↑

Properties

Label 36.0.32387780912...9776.2
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $2^{54}\cdot 3^{48}\cdot 7^{30}$
Root discriminant $61.94$
Ramified primes $2, 3, 7$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_6^2$ (as 36T4)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![9128827, -7070100, 36478572, -164862264, 280912497, -96816432, 54606518, -146720820, 103706163, 110557824, -97239042, -59344320, 70034750, 28138392, -34628742, 6977356, 28706040, -2964660, -7505542, 9624456, 6607119, -3730568, -2660256, 1390296, 1018573, -380412, -308040, 66808, 64293, -7224, -8930, 444, 798, -12, -42, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 42*x^34 - 12*x^33 + 798*x^32 + 444*x^31 - 8930*x^30 - 7224*x^29 + 64293*x^28 + 66808*x^27 - 308040*x^26 - 380412*x^25 + 1018573*x^24 + 1390296*x^23 - 2660256*x^22 - 3730568*x^21 + 6607119*x^20 + 9624456*x^19 - 7505542*x^18 - 2964660*x^17 + 28706040*x^16 + 6977356*x^15 - 34628742*x^14 + 28138392*x^13 + 70034750*x^12 - 59344320*x^11 - 97239042*x^10 + 110557824*x^9 + 103706163*x^8 - 146720820*x^7 + 54606518*x^6 - 96816432*x^5 + 280912497*x^4 - 164862264*x^3 + 36478572*x^2 - 7070100*x + 9128827)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 42*x^34 - 12*x^33 + 798*x^32 + 444*x^31 - 8930*x^30 - 7224*x^29 + 64293*x^28 + 66808*x^27 - 308040*x^26 - 380412*x^25 + 1018573*x^24 + 1390296*x^23 - 2660256*x^22 - 3730568*x^21 + 6607119*x^20 + 9624456*x^19 - 7505542*x^18 - 2964660*x^17 + 28706040*x^16 + 6977356*x^15 - 34628742*x^14 + 28138392*x^13 + 70034750*x^12 - 59344320*x^11 - 97239042*x^10 + 110557824*x^9 + 103706163*x^8 - 146720820*x^7 + 54606518*x^6 - 96816432*x^5 + 280912497*x^4 - 164862264*x^3 + 36478572*x^2 - 7070100*x + 9128827, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 42 x^{34} - 12 x^{33} + 798 x^{32} + 444 x^{31} - 8930 x^{30} - 7224 x^{29} + 64293 x^{28} + 66808 x^{27} - 308040 x^{26} - 380412 x^{25} + 1018573 x^{24} + 1390296 x^{23} - 2660256 x^{22} - 3730568 x^{21} + 6607119 x^{20} + 9624456 x^{19} - 7505542 x^{18} - 2964660 x^{17} + 28706040 x^{16} + 6977356 x^{15} - 34628742 x^{14} + 28138392 x^{13} + 70034750 x^{12} - 59344320 x^{11} - 97239042 x^{10} + 110557824 x^{9} + 103706163 x^{8} - 146720820 x^{7} + 54606518 x^{6} - 96816432 x^{5} + 280912497 x^{4} - 164862264 x^{3} + 36478572 x^{2} - 7070100 x + 9128827 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(32387780912664470931540162651878867184371649203720968942991179776=2^{54}\cdot 3^{48}\cdot 7^{30}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $61.94$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 3, 7$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(504=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{504}(1,·)$, $\chi_{504}(115,·)$, $\chi_{504}(265,·)$, $\chi_{504}(139,·)$, $\chi_{504}(145,·)$, $\chi_{504}(403,·)$, $\chi_{504}(409,·)$, $\chi_{504}(25,·)$, $\chi_{504}(283,·)$, $\chi_{504}(289,·)$, $\chi_{504}(163,·)$, $\chi_{504}(169,·)$, $\chi_{504}(43,·)$, $\chi_{504}(433,·)$, $\chi_{504}(307,·)$, $\chi_{504}(73,·)$, $\chi_{504}(313,·)$, $\chi_{504}(187,·)$, $\chi_{504}(19,·)$, $\chi_{504}(193,·)$, $\chi_{504}(67,·)$, $\chi_{504}(97,·)$, $\chi_{504}(457,·)$, $\chi_{504}(331,·)$, $\chi_{504}(337,·)$, $\chi_{504}(211,·)$, $\chi_{504}(475,·)$, $\chi_{504}(481,·)$, $\chi_{504}(355,·)$, $\chi_{504}(361,·)$, $\chi_{504}(235,·)$, $\chi_{504}(451,·)$, $\chi_{504}(241,·)$, $\chi_{504}(499,·)$, $\chi_{504}(121,·)$, $\chi_{504}(379,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $\frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{4} a^{12} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{4} a^{13} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{4} a$, $\frac{1}{4} a^{14} - \frac{1}{4} a^{6} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{4} a^{2}$, $\frac{1}{4} a^{15} - \frac{1}{4} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{4} a^{3}$, $\frac{1}{4} a^{16} - \frac{1}{4} a^{8} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{4} a^{17} - \frac{1}{4} a^{9} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{8} a^{18} - \frac{1}{8} a^{14} - \frac{1}{8} a^{12} - \frac{1}{8} a^{10} - \frac{1}{4} a^{8} + \frac{3}{8} a^{4} + \frac{3}{8} a^{2} + \frac{1}{8}$, $\frac{1}{8} a^{19} - \frac{1}{8} a^{15} - \frac{1}{8} a^{13} - \frac{1}{8} a^{11} - \frac{1}{4} a^{9} + \frac{3}{8} a^{5} + \frac{3}{8} a^{3} + \frac{1}{8} a$, $\frac{1}{8} a^{20} - \frac{1}{8} a^{16} - \frac{1}{8} a^{14} - \frac{1}{8} a^{12} - \frac{1}{4} a^{10} - \frac{1}{8} a^{6} + \frac{3}{8} a^{4} - \frac{3}{8} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{8} a^{21} - \frac{1}{8} a^{17} - \frac{1}{8} a^{15} - \frac{1}{8} a^{13} - \frac{1}{4} a^{11} - \frac{1}{8} a^{7} + \frac{3}{8} a^{5} - \frac{3}{8} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{8} a^{22} - \frac{1}{8} a^{16} - \frac{1}{8} a^{12} - \frac{1}{8} a^{10} + \frac{1}{8} a^{8} + \frac{1}{8} a^{6} - \frac{1}{4} a^{4} - \frac{3}{8} a^{2} - \frac{1}{8}$, $\frac{1}{8} a^{23} - \frac{1}{8} a^{17} - \frac{1}{8} a^{13} - \frac{1}{8} a^{11} + \frac{1}{8} a^{9} + \frac{1}{8} a^{7} - \frac{1}{4} a^{5} - \frac{3}{8} a^{3} - \frac{1}{8} a$, $\frac{1}{16} a^{24} - \frac{1}{8} a^{16} - \frac{1}{8} a^{12} + \frac{1}{16} a^{8} - \frac{1}{8} a^{4} + \frac{1}{16}$, $\frac{1}{16} a^{25} - \frac{1}{8} a^{17} - \frac{1}{8} a^{13} + \frac{1}{16} a^{9} - \frac{1}{8} a^{5} + \frac{1}{16} a$, $\frac{1}{16} a^{26} - \frac{1}{8} a^{12} - \frac{1}{16} a^{10} - \frac{1}{4} a^{8} + \frac{1}{8} a^{6} - \frac{1}{8} a^{4} - \frac{5}{16} a^{2} - \frac{3}{8}$, $\frac{1}{16} a^{27} - \frac{1}{8} a^{13} - \frac{1}{16} a^{11} - \frac{1}{4} a^{9} + \frac{1}{8} a^{7} - \frac{1}{8} a^{5} - \frac{5}{16} a^{3} - \frac{3}{8} a$, $\frac{1}{16} a^{28} - \frac{1}{8} a^{14} - \frac{1}{16} a^{12} - \frac{1}{4} a^{10} + \frac{1}{8} a^{8} - \frac{1}{8} a^{6} - \frac{5}{16} a^{4} - \frac{3}{8} a^{2}$, $\frac{1}{16} a^{29} - \frac{1}{8} a^{15} - \frac{1}{16} a^{13} - \frac{1}{4} a^{11} + \frac{1}{8} a^{9} - \frac{1}{8} a^{7} - \frac{5}{16} a^{5} - \frac{3}{8} a^{3}$, $\frac{1}{32} a^{30} - \frac{1}{32} a^{26} - \frac{1}{32} a^{24} - \frac{1}{16} a^{22} + \frac{1}{16} a^{16} + \frac{3}{32} a^{14} + \frac{1}{16} a^{12} - \frac{3}{32} a^{10} - \frac{1}{32} a^{8} + \frac{3}{32} a^{6} + \frac{1}{16} a^{4} - \frac{1}{32} a^{2} - \frac{1}{32}$, $\frac{1}{32} a^{31} - \frac{1}{32} a^{27} - \frac{1}{32} a^{25} - \frac{1}{16} a^{23} + \frac{1}{16} a^{17} + \frac{3}{32} a^{15} + \frac{1}{16} a^{13} - \frac{3}{32} a^{11} - \frac{1}{32} a^{9} + \frac{3}{32} a^{7} + \frac{1}{16} a^{5} - \frac{1}{32} a^{3} - \frac{1}{32} a$, $\frac{1}{12128} a^{32} - \frac{35}{3032} a^{31} - \frac{147}{12128} a^{30} - \frac{29}{3032} a^{29} + \frac{249}{12128} a^{28} + \frac{31}{3032} a^{27} - \frac{19}{3032} a^{26} + \frac{33}{1516} a^{25} + \frac{317}{12128} a^{24} + \frac{15}{758} a^{23} - \frac{361}{6064} a^{22} - \frac{33}{1516} a^{21} - \frac{20}{379} a^{20} + \frac{163}{3032} a^{19} + \frac{307}{6064} a^{18} - \frac{67}{1516} a^{17} - \frac{619}{12128} a^{16} + \frac{39}{1516} a^{15} + \frac{417}{12128} a^{14} - \frac{29}{1516} a^{13} - \frac{403}{12128} a^{12} + \frac{91}{758} a^{11} + \frac{1129}{6064} a^{10} + \frac{19}{1516} a^{9} - \frac{1437}{6064} a^{8} - \frac{377}{3032} a^{7} - \frac{1823}{12128} a^{6} - \frac{551}{1516} a^{5} - \frac{2105}{12128} a^{4} + \frac{65}{758} a^{3} + \frac{143}{379} a^{2} + \frac{875}{3032} a - \frac{5241}{12128}$, $\frac{1}{12128} a^{33} - \frac{39}{12128} a^{31} + \frac{149}{12128} a^{30} - \frac{73}{12128} a^{29} + \frac{29}{3032} a^{28} - \frac{75}{6064} a^{27} - \frac{143}{12128} a^{26} + \frac{135}{12128} a^{25} + \frac{277}{12128} a^{24} - \frac{237}{6064} a^{23} - \frac{265}{6064} a^{22} + \frac{75}{3032} a^{21} + \frac{31}{758} a^{20} - \frac{291}{6064} a^{19} + \frac{33}{758} a^{18} + \frac{141}{12128} a^{17} + \frac{411}{6064} a^{16} - \frac{1383}{12128} a^{15} + \frac{919}{12128} a^{14} - \frac{289}{12128} a^{13} - \frac{573}{6064} a^{12} + \frac{85}{1516} a^{11} - \frac{1709}{12128} a^{10} - \frac{515}{3032} a^{9} - \frac{2507}{12128} a^{8} - \frac{703}{12128} a^{7} + \frac{3019}{12128} a^{6} - \frac{4487}{12128} a^{5} + \frac{2875}{6064} a^{4} - \frac{1849}{6064} a^{3} + \frac{2493}{12128} a^{2} - \frac{1119}{12128} a + \frac{2657}{12128}$, $\frac{1}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{34} - \frac{12262935239310317472165616543745051603490761360000426623929567}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{33} - \frac{2911099187463437700745291096881969367672968880943380616203289}{179082312342676088541586486399800855168532147402209128872428807308} a^{32} + \frac{2927519237738541987623311317513304623218177520499396735432037707}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{31} - \frac{4642244694325973365662881799722724045918931927914733466932080551}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{30} - \frac{3121426689501134006247113544711607254806591787045166649620293693}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{29} - \frac{25311559341246323060865760056261477617637879101266507239584736969}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{28} - \frac{10863715642578861090313116687990948083652308693079187697770588059}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{27} - \frac{40261706465633503518183630525426199143057207914517368751878365925}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{26} - \frac{2083617677986667817511223489138580904814630323629298045183664401}{179082312342676088541586486399800855168532147402209128872428807308} a^{25} + \frac{11848057840738053325476446388149198787215151883547801054227317705}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{24} + \frac{21235271131131548964240150354689059693848422291058995433735535685}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{23} + \frac{2213592795256609680305799666385401047558736250548398984772000591}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{22} + \frac{6979535218669200963299649301508019911741600462551126253602081435}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{21} + \frac{44156026790495399862740623038265605211223623505341311887036383541}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{20} - \frac{64043002140526137604382673106574690429362519291242030725458774}{44770578085669022135396621599950213792133036850552282218107201827} a^{19} - \frac{33035200005924258482000094595200490744571191985463127081185572477}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{18} - \frac{20583104361609401137174702838245870243463276898800244043844605781}{179082312342676088541586486399800855168532147402209128872428807308} a^{17} + \frac{37995466128498883921814970251064437593586149471019472941264483329}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{16} - \frac{37637591347373236496039698726612438683190140406744791711297323339}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{15} + \frac{27860727704906534498006273788085121961595755289635120791398704635}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{14} + \frac{63490299185206937338645358715051461133634390052438940342458899049}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{13} - \frac{10648975839773942366184302629880164344551916365937154112959664607}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{12} + \frac{5835493726822230426577342490199601012709505453191354824268455557}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{11} - \frac{81451758215509339444096851864463745334625106855555957423375970045}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{10} - \frac{8757210864249478935558127658758293651033203629901257206191645049}{89541156171338044270793243199900427584266073701104564436214403654} a^{9} - \frac{342004062377566398301873661853717332847453834829561931252866046337}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{8} - \frac{153916763226340493124721337234664842486819389273480365082823407833}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{7} + \frac{31699668541364439584077333573621454777837875149300776330592560931}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{6} - \frac{264931431707274993523447142401506456170194247152401918287308418723}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{5} + \frac{428175185722214056967465667483192708444515085057904934773203638853}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{4} + \frac{19665874847707245944346882455201477784593574549436015417267933077}{44770578085669022135396621599950213792133036850552282218107201827} a^{3} - \frac{317233842331281797372620565689001627899827161593508744012277502111}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{2} - \frac{130548135050014040200582055962633461070768771241779104088629254321}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a - \frac{666161374971431442399525585378585107502097024141627262985369728179}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464}$, $\frac{1}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{35} - \frac{19838082629499399}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{34} + \frac{25462104834077261049170252639467373902505990442925522212674907324277115451943}{5283565909856084363519521680752963046297639004865229075588661925056751224451650006} a^{33} + \frac{662346721585283465829355558983027397902249738369117411822382406079070168308719}{42268527278848674908156173446023704370381112038921832604709295400454009795613200048} a^{32} + \frac{262606107634083518839717437162731684221531313683109932932767017756600361414387745}{21134263639424337454078086723011852185190556019460916302354647700227004897806600024} a^{31} + \frac{92579440014564398534720133050099083347296426305436860384498121427072159957277861}{42268527278848674908156173446023704370381112038921832604709295400454009795613200048} a^{30} - \frac{142566733275057504827198383413840142976726928370285801110074395605741855079243695}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{29} + \frac{1922494413297639891479001670760372693469025374379067646202131124786846938073763385}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{28} + \frac{97318634970018151075172216016929040928979021876455591195485143594061299181643265}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{27} - \frac{626621289766035856377245720343275665221051576305528854741727282345563870749091337}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{26} + \frac{1776831936676075554452420461164065049256023103742098994026305368136925536094799827}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{25} - \frac{1623960968809823601244038923946997801586865345077137315942512696851805755153598899}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{24} + \frac{2532317207028482665264589163171276182726186701122738416298697375164308275792856429}{42268527278848674908156173446023704370381112038921832604709295400454009795613200048} a^{23} - \frac{256208467196528282933793467187765814736767099486860294555490467966737018498476397}{42268527278848674908156173446023704370381112038921832604709295400454009795613200048} a^{22} + \frac{2319677750588217959190892938564945884033641528825325354655127333143519197243458569}{42268527278848674908156173446023704370381112038921832604709295400454009795613200048} a^{21} + \frac{1649485471433265501558210463593054155684545299720041776136839662316692637949888867}{42268527278848674908156173446023704370381112038921832604709295400454009795613200048} a^{20} - \frac{1346931956513427927819767500364227367840624996994925208616532466341774239826751641}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{19} + \frac{288280690060283502056512892550325368180886276423928431899076441088711360218844387}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{18} - \frac{63029998621077463823307957428750423207597731796945266359130760461418867320451151}{5283565909856084363519521680752963046297639004865229075588661925056751224451650006} a^{17} - \frac{318623604718354715592484267921045240545587905081257552703237879154751204838580863}{42268527278848674908156173446023704370381112038921832604709295400454009795613200048} a^{16} - \frac{2149401264027008962135410767308188507063827322569611213407547689419044320100459395}{21134263639424337454078086723011852185190556019460916302354647700227004897806600024} a^{15} - \frac{1706551539255448535468451858251752977103049339358923054988661247927429551977299971}{42268527278848674908156173446023704370381112038921832604709295400454009795613200048} a^{14} - \frac{8431142224749123469723822292470713827055844995747966274791759404177069909403671841}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{13} - \frac{4705366459039878323654340644948231753288356385538115138445750897202284957797867197}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{12} + \frac{2147380613131880195224271281597172076400217339527303222988101597343270609210768731}{21134263639424337454078086723011852185190556019460916302354647700227004897806600024} a^{11} + \frac{852298008317053184986198573694188193958067268575839418115261013775989659843451429}{42268527278848674908156173446023704370381112038921832604709295400454009795613200048} a^{10} + \frac{3472604473799770347481165365818882640313141854240573136710171773048197120209094477}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{9} - \frac{15460958774005409097276582440065530049962037422592675319776573613644645196967830567}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{8} + \frac{9302825926550583307023169636128746623574077100348243472947868227107357561182033623}{42268527278848674908156173446023704370381112038921832604709295400454009795613200048} a^{7} + \frac{1483532992689165395001321810928199789992639173436755266607117418316061778779598861}{10567131819712168727039043361505926092595278009730458151177323850113502448903300012} a^{6} - \frac{28895716086790476899033665411166433607449791111923852338945867433160231890940305413}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{5} + \frac{4594889183196993186702842037671937059282115579816545889760406802236005063292923515}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{4} - \frac{39284042283602941530125722594924707239314277011346755176195560294862275363563761161}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{3} + \frac{6168110829043916688862579795341147884759041049426988407848460326769518312232586193}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a^{2} - \frac{177633102272286173490100981864487251944703884308993454466017818662078741514422557}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096} a + \frac{41250355846507397198257613005542937002671202775980701567482522131165541260706785557}{84537054557697349816312346892047408740762224077843665209418590800908019591226400096}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{9184140999306974922247097181328673990348288143853597837307}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{35} - \frac{47510439334793455254206855397865580954033502996129263893125}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{34} + \frac{768840675402678397575197476630144746807019429604458161156333}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{33} + \frac{2458819936818752120245203501918467895832585239773346798832263}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{32} - \frac{7122592969890571040074306709305083078595040702880528115152585}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{31} - \frac{13771457315911402162150735904959126118169836634402326842158261}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{30} + \frac{150510815316246211097495029762368507082190831473625527817383137}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{29} + \frac{351945105961642826283901367874759762493147355427818375300678601}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{28} - \frac{483357595347797955192372159943834048380810030263063279062839009}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{27} - \frac{2817960103240782314771750177721575417653110036256346877460403115}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{26} + \frac{228930726162206110746101674091757272754809810621344728005618370}{44770578085669022135396621599950213792133036850552282218107201827} a^{25} + \frac{29194453854320240288606388420611348164359467535975457861203456701}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{24} - \frac{875551105034287682104040962050897391849879215511623284251373601}{89541156171338044270793243199900427584266073701104564436214403654} a^{23} - \frac{49951534465721728351328603295797018694566186037985064984439084171}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{22} + \frac{248902842583982292521613251291040977400908633959636174391168263}{44770578085669022135396621599950213792133036850552282218107201827} a^{21} + \frac{126736692346680854956030003172628807101597328513980727992537971701}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{20} + \frac{1522043440431059143360920546804308711419236250147154249840970477}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{19} - \frac{611412624049512549854449809667171250468081148493014950943685972441}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{18} - \frac{171714675040716311403796241881284319880253109753665875369744192817}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{17} + \frac{303687958149263753427904893243226294416964269260256363760891793097}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{16} - \frac{148423461741786656203160503822358348561890723786380159848996244379}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{15} - \frac{579563349467052862210909331723704152405320110965417642809578386273}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{14} + \frac{436148984949054136496238131000773229467135535774549997700120278819}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{13} + \frac{341276001058789189524365934791140343823597873724428467530514532031}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{12} - \frac{102628217041981101973821980875365678242287008566863115590220135961}{44770578085669022135396621599950213792133036850552282218107201827} a^{11} - \frac{1628571495841942386975268757135420581197230489780250376220941081473}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} a^{10} + \frac{2556535350256257975349552517396749386015139542342444033546915617065}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{9} + \frac{979534418624631172335253390877686954837879212590371239885122093847}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{8} - \frac{1600272902095787881742361980208072876619077707703929058025355630613}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{7} - \frac{99049463161543613270754798946611582366203545509124903030012649269}{89541156171338044270793243199900427584266073701104564436214403654} a^{6} + \frac{784461246538332010627819647012525008366030216711259846588527022345}{716329249370704354166345945599203420674128589608836515489715229232} a^{5} + \frac{942997609475975669860550463037234444662425880261567460997057286477}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{4} - \frac{675505911511869284750732752124635158137278795893578237505466204369}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a^{3} - \frac{630984043852746660236580170141695690867200083707270709027334484161}{179082312342676088541586486399800855168532147402209128872428807308} a^{2} + \frac{446815178726753994023770301284671690244872016915230130803773648283}{358164624685352177083172972799601710337064294804418257744857614616} a - \frac{864557963503414620632377737738297991474716817261661658332203991905}{1432658498741408708332691891198406841348257179217673030979430458464} \) (order $14$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_6^2$ (as 36T4):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_6^2$
Character table for $C_6^2$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-2}) \), \(\Q(\sqrt{-7}) \), \(\Q(\sqrt{14}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), \(\Q(\zeta_{7})^+\), 3.3.3969.1, 3.3.3969.2, \(\Q(\sqrt{-2}, \sqrt{-7})\), 6.0.3359232.1, 6.0.1229312.1, 6.0.8065516032.1, 6.0.8065516032.2, 6.0.2250423.1, 6.6.1152216576.1, \(\Q(\zeta_{7})\), 6.6.8605184.1, 6.0.110270727.2, 6.6.56458612224.1, 6.0.110270727.1, 6.6.56458612224.2, 9.9.62523502209.1, 12.0.1327603038009163776.1, 12.0.74049191673856.1, 12.0.3187574894260002226176.2, 12.0.3187574894260002226176.3, 18.0.524682375772545974113841184768.4, 18.0.1340851596668237962730583.1, 18.18.179966054889983269121047526375424.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R R ${\href{/LocalNumberField/5.6.0.1}{6} }^{6}$ R ${\href{/LocalNumberField/11.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/13.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/19.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/23.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/37.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/47.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/53.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/59.6.0.1}{6} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$2$2.6.9.5$x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 8$$2$$3$$9$$C_6$$[3]^{3}$
2.6.9.5$x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 8$$2$$3$$9$$C_6$$[3]^{3}$
2.6.9.5$x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 8$$2$$3$$9$$C_6$$[3]^{3}$
2.6.9.5$x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 8$$2$$3$$9$$C_6$$[3]^{3}$
2.6.9.5$x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 8$$2$$3$$9$$C_6$$[3]^{3}$
2.6.9.5$x^{6} - 4 x^{4} + 4 x^{2} + 8$$2$$3$$9$$C_6$$[3]^{3}$
3Data not computed
7Data not computed