{75} a^{4} - \frac{4}{15} a^{3} + \frac{7}{15} a^{2}$, $\frac{1}{56625} a^{30} - \frac{346}{56625} a^{29} + \frac{358}{56625} a^{28} - \frac{722}{56625} a^{27} + \frac{167}{18875} a^{26} + \frac{2053}{56625} a^{25} - \frac{8764}{56625} a^{24} + \frac{193}{18875} a^{23} + \frac{2641}{18875} a^{22} + \frac{2447}{18875} a^{21} - \frac{9172}{56625} a^{20} + \frac{7639}{18875} a^{19} + \frac{5311}{11325} a^{18} + \frac{7774}{56625} a^{17} + \frac{9667}{56625} a^{16} + \frac{22823}{56625} a^{15} - \frac{19082}{56625} a^{14} + \frac{14258}{56625} a^{13} + \frac{6398}{18875} a^{12} - \frac{2476}{56625} a^{11} - \frac{3179}{56625} a^{10} - \frac{4019}{56625} a^{9} + \frac{17027}{56625} a^{8} - \frac{10313}{56625} a^{7} - \frac{4}{56625} a^{6} + \frac{308}{3775} a^{5} - \frac{4541}{11325} a^{4} - \frac{428}{2265} a^{3} + \frac{851}{2265} a^{2} + \frac{152}{453} a - \frac{218}{453}$, $\frac{1}{334224173945474395106947071790125} a^{31} - \frac{826501551288884576955545371}{111408057981824798368982357263375} a^{30} - \frac{70610406902031003523194171526}{66844834789094879021389414358025} a^{29} + \frac{107765992887918390948523741429}{111408057981824798368982357263375} a^{28} - \frac{918431190657176376547697557067}{66844834789094879021389414358025} a^{27} + \frac{3929165837042395148764187413726}{334224173945474395106947071790125} a^{26} - \frac{3206625323440836574841433484394}{22281611596364959673796471452675} a^{25} + \frac{6059563816626514477804344226019}{111408057981824798368982357263375} a^{24} + \frac{2521975029305540914607196590394}{22281611596364959673796471452675} a^{23} + \frac{2953628348216854367426647470918}{22281611596364959673796471452675} a^{22} + \frac{49305094180241297883968684586371}{334224173945474395106947071790125} a^{21} - \frac{96111008433073678722386395746779}{334224173945474395106947071790125} a^{20} + \frac{122682969389318516867918001239831}{334224173945474395106947071790125} a^{19} - \frac{31038284301310242750278448669392}{111408057981824798368982357263375} a^{18} + \frac{10892917788315739977733048013584}{334224173945474395106947071790125} a^{17} - \frac{10243168468738329712428096302432}{111408057981824798368982357263375} a^{16} + \frac{47625314009944764503254940126812}{334224173945474395106947071790125} a^{15} - \frac{101565920538464941596394842551258}{334224173945474395106947071790125} a^{14} + \frac{162879302621185685325003277877098}{334224173945474395106947071790125} a^{13} - \frac{84735758747260503148638744201484}{334224173945474395106947071790125} a^{12} - \frac{52805024643083947703912559832789}{111408057981824798368982357263375} a^{11} - \frac{36486661408808647288688050174781}{334224173945474395106947071790125} a^{10} + \frac{4431630274563103428978298813647}{22281611596364959673796471452675} a^{9} - \frac{10888403687990876571561936718592}{334224173945474395106947071790125} a^{8} + \frac{103941208828864428033907093183702}{334224173945474395106947071790125} a^{7} + \frac{32307087178484871499762102357198}{334224173945474395106947071790125} a^{6} + \frac{10332626981259687952017784890472}{66844834789094879021389414358025} a^{5} + \frac{2952461734510153428433268305604}{22281611596364959673796471452675} a^{4} - \frac{2461770262155396066409105444087}{13368966957818975804277882871605} a^{3} - \frac{983378081118998871550144916019}{4456322319272991934759294290535} a^{2} - \frac{623827562960180502910361839598}{2673793391563795160855576574321} a - \frac{147865766383311608762365856368}{2673793391563795160855576574321}$, $\frac{1}{1671120869727371975534735358950625} a^{32} - \frac{1}{1671120869727371975534735358950625} a^{31} - \frac{5084777871712201282168558097}{1671120869727371975534735358950625} a^{30} + \frac{2511275236987237111141338465323}{1671120869727371975534735358950625} a^{29} - \frac{2572292571447783526527361162519}{1671120869727371975534735358950625} a^{28} + \frac{32641493302962370243555231491143}{1671120869727371975534735358950625} a^{27} - \frac{30765815299939158292684962788314}{1671120869727371975534735358950625} a^{26} + \frac{103796321538230284411445686304869}{1671120869727371975534735358950625} a^{25} - \frac{24911309600712415871251595735632}{1671120869727371975534735358950625} a^{24} + \frac{130623371201915648596108201844936}{1671120869727371975534735358950625} a^{23} - \frac{125481582552440069997973398197482}{1671120869727371975534735358950625} a^{22} - \frac{132149477546005522847841178680158}{1671120869727371975534735358950625} a^{21} + \frac{32607438596457874488475490519633}{334224173945474395106947071790125} a^{20} + \frac{476562053237041619302680643668304}{1671120869727371975534735358950625} a^{19} + \frac{236584951791040436564325463506674}{557040289909123991844911786316875} a^{18} - \frac{235880110283834659942901231857659}{557040289909123991844911786316875} a^{17} + \frac{356836776271096074005983958947283}{1671120869727371975534735358950625} a^{16} + \frac{155804400503551527890857089229171}{557040289909123991844911786316875} a^{15} + \frac{575219169307880009130912628967299}{1671120869727371975534735358950625} a^{14} - \frac{536324517933421149380257156148351}{1671120869727371975534735358950625} a^{13} + \frac{92356018313468040140593496201986}{1671120869727371975534735358950625} a^{12} + \frac{26901517793494612076610961247312}{557040289909123991844911786316875} a^{11} - \frac{274797853481304071314062018996771}{557040289909123991844911786316875} a^{10} + \frac{598255051276503640214728579542617}{1671120869727371975534735358950625} a^{9} + \frac{98727411186360602443537512598072}{557040289909123991844911786316875} a^{8} - \frac{123440568481203213000531412652431}{334224173945474395106947071790125} a^{7} - \frac{5611337528139324266604950454718}{334224173945474395106947071790125} a^{6} - \frac{1271023034438109633013884914}{17707241003733742787123023671} a^{5} + \frac{9359630838968957597670971775583}{66844834789094879021389414358025} a^{4} + \frac{397537121994333319672288984502}{2673793391563795160855576574321} a^{3} + \frac{1098589130793841887152545878769}{4456322319272991934759294290535} a^{2} + \frac{13820239898617864001834899798}{32214378211611989889826223787} a + \frac{388209825396228836777155648765}{891264463854598386951858858107}$, $\frac{1}{1671120869727371975534735358950625} a^{33} + \frac{2}{1671120869727371975534735358950625} a^{31} + \frac{3415375399161383564318523691}{1671120869727371975534735358950625} a^{30} + \frac{1573125857216272263144930085939}{1671120869727371975534735358950625} a^{29} - \frac{510713784142111886791035933877}{557040289909123991844911786316875} a^{28} + \frac{20454051519210700804448409640849}{1671120869727371975534735358950625} a^{27} - \frac{6640423203569081343596312714171}{334224173945474395106947071790125} a^{26} - \frac{2918292206221693969689131011381}{557040289909123991844911786316875} a^{25} + \frac{12369926987551428268919430093298}{557040289909123991844911786316875} a^{24} + \frac{222801596027499444791001824607964}{1671120869727371975534735358950625} a^{23} - \frac{30843656900316566904932392441424}{334224173945474395106947071790125} a^{22} + \frac{11616633511358059064497278484697}{1671120869727371975534735358950625} a^{21} + \frac{807677338543257074939853278419439}{1671120869727371975534735358950625} a^{20} + \frac{26167867077661260789297955793906}{1671120869727371975534735358950625} a^{19} + \frac{44825703682687791818416846421303}{111408057981824798368982357263375} a^{18} - \frac{179557553189564059692458811003934}{1671120869727371975534735358950625} a^{17} + \frac{112038106325549963880119945544042}{557040289909123991844911786316875} a^{16} + \frac{775629766205830634923118880980132}{1671120869727371975534735358950625} a^{15} - \frac{833599888758100718699426558239607}{1671120869727371975534735358950625} a^{14} + \frac{149091003047603149877777458209406}{334224173945474395106947071790125} a^{13} - \frac{255984656355866401075450839872593}{1671120869727371975534735358950625} a^{12} - \frac{166453929174252007312510592413264}{557040289909123991844911786316875} a^{11} - \frac{57415518960530042167490340838306}{1671120869727371975534735358950625} a^{10} - \frac{60782943644855280669424595097709}{557040289909123991844911786316875} a^{9} - \frac{211374981525413631267315225108784}{1671120869727371975534735358950625} a^{8} + \frac{47971239718997668213946581384457}{334224173945474395106947071790125} a^{7} + \frac{30871170178689565459405152182327}{66844834789094879021389414358025} a^{6} - \frac{9863188206933209414481469819529}{22281611596364959673796471452675} a^{5} - \frac{1522801522269994472714341791913}{4456322319272991934759294290535} a^{4} - \frac{1314789594221467615581110107190}{2673793391563795160855576574321} a^{3} + \frac{3201713464116620150628888920459}{13368966957818975804277882871605} a^{2} - \frac{225127685941677711902883633590}{891264463854598386951858858107} a + \frac{790558432978190651261936679007}{2673793391563795160855576574321}$, $\frac{1}{8355604348636859877673676794753125} a^{34} - \frac{1}{8355604348636859877673676794753125} a^{33} - \frac{2}{8355604348636859877673676794753125} a^{32} + \frac{1}{2785201449545619959224558931584375} a^{31} + \frac{69449516173011471585207694066}{8355604348636859877673676794753125} a^{30} + \frac{8046526846061163377991731754026}{2785201449545619959224558931584375} a^{29} - \frac{23306186344107352474952702933194}{8355604348636859877673676794753125} a^{28} + \frac{76319768268162635353080132096704}{8355604348636859877673676794753125} a^{27} - \frac{43498998208352711270953975075312}{8355604348636859877673676794753125} a^{26} + \frac{975271243686008584750329913663366}{8355604348636859877673676794753125} a^{25} - \frac{303333251963057007369460455729722}{8355604348636859877673676794753125} a^{24} - \frac{548544942142054004827589288277863}{8355604348636859877673676794753125} a^{23} + \frac{1410408999462699249178700537807}{13368966957818975804277882871605} a^{22} - \frac{1268927517042199413006483852473681}{8355604348636859877673676794753125} a^{21} - \frac{1167631752718277028220070216454403}{8355604348636859877673676794753125} a^{20} - \frac{326363796555921731485899043386899}{2785201449545619959224558931584375} a^{19} - \frac{623653019577326469234526103806}{11653562550400083511399828165625} a^{18} - \frac{2788502581681712269395519038752327}{8355604348636859877673676794753125} a^{17} + \frac{1361507675358794216436184796038803}{2785201449545619959224558931584375} a^{16} - \frac{2617278312526076613533483553639566}{8355604348636859877673676794753125} a^{15} - \frac{22213213087605395292631277103434}{8355604348636859877673676794753125} a^{14} - \frac{2521764947691176970656620583012959}{8355604348636859877673676794753125} a^{13} - \frac{56691979883116002388864020281456}{2785201449545619959224558931584375} a^{12} + \frac{792306599807022991893727316280079}{2785201449545619959224558931584375} a^{11} - \frac{1324131889073843624676988242535669}{8355604348636859877673676794753125} a^{10} - \frac{213851244788231165747861558706061}{557040289909123991844911786316875} a^{9} - \frac{291704380880347854836172324260074}{1671120869727371975534735358950625} a^{8} + \frac{155012047398714613096488430464778}{334224173945474395106947071790125} a^{7} + \frac{45929721324119093088901449042708}{111408057981824798368982357263375} a^{6} + \frac{12390131866346610691890059626561}{66844834789094879021389414358025} a^{5} + \frac{24455348944411956429019469632091}{66844834789094879021389414358025} a^{4} - \frac{271546274968559637793165424105}{2673793391563795160855576574321} a^{3} - \frac{401807124493057196231200758611}{13368966957818975804277882871605} a^{2} - \frac{865271279628900120356464694608}{2673793391563795160855576574321} a - \frac{386878703495796511386486929617}{891264463854598386951858858107}$, $\frac{1}{8355604348636859877673676794753125} a^{35} + \frac{2}{8355604348636859877673676794753125} a^{33} + \frac{1}{8355604348636859877673676794753125} a^{32} + \frac{4}{8355604348636859877673676794753125} a^{31} + \frac{64193018619767635668386273299}{8355604348636859877673676794753125} a^{30} + \frac{27403111689569337618144761320979}{8355604348636859877673676794753125} a^{29} - \frac{8276181549375655422468405103774}{1671120869727371975534735358950625} a^{28} + \frac{133488529019371559933585568919187}{8355604348636859877673676794753125} a^{27} - \frac{127557514563823570101328322390696}{8355604348636859877673676794753125} a^{26} + \frac{260607842697187115119741698302104}{8355604348636859877673676794753125} a^{25} + \frac{30438663678456869995488242131614}{557040289909123991844911786316875} a^{24} + \frac{896746388907438944246043165149732}{8355604348636859877673676794753125} a^{23} + \frac{1350287969867188820231619280015394}{8355604348636859877673676794753125} a^{22} + \frac{434244382018723642260959902120892}{2785201449545619959224558931584375} a^{21} - \frac{192626745002549607763143292272136}{1671120869727371975534735358950625} a^{20} - \frac{1135894393581223741639726190996819}{8355604348636859877673676794753125} a^{19} - \frac{1163047758871492566674542364712643}{2785201449545619959224558931584375} a^{18} - \frac{3514577859361093568951472890705738}{8355604348636859877673676794753125} a^{17} - \frac{2362427604726468577875382057356877}{8355604348636859877673676794753125} a^{16} - \frac{91741297086284868482783826713871}{557040289909123991844911786316875} a^{15} - \frac{509872443128684685122285397061176}{2785201449545619959224558931584375} a^{14} + \frac{4137659060069966494474989282545023}{8355604348636859877673676794753125} a^{13} - \frac{2533545750450400987334884071370271}{8355604348636859877673676794753125} a^{12} - \frac{1043709739981510787515454215982614}{2785201449545619959224558931584375} a^{11} - \frac{3744498096908939725226750677483064}{8355604348636859877673676794753125} a^{10} - \frac{9677497043029620477004199753533}{20133986382257493681141389866875} a^{9} + \frac{128410502548181991675395249655034}{557040289909123991844911786316875} a^{8} - \frac{131171918450954587529429060533169}{334224173945474395106947071790125} a^{7} + \frac{73488406120944916160085518016169}{334224173945474395106947071790125} a^{6} - \frac{21380815400797531452472491602}{93228500403200668091198625325} a^{5} - \frac{247012534233643533442238530532}{13368966957818975804277882871605} a^{4} - \frac{6151499388993842997703615648861}{13368966957818975804277882871605} a^{3} + \frac{1819318803456239432272273846539}{4456322319272991934759294290535} a^{2} - \frac{312647331196770531373824600710}{2673793391563795160855576574321} a - \frac{5758156424729127350237211129}{891264463854598386951858858107}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{3}\times C_{78}\times C_{78}$, which has order $18252$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{321895090839992174366614}{11067025627333589241951889794375} a^{35} + \frac{4184636180919898266765982}{11067025627333589241951889794375} a^{34} - \frac{1287580363359968697466456}{3689008542444529747317296598125} a^{33} + \frac{43777732354238935713859504}{11067025627333589241951889794375} a^{32} - \frac{10944433088559733928464876}{3689008542444529747317296598125} a^{31} + \frac{433270792270629466697462444}{11067025627333589241951889794375} a^{30} - \frac{228199911163771939252709326}{11067025627333589241951889794375} a^{29} + \frac{4789155161517403570226483092}{11067025627333589241951889794375} a^{28} - \frac{2819157205576651463102805412}{3689008542444529747317296598125} a^{27} + \frac{15995288958930051136451416274}{3689008542444529747317296598125} a^{26} - \frac{76723051111530454775933713672}{11067025627333589241951889794375} a^{25} + \frac{92333675436906715264017026216}{2213405125466717848390377958875} a^{24} - \frac{649673136360176045711952237464}{11067025627333589241951889794375} a^{23} + \frac{292602782533831772247282968776}{737801708488905949463459319625} a^{22} - \frac{806437011284524754605016355306}{3689008542444529747317296598125} a^{21} + \frac{4935191882539509539908779798292}{11067025627333589241951889794375} a^{20} - \frac{2112249512589670608827597372266}{3689008542444529747317296598125} a^{19} + \frac{13263310278910503913940146565006}{11067025627333589241951889794375} a^{18} + \frac{1966603250312753549652807368756}{11067025627333589241951889794375} a^{17} + \frac{13042424901890828763913252938364}{11067025627333589241951889794375} a^{16} + \frac{241721233554880073993930608185938}{11067025627333589241951889794375} a^{15} + \frac{14078933854192511205209411717258}{11067025627333589241951889794375} a^{14} + \frac{2228963200311707491385967376228}{11067025627333589241951889794375} a^{13} + \frac{6012642027654948905878279478618}{3689008542444529747317296598125} a^{12} - \frac{1110007580288268694461462120128}{2213405125466717848390377958875} a^{11} + \frac{1665697328870983065015768434626}{2213405125466717848390377958875} a^{10} - \frac{135710326507959020728615729172}{442681025093343569678075591775} a^{9} - \frac{281114000279573981141116405284301}{11067025627333589241951889794375} a^{8} - \frac{8635479601964470061733153778}{88536205018668713935615118355} a^{7} + \frac{21260848854890643124740488086}{88536205018668713935615118355} a^{6} + \frac{482520741169148269375554386}{5902413667911247595707674557} a^{5} + \frac{169638712872675875891205578}{5902413667911247595707674557} a^{4} + \frac{165775971782595969798806210}{17707241003733742787123023671} a^{3} + \frac{20923180904599491333829910}{5902413667911247595707674557} a^{2} - \frac{51175528908352541797489443215}{17707241003733742787123023671} a + \frac{8047377270999804359165350}{17707241003733742787123023671} \) (order $14$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 101496132655168.33 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_6^2$ (as 36T4):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_6^2$
Character table for $C_6^2$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-35}) \), \(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\sqrt{5}) \), 3.3.169.1, 3.3.8281.1, 3.3.8281.2, \(\Q(\zeta_{7})^+\), \(\Q(\sqrt{5}, \sqrt{-7})\), 6.0.1224552875.2, 6.0.60003090875.1, 6.0.60003090875.2, 6.0.2100875.1, 6.0.9796423.1, 6.6.3570125.1, 6.0.480024727.1, 6.6.8571870125.2, 6.0.480024727.2, 6.6.8571870125.1, \(\Q(\zeta_{7})\), 6.6.300125.1, 9.9.567869252041.1, 12.0.1499529743670765625.1, 12.0.3600370914553508265625.1, 12.0.3600370914553508265625.2, 12.0.4413675765625.1, 18.0.216033383169661016512360513671875.3, 18.0.110609092182866440454328583.1, 18.18.629834936354696841143908203125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/3.6.0.1}{6} }^{6}$ R R ${\href{/LocalNumberField/11.3.0.1}{3} }^{12}$ R ${\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/19.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/23.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/29.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/37.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/43.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/47.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/53.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/59.6.0.1}{6} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$5$5.12.6.1$x^{12} + 500 x^{6} - 3125 x^{2} + 62500$$2$$6$$6$$C_6\times C_2$$[\ ]_{2}^{6}$
5.12.6.1$x^{12} + 500 x^{6} - 3125 x^{2} + 62500$$2$$6$$6$$C_6\times C_2$$[\ ]_{2}^{6}$
5.12.6.1$x^{12} + 500 x^{6} - 3125 x^{2} + 62500$$2$$6$$6$$C_6\times C_2$$[\ ]_{2}^{6}$
7Data not computed
$13$13.6.4.3$x^{6} + 65 x^{3} + 1352$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
13.6.4.3$x^{6} + 65 x^{3} + 1352$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
13.6.4.3$x^{6} + 65 x^{3} + 1352$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
13.6.4.3$x^{6} + 65 x^{3} + 1352$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
13.6.4.3$x^{6} + 65 x^{3} + 1352$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
13.6.4.3$x^{6} + 65 x^{3} + 1352$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$