Number field 36.0.2215020037800761116296816339199940379209022060324490202578944.1

• Label: 36.0.221...944.1
• Degree: $36$
• Signature: $[0, 18]$
• Discriminant: $2.215\times 10^{60}$
• Root discriminant: \(47.45\)
• Ramified primes: $2,3,19$
• Class number: $171$ (GRH)
• Class group: [171] (GRH)
• Galois group: $C_2\times C_{18}$ (as 36T2)

Normalized defining polynomial

x^36 - 17*x^34 + 169*x^32 - 1130*x^30 + 5664*x^28 - 21853*x^26 + 66874*x^24 - 162613*x^22 + 316711*x^20 - 487810*x^18 + 592078*x^16 - 549123*x^14 + 384931*x^12 - 190091*x^10 + 66033*x^8 - 13002*x^6 + 1695*x^4 - 45*x^2 + 1

Invariants

Degree:		$36$
Signature:		$[0, 18]$
Discriminant:		\(2215020037800761116296816339199940379209022060324490202578944\) \(\medspace = 2^{36}\cdot 3^{18}\cdot 19^{32}\)
Root discriminant:		\(47.45\)
Galois root discriminant:		$2\cdot 3^{1/2}19^{8/9}\approx 47.4526521699425$
Ramified primes:		\(2\), \(3\), \(19\)
Discriminant root field:		\(\Q\)
$\card{ \Gal(K/\Q) }$:		$36$
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:		\(228=2^{2}\cdot 3\cdot 19\)
Dirichlet character group:		$\lbrace$$\chi_{228}(1,·)$, $\chi_{228}(131,·)$, $\chi_{228}(5,·)$, $\chi_{228}(7,·)$, $\chi_{228}(137,·)$, $\chi_{228}(11,·)$, $\chi_{228}(17,·)$, $\chi_{228}(149,·)$, $\chi_{228}(23,·)$, $\chi_{228}(25,·)$, $\chi_{228}(47,·)$, $\chi_{228}(157,·)$, $\chi_{228}(161,·)$, $\chi_{228}(35,·)$, $\chi_{228}(163,·)$, $\chi_{228}(169,·)$, $\chi_{228}(43,·)$, $\chi_{228}(175,·)$, $\chi_{228}(49,·)$, $\chi_{228}(55,·)$, $\chi_{228}(187,·)$, $\chi_{228}(61,·)$, $\chi_{228}(191,·)$, $\chi_{228}(139,·)$, $\chi_{228}(197,·)$, $\chi_{228}(199,·)$, $\chi_{228}(73,·)$, $\chi_{228}(77,·)$, $\chi_{228}(83,·)$, $\chi_{228}(85,·)$, $\chi_{228}(215,·)$, $\chi_{228}(101,·)$, $\chi_{228}(115,·)$, $\chi_{228}(119,·)$, $\chi_{228}(121,·)$, $\chi_{228}(125,·)$$\rbrace$
This is a CM field.
Reflex fields:		unavailable$^{131072}$

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $\frac{1}{37}a^{28}+\frac{4}{37}a^{26}+\frac{16}{37}a^{24}-\frac{11}{37}a^{16}-\frac{7}{37}a^{14}+\frac{9}{37}a^{12}+\frac{10}{37}a^{4}+\frac{3}{37}a^{2}+\frac{12}{37}$, $\frac{1}{37}a^{29}+\frac{4}{37}a^{27}+\frac{16}{37}a^{25}-\frac{11}{37}a^{17}-\frac{7}{37}a^{15}+\frac{9}{37}a^{13}+\frac{10}{37}a^{5}+\frac{3}{37}a^{3}+\frac{12}{37}a$, $\frac{1}{37}a^{30}+\frac{10}{37}a^{24}-\frac{11}{37}a^{18}+\frac{1}{37}a^{12}+\frac{10}{37}a^{6}-\frac{11}{37}$, $\frac{1}{37}a^{31}+\frac{10}{37}a^{25}-\frac{11}{37}a^{19}+\frac{1}{37}a^{13}+\frac{10}{37}a^{7}-\frac{11}{37}a$, $\frac{1}{37}a^{32}+\frac{10}{37}a^{26}-\frac{11}{37}a^{20}+\frac{1}{37}a^{14}+\frac{10}{37}a^{8}-\frac{11}{37}a^{2}$, $\frac{1}{37}a^{33}+\frac{10}{37}a^{27}-\frac{11}{37}a^{21}+\frac{1}{37}a^{15}+\frac{10}{37}a^{9}-\frac{11}{37}a^{3}$, $\frac{1}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{56\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{32}-\frac{44\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{53\!\cdots\!98}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{33\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{99\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{15\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{22}+\frac{25\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{20}-\frac{16\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{22\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{16}-\frac{13\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!67}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{44\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{10}+\frac{27\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{8}-\frac{20\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{6}+\frac{20\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{23\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{99\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{1}{57\!\cdots\!13}a^{35}-\frac{56\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{33}-\frac{44\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{31}-\frac{53\!\cdots\!98}{57\!\cdots\!13}a^{29}+\frac{33\!\cdots\!22}{24\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{99\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{15\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{25\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{16\!\cdots\!88}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{22\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{13\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{15\!\cdots\!67}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{44\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{27\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{20\!\cdots\!02}{57\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{20\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{23\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{99\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a$

Monogenic:		Not computed
Index:		$1$
Inessential primes:		None

Class group and class number

$C_{171}$, which has order $171$ (assuming GRH)

Unit group

Rank:		$17$
Torsion generator:		\( \frac{3119768034844994278395666934}{57118061071237599258033288313} a^{35} - \frac{52686989737560164127211774886}{57118061071237599258033288313} a^{33} + \frac{521262559950391673415837953047}{57118061071237599258033288313} a^{31} - \frac{3465598390908035834055204859481}{57118061071237599258033288313} a^{29} + \frac{75408414660554749807210242843}{249423847472653271869140997} a^{27} - \frac{66150057942679514451058229463121}{57118061071237599258033288313} a^{25} + \frac{200759166176499311751503439400129}{57118061071237599258033288313} a^{23} - \frac{483041260331622135857931022469482}{57118061071237599258033288313} a^{21} + \frac{928503978511893230542710915712580}{57118061071237599258033288313} a^{19} - \frac{1404660975853884939458076936570698}{57118061071237599258033288313} a^{17} + \frac{1664382056444629854639293416812681}{57118061071237599258033288313} a^{15} - \frac{1488216613926939599168448112804054}{57118061071237599258033288313} a^{13} + \frac{988768418221129181284238929520978}{57118061071237599258033288313} a^{11} - \frac{442023473554713121530554571519222}{57118061071237599258033288313} a^{9} + \frac{130253680987610904059613358788156}{57118061071237599258033288313} a^{7} - \frac{14528014841503868895874615064517}{57118061071237599258033288313} a^{5} + \frac{387861834973960968728909210295}{57118061071237599258033288313} a^{3} + \frac{337657092403592416021801765204}{57118061071237599258033288313} a \)  (order $12$)
Fundamental units:		$\frac{31\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{35}-\frac{52\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{33}+\frac{52\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{31}-\frac{34\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!13}a^{29}+\frac{75\!\cdots\!43}{24\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{66\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{20\!\cdots\!29}{57\!\cdots\!13}a^{23}-\frac{48\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{92\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{14\!\cdots\!98}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{14\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{98\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{44\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{13\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{14\!\cdots\!17}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{38\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{33\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a-1$, $\frac{28\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{48\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{48\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{32\!\cdots\!90}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{70\!\cdots\!53}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{62\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{19\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{46\!\cdots\!31}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{13\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{16\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{15\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{53\!\cdots\!59}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{18\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{33\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{37\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{21\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{22694581463403}{13\!\cdots\!51}a^{34}-\frac{396158588367777}{13\!\cdots\!51}a^{32}+\frac{40\!\cdots\!59}{13\!\cdots\!51}a^{30}-\frac{27\!\cdots\!97}{13\!\cdots\!51}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!35}{13\!\cdots\!51}a^{26}-\frac{55\!\cdots\!90}{13\!\cdots\!51}a^{24}+\frac{17\!\cdots\!12}{13\!\cdots\!51}a^{22}-\frac{44\!\cdots\!00}{13\!\cdots\!51}a^{20}+\frac{90\!\cdots\!45}{13\!\cdots\!51}a^{18}-\frac{14\!\cdots\!37}{13\!\cdots\!51}a^{16}+\frac{19\!\cdots\!92}{13\!\cdots\!51}a^{14}-\frac{19\!\cdots\!26}{13\!\cdots\!51}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!38}{13\!\cdots\!51}a^{10}-\frac{87\!\cdots\!65}{13\!\cdots\!51}a^{8}+\frac{35\!\cdots\!57}{13\!\cdots\!51}a^{6}-\frac{86\!\cdots\!44}{13\!\cdots\!51}a^{4}+\frac{10\!\cdots\!08}{13\!\cdots\!51}a^{2}-\frac{28\!\cdots\!34}{13\!\cdots\!51}$, $\frac{59\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{99\!\cdots\!59}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{66\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{38\!\cdots\!03}{67\!\cdots\!81}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!63}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{92\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!55}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{27\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{86\!\cdots\!41}{15\!\cdots\!49}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{19\!\cdots\!20}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{85\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{28\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{20\!\cdots\!57}{15\!\cdots\!49}a^{2}+\frac{25\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{89\!\cdots\!20}{15\!\cdots\!49}a^{34}-\frac{56\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{55\!\cdots\!33}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{10\!\cdots\!49}{15\!\cdots\!49}a^{28}+\frac{80\!\cdots\!34}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{71\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{58\!\cdots\!88}{15\!\cdots\!49}a^{22}-\frac{52\!\cdots\!07}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{41\!\cdots\!96}{15\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{29\!\cdots\!51}{15\!\cdots\!49}a^{10}-\frac{49\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{43\!\cdots\!07}{15\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{43\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{64\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{67\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{11\!\cdots\!45}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{11\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{79\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{17\!\cdots\!49}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!87}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{49\!\cdots\!83}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{12\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{24\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{39\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{49\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{48\!\cdots\!81}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{36\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{19\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{75\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{17\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{76\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{12\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{22\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!49}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{48\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{89\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{11\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{16\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{27\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{27\!\cdots\!45}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{18\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{40\!\cdots\!76}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{35\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{76\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{91\!\cdots\!50}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{83\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{57\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{27\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{90\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!95}{57\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{17\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{29\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{29\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{19\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{42\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{82\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{25\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{15128210371138}{154764745241131}a^{35}+\frac{12\!\cdots\!04}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{258813998740211}{154764745241131}a^{33}-\frac{20\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{25\!\cdots\!11}{154764745241131}a^{31}+\frac{20\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!47}{154764745241131}a^{29}-\frac{13\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{382325713505049}{675828581839}a^{27}+\frac{29\!\cdots\!08}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!73}{154764745241131}a^{25}-\frac{25\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!60}{154764745241131}a^{23}+\frac{77\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!62}{154764745241131}a^{21}-\frac{18\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!74}{154764745241131}a^{19}+\frac{35\!\cdots\!18}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!43}{154764745241131}a^{17}-\frac{54\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{97\!\cdots\!21}{154764745241131}a^{15}+\frac{64\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!94}{154764745241131}a^{13}-\frac{57\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!96}{154764745241131}a^{11}+\frac{38\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!08}{154764745241131}a^{9}-\frac{17\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!73}{154764745241131}a^{7}+\frac{50\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!33}{154764745241131}a^{5}-\frac{56\!\cdots\!10}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!36}{154764745241131}a^{3}+\frac{15\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!78}{154764745241131}a+\frac{59\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{13\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a^{35}-\frac{17\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{22\!\cdots\!91}{57\!\cdots\!13}a^{33}+\frac{29\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{22\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a^{31}-\frac{29\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{15\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{33\!\cdots\!85}{24\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{42\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{29\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{89\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!13}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{21\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{42\!\cdots\!36}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{64\!\cdots\!89}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{78\!\cdots\!66}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{72\!\cdots\!35}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{91\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{50\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{24\!\cdots\!08}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{85\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{16\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{21\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{57\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!13}a+\frac{12\!\cdots\!96}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{59\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{35}+\frac{17\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{10\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{33}-\frac{29\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{99\!\cdots\!72}{57\!\cdots\!13}a^{31}+\frac{29\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{66\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{29}-\frac{19\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{14\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{42\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{12\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{38\!\cdots\!54}{57\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{92\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{17\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{26\!\cdots\!56}{57\!\cdots\!13}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{31\!\cdots\!30}{57\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{99\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{28\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{91\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{18\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{84\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{24\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{27\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!13}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{74\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{66\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a+\frac{44\!\cdots\!43}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{76\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}a^{35}+\frac{17\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{12\!\cdots\!47}{57\!\cdots\!13}a^{33}-\frac{29\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{12\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{31}+\frac{29\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{22\!\cdots\!35}{15\!\cdots\!49}a^{29}-\frac{19\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{18\!\cdots\!90}{24\!\cdots\!97}a^{27}+\frac{42\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{15\!\cdots\!65}{57\!\cdots\!13}a^{25}-\frac{37\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{48\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{23}+\frac{11\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{11\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{21}-\frac{27\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{21\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!13}a^{19}+\frac{54\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{89\!\cdots\!76}{15\!\cdots\!49}a^{17}-\frac{82\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{38\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{15}+\frac{99\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{34\!\cdots\!15}{57\!\cdots\!13}a^{13}-\frac{91\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{22\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!13}a^{11}+\frac{63\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{10\!\cdots\!01}{57\!\cdots\!13}a^{9}-\frac{30\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{31\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{7}+\frac{10\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{89\!\cdots\!08}{15\!\cdots\!49}a^{5}-\frac{19\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{88\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{3}+\frac{26\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{16\!\cdots\!78}{57\!\cdots\!13}a+\frac{44\!\cdots\!43}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{36\!\cdots\!03}{57\!\cdots\!13}a^{35}-\frac{17\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{61\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!13}a^{33}+\frac{29\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{60\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{31}-\frac{29\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{40\!\cdots\!17}{57\!\cdots\!13}a^{29}+\frac{19\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{87\!\cdots\!26}{24\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{42\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{76\!\cdots\!39}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{37\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{23\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{23}-\frac{11\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{55\!\cdots\!55}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{27\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{10\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{54\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{15\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{82\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{18\!\cdots\!74}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{99\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{16\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{91\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{10\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{63\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{48\!\cdots\!07}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{30\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{14\!\cdots\!37}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{10\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{15\!\cdots\!40}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{26\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{2}+\frac{27\!\cdots\!97}{57\!\cdots\!13}a-\frac{44\!\cdots\!43}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{17\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{35}-\frac{34\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{29\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{33}+\frac{59\!\cdots\!00}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{29\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{31}-\frac{58\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{19\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}a^{29}+\frac{39\!\cdots\!38}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{42\!\cdots\!21}{24\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{85\!\cdots\!42}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{37\!\cdots\!23}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{75\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{11\!\cdots\!49}{57\!\cdots\!13}a^{23}-\frac{22\!\cdots\!98}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{27\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{55\!\cdots\!82}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{54\!\cdots\!58}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{10\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{82\!\cdots\!13}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{16\!\cdots\!26}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{99\!\cdots\!46}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{19\!\cdots\!92}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{91\!\cdots\!61}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{18\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{63\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{12\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{30\!\cdots\!42}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{61\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{10\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{20\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{19\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{39\!\cdots\!98}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{26\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{52\!\cdots\!98}{57\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{12\!\cdots\!70}{57\!\cdots\!13}a+\frac{81\!\cdots\!53}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{39\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{35}-\frac{57\!\cdots\!27}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{66\!\cdots\!22}{57\!\cdots\!13}a^{33}+\frac{98\!\cdots\!06}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{66\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!13}a^{31}-\frac{97\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{44\!\cdots\!73}{57\!\cdots\!13}a^{29}+\frac{17\!\cdots\!92}{15\!\cdots\!49}a^{28}+\frac{97\!\cdots\!69}{24\!\cdots\!97}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!00}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{85\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{26\!\cdots\!77}{57\!\cdots\!13}a^{23}-\frac{38\!\cdots\!80}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{63\!\cdots\!16}{57\!\cdots\!13}a^{21}+\frac{93\!\cdots\!12}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{12\!\cdots\!19}{57\!\cdots\!13}a^{19}-\frac{18\!\cdots\!28}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{19\!\cdots\!86}{57\!\cdots\!13}a^{17}+\frac{75\!\cdots\!36}{15\!\cdots\!49}a^{16}+\frac{23\!\cdots\!93}{57\!\cdots\!13}a^{15}-\frac{33\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{21\!\cdots\!11}{57\!\cdots\!13}a^{13}+\frac{31\!\cdots\!64}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{15\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{11}-\frac{21\!\cdots\!68}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{74\!\cdots\!48}{57\!\cdots\!13}a^{9}+\frac{10\!\cdots\!84}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{25\!\cdots\!76}{57\!\cdots\!13}a^{7}-\frac{37\!\cdots\!50}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{49\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!13}a^{5}+\frac{19\!\cdots\!73}{15\!\cdots\!49}a^{4}+\frac{61\!\cdots\!79}{57\!\cdots\!13}a^{3}-\frac{94\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{96\!\cdots\!43}{57\!\cdots\!13}a+\frac{25\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}$, $\frac{15128210371138}{154764745241131}a^{35}-\frac{59\!\cdots\!41}{57\!\cdots\!13}a^{34}-\frac{258813998740211}{154764745241131}a^{33}+\frac{99\!\cdots\!71}{57\!\cdots\!13}a^{32}+\frac{25\!\cdots\!11}{154764745241131}a^{31}-\frac{98\!\cdots\!09}{57\!\cdots\!13}a^{30}-\frac{17\!\cdots\!47}{154764745241131}a^{29}+\frac{65\!\cdots\!07}{57\!\cdots\!13}a^{28}+\frac{382325713505049}{675828581839}a^{27}-\frac{14\!\cdots\!66}{24\!\cdots\!97}a^{26}-\frac{33\!\cdots\!73}{154764745241131}a^{25}+\frac{12\!\cdots\!69}{57\!\cdots\!13}a^{24}+\frac{10\!\cdots\!60}{154764745241131}a^{23}-\frac{37\!\cdots\!60}{57\!\cdots\!13}a^{22}-\frac{25\!\cdots\!62}{154764745241131}a^{21}+\frac{89\!\cdots\!57}{57\!\cdots\!13}a^{20}+\frac{50\!\cdots\!74}{154764745241131}a^{19}-\frac{17\!\cdots\!25}{57\!\cdots\!13}a^{18}-\frac{79\!\cdots\!43}{154764745241131}a^{17}+\frac{25\!\cdots\!44}{57\!\cdots\!13}a^{16}+\frac{97\!\cdots\!21}{154764745241131}a^{15}-\frac{30\!\cdots\!62}{57\!\cdots\!13}a^{14}-\frac{93\!\cdots\!94}{154764745241131}a^{13}+\frac{26\!\cdots\!07}{57\!\cdots\!13}a^{12}+\frac{67\!\cdots\!96}{154764745241131}a^{11}-\frac{17\!\cdots\!85}{57\!\cdots\!13}a^{10}-\frac{35\!\cdots\!08}{154764745241131}a^{9}+\frac{79\!\cdots\!21}{57\!\cdots\!13}a^{8}+\frac{13\!\cdots\!73}{154764745241131}a^{7}-\frac{23\!\cdots\!52}{57\!\cdots\!13}a^{6}-\frac{29\!\cdots\!33}{154764745241131}a^{5}+\frac{26\!\cdots\!24}{57\!\cdots\!13}a^{4}+\frac{42\!\cdots\!36}{154764745241131}a^{3}-\frac{69\!\cdots\!34}{57\!\cdots\!13}a^{2}-\frac{20\!\cdots\!78}{154764745241131}a-\frac{99\!\cdots\!99}{57\!\cdots\!13}$ (assuming GRH)
Regulator:		\( 119587984215961.08 \) (assuming GRH)

Class number formula

\[ \begin{aligned}\lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s) =\mathstrut & \frac{2^{r_1}\cdot (2\pi)^{r_2}\cdot R\cdot h}{w\cdot\sqrt{|D|}}\cr \approx\mathstrut &\frac{2^{0}\cdot(2\pi)^{18}\cdot 119587984215961.08 \cdot 171}{12\cdot\sqrt{2215020037800761116296816339199940379209022060324490202578944}}\cr\approx \mathstrut & 0.266717315018954 \end{aligned}\] (assuming GRH)

Galois group

$C_2\times C_{18}$ (as 36T2):

An abelian group of order 36

The 36 conjugacy class representatives for $C_2\times C_{18}$

Character table for $C_2\times C_{18}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\sqrt{3}) \), \(\Q(\sqrt{-1}) \), 3.3.361.1, \(\Q(\zeta_{12})\), 6.0.3518667.1, 6.6.225194688.1, 6.0.8340544.1, \(\Q(\zeta_{19})^+\), 12.0.50712647503417344.1, 18.0.5677392343251487443465123.1, 18.18.1488294338429317924379721203712.1, 18.0.75613185918270483380568064.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$	$2$	$3$	$5$	$7$	$11$	$13$	$17$	$19$	$23$	$29$	$31$	$37$	$41$	$43$	$47$	$53$	$59$
Cycle type	R	R	$18^{2}$	${\href{/padicField/7.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/11.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/13.9.0.1}{9} }^{4}$	$18^{2}$	R	$18^{2}$	$18^{2}$	${\href{/padicField/31.6.0.1}{6} }^{6}$	${\href{/padicField/37.1.0.1}{1} }^{36}$	$18^{2}$	$18^{2}$	$18^{2}$	$18^{2}$	$18^{2}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

Local algebras for ramified primes

$p$	Label	Polynomial	$e$	$f$	$c$	Galois group	Slope content
\(2\)		Deg $36$	$2$	$18$	$36$
\(3\)		Deg $36$	$2$	$18$	$18$
\(19\)	19.18.16.1	$x^{18} + 162 x^{17} + 11682 x^{16} + 492480 x^{15} + 13390416 x^{14} + 243982368 x^{13} + 2990277024 x^{12} + 23974071552 x^{11} + 116854153056 x^{10} + 292311592166 x^{9} + 233708309190 x^{8} + 95896505088 x^{7} + 23931351696 x^{6} + 4148844336 x^{5} + 4813362864 x^{4} + 52323118080 x^{3} + 400888193472 x^{2} + 1792784840544 x + 3563298115785$	$9$	$2$	$16$	$C_{18}$	$[\ ]_{9}^{2}$
	19.18.16.1	$x^{18} + 162 x^{17} + 11682 x^{16} + 492480 x^{15} + 13390416 x^{14} + 243982368 x^{13} + 2990277024 x^{12} + 23974071552 x^{11} + 116854153056 x^{10} + 292311592166 x^{9} + 233708309190 x^{8} + 95896505088 x^{7} + 23931351696 x^{6} + 4148844336 x^{5} + 4813362864 x^{4} + 52323118080 x^{3} + 400888193472 x^{2} + 1792784840544 x + 3563298115785$	$9$	$2$	$16$	$C_{18}$	$[\ ]_{9}^{2}$