↑

Properties

Label 36.0.44923865752...4917.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $3^{48}\cdot 37^{33}$
Root discriminant $118.49$
Ramified primes $3, 37$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_3\times C_{12}$ (as 36T3)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![104897357, 713505450, 2834392743, 3516565010, 1704283443, 1981536447, 4762776347, 4170559728, -861415446, -4188723253, -3390929529, -818916783, 951065917, 434132280, 313578288, 334585913, 96376791, -32759037, -51896833, -3061389, 19377618, 3836034, -2700417, 167631, 159200, -229239, 65883, 12544, -18840, 9420, 1057, -1893, 207, 137, -27, -3, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 3*x^35 - 27*x^34 + 137*x^33 + 207*x^32 - 1893*x^31 + 1057*x^30 + 9420*x^29 - 18840*x^28 + 12544*x^27 + 65883*x^26 - 229239*x^25 + 159200*x^24 + 167631*x^23 - 2700417*x^22 + 3836034*x^21 + 19377618*x^20 - 3061389*x^19 - 51896833*x^18 - 32759037*x^17 + 96376791*x^16 + 334585913*x^15 + 313578288*x^14 + 434132280*x^13 + 951065917*x^12 - 818916783*x^11 - 3390929529*x^10 - 4188723253*x^9 - 861415446*x^8 + 4170559728*x^7 + 4762776347*x^6 + 1981536447*x^5 + 1704283443*x^4 + 3516565010*x^3 + 2834392743*x^2 + 713505450*x + 104897357)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 3*x^35 - 27*x^34 + 137*x^33 + 207*x^32 - 1893*x^31 + 1057*x^30 + 9420*x^29 - 18840*x^28 + 12544*x^27 + 65883*x^26 - 229239*x^25 + 159200*x^24 + 167631*x^23 - 2700417*x^22 + 3836034*x^21 + 19377618*x^20 - 3061389*x^19 - 51896833*x^18 - 32759037*x^17 + 96376791*x^16 + 334585913*x^15 + 313578288*x^14 + 434132280*x^13 + 951065917*x^12 - 818916783*x^11 - 3390929529*x^10 - 4188723253*x^9 - 861415446*x^8 + 4170559728*x^7 + 4762776347*x^6 + 1981536447*x^5 + 1704283443*x^4 + 3516565010*x^3 + 2834392743*x^2 + 713505450*x + 104897357, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 3 x^{35} - 27 x^{34} + 137 x^{33} + 207 x^{32} - 1893 x^{31} + 1057 x^{30} + 9420 x^{29} - 18840 x^{28} + 12544 x^{27} + 65883 x^{26} - 229239 x^{25} + 159200 x^{24} + 167631 x^{23} - 2700417 x^{22} + 3836034 x^{21} + 19377618 x^{20} - 3061389 x^{19} - 51896833 x^{18} - 32759037 x^{17} + 96376791 x^{16} + 334585913 x^{15} + 313578288 x^{14} + 434132280 x^{13} + 951065917 x^{12} - 818916783 x^{11} - 3390929529 x^{10} - 4188723253 x^{9} - 861415446 x^{8} + 4170559728 x^{7} + 4762776347 x^{6} + 1981536447 x^{5} + 1704283443 x^{4} + 3516565010 x^{3} + 2834392743 x^{2} + 713505450 x + 104897357 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(449238657521288617873575771982141197761323383589614425066522712799093474917=3^{48}\cdot 37^{33}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $118.49$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 37$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(333=3^{2}\cdot 37\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{333}(1,·)$, $\chi_{333}(265,·)$, $\chi_{333}(10,·)$, $\chi_{333}(142,·)$, $\chi_{333}(154,·)$, $\chi_{333}(286,·)$, $\chi_{333}(31,·)$, $\chi_{333}(295,·)$, $\chi_{333}(43,·)$, $\chi_{333}(175,·)$, $\chi_{333}(304,·)$, $\chi_{333}(307,·)$, $\chi_{333}(310,·)$, $\chi_{333}(184,·)$, $\chi_{333}(319,·)$, $\chi_{333}(64,·)$, $\chi_{333}(193,·)$, $\chi_{333}(322,·)$, $\chi_{333}(196,·)$, $\chi_{333}(325,·)$, $\chi_{333}(199,·)$, $\chi_{333}(73,·)$, $\chi_{333}(208,·)$, $\chi_{333}(82,·)$, $\chi_{333}(211,·)$, $\chi_{333}(85,·)$, $\chi_{333}(214,·)$, $\chi_{333}(88,·)$, $\chi_{333}(223,·)$, $\chi_{333}(97,·)$, $\chi_{333}(100,·)$, $\chi_{333}(103,·)$, $\chi_{333}(232,·)$, $\chi_{333}(112,·)$, $\chi_{333}(121,·)$, $\chi_{333}(253,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $\frac{1}{998751353929} a^{33} - \frac{144484124592}{998751353929} a^{32} + \frac{423499489750}{998751353929} a^{31} - \frac{11703967208}{142678764847} a^{30} + \frac{2013731358}{4733418739} a^{29} + \frac{67160760780}{142678764847} a^{28} - \frac{32343328918}{142678764847} a^{27} + \frac{398132106705}{998751353929} a^{26} + \frac{332657553722}{998751353929} a^{25} + \frac{63092556918}{142678764847} a^{24} - \frac{30557812071}{998751353929} a^{23} + \frac{375872569956}{998751353929} a^{22} + \frac{31793725578}{998751353929} a^{21} - \frac{1908900162}{142678764847} a^{20} - \frac{21928346577}{142678764847} a^{19} - \frac{36167525475}{998751353929} a^{18} - \frac{165298123171}{998751353929} a^{17} - \frac{9386028343}{21250028807} a^{16} - \frac{59160856944}{142678764847} a^{15} - \frac{13768874373}{142678764847} a^{14} - \frac{370433496348}{998751353929} a^{13} + \frac{75885560342}{998751353929} a^{12} - \frac{337172878999}{998751353929} a^{11} - \frac{454753788737}{998751353929} a^{10} - \frac{13119274250}{998751353929} a^{9} + \frac{70305196342}{142678764847} a^{8} - \frac{394025229335}{998751353929} a^{7} + \frac{3087050342}{998751353929} a^{6} + \frac{220139486844}{998751353929} a^{5} - \frac{215617528346}{998751353929} a^{4} + \frac{928822917}{998751353929} a^{3} + \frac{60169162102}{142678764847} a^{2} - \frac{26197519431}{142678764847} a + \frac{281652354455}{998751353929}$, $\frac{1}{998751353929} a^{34} + \frac{356257274855}{998751353929} a^{32} + \frac{417214168941}{998751353929} a^{31} - \frac{363933742247}{998751353929} a^{30} + \frac{324462733020}{998751353929} a^{29} - \frac{8176566733}{142678764847} a^{28} + \frac{137928703728}{998751353929} a^{27} + \frac{24394072138}{998751353929} a^{26} - \frac{31315846606}{998751353929} a^{25} + \frac{80474065298}{998751353929} a^{24} - \frac{13206644335}{142678764847} a^{23} + \frac{434333894601}{998751353929} a^{22} - \frac{74174618388}{998751353929} a^{21} - \frac{59813875027}{142678764847} a^{20} + \frac{420632262543}{998751353929} a^{19} - \frac{73986043422}{998751353929} a^{18} + \frac{167680260903}{998751353929} a^{17} - \frac{272152205044}{998751353929} a^{16} - \frac{30786305013}{142678764847} a^{15} + \frac{396123363504}{998751353929} a^{14} + \frac{4728636693}{142678764847} a^{13} + \frac{57048330892}{142678764847} a^{12} - \frac{36906871355}{998751353929} a^{11} - \frac{43127840749}{142678764847} a^{10} - \frac{4159420182}{998751353929} a^{9} + \frac{23803915272}{998751353929} a^{8} + \frac{60618853354}{998751353929} a^{7} + \frac{354477976}{6703029221} a^{6} + \frac{220921096391}{998751353929} a^{5} - \frac{59053494235}{998751353929} a^{4} + \frac{490260957602}{998751353929} a^{3} + \frac{66931186884}{142678764847} a^{2} + \frac{171205043663}{998751353929} a + \frac{350114513359}{998751353929}$, $\frac{1}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{35} + \frac{58121561846253724759478529861710998252617055780294408806952509702534945890681476537174898586962720013488684964000118966229507690167567962165552288426967874171950789392653}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{34} - \frac{94907044117064342023994085973657897214720123415979055838273179266251050167893420263744706706605208912374483222378230688054278254687256337535796499677783879380765418345259}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{33} + \frac{86077737061104777112952169416656241111198153333810213506314045881797028553625316535123379102509151246622026186357257732783128316648354505452477831476264434385233317593921023918500738}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{32} - \frac{9743890180791523621781681951622605412064633554515967683414468580151604455279786095669079731196754930661375365967398376797478820225649177914522602961847812299306779926007474036750570}{56254701262315617497853868421261717469958150217131146088132280088504936031743649033893014753213376801874146724536162551381197375090513493705584540633164825913377228600398777875974343} a^{31} - \frac{404023446669819121229694280924094815185507010501451803764968611994034471997173643991162954938694288026311718096623052020163642487103280663090994582794057393547153765145029891435428}{1196908537496076968039444008963015265318258515258109491236857023159679490037098915614744994749220783018598866479492820242153135640223691355437968949641804806667600608519122933531369} a^{30} - \frac{192734343561572245641915082597124551675171960038409419057785733282004178257213742197740790835355041928915960707270677294590754846212084781097978571183979195086419559225414597867068626}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{29} - \frac{172013996343265651444601479914902513972279592208256836170943019398685533397690391124473149254520228984437566329537520062086781439886725399285314346302408584952138650845457133642047682}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{28} + \frac{178992958325527956802713102757621920578527322166719498480959813581792675726975709441887366995898945765564236690999353581715290420828092306872627960902498870166462585538561208326891341}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{27} + \frac{162351986522455773740723056704543016960323725123923731538628675246033980305438222500392203562906919908901106494589072177926442175392245100071290460562643522249788468280871004496835686}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{26} + \frac{57556121538296667928782419586460390380443030950510306370228740786215389013043242870041147024867417581737235517999867520004050370896964748041769582213744816517788205965079659614636840}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{25} - \frac{41799303703635269886064503411498704260166949781656374174676288517464340059129641165959138810848565244766882265487886466351803982523154759044511847751175582759739731806145278754063315}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{24} + \frac{120441202359124176241326634754606705053876945189842912341952472802185998082700061699758684257316869581645159216014186221780363929098709295922415189099259090587476934463430429206879531}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{23} - \frac{74672633119499042266180647400513758854841956272206396240758265417135163027370012255823536412528489911266633285172226697101651815003905640997831786082718230302807827499714444751642637}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{22} - \frac{967675865063683277609351465093356320716834314954428746875985980081245783200381212250245063684880907062449715518904740788734241347259138116640097344296414431083318175072568449826682}{8378359762472538776276108062741106857227809606806766438657999162117756430259692409303214963244545481130192065356449741695071949481565839488065782647492633646673204259633860534719583} a^{21} + \frac{57521730604543071880228708946427769678936100500565288618411710421126347517244616434223810119491790130700540842280358365991855996074020407821134068583017709376221628540298739055079804}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{20} - \frac{184782725759567418891868642026742669726240001600865072518530366510100648098228503335885048715788104973974123250626882848239363836703434681160935539613564478498289647217359922782606710}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{19} + \frac{143080796754755993665533299775402477455848026992311671731938363179845391871283913450386842467267198771551041240210483340643159288576505966908416080478779361031202554198621200141047589}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{18} + \frac{100997507706359369219907284025691942568398109114365228360069082216807983419774638983333032524956555479345004495794336613213460073356852664166945212684353135520183502798358239346831131}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{17} + \frac{150402049115858524240449598341020816951888582168028927343628065351331004264167301269172862710524676619854221737507081707135720682503758724093195799333108059164476378122466591383101263}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{16} + \frac{98402643948319733777235227264494186290084568603667118060200184079472000753048756649018409387487232747722578269350401122031746880285641414770175525856177615126780835186760101807673236}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{15} - \frac{84085888971224817991340207472861954638860731460323501368489837712555963812076401655255797546569250625635756421825978973920161866289851709455722760500240573444239825585589522810905700}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{14} - \frac{2660800826234272120079838749317573458135584081403797385751447215284469761940348092441116697551188736033630848607164243247167271232811764412824650823946401094335510365001937185533083}{56254701262315617497853868421261717469958150217131146088132280088504936031743649033893014753213376801874146724536162551381197375090513493705584540633164825913377228600398777875974343} a^{13} - \frac{154587698773459054086753683752197902076496878727425771714644561494254712182726497792072068163353980569384026992739521981948680632343252514225689799090753842661251647030513912917076453}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{12} - \frac{43669384438556606212206327250658851535880981087512973687377284900228855938577084901889781091439894779394668617074266956029932651203888657062186845902886571379820004405714841707097338}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{11} + \frac{126595868872407371931436043644086089966456868014533031884590620701043908063987025693255200442537986433682633797046434909220202421090786077256617770426701964801892297401144845895064814}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{10} + \frac{2504311845304751024529336412887561015611769989719141122958504776004178457079468972346511265412894422600652126680979446410549158598309077488156289906454934436927148666279435192372122}{56254701262315617497853868421261717469958150217131146088132280088504936031743649033893014753213376801874146724536162551381197375090513493705584540633164825913377228600398777875974343} a^{9} + \frac{37082569033537024223983627008355574082584699421316828881924133145099619848283506483799129088208375875436428802209579012241490022097037142983265599424482274370268872068665475755456978}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{8} + \frac{70408072269852477823925293906336495173006555852444417960440909813095083643111473504297477982627183539837976314868801626252028571377509599995920618468141340558116336840032539152177719}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{7} - \frac{53491728110852637561782912987715705870366461270936008724722115881210994371868337776515146796449242026089837257875939035920674097147248559061986995051586106806912020308091263051804453}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{6} + \frac{18982012750771170774718471648170581734945904008777317523177267676407878328732951507776345257446143648945346601385676581127403607614731879380928196440932693583411051495415042182191001}{56254701262315617497853868421261717469958150217131146088132280088504936031743649033893014753213376801874146724536162551381197375090513493705584540633164825913377228600398777875974343} a^{5} + \frac{20763968669830658897319352272245325159271974187435796027383840070154374031662288096561186095778295687820442712450139143593048210520255852062899316845725628719902967578976554352088651}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{4} - \frac{138274353310300060396104054273844396276231576285680272825339521110009593879607397406655521813308939023817908662856272868247792697118157388733877883256119668841532230893520235000545072}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{3} - \frac{54885276181900453921675725314443256187068429275380923197778464874734287872038746986102887983153731168508462315003627182946068088301809838141835066513751120195790434816704548151420419}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401} a^{2} + \frac{23730675737914340686163995925731041419328402466030804256412181369201148897157189945758180755806448867795610600812499136903309547369571116151823868057565102129372013307810722438396461}{56254701262315617497853868421261717469958150217131146088132280088504936031743649033893014753213376801874146724536162551381197375090513493705584540633164825913377228600398777875974343} a + \frac{112912319734318273702321756704261508264216474242259117629261743258154682961461414300137616352893698201060732348049733951599940896947596302886317606858769341647957537815668879739233181}{393782908836209322484977078948832022289707051519918022616925960619534552222205543237251103272493637613119027071753137859668381625633594455939091784432153781393640600202791445131820401}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_{12}$ (as 36T3):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{12}$
Character table for $C_3\times C_{12}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{37}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.110889.1, 3.3.1369.1, 3.3.110889.2, 4.0.50653.1, 6.6.332334333.1, 6.6.454965701877.2, 6.6.69343957.1, 6.6.454965701877.1, 9.9.1363532208525369.2, 12.0.5594426753633276792517.1, 12.0.7658770225723955928955773.1, 12.0.177917621779460413.1, 12.0.7658770225723955928955773.2, 18.18.94175074898950522423523751638813133.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.12.0.1}{12} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/5.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/7.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/11.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/13.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/17.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/31.12.0.1}{12} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/43.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/53.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/59.12.0.1}{12} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
$37$37.12.11.4$x^{12} - 2368$$12$$1$$11$$C_{12}$$[\ ]_{12}$
37.12.11.4$x^{12} - 2368$$12$$1$$11$$C_{12}$$[\ ]_{12}$
37.12.11.4$x^{12} - 2368$$12$$1$$11$$C_{12}$$[\ ]_{12}$