↑

Properties

Label 36.0.29113657361...8125.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $3^{48}\cdot 5^{27}\cdot 19^{24}$
Root discriminant $103.01$
Ramified primes $3, 5, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_3\times C_{12}$ (as 36T3)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1874161, 3495057, 18826488, 52035172, 187711800, -75367485, 699314280, -449229501, 1696221807, -1640038211, 4668826305, -4556162778, 10527569472, -12098329740, 15331684227, -13400914841, 15104700468, -8164618602, 5333249622, -2483705709, 1263887211, -366416386, 187250949, -48643407, 25176457, -6216015, 2734752, -588745, 238560, -33576, 13664, -1893, 744, -97, 33, -3, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 3*x^35 + 33*x^34 - 97*x^33 + 744*x^32 - 1893*x^31 + 13664*x^30 - 33576*x^29 + 238560*x^28 - 588745*x^27 + 2734752*x^26 - 6216015*x^25 + 25176457*x^24 - 48643407*x^23 + 187250949*x^22 - 366416386*x^21 + 1263887211*x^20 - 2483705709*x^19 + 5333249622*x^18 - 8164618602*x^17 + 15104700468*x^16 - 13400914841*x^15 + 15331684227*x^14 - 12098329740*x^13 + 10527569472*x^12 - 4556162778*x^11 + 4668826305*x^10 - 1640038211*x^9 + 1696221807*x^8 - 449229501*x^7 + 699314280*x^6 - 75367485*x^5 + 187711800*x^4 + 52035172*x^3 + 18826488*x^2 + 3495057*x + 1874161)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 3*x^35 + 33*x^34 - 97*x^33 + 744*x^32 - 1893*x^31 + 13664*x^30 - 33576*x^29 + 238560*x^28 - 588745*x^27 + 2734752*x^26 - 6216015*x^25 + 25176457*x^24 - 48643407*x^23 + 187250949*x^22 - 366416386*x^21 + 1263887211*x^20 - 2483705709*x^19 + 5333249622*x^18 - 8164618602*x^17 + 15104700468*x^16 - 13400914841*x^15 + 15331684227*x^14 - 12098329740*x^13 + 10527569472*x^12 - 4556162778*x^11 + 4668826305*x^10 - 1640038211*x^9 + 1696221807*x^8 - 449229501*x^7 + 699314280*x^6 - 75367485*x^5 + 187711800*x^4 + 52035172*x^3 + 18826488*x^2 + 3495057*x + 1874161, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 3 x^{35} + 33 x^{34} - 97 x^{33} + 744 x^{32} - 1893 x^{31} + 13664 x^{30} - 33576 x^{29} + 238560 x^{28} - 588745 x^{27} + 2734752 x^{26} - 6216015 x^{25} + 25176457 x^{24} - 48643407 x^{23} + 187250949 x^{22} - 366416386 x^{21} + 1263887211 x^{20} - 2483705709 x^{19} + 5333249622 x^{18} - 8164618602 x^{17} + 15104700468 x^{16} - 13400914841 x^{15} + 15331684227 x^{14} - 12098329740 x^{13} + 10527569472 x^{12} - 4556162778 x^{11} + 4668826305 x^{10} - 1640038211 x^{9} + 1696221807 x^{8} - 449229501 x^{7} + 699314280 x^{6} - 75367485 x^{5} + 187711800 x^{4} + 52035172 x^{3} + 18826488 x^{2} + 3495057 x + 1874161 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(2911365736123781834882894128093567062854751804695669420063495635986328125=3^{48}\cdot 5^{27}\cdot 19^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $103.01$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(855=3^{2}\cdot 5\cdot 19\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{855}(1,·)$, $\chi_{855}(514,·)$, $\chi_{855}(7,·)$, $\chi_{855}(64,·)$, $\chi_{855}(277,·)$, $\chi_{855}(406,·)$, $\chi_{855}(286,·)$, $\chi_{855}(799,·)$, $\chi_{855}(163,·)$, $\chi_{855}(292,·)$, $\chi_{855}(391,·)$, $\chi_{855}(172,·)$, $\chi_{855}(562,·)$, $\chi_{855}(349,·)$, $\chi_{855}(49,·)$, $\chi_{855}(178,·)$, $\chi_{855}(691,·)$, $\chi_{855}(58,·)$, $\chi_{855}(571,·)$, $\chi_{855}(448,·)$, $\chi_{855}(577,·)$, $\chi_{855}(457,·)$, $\chi_{855}(334,·)$, $\chi_{855}(847,·)$, $\chi_{855}(343,·)$, $\chi_{855}(676,·)$, $\chi_{855}(463,·)$, $\chi_{855}(733,·)$, $\chi_{855}(229,·)$, $\chi_{855}(742,·)$, $\chi_{855}(106,·)$, $\chi_{855}(619,·)$, $\chi_{855}(748,·)$, $\chi_{855}(628,·)$, $\chi_{855}(121,·)$, $\chi_{855}(634,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $\frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{10} a^{24} - \frac{1}{5} a^{23} - \frac{1}{10} a^{22} + \frac{1}{10} a^{20} + \frac{1}{5} a^{18} + \frac{1}{10} a^{17} + \frac{1}{5} a^{16} + \frac{2}{5} a^{15} + \frac{1}{5} a^{14} + \frac{3}{10} a^{13} - \frac{1}{5} a^{12} + \frac{1}{5} a^{10} - \frac{1}{10} a^{9} + \frac{1}{10} a^{7} + \frac{3}{10} a^{6} - \frac{2}{5} a^{5} + \frac{3}{10} a^{4} + \frac{1}{5} a^{3} + \frac{1}{5} a^{2} - \frac{2}{5} a - \frac{2}{5}$, $\frac{1}{10} a^{25} - \frac{1}{5} a^{22} + \frac{1}{10} a^{21} + \frac{1}{5} a^{20} + \frac{1}{5} a^{19} - \frac{1}{10} a^{17} - \frac{1}{5} a^{16} - \frac{1}{2} a^{15} + \frac{1}{5} a^{14} - \frac{1}{10} a^{13} + \frac{1}{10} a^{12} + \frac{1}{5} a^{11} + \frac{3}{10} a^{10} + \frac{3}{10} a^{9} - \frac{2}{5} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} + \frac{1}{5} a^{6} - \frac{1}{2} a^{5} + \frac{3}{10} a^{4} + \frac{1}{10} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} + \frac{3}{10} a + \frac{1}{5}$, $\frac{1}{10} a^{26} - \frac{1}{5} a^{23} + \frac{1}{10} a^{22} + \frac{1}{5} a^{21} + \frac{1}{5} a^{20} - \frac{1}{10} a^{18} - \frac{1}{5} a^{17} + \frac{1}{5} a^{15} + \frac{2}{5} a^{14} - \frac{2}{5} a^{13} + \frac{1}{5} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{3}{10} a^{10} - \frac{2}{5} a^{9} - \frac{3}{10} a^{7} - \frac{1}{2} a^{6} + \frac{3}{10} a^{5} + \frac{1}{10} a^{4} + \frac{3}{10} a^{2} - \frac{3}{10} a - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{50} a^{27} - \frac{1}{50} a^{26} + \frac{1}{50} a^{25} + \frac{1}{25} a^{24} + \frac{1}{5} a^{23} + \frac{1}{10} a^{22} + \frac{11}{50} a^{21} - \frac{3}{25} a^{20} - \frac{9}{50} a^{19} + \frac{1}{25} a^{18} - \frac{1}{10} a^{17} - \frac{6}{25} a^{16} + \frac{23}{50} a^{15} + \frac{6}{25} a^{14} + \frac{6}{25} a^{13} + \frac{9}{50} a^{12} + \frac{17}{50} a^{11} - \frac{8}{25} a^{10} - \frac{17}{50} a^{9} + \frac{23}{50} a^{8} + \frac{7}{50} a^{7} + \frac{6}{25} a^{6} - \frac{13}{50} a^{5} + \frac{12}{25} a^{4} - \frac{23}{50} a^{3} + \frac{17}{50} a^{2} + \frac{3}{10} a - \frac{9}{50}$, $\frac{1}{50} a^{28} - \frac{1}{25} a^{25} + \frac{1}{25} a^{24} + \frac{1}{5} a^{23} + \frac{11}{50} a^{22} - \frac{1}{5} a^{20} + \frac{4}{25} a^{19} + \frac{1}{25} a^{18} + \frac{3}{50} a^{17} + \frac{1}{50} a^{16} + \frac{2}{5} a^{15} + \frac{19}{50} a^{14} - \frac{2}{25} a^{13} - \frac{9}{50} a^{12} - \frac{9}{50} a^{11} - \frac{9}{25} a^{10} - \frac{12}{25} a^{9} + \frac{9}{50} a^{7} - \frac{8}{25} a^{6} - \frac{12}{25} a^{5} + \frac{3}{25} a^{4} - \frac{3}{25} a^{3} - \frac{13}{50} a^{2} - \frac{19}{50} a + \frac{21}{50}$, $\frac{1}{50} a^{29} - \frac{1}{25} a^{26} + \frac{1}{25} a^{25} + \frac{3}{25} a^{23} + \frac{1}{5} a^{22} - \frac{1}{5} a^{21} - \frac{1}{25} a^{20} + \frac{1}{25} a^{19} + \frac{4}{25} a^{18} - \frac{9}{50} a^{17} - \frac{21}{50} a^{15} - \frac{12}{25} a^{14} - \frac{7}{25} a^{13} + \frac{11}{50} a^{12} - \frac{9}{25} a^{11} + \frac{3}{25} a^{10} + \frac{1}{5} a^{9} + \frac{9}{50} a^{8} + \frac{12}{25} a^{7} - \frac{2}{25} a^{6} - \frac{2}{25} a^{5} + \frac{7}{25} a^{4} - \frac{4}{25} a^{3} + \frac{11}{50} a^{2} + \frac{11}{50} a - \frac{1}{5}$, $\frac{1}{50} a^{30} + \frac{1}{25} a^{25} + \frac{1}{5} a^{22} - \frac{1}{10} a^{21} + \frac{1}{10} a^{20} - \frac{1}{5} a^{19} + \frac{1}{10} a^{17} + \frac{1}{5} a^{16} + \frac{7}{50} a^{15} - \frac{1}{5} a^{14} + \frac{1}{10} a^{13} - \frac{1}{10} a^{12} - \frac{1}{5} a^{11} + \frac{4}{25} a^{10} - \frac{3}{10} a^{9} + \frac{2}{5} a^{8} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{5} a^{6} + \frac{3}{50} a^{5} - \frac{3}{10} a^{4} - \frac{1}{10} a^{3} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{3}{10} a + \frac{11}{25}$, $\frac{1}{50} a^{31} + \frac{1}{25} a^{26} + \frac{1}{5} a^{23} - \frac{1}{10} a^{22} + \frac{1}{10} a^{21} - \frac{1}{5} a^{20} + \frac{1}{10} a^{18} + \frac{1}{5} a^{17} + \frac{7}{50} a^{16} - \frac{1}{5} a^{15} + \frac{1}{10} a^{14} - \frac{1}{10} a^{13} - \frac{1}{5} a^{12} + \frac{4}{25} a^{11} - \frac{3}{10} a^{10} + \frac{2}{5} a^{9} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{5} a^{7} + \frac{3}{50} a^{6} - \frac{3}{10} a^{5} - \frac{1}{10} a^{4} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{3}{10} a^{2} + \frac{11}{25} a$, $\frac{1}{153100} a^{32} - \frac{19}{15310} a^{31} + \frac{297}{76550} a^{30} - \frac{36}{38275} a^{29} + \frac{511}{153100} a^{28} + \frac{581}{76550} a^{27} + \frac{4533}{153100} a^{26} + \frac{1347}{38275} a^{25} - \frac{1652}{38275} a^{24} + \frac{8733}{76550} a^{23} - \frac{31879}{153100} a^{22} - \frac{3431}{15310} a^{21} - \frac{5538}{38275} a^{20} + \frac{437}{3062} a^{19} - \frac{203}{15310} a^{18} - \frac{15687}{76550} a^{17} + \frac{36571}{153100} a^{16} + \frac{11348}{38275} a^{15} - \frac{4363}{30620} a^{14} + \frac{18458}{38275} a^{13} + \frac{1208}{7655} a^{12} - \frac{18141}{76550} a^{11} - \frac{417}{7655} a^{10} - \frac{22007}{76550} a^{9} + \frac{12926}{38275} a^{8} - \frac{7531}{38275} a^{7} + \frac{10593}{30620} a^{6} - \frac{28273}{76550} a^{5} - \frac{2217}{7655} a^{4} - \frac{5387}{76550} a^{3} + \frac{2327}{6124} a^{2} - \frac{21099}{76550} a + \frac{50389}{153100}$, $\frac{1}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{33} - \frac{2575223999779662530937069210007351338132115592614756551569723}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{32} - \frac{3821303997020641133689831659738189315516775417563017354758194651}{544172476037497664302420657791612177425345089009263759459006789350} a^{31} + \frac{549559782314614164649836992862236181985839085392399796475611527}{544172476037497664302420657791612177425345089009263759459006789350} a^{30} + \frac{8991574246637004716571152058833335637382200934102229613179272137}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{29} + \frac{9858670567001097959562328855354010373569113767889770429240263523}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{28} - \frac{135811487301551960543226550596765586926070955971960188382444289}{43533798082999813144193652623328974194027607120741100756720543148} a^{27} + \frac{45074677773355796133761335199277000050203201892065780628753045081}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{26} + \frac{14370091141289875213875326825325847460102030830522856795292387813}{544172476037497664302420657791612177425345089009263759459006789350} a^{25} - \frac{3777988114948064219265320675499275283334584551602222025280135773}{544172476037497664302420657791612177425345089009263759459006789350} a^{24} - \frac{167037134129280769311898001601007339564478860438504910711191832303}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{23} - \frac{16107430389239992922227812484678871885775141597408214015806421279}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{22} + \frac{57806957715736508197955979152414924547036228785186671246035671219}{272086238018748832151210328895806088712672544504631879729503394675} a^{21} - \frac{11622729453681648589985760105166803925115968145341252781878527977}{54417247603749766430242065779161217742534508900926375945900678935} a^{20} + \frac{6010983164016471650972944906447898057348309101095905343351808159}{544172476037497664302420657791612177425345089009263759459006789350} a^{19} + \frac{1071653003317643617373643469776899288248960738764010261490031813}{272086238018748832151210328895806088712672544504631879729503394675} a^{18} + \frac{173259546039328784896492495302671165420673776338634150799760456419}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{17} + \frac{51717444517799710420153481157363898556022601672455560169677217171}{217668990414999065720968263116644870970138035603705503783602715740} a^{16} - \frac{236085889907748572746477774654749982988640425005482041503920504191}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{15} - \frac{440283721332766303585647007133214663034012797475517479644871723367}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{14} - \frac{267115890798663655088367917050363888731350261839813961539239279771}{544172476037497664302420657791612177425345089009263759459006789350} a^{13} - \frac{117605776821387616633247556010660171463109110710976227543616739131}{544172476037497664302420657791612177425345089009263759459006789350} a^{12} + \frac{130427259372970005736509192727418626873262503133718277163079487134}{272086238018748832151210328895806088712672544504631879729503394675} a^{11} - \frac{9235670297842969236016733717834748753848087547307186957460190581}{21766899041499906572096826311664487097013803560370550378360271574} a^{10} - \frac{188239825127176025974946811628102438834274995019278338400365366593}{544172476037497664302420657791612177425345089009263759459006789350} a^{9} - \frac{228131005181274497736935405405359426706620333306686502607758761583}{544172476037497664302420657791612177425345089009263759459006789350} a^{8} + \frac{13200420619335180195584884538659968962410919497365872862589248787}{43533798082999813144193652623328974194027607120741100756720543148} a^{7} + \frac{374652334801568761151898181652483400890743280386519681638633411587}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{6} + \frac{96003020943321737820164508917072605479409915058123120830610057251}{544172476037497664302420657791612177425345089009263759459006789350} a^{5} - \frac{40434501178471643798518634004521916824907778644487193853642272191}{544172476037497664302420657791612177425345089009263759459006789350} a^{4} - \frac{7162132741134870870149664934888349165825995239495567385721149143}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a^{3} - \frac{163092208425796934581653220194671919446255922323905693866131067}{217668990414999065720968263116644870970138035603705503783602715740} a^{2} - \frac{71745721882912066376497069448238276149497367140929190830754863751}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a + \frac{2547601074437390119695579849347617467424085110458406033673941861}{5882945686891866641107250354503915431625352313613662264421695020}$, $\frac{1}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{34} - \frac{3}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{33} + \frac{31086402551276885052139360464087178968915884919330997080528003}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{32} - \frac{65425791472367298571040796145164119889516990037259796206976881439}{20134381613387413579189564338289650564737768293342759099983251205950} a^{31} + \frac{393300822495434436667496121522122811632355921461622721171793960367}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{30} + \frac{56908494482646972679076731743234842747537378545119168671193000197}{8053752645354965431675825735315860225895107317337103639993300482380} a^{29} - \frac{73921664955660287765949905186144270758721378853535855809127533516}{10067190806693706789594782169144825282368884146671379549991625602975} a^{28} + \frac{366288162842239636764863471582135702743319770491938228436410743917}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{27} - \frac{1318968607561341069245545374470378151264084951540438002425416918903}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{26} + \frac{234985923509252709905497648087360301873863295444728715072110608583}{10067190806693706789594782169144825282368884146671379549991625602975} a^{25} + \frac{1728818707630835624318687611758033106470059747079163774747886276051}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{24} + \frac{8121497942832272787227753501004328534067793936496735906572403255153}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{23} - \frac{3959869902122883541656648433166270198797177342069216490025046187703}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{22} - \frac{477946562448723421997091335703720731099844361496205890388146315677}{20134381613387413579189564338289650564737768293342759099983251205950} a^{21} + \frac{996391314504321004802489627506623896394482457725289415529691157187}{10067190806693706789594782169144825282368884146671379549991625602975} a^{20} + \frac{194152791335447613247069432242774696269693370489547663593913115369}{2013438161338741357918956433828965056473776829334275909998325120595} a^{19} + \frac{8039131442757741282266822028708419411089492829029022888154762234949}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{18} + \frac{153793539959028542461150341517376788249808462797188740642360256175}{1610750529070993086335165147063172045179021463467420727998660096476} a^{17} - \frac{1532567797593694224763210586644573876776240837213061812800563277503}{20134381613387413579189564338289650564737768293342759099983251205950} a^{16} + \frac{310289480933452064201961058974887804779296255409674489567763988739}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{15} + \frac{11554613525611377409591296841633311700160315502006454485609430446251}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{14} - \frac{153424611213386097816640632067042947847940659934979087619418822851}{20134381613387413579189564338289650564737768293342759099983251205950} a^{13} - \frac{4137144488591933973853952382405037075421919600817043198597876764548}{10067190806693706789594782169144825282368884146671379549991625602975} a^{12} + \frac{2831247980365486270394134771081299155108479942475766998732141821903}{20134381613387413579189564338289650564737768293342759099983251205950} a^{11} - \frac{1000864443243292574520496805692154594424493932877072970613615474427}{10067190806693706789594782169144825282368884146671379549991625602975} a^{10} - \frac{1567913605091664388713814742585572486450075831960663935686762931451}{20134381613387413579189564338289650564737768293342759099983251205950} a^{9} + \frac{5068468407247657695456054601597262672153526104800225042238639975201}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{8} - \frac{10366803152514069534378809799419794926852816127701088636581193579289}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{7} - \frac{12613986207849390180903494932011611885696361813854608840973938655041}{40268763226774827158379128676579301129475536586685518199966502411900} a^{6} + \frac{3415302441319102336365083119069364668043240925326075216366162430172}{10067190806693706789594782169144825282368884146671379549991625602975} a^{5} - \frac{1827182754198642060490151236562352992707908276845802168219368638049}{8053752645354965431675825735315860225895107317337103639993300482380} a^{4} - \frac{3845376974845530623721492089361617307453714022432474047279758433217}{8053752645354965431675825735315860225895107317337103639993300482380} a^{3} - \frac{603728748455376596783235253748108848556793630108944718533113781731}{4026876322677482715837912867657930112947553658668551819996650241190} a^{2} + \frac{96445962876879086980098086977711660622116056491893705133423531297}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a - \frac{7841724255064194730836201893307092736977266873025725130070319517}{29414728434459333205536251772519577158126761568068311322108475100}$, $\frac{1}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{35} - \frac{3}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{34} + \frac{33}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{33} - \frac{991833254352787875521654182950931431533967382902640256402336313}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{32} - \frac{2088873071354897717920305384117414697182598958217449144036058648653}{297988847878133720972005552206686828358118970741472834679752117848060} a^{31} + \frac{417222699702503612413512979723972621342117765334228447487527950733}{297988847878133720972005552206686828358118970741472834679752117848060} a^{30} + \frac{2798364592843240558844263446632605903582479653720857959040794018511}{372486059847667151215006940258358535447648713426841043349690147310075} a^{29} - \frac{2827130841259257558893170465008916091677584376879342373487126545142}{372486059847667151215006940258358535447648713426841043349690147310075} a^{28} + \frac{11850582875574400968407671813778327629472599905206864674291524496943}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{27} + \frac{15564349529167021893769287216160091456333504492705539832863149894531}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{26} + \frac{44467364249103994706975915096031998720970133136478509750139733343773}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{25} - \frac{10499680932424027764875350144147594478543748936591211939795807446347}{297988847878133720972005552206686828358118970741472834679752117848060} a^{24} + \frac{72427775689732514809485381705913127870754367146195181432442358771131}{297988847878133720972005552206686828358118970741472834679752117848060} a^{23} + \frac{165780071482222721627253218126827594847824179267047321475904238271691}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{22} - \frac{26140804869834142292644209985420677040942810190718058206853264894384}{372486059847667151215006940258358535447648713426841043349690147310075} a^{21} + \frac{121416118264999470567266327459677066094376099677313841146501647819439}{744972119695334302430013880516717070895297426853682086699380294620150} a^{20} - \frac{185703860648665767804501528899938539670098463285520770436528004698559}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{19} + \frac{290768397633621773709966639247553883117692254930389651260650794153051}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{18} + \frac{156830313686489766083198090551111482178622249034387811853612711040991}{744972119695334302430013880516717070895297426853682086699380294620150} a^{17} - \frac{43785010013129956934134713778683803329429805101898404361311946780081}{744972119695334302430013880516717070895297426853682086699380294620150} a^{16} - \frac{132097241692722654134993549297267746282012482020708150318303940292449}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{15} - \frac{49851402811033036661594477870961791418832426517324670119121606029117}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{14} - \frac{130867715629063108561545505474205319311055083534984685174845719126048}{372486059847667151215006940258358535447648713426841043349690147310075} a^{13} - \frac{70411730350395086931051034090092634246198870169700217045268963286801}{744972119695334302430013880516717070895297426853682086699380294620150} a^{12} + \frac{177796190109820494168747804385011767237125592519789394845948761749271}{372486059847667151215006940258358535447648713426841043349690147310075} a^{11} - \frac{69564646038230870862737851961548807992001437995717430816875986592371}{148994423939066860486002776103343414179059485370736417339876058924030} a^{10} - \frac{512972446336872681867179512948237173326993933644903515151583645624981}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{9} - \frac{680058846561856588956290966039664372974637863202756203303434472567369}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{8} - \frac{510375055150967172280818450431982163576828634212997218375940871479667}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{7} - \frac{704916841657494067513340569248489002098127932886534367834473387063813}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{6} + \frac{107883056627242321626908427330324244846539955088063218027018536111169}{297988847878133720972005552206686828358118970741472834679752117848060} a^{5} + \frac{91319073635231498076016194282918254308822631675409346724609509164501}{1489944239390668604860027761033434141790594853707364173398760589240300} a^{4} + \frac{40749132395842239869471811238789616013194085455282252801023631343867}{372486059847667151215006940258358535447648713426841043349690147310075} a^{3} - \frac{1654877670103899612534324864868010412699398904220279911265484840922}{10067190806693706789594782169144825282368884146671379549991625602975} a^{2} - \frac{260112344500755511039482970356545664384107065252318225507368625281}{1088344952074995328604841315583224354850690178018527518918013578700} a + \frac{9307242075862776249275595167957108697828903895028422575087981147}{29414728434459333205536251772519577158126761568068311322108475100}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{4467155080972884489801037413885272546965056193887141700026}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{35} + \frac{15743678943062138679868556446413902958232778750045368178406}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{34} - \frac{154738043831008967677014220065647017316687932785766261161478}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{33} + \frac{102282202026773554407028760618400980458493867030368864774122}{9731836965321153526192212678206624048272990553281281341598697513} a^{32} - \frac{3560089169110022816579376101365205664473988453763839771349446}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{31} + \frac{10224415947541825327650498690697445203898245126803431622220398}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{30} - \frac{65679404886533461371328852110879154489119061138966937861114052}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{29} + \frac{182476638768117337587341868777409549888387679046379742276307819}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{28} - \frac{1148087265661726904515020647482945222071852993624718156380262266}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{27} + \frac{3197289860330455408888829340861771513806000074718448620385687822}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{26} - \frac{13661041813937246401392951194658545483382401993652807721628746734}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{25} + \frac{34322659485738027852919712258761392215661236965507296695589924138}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{24} - \frac{127747678861042480614768288130848020140455598100413331443282482954}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{23} + \frac{55558286812292138861043304017807626011718175856246196032442095110}{9731836965321153526192212678206624048272990553281281341598697513} a^{22} - \frac{956913739794152184239074391467726113825975645639138615160627388256}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{21} + \frac{2086826802376738296925190508593363301279596860502077360038245130852}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{20} - \frac{6551665767752559398832117503529349262534066169997977275160149086302}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{19} + \frac{2828293787888355076059854458129541579046554267865615793950883552778}{9731836965321153526192212678206624048272990553281281341598697513} a^{18} - \frac{29956636698933165181238321002575704117625317709746527127139553124784}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{17} + \frac{9908585684076325502460844564507051956379184876116639307181812365776}{9731836965321153526192212678206624048272990553281281341598697513} a^{16} - \frac{87780440763270927627974513476529405622166883748388197306402670017942}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{15} + \frac{96870322410891908172255494368332411303139023509626641433196452494582}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{14} - \frac{20585408356409845727600375122410580976540692555106814982433938847604}{9731836965321153526192212678206624048272990553281281341598697513} a^{13} + \frac{91625950706100279757642540544116643192539416336687958633757581814172}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{12} - \frac{76791854150136258582160068215897194248755975021525591741341843009128}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{11} + \frac{46011396198856583542464106466040218797002399163251897902948536065744}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{10} - \frac{6420458916500512787019416496956936600927325879672698216903682574458}{9731836965321153526192212678206624048272990553281281341598697513} a^{9} + \frac{17768289074995316651975695946080877788870332190335441757679064020682}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{8} - \frac{11628257547788284949199520072358640002292336304210275849283820725338}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{7} + \frac{6127589482321667403273424764584969107962159898730619698382290539086}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{6} - \frac{4246262680629856886327811273805352778900034088782746866431662914358}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{5} + \frac{2031795251303569252331174825385685988890917414652103523780110298342}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{4} - \frac{1078260512607759577483184467465880445314739689480876896326218901496}{48659184826605767630961063391033120241364952766406406707993487565} a^{3} + \frac{160245034370089849836261368911208878127174892683052383853733776}{35543597389777770365932113506963564822034297126666476777204885} a^{2} + \frac{808525599178988667818572413727536865112090254369127083379058}{960637767291291090971138202890907157352278300720715588573105} a + \frac{588115322678100068302090320888318229090454472005679418639218}{960637767291291090971138202890907157352278300720715588573105} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_{12}$ (as 36T3):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{12}$
Character table for $C_3\times C_{12}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.361.1, 3.3.29241.1, 3.3.29241.2, \(\Q(\zeta_{5})\), 6.6.820125.1, 6.6.16290125.1, 6.6.106879510125.4, 6.6.106879510125.3, 9.9.25002110044521.1, 12.0.84075626953125.1, 12.0.33171021564453125.1, 12.0.1427903710569997189453125.3, 12.0.1427903710569997189453125.1, 18.18.1220909192731128673051014533203125.3

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.12.0.1}{12} }^{3}$ R R ${\href{/LocalNumberField/7.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/11.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/13.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/17.12.0.1}{12} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/23.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/31.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/37.4.0.1}{4} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/43.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/59.6.0.1}{6} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
$5$5.12.9.2$x^{12} - 10 x^{8} + 25 x^{4} - 500$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
5.12.9.2$x^{12} - 10 x^{8} + 25 x^{4} - 500$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
5.12.9.2$x^{12} - 10 x^{8} + 25 x^{4} - 500$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
$19$19.6.4.3$x^{6} + 95 x^{3} + 2888$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
19.6.4.3$x^{6} + 95 x^{3} + 2888$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
19.6.4.3$x^{6} + 95 x^{3} + 2888$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
19.6.4.3$x^{6} + 95 x^{3} + 2888$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
19.6.4.3$x^{6} + 95 x^{3} + 2888$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$
19.6.4.3$x^{6} + 95 x^{3} + 2888$$3$$2$$4$$C_6$$[\ ]_{3}^{2}$