↑

Properties

Label 36.0.37397592635...3125.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $5^{27}\cdot 7^{24}\cdot 13^{30}$
Root discriminant $103.73$
Ramified primes $5, 7, 13$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_3\times C_{12}$ (as 36T3)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![10152422981, 996547853, 53097299592, -37664181986, 95870943525, -122395204267, 125862271939, -134118855581, 116764727313, -65961793774, 34673056498, -18527494830, 4974249937, 519332948, 1952471023, -3472565480, 2271992540, -765022581, 165821771, -64733864, 50749698, -22090573, 10683683, -9282144, 6063184, -2428654, 580156, -40454, -33611, 18201, -5277, 978, -2, -93, 40, -9, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 9*x^35 + 40*x^34 - 93*x^33 - 2*x^32 + 978*x^31 - 5277*x^30 + 18201*x^29 - 33611*x^28 - 40454*x^27 + 580156*x^26 - 2428654*x^25 + 6063184*x^24 - 9282144*x^23 + 10683683*x^22 - 22090573*x^21 + 50749698*x^20 - 64733864*x^19 + 165821771*x^18 - 765022581*x^17 + 2271992540*x^16 - 3472565480*x^15 + 1952471023*x^14 + 519332948*x^13 + 4974249937*x^12 - 18527494830*x^11 + 34673056498*x^10 - 65961793774*x^9 + 116764727313*x^8 - 134118855581*x^7 + 125862271939*x^6 - 122395204267*x^5 + 95870943525*x^4 - 37664181986*x^3 + 53097299592*x^2 + 996547853*x + 10152422981)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 9*x^35 + 40*x^34 - 93*x^33 - 2*x^32 + 978*x^31 - 5277*x^30 + 18201*x^29 - 33611*x^28 - 40454*x^27 + 580156*x^26 - 2428654*x^25 + 6063184*x^24 - 9282144*x^23 + 10683683*x^22 - 22090573*x^21 + 50749698*x^20 - 64733864*x^19 + 165821771*x^18 - 765022581*x^17 + 2271992540*x^16 - 3472565480*x^15 + 1952471023*x^14 + 519332948*x^13 + 4974249937*x^12 - 18527494830*x^11 + 34673056498*x^10 - 65961793774*x^9 + 116764727313*x^8 - 134118855581*x^7 + 125862271939*x^6 - 122395204267*x^5 + 95870943525*x^4 - 37664181986*x^3 + 53097299592*x^2 + 996547853*x + 10152422981, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 9 x^{35} + 40 x^{34} - 93 x^{33} - 2 x^{32} + 978 x^{31} - 5277 x^{30} + 18201 x^{29} - 33611 x^{28} - 40454 x^{27} + 580156 x^{26} - 2428654 x^{25} + 6063184 x^{24} - 9282144 x^{23} + 10683683 x^{22} - 22090573 x^{21} + 50749698 x^{20} - 64733864 x^{19} + 165821771 x^{18} - 765022581 x^{17} + 2271992540 x^{16} - 3472565480 x^{15} + 1952471023 x^{14} + 519332948 x^{13} + 4974249937 x^{12} - 18527494830 x^{11} + 34673056498 x^{10} - 65961793774 x^{9} + 116764727313 x^{8} - 134118855581 x^{7} + 125862271939 x^{6} - 122395204267 x^{5} + 95870943525 x^{4} - 37664181986 x^{3} + 53097299592 x^{2} + 996547853 x + 10152422981 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(3739759263561488214448481425151197673020924949514408774673938751220703125=5^{27}\cdot 7^{24}\cdot 13^{30}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $103.73$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $5, 7, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(455=5\cdot 7\cdot 13\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{455}(256,·)$, $\chi_{455}(1,·)$, $\chi_{455}(386,·)$, $\chi_{455}(387,·)$, $\chi_{455}(261,·)$, $\chi_{455}(9,·)$, $\chi_{455}(23,·)$, $\chi_{455}(142,·)$, $\chi_{455}(16,·)$, $\chi_{455}(274,·)$, $\chi_{455}(277,·)$, $\chi_{455}(407,·)$, $\chi_{455}(29,·)$, $\chi_{455}(289,·)$, $\chi_{455}(298,·)$, $\chi_{455}(43,·)$, $\chi_{455}(428,·)$, $\chi_{455}(303,·)$, $\chi_{455}(191,·)$, $\chi_{455}(452,·)$, $\chi_{455}(326,·)$, $\chi_{455}(74,·)$, $\chi_{455}(204,·)$, $\chi_{455}(79,·)$, $\chi_{455}(81,·)$, $\chi_{455}(211,·)$, $\chi_{455}(212,·)$, $\chi_{455}(88,·)$, $\chi_{455}(218,·)$, $\chi_{455}(207,·)$, $\chi_{455}(144,·)$, $\chi_{455}(354,·)$, $\chi_{455}(337,·)$, $\chi_{455}(233,·)$, $\chi_{455}(368,·)$, $\chi_{455}(127,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $\frac{1}{239} a^{29} + \frac{47}{239} a^{28} + \frac{32}{239} a^{27} - \frac{119}{239} a^{26} + \frac{28}{239} a^{25} - \frac{25}{239} a^{24} + \frac{50}{239} a^{23} - \frac{16}{239} a^{22} - \frac{109}{239} a^{21} - \frac{90}{239} a^{20} - \frac{10}{239} a^{19} + \frac{26}{239} a^{18} + \frac{104}{239} a^{17} + \frac{119}{239} a^{16} + \frac{119}{239} a^{15} - \frac{93}{239} a^{14} + \frac{66}{239} a^{13} - \frac{81}{239} a^{12} + \frac{51}{239} a^{11} + \frac{46}{239} a^{10} - \frac{103}{239} a^{9} + \frac{36}{239} a^{8} + \frac{20}{239} a^{7} + \frac{105}{239} a^{6} + \frac{14}{239} a^{5} - \frac{38}{239} a^{4} - \frac{79}{239} a^{3} + \frac{25}{239} a^{2} + \frac{25}{239} a + \frac{108}{239}$, $\frac{1}{85801} a^{30} - \frac{46}{85801} a^{29} - \frac{30868}{85801} a^{28} - \frac{11221}{85801} a^{27} - \frac{3484}{85801} a^{26} + \frac{72}{359} a^{25} - \frac{15550}{85801} a^{24} + \frac{26882}{85801} a^{23} - \frac{26106}{85801} a^{22} - \frac{18633}{85801} a^{21} - \frac{5502}{85801} a^{20} + \frac{27}{359} a^{19} + \frac{1271}{85801} a^{18} + \frac{4548}{85801} a^{17} - \frac{27439}{85801} a^{16} + \frac{8916}{85801} a^{15} - \frac{9688}{85801} a^{14} + \frac{4297}{85801} a^{13} + \frac{16905}{85801} a^{12} + \frac{23983}{85801} a^{11} + \frac{38878}{85801} a^{10} + \frac{37100}{85801} a^{9} + \frac{38497}{85801} a^{8} - \frac{13466}{85801} a^{7} - \frac{2581}{85801} a^{6} + \frac{5352}{85801} a^{5} - \frac{42194}{85801} a^{4} - \frac{74}{239} a^{3} - \frac{2539}{85801} a^{2} + \frac{30526}{85801} a + \frac{11227}{85801}$, $\frac{1}{85801} a^{31} + \frac{44}{85801} a^{29} + \frac{35366}{85801} a^{28} + \frac{22440}{85801} a^{27} - \frac{40741}{85801} a^{26} - \frac{15218}{85801} a^{25} + \frac{30300}{85801} a^{24} + \frac{30433}{85801} a^{23} - \frac{31937}{85801} a^{22} - \frac{1020}{85801} a^{21} + \frac{41279}{85801} a^{20} - \frac{32171}{85801} a^{19} - \frac{22069}{85801} a^{18} + \frac{13039}{85801} a^{17} + \frac{17223}{85801} a^{16} + \frac{40730}{85801} a^{15} + \frac{4886}{85801} a^{14} - \frac{8013}{85801} a^{13} + \frac{13967}{85801} a^{12} - \frac{4909}{85801} a^{11} - \frac{1463}{85801} a^{10} - \frac{26568}{85801} a^{9} + \frac{29170}{85801} a^{8} + \frac{38543}{85801} a^{7} + \frac{8327}{85801} a^{6} - \frac{20018}{85801} a^{5} + \frac{37884}{85801} a^{4} + \frac{27258}{85801} a^{3} - \frac{32777}{85801} a^{2} + \frac{10297}{85801} a - \frac{34982}{85801}$, $\frac{1}{85801} a^{32} + \frac{54}{85801} a^{29} - \frac{30956}{85801} a^{28} + \frac{30440}{85801} a^{27} + \frac{33609}{85801} a^{26} + \frac{29561}{85801} a^{25} + \frac{17814}{85801} a^{24} + \frac{7291}{85801} a^{23} + \frac{29000}{85801} a^{22} + \frac{40098}{85801} a^{21} - \frac{33485}{85801} a^{20} - \frac{18442}{85801} a^{19} + \frac{15991}{85801} a^{18} - \frac{33186}{85801} a^{17} - \frac{20301}{85801} a^{16} - \frac{25546}{85801} a^{15} + \frac{29462}{85801} a^{14} + \frac{86}{359} a^{13} - \frac{41140}{85801} a^{12} + \frac{42184}{85801} a^{11} - \frac{22616}{85801} a^{10} + \frac{11552}{85801} a^{9} + \frac{3614}{85801} a^{8} + \frac{25713}{85801} a^{7} + \frac{34311}{85801} a^{6} - \frac{33900}{85801} a^{5} + \frac{42124}{85801} a^{4} - \frac{32777}{85801} a^{3} - \frac{39178}{85801} a^{2} + \frac{5101}{85801} a + \frac{21177}{85801}$, $\frac{1}{130958838509} a^{33} - \frac{308085}{130958838509} a^{32} - \frac{555842}{130958838509} a^{31} + \frac{660366}{130958838509} a^{30} + \frac{37739010}{130958838509} a^{29} - \frac{38114520702}{130958838509} a^{28} + \frac{30245205960}{130958838509} a^{27} + \frac{39685207138}{130958838509} a^{26} - \frac{18928845985}{130958838509} a^{25} - \frac{36612185954}{130958838509} a^{24} - \frac{57435779549}{130958838509} a^{23} + \frac{64570866361}{130958838509} a^{22} - \frac{46274527256}{130958838509} a^{21} + \frac{17819418593}{130958838509} a^{20} + \frac{40899787439}{130958838509} a^{19} + \frac{28234984327}{130958838509} a^{18} + \frac{15150497949}{130958838509} a^{17} + \frac{53695380224}{130958838509} a^{16} - \frac{48282374947}{130958838509} a^{15} - \frac{9410173164}{130958838509} a^{14} - \frac{46980757483}{130958838509} a^{13} + \frac{49151829240}{130958838509} a^{12} - \frac{46725477438}{130958838509} a^{11} - \frac{10931348583}{130958838509} a^{10} - \frac{29480170122}{130958838509} a^{9} - \frac{27711638466}{130958838509} a^{8} + \frac{26660747944}{130958838509} a^{7} + \frac{29899937846}{130958838509} a^{6} + \frac{54010471854}{130958838509} a^{5} + \frac{2411331379}{130958838509} a^{4} + \frac{43404555310}{130958838509} a^{3} - \frac{12704593377}{130958838509} a^{2} + \frac{45909447069}{130958838509} a + \frac{26323901788}{130958838509}$, $\frac{1}{23703549770129} a^{34} + \frac{62}{23703549770129} a^{33} + \frac{29395334}{23703549770129} a^{32} - \frac{91093277}{23703549770129} a^{31} + \frac{105656219}{23703549770129} a^{30} + \frac{30850985364}{23703549770129} a^{29} + \frac{8675908363630}{23703549770129} a^{28} + \frac{5599423622118}{23703549770129} a^{27} - \frac{2341804476123}{23703549770129} a^{26} - \frac{1641228473723}{23703549770129} a^{25} - \frac{3906932101382}{23703549770129} a^{24} - \frac{1413109764097}{23703549770129} a^{23} - \frac{10953444256784}{23703549770129} a^{22} + \frac{747119248383}{23703549770129} a^{21} + \frac{7745716547571}{23703549770129} a^{20} + \frac{11376508676672}{23703549770129} a^{19} + \frac{1160991955242}{23703549770129} a^{18} - \frac{6559499748695}{23703549770129} a^{17} - \frac{5673908284489}{23703549770129} a^{16} + \frac{10652900291789}{23703549770129} a^{15} - \frac{9047592431447}{23703549770129} a^{14} + \frac{6473771778127}{23703549770129} a^{13} - \frac{1499677623406}{23703549770129} a^{12} - \frac{7002966035242}{23703549770129} a^{11} - \frac{10609065725504}{23703549770129} a^{10} + \frac{7336258381779}{23703549770129} a^{9} - \frac{1654957773265}{23703549770129} a^{8} + \frac{1897714093575}{23703549770129} a^{7} - \frac{2363374159167}{23703549770129} a^{6} + \frac{5332995363366}{23703549770129} a^{5} - \frac{2632204290010}{23703549770129} a^{4} - \frac{9722565725328}{23703549770129} a^{3} + \frac{2885602918794}{23703549770129} a^{2} - \frac{9065595169652}{23703549770129} a + \frac{3783290003729}{23703549770129}$, $\frac{1}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{35} + \frac{541497144738748861066403120919982385229739978944432296123416225936831754506523693689518675335876807950955732308238970865525758796866059458105986590355446646979922989148952368}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{34} + \frac{69027715154373568763345584553685348861041460339406662547218402978474696262212226967561697866036936184104316811183805239670766121000990048168204951982164225036435346630341866950}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{33} - \frac{34470419394514453789201453202407362541579220561241046330334719019033394897402845638763100852107037911950898970687684128982893361841594998411700831908302515731307658934789769849776292}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{32} - \frac{52443983000688830965060981458897114472397072837778637428166634597249672371876937096507598061000946560398138320538651438699687580703586851583312575572392692047599288965411162366148656}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{31} - \frac{14027711891557368370213669217743771011497118847187215753678224339220720154497458712966870233821652969766554147583258553317558440111920405720523813467399940551029142000188534580051480}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{30} + \frac{42664681652372185185272667016761047956138837485439279765913956848962096928351343103608556987546019510810068764285727569555443442318362011319613052717172878021285056227614024749790043084}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{29} + \frac{8856757808593338757553930493597675509353336420164271517814913023724716649988144750780563245406545306466640031735945338796731901830730668806075370800079140549883959515927070265822052400188}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{28} - \frac{12692836341672516572705259752515050373905097873039614815264232404865497523723297866872693665437481972427858548129274240556518464453345038702571761570237594945373208908769078679041288000808}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{27} + \frac{9073544724969518922101099904645820846582539887759536400855446734798893124374662161944843445502056565147999092608845476432080596425716602656914423741032935013349522222317227281273424956837}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{26} + \frac{1205105853309900354535396884542611574422836695975278464580761467926713872816222656888419589356304422651058318616183672415379335024557138309660261959252911202877100438892120592740848695377}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{25} - \frac{2467290560508601069673969456138522876935341015877267887880188594663626082743739575579630671024865355327139735892225741426455043173108057709215472403115811685071125953683885212580755168355}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{24} - \frac{54595051904492431840051088255471127256949935021271550816325504992770580632079716961557286083739782637327337347545578713676671591591373888951709948809840434316509075414438773606319174981}{163735479244719082249207497479483039557602072989742364520863116306149535349112381306003195912379216765371812475511237526493080478040807860807215442795573886357283331842243546013691458081} a^{23} + \frac{11689727146543371205639462666540242322845654431728702679460734586313064102915266683228508726916958469538926189997350770110163707753412605312425660206180791674736099058932918180990665435168}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{22} + \frac{7683008276037289373816970423298406280433151856132068482935604058515209576212866677416641265905847321396739215042753902256507527365624448659006069134979342367329118182668497153783701239833}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{21} + \frac{10718775726556037872944292556098207365273446123452412513517679145976820509390540996030374377984306051193097013236233557642914018013676734404262690210912956147081259598044897550773791244685}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{20} + \frac{10655272918163249785400853856948830824798610518119635651937714483338985007119018573681032826158909206581974166365075772938557305260817374072162798616991438037077053215475212687456813354431}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{19} - \frac{808403731942669668286123047627725605802913193793743116445086394074064246957802813406721983567462168159322793259344883902643732360104706314979076613080724366881204033979838296561124584463}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{18} - \frac{5563629717695602771064398991167147411927536869105091868718536835526838909438887739063005967331152478470946568524493897981928074837615619932972414229850726512221020986518405752213277644909}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{17} + \frac{2108865325764116381358588813748365768930951393141693114406708911688816731620083638226525393783873121354791561804595520790529014998383341319273600560748079168476219452109067968053313105693}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{16} + \frac{12909349461812207817724436665042796448386786315240269963982576262023848156152457039395368661813097898866448556846705165586496579769098160056516640716175971117819848913832125080342441608346}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{15} - \frac{5636737384889481903307926421784061802223029983418510302939938089544858987652783228457811280615228261387995780733151821726449437762297939587585399433291153050719347279976636169665889620127}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{14} + \frac{6798750980812110290578518685394772704564931484524520912877946012366014021132251876458889736800674508898359777483062486486217039997664996679415168602799655626322321029337618895968370410917}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{13} + \frac{7259910458239500728704925974919663116204200488711337783573724445216906793641800661397871736909751401275701119682718977549880574585607298852629202415689074679544639234226854046809987674914}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{12} + \frac{6376995118225902082045078631527356667642701390095286025700548300450531408584154441244301104966497677525668457065198687433830311212048666940536967254505182434897331690060461948449953132040}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{11} - \frac{9676040460625565141219141288720162079951263358438830112105214161461813430711101899389501608948166262630470563108181936580884600320223264444763911471970301382195334129076684560739721837336}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{10} + \frac{6334154052544839443007254813352143858425803998323536343659263941957242445109079564018354590796001568132366253008661201795142895761244736646534300525596971780826674029674246500660793516277}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{9} - \frac{71953296385331690476992683527034729335191097514993127904163765065767005013547699786210294843922053858933354111847430201093799285241735696952189425792382677300285801954320181756065085022}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{8} + \frac{14606578586747074239461827318661093333313661850990100999025271543838341483420261403760886681728019977473222654366450792213213337912742594107338994946860746750275240423594284988056158990961}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{7} - \frac{8802451762163569049789813935574410260471968398134208298028771975296732931930166631633265694027693141957000727775074964217704086324457348571715088257778140405017910973430081529118520234503}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{6} - \frac{3992826645504232120515602981789563212198963943716892824401152792218743946656385724316513971275213544525018872406388349576296855860476753856003631248799474642500656733558567954585758925}{11755700810509382739828067054258798159431168270981105901735907993420494207929131700272343697001443171175048813196165804163128745150887038003215388792542194934814868331394717107686693341} a^{5} + \frac{8638088725636190403502871989075150600496861174141344125409449339813268783754117815307645011588018868999645344905175640474892830824106131220800115276621136848935995316453969588460129610869}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{4} + \frac{8907344804629030612761955651750873615965997296468816201815373426382427005256339655096680910491092633243375812148190169680045457715613647774906784043734420790718703991707615558404339502083}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{3} + \frac{11247079491793520210886676460968822885472869393617823766014605066803840256908313840509964080695043409650359954493125066449795364269122489722851435864436541909478462247951616749056690980285}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a^{2} + \frac{11609208210112906376445440969554415470037530248896157403450496478177167281287200716451076987910568484866686263266786348627863232710291759442594032027612770237747939403220457008914145855177}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661} a - \frac{4880745834827801740253070295328653342897925224656392366693521276704817401851003326710197140622641727498591552673875568897405549507369877737177369312995292104278333250558921514454981029881}{29636121743294153887106557043786430159925975211143367978276224051413065898189341016386578460140638234532298058067533992295247566525386222806105995145998873430668283063446081828478153912661}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_{12}$ (as 36T3):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{12}$
Character table for $C_3\times C_{12}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 3.3.169.1, 3.3.8281.2, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 3.3.8281.1, 4.0.21125.1, 6.6.3570125.1, 6.6.8571870125.1, 6.6.300125.1, 6.6.8571870125.2, 9.9.567869252041.1, 12.0.269254866892578125.1, 12.0.1552200725917201267578125.2, 12.0.54346862011736328125.1, 12.0.1552200725917201267578125.1, 18.18.629834936354696841143908203125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/3.12.0.1}{12} }^{3}$ R R ${\href{/LocalNumberField/11.6.0.1}{6} }^{6}$ R ${\href{/LocalNumberField/17.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/23.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/37.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/43.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/59.3.0.1}{3} }^{12}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$5$5.12.9.1$x^{12} - 10 x^{8} - 375 x^{4} - 2000$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
5.12.9.1$x^{12} - 10 x^{8} - 375 x^{4} - 2000$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
5.12.9.1$x^{12} - 10 x^{8} - 375 x^{4} - 2000$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
7Data not computed
$13$13.12.10.5$x^{12} + 65 x^{6} + 1352$$6$$2$$10$$C_{12}$$[\ ]_{6}^{2}$
13.12.10.5$x^{12} + 65 x^{6} + 1352$$6$$2$$10$$C_{12}$$[\ ]_{6}^{2}$
13.12.10.5$x^{12} + 65 x^{6} + 1352$$6$$2$$10$$C_{12}$$[\ ]_{6}^{2}$