↑

Properties

Label 36.0.22878331820...2289.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $3^{18}\cdot 7^{30}\cdot 13^{30}$
Root discriminant $74.32$
Ramified primes $3, 7, 13$
Class number $34048$ (GRH)
Class group $[2, 2, 4, 4, 532]$ (GRH)
Galois group $C_6^2$ (as 36T4)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![10834279, -9679685, 39287825, -2809858, 59716590, 3677284, 6981477, -11152434, -21104578, 14084075, 7696193, 3277502, 6552114, -14700644, -147345, -1359727, -4210387, 5237959, -1009209, -1412692, 1818264, -369904, 252423, 140481, -168178, -3743, 3633, -8086, 7461, 719, -512, 153, -136, -8, 7, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - x^35 + 7*x^34 - 8*x^33 - 136*x^32 + 153*x^31 - 512*x^30 + 719*x^29 + 7461*x^28 - 8086*x^27 + 3633*x^26 - 3743*x^25 - 168178*x^24 + 140481*x^23 + 252423*x^22 - 369904*x^21 + 1818264*x^20 - 1412692*x^19 - 1009209*x^18 + 5237959*x^17 - 4210387*x^16 - 1359727*x^15 - 147345*x^14 - 14700644*x^13 + 6552114*x^12 + 3277502*x^11 + 7696193*x^10 + 14084075*x^9 - 21104578*x^8 - 11152434*x^7 + 6981477*x^6 + 3677284*x^5 + 59716590*x^4 - 2809858*x^3 + 39287825*x^2 - 9679685*x + 10834279)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - x^35 + 7*x^34 - 8*x^33 - 136*x^32 + 153*x^31 - 512*x^30 + 719*x^29 + 7461*x^28 - 8086*x^27 + 3633*x^26 - 3743*x^25 - 168178*x^24 + 140481*x^23 + 252423*x^22 - 369904*x^21 + 1818264*x^20 - 1412692*x^19 - 1009209*x^18 + 5237959*x^17 - 4210387*x^16 - 1359727*x^15 - 147345*x^14 - 14700644*x^13 + 6552114*x^12 + 3277502*x^11 + 7696193*x^10 + 14084075*x^9 - 21104578*x^8 - 11152434*x^7 + 6981477*x^6 + 3677284*x^5 + 59716590*x^4 - 2809858*x^3 + 39287825*x^2 - 9679685*x + 10834279, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - x^{35} + 7 x^{34} - 8 x^{33} - 136 x^{32} + 153 x^{31} - 512 x^{30} + 719 x^{29} + 7461 x^{28} - 8086 x^{27} + 3633 x^{26} - 3743 x^{25} - 168178 x^{24} + 140481 x^{23} + 252423 x^{22} - 369904 x^{21} + 1818264 x^{20} - 1412692 x^{19} - 1009209 x^{18} + 5237959 x^{17} - 4210387 x^{16} - 1359727 x^{15} - 147345 x^{14} - 14700644 x^{13} + 6552114 x^{12} + 3277502 x^{11} + 7696193 x^{10} + 14084075 x^{9} - 21104578 x^{8} - 11152434 x^{7} + 6981477 x^{6} + 3677284 x^{5} + 59716590 x^{4} - 2809858 x^{3} + 39287825 x^{2} - 9679685 x + 10834279 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(22878331820822683097801634238807198405761132789439230168181892642289=3^{18}\cdot 7^{30}\cdot 13^{30}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $74.32$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 7, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(273=3\cdot 7\cdot 13\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{273}(256,·)$, $\chi_{273}(1,·)$, $\chi_{273}(131,·)$, $\chi_{273}(134,·)$, $\chi_{273}(10,·)$, $\chi_{273}(269,·)$, $\chi_{273}(16,·)$, $\chi_{273}(146,·)$, $\chi_{273}(22,·)$, $\chi_{273}(23,·)$, $\chi_{273}(152,·)$, $\chi_{273}(155,·)$, $\chi_{273}(160,·)$, $\chi_{273}(116,·)$, $\chi_{273}(166,·)$, $\chi_{273}(172,·)$, $\chi_{273}(179,·)$, $\chi_{273}(181,·)$, $\chi_{273}(185,·)$, $\chi_{273}(68,·)$, $\chi_{273}(199,·)$, $\chi_{273}(79,·)$, $\chi_{273}(209,·)$, $\chi_{273}(82,·)$, $\chi_{273}(211,·)$, $\chi_{273}(212,·)$, $\chi_{273}(218,·)$, $\chi_{273}(220,·)$, $\chi_{273}(95,·)$, $\chi_{273}(100,·)$, $\chi_{273}(230,·)$, $\chi_{273}(103,·)$, $\chi_{273}(233,·)$, $\chi_{273}(235,·)$, $\chi_{273}(244,·)$, $\chi_{273}(248,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $\frac{1}{83} a^{29} + \frac{35}{83} a^{28} - \frac{36}{83} a^{27} - \frac{31}{83} a^{26} - \frac{36}{83} a^{25} + \frac{3}{83} a^{24} - \frac{27}{83} a^{23} + \frac{14}{83} a^{22} - \frac{36}{83} a^{21} - \frac{31}{83} a^{20} - \frac{33}{83} a^{19} + \frac{13}{83} a^{18} + \frac{6}{83} a^{17} + \frac{21}{83} a^{16} - \frac{25}{83} a^{15} - \frac{12}{83} a^{14} + \frac{29}{83} a^{13} + \frac{4}{83} a^{12} + \frac{13}{83} a^{11} + \frac{23}{83} a^{10} - \frac{28}{83} a^{9} + \frac{19}{83} a^{8} + \frac{24}{83} a^{7} + \frac{34}{83} a^{6} - \frac{38}{83} a^{5} + \frac{6}{83} a^{4} + \frac{23}{83} a^{3} + \frac{12}{83} a^{2} + \frac{4}{83} a - \frac{16}{83}$, $\frac{1}{415} a^{30} - \frac{1}{415} a^{29} - \frac{51}{415} a^{28} - \frac{63}{415} a^{27} + \frac{1}{415} a^{26} + \frac{137}{415} a^{25} + \frac{197}{415} a^{24} - \frac{93}{415} a^{23} + \frac{124}{415} a^{22} + \frac{186}{415} a^{21} + \frac{34}{83} a^{20} + \frac{39}{415} a^{19} - \frac{47}{415} a^{18} - \frac{29}{415} a^{17} - \frac{117}{415} a^{16} - \frac{5}{83} a^{15} - \frac{203}{415} a^{14} + \frac{122}{415} a^{13} - \frac{48}{415} a^{12} + \frac{53}{415} a^{11} - \frac{26}{415} a^{10} + \frac{31}{415} a^{9} - \frac{79}{415} a^{8} - \frac{2}{5} a^{7} - \frac{20}{83} a^{6} + \frac{46}{415} a^{5} - \frac{27}{415} a^{4} - \frac{69}{415} a^{3} - \frac{96}{415} a^{2} - \frac{77}{415} a + \frac{78}{415}$, $\frac{1}{2091185} a^{31} - \frac{1302}{2091185} a^{30} + \frac{797}{418237} a^{29} - \frac{172062}{2091185} a^{28} + \frac{881979}{2091185} a^{27} - \frac{724219}{2091185} a^{26} + \frac{77417}{418237} a^{25} - \frac{75699}{418237} a^{24} - \frac{906398}{2091185} a^{23} - \frac{164763}{2091185} a^{22} + \frac{576459}{2091185} a^{21} - \frac{712201}{2091185} a^{20} + \frac{526694}{2091185} a^{19} + \frac{392983}{2091185} a^{18} - \frac{297898}{2091185} a^{17} - \frac{834928}{2091185} a^{16} + \frac{826732}{2091185} a^{15} + \frac{207550}{418237} a^{14} + \frac{19301}{418237} a^{13} - \frac{473529}{2091185} a^{12} + \frac{121371}{2091185} a^{11} + \frac{4217}{2091185} a^{10} - \frac{88055}{418237} a^{9} + \frac{956358}{2091185} a^{8} + \frac{471991}{2091185} a^{7} - \frac{666209}{2091185} a^{6} - \frac{744803}{2091185} a^{5} + \frac{693058}{2091185} a^{4} + \frac{36793}{2091185} a^{3} - \frac{30771}{2091185} a^{2} - \frac{172645}{418237} a - \frac{978558}{2091185}$, $\frac{1}{2091185} a^{32} + \frac{377}{418237} a^{30} - \frac{2436}{2091185} a^{29} + \frac{709791}{2091185} a^{28} + \frac{65852}{2091185} a^{27} + \frac{810176}{2091185} a^{26} - \frac{6602}{2091185} a^{25} - \frac{151327}{418237} a^{24} + \frac{478794}{2091185} a^{23} - \frac{371991}{2091185} a^{22} + \frac{870691}{2091185} a^{21} - \frac{490028}{2091185} a^{20} + \frac{360827}{2091185} a^{19} - \frac{80990}{418237} a^{18} + \frac{43387}{418237} a^{17} + \frac{904648}{2091185} a^{16} - \frac{525261}{2091185} a^{15} - \frac{227912}{2091185} a^{14} - \frac{1015696}{2091185} a^{13} + \frac{17561}{2091185} a^{12} - \frac{406979}{2091185} a^{11} - \frac{89458}{418237} a^{10} - \frac{73008}{2091185} a^{9} + \frac{1022146}{2091185} a^{8} - \frac{40336}{2091185} a^{7} - \frac{382731}{2091185} a^{6} + \frac{594166}{2091185} a^{5} + \frac{256061}{2091185} a^{4} + \frac{940469}{2091185} a^{3} - \frac{796471}{2091185} a^{2} + \frac{779819}{2091185} a + \frac{698821}{2091185}$, $\frac{1}{9232581775} a^{33} - \frac{1754}{9232581775} a^{32} + \frac{807}{9232581775} a^{31} - \frac{3673859}{9232581775} a^{30} + \frac{45286894}{9232581775} a^{29} - \frac{1067784427}{9232581775} a^{28} - \frac{2230393692}{9232581775} a^{27} + \frac{1194070492}{9232581775} a^{26} + \frac{148228524}{1846516355} a^{25} - \frac{1644083574}{9232581775} a^{24} + \frac{1700386024}{9232581775} a^{23} + \frac{2093761053}{9232581775} a^{22} - \frac{2104489538}{9232581775} a^{21} + \frac{3924323232}{9232581775} a^{20} + \frac{4158867309}{9232581775} a^{19} + \frac{3040989479}{9232581775} a^{18} - \frac{1872737092}{9232581775} a^{17} - \frac{1059295151}{9232581775} a^{16} + \frac{1372605116}{9232581775} a^{15} + \frac{4401173074}{9232581775} a^{14} - \frac{4381085383}{9232581775} a^{13} + \frac{584913041}{9232581775} a^{12} - \frac{637779004}{9232581775} a^{11} - \frac{545366662}{1846516355} a^{10} + \frac{3883272349}{9232581775} a^{9} + \frac{2876676537}{9232581775} a^{8} - \frac{3796953341}{9232581775} a^{7} + \frac{3840870877}{9232581775} a^{6} - \frac{4426024388}{9232581775} a^{5} - \frac{719086276}{9232581775} a^{4} - \frac{458275211}{1846516355} a^{3} + \frac{38081375}{369303271} a^{2} - \frac{806576042}{9232581775} a - \frac{2708879952}{9232581775}$, $\frac{1}{9232581775} a^{34} + \frac{1546}{9232581775} a^{32} + \frac{2099}{9232581775} a^{31} - \frac{3878662}{9232581775} a^{30} + \frac{32100304}{9232581775} a^{29} - \frac{861528889}{1846516355} a^{28} - \frac{2812023641}{9232581775} a^{27} + \frac{2289748413}{9232581775} a^{26} + \frac{2099595026}{9232581775} a^{25} - \frac{613578}{1832225} a^{24} + \frac{4193569634}{9232581775} a^{23} + \frac{137449364}{9232581775} a^{22} - \frac{436538336}{1846516355} a^{21} - \frac{3335517533}{9232581775} a^{20} + \frac{621968276}{1846516355} a^{19} + \frac{2907142934}{9232581775} a^{18} - \frac{2110549294}{9232581775} a^{17} - \frac{3574340493}{9232581775} a^{16} - \frac{3371529932}{9232581775} a^{15} + \frac{1645872083}{9232581775} a^{14} - \frac{963839641}{9232581775} a^{13} - \frac{178250773}{369303271} a^{12} + \frac{4325657079}{9232581775} a^{11} + \frac{2490231529}{9232581775} a^{10} + \frac{2053406933}{9232581775} a^{9} - \frac{3401601458}{9232581775} a^{8} + \frac{2110842448}{9232581775} a^{7} + \frac{374860544}{1846516355} a^{6} + \frac{4131546902}{9232581775} a^{5} + \frac{2196060781}{9232581775} a^{4} - \frac{504736034}{1846516355} a^{3} - \frac{1686401217}{9232581775} a^{2} + \frac{885177054}{1846516355} a - \frac{1603848898}{9232581775}$, $\frac{1}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{35} + \frac{1436104066799649108451433318031905851231174945490275394773153662281457102230523641854579071739483837870604255674182588819222}{171845775900321497125824384296581509627776727522894956871293047214432271697175773669488086776715938870369965718298571353745296292216545} a^{34} + \frac{1553954570597672267710086721742971580784533945044559829067763089330648086282388663252619249035636258660392588034096565461972}{34369155180064299425164876859316301925555345504578991374258609442886454339435154733897617355343187774073993143659714270749059258443309} a^{33} + \frac{149733099535325024409403068589235294650441176319241235676660726529135492801072823316488381394806871989369212659427050530069050718}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{32} - \frac{20283628457036062662617817006572799768464340354147905016226746423297113717317879271300618169234996082545489019199513360268867314}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{31} - \frac{715082788750977761559154343114936320503484350398755741970864759270338994583834736646028565730591922250265141598808721945440552909282}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{30} - \frac{4061327641634651987746158836437452560863387967277968242675227891046750530561483056670385984042674676657795408985658988761820075534209}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{29} - \frac{276833208310343727916081294510222784098332755988122900188131673212687667172106902050423094763375904222044519200262334460816453520806589}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{28} - \frac{42397744565065846217149074130696632196876852592729479376778203700556915518634695231137849773275662709202872202191095974370850715076332}{171845775900321497125824384296581509627776727522894956871293047214432271697175773669488086776715938870369965718298571353745296292216545} a^{27} - \frac{251034169934812706361078514886979751523523635555616361331291545029196584659209471729729387861253289561153638219883650127237744377177691}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{26} - \frac{342499848452671129290051343482477528303718780422416170815290095284163780683391791438293476770474055088259471833012758736586685335856392}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{25} - \frac{99115132757938940570152630148607029980525008565687652998961227381205258326281176102102681018093153673233351212170625293901728665492672}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{24} + \frac{23458197073040662813723973392029566491434452383347885515033535690125012100514499884365967565367462658704700101529298710499353079588874}{171845775900321497125824384296581509627776727522894956871293047214432271697175773669488086776715938870369965718298571353745296292216545} a^{23} + \frac{217597792933022823828458457209787946346052245047650186022743738149138039471124855448261252546516131752096413135376287286888283574009852}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{22} + \frac{80627363991576930756972316196442076841757870067921656972942841092524598967965636883474431649439824210475490044170231825722135328183293}{171845775900321497125824384296581509627776727522894956871293047214432271697175773669488086776715938870369965718298571353745296292216545} a^{21} + \frac{152917166312375545126874504702636305533694377933688381444986848600769152820979683147640804113715891033048053726685588456963846221611123}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{20} - \frac{3693464763233652782283060941722419845727930450521889025897861350927126427869142474123911158928544777955870604809547457911934387860348}{171845775900321497125824384296581509627776727522894956871293047214432271697175773669488086776715938870369965718298571353745296292216545} a^{19} + \frac{140996236647417112797596463522978205181641767989179591608598302868902862111914693752130280157296285941794564541504034221795505069771742}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{18} + \frac{355418185337650132493198455485629902307364327270362887876768528279044720670744314584180841966920138347072126757890395648227982980969689}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{17} + \frac{7395358634558794946906072866782697712916231467038662643754334044401447834904549661615716259004648974036418376597031492929260847853084}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{16} + \frac{396169440380916457859380684951060658723793769863792824472914791858945939598288093762712976192626311346234974084791311366633408523029987}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{15} - \frac{51592967473355373060172142514337518929373789381287416291974690267618221111979920429123665786845629085135040122567903974361536131039261}{171845775900321497125824384296581509627776727522894956871293047214432271697175773669488086776715938870369965718298571353745296292216545} a^{14} + \frac{415640766220112627312306912878708728084115162832090724501215291618171607549439283416795843148391426270363580048703595011581051526569243}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{13} + \frac{403554301832059734435735467543374304494554106826034935432477495618079209723812832237814518523478097847920294565559653880283381719612133}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{12} - \frac{261149517499959963686397400250805157296049189598025048578034650325735030826480419970020305207469668429500352777756530743099038339692352}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{11} + \frac{290769354571868780728740306667925223427711450579770043208660210465605206093345844609926491618129471559439313949338761192981479374226388}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{10} - \frac{7878208396655750873145141901666464785776801706299173839781206819803180986730277159543484877567249151714160670778619506660586439923727}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{9} - \frac{21637189102289464834183221889664233325843151293585761337551708994388831357410397830464683114544716290391706012391929973064385589776514}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{8} - \frac{334262506711226649571500059129163858221752976665225693609165724121878473011387364031205032451415971142389710924296326387220296197176564}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{7} + \frac{65437932910108264492105357801595544387059579977128485994458430613065674925280510165523370500575687878636553587526210040477911912096663}{171845775900321497125824384296581509627776727522894956871293047214432271697175773669488086776715938870369965718298571353745296292216545} a^{6} + \frac{307072732588399740916961234502351329714010369024250411896818097270854227707781421528048740254746997224318336879333236753024575824774114}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{5} + \frac{198097071904732462926145598858221141499001857453738027540781924085124817862223773077454253046402573539263220006480742507012014503842191}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{4} + \frac{371396509997626629908648795925135204489279864339439085208529835434564669658083787084944860533145685479691563357244217445681280358108683}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a^{3} + \frac{56942372521131191211221728523916505121666803232867734460101031705561250211040148226987105567396367310418847622740516684358863122028003}{171845775900321497125824384296581509627776727522894956871293047214432271697175773669488086776715938870369965718298571353745296292216545} a^{2} + \frac{8376496343604751569275322149556100194061320870016012291100999104303012173211743407900263056799175674016046597111389585875259725628724}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725} a + \frac{43672523644609665380018357411512126406221611774842596868361694614274113130915534629697461622539011728709332812787492201023705555924787}{859228879501607485629121921482907548138883637614474784356465236072161358485878868347440433883579694351849828591492856768726481461082725}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{2}\times C_{2}\times C_{4}\times C_{4}\times C_{532}$, which has order $34048$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 237588103291598.12 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_6^2$ (as 36T4):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_6^2$
Character table for $C_6^2$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-91}) \), \(\Q(\sqrt{21}) \), \(\Q(\sqrt{-39}) \), 3.3.169.1, 3.3.8281.2, 3.3.8281.1, \(\Q(\zeta_{7})^+\), \(\Q(\sqrt{21}, \sqrt{-39})\), 6.0.127353499.1, 6.0.6240321451.2, 6.0.6240321451.1, 6.0.36924979.1, 6.6.264503421.1, 6.0.10024911.1, 6.6.12960667629.2, 6.0.24069811311.2, 6.6.12960667629.1, 6.0.24069811311.1, \(\Q(\zeta_{21})^+\), 6.0.142424919.1, 9.9.567869252041.1, 12.0.11823588092798847729.2, 12.0.28388435010810033397329.1, 12.0.28388435010810033397329.5, 12.0.993958020055671489.1, 18.0.243008175525757569678159896851.1, 18.18.2177118761435360147462549499189.1, 18.0.13944985186220076513047292273231.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.6.0.1}{6} }^{6}$ R ${\href{/LocalNumberField/5.3.0.1}{3} }^{12}$ R ${\href{/LocalNumberField/11.6.0.1}{6} }^{6}$ R ${\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/19.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/23.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/37.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/47.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/53.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/59.3.0.1}{3} }^{12}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$3$3.12.6.2$x^{12} + 108 x^{6} - 243 x^{2} + 2916$$2$$6$$6$$C_6\times C_2$$[\ ]_{2}^{6}$
3.12.6.2$x^{12} + 108 x^{6} - 243 x^{2} + 2916$$2$$6$$6$$C_6\times C_2$$[\ ]_{2}^{6}$
3.12.6.2$x^{12} + 108 x^{6} - 243 x^{2} + 2916$$2$$6$$6$$C_6\times C_2$$[\ ]_{2}^{6}$
7Data not computed
$13$13.12.10.1$x^{12} - 117 x^{6} + 10816$$6$$2$$10$$C_6\times C_2$$[\ ]_{6}^{2}$
13.12.10.1$x^{12} - 117 x^{6} + 10816$$6$$2$$10$$C_6\times C_2$$[\ ]_{6}^{2}$
13.12.10.1$x^{12} - 117 x^{6} + 10816$$6$$2$$10$$C_6\times C_2$$[\ ]_{6}^{2}$