↑

Properties

Label 36.0.18223999682...4037.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $3^{48}\cdot 7^{24}\cdot 13^{27}$
Root discriminant $108.40$
Ramified primes $3, 7, 13$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_3\times C_{12}$ (as 36T3)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![6300259631, 10559306385, 31088478201, 43030484656, 69916985034, 69843766965, -290397941, -49757150475, 12400497834, 31085975417, -10114588962, -2381175957, 14694026311, 293208303, -2960870652, 1940709560, 715410807, -618372375, 12019540, 134349147, -7820376, -42557253, 13497015, 5881605, -3860961, -447510, 705036, 16960, -120915, 14298, 13674, -3513, -624, 302, -6, -9, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 9*x^35 - 6*x^34 + 302*x^33 - 624*x^32 - 3513*x^31 + 13674*x^30 + 14298*x^29 - 120915*x^28 + 16960*x^27 + 705036*x^26 - 447510*x^25 - 3860961*x^24 + 5881605*x^23 + 13497015*x^22 - 42557253*x^21 - 7820376*x^20 + 134349147*x^19 + 12019540*x^18 - 618372375*x^17 + 715410807*x^16 + 1940709560*x^15 - 2960870652*x^14 + 293208303*x^13 + 14694026311*x^12 - 2381175957*x^11 - 10114588962*x^10 + 31085975417*x^9 + 12400497834*x^8 - 49757150475*x^7 - 290397941*x^6 + 69843766965*x^5 + 69916985034*x^4 + 43030484656*x^3 + 31088478201*x^2 + 10559306385*x + 6300259631)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 9*x^35 - 6*x^34 + 302*x^33 - 624*x^32 - 3513*x^31 + 13674*x^30 + 14298*x^29 - 120915*x^28 + 16960*x^27 + 705036*x^26 - 447510*x^25 - 3860961*x^24 + 5881605*x^23 + 13497015*x^22 - 42557253*x^21 - 7820376*x^20 + 134349147*x^19 + 12019540*x^18 - 618372375*x^17 + 715410807*x^16 + 1940709560*x^15 - 2960870652*x^14 + 293208303*x^13 + 14694026311*x^12 - 2381175957*x^11 - 10114588962*x^10 + 31085975417*x^9 + 12400497834*x^8 - 49757150475*x^7 - 290397941*x^6 + 69843766965*x^5 + 69916985034*x^4 + 43030484656*x^3 + 31088478201*x^2 + 10559306385*x + 6300259631, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 9 x^{35} - 6 x^{34} + 302 x^{33} - 624 x^{32} - 3513 x^{31} + 13674 x^{30} + 14298 x^{29} - 120915 x^{28} + 16960 x^{27} + 705036 x^{26} - 447510 x^{25} - 3860961 x^{24} + 5881605 x^{23} + 13497015 x^{22} - 42557253 x^{21} - 7820376 x^{20} + 134349147 x^{19} + 12019540 x^{18} - 618372375 x^{17} + 715410807 x^{16} + 1940709560 x^{15} - 2960870652 x^{14} + 293208303 x^{13} + 14694026311 x^{12} - 2381175957 x^{11} - 10114588962 x^{10} + 31085975417 x^{9} + 12400497834 x^{8} - 49757150475 x^{7} - 290397941 x^{6} + 69843766965 x^{5} + 69916985034 x^{4} + 43030484656 x^{3} + 31088478201 x^{2} + 10559306385 x + 6300259631 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(18223999682577301331486554002999275479149290679843606302092196002570514037=3^{48}\cdot 7^{24}\cdot 13^{27}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $108.40$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 7, 13$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(819=3^{2}\cdot 7\cdot 13\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{819}(1,·)$, $\chi_{819}(772,·)$, $\chi_{819}(268,·)$, $\chi_{819}(781,·)$, $\chi_{819}(142,·)$, $\chi_{819}(655,·)$, $\chi_{819}(274,·)$, $\chi_{819}(148,·)$, $\chi_{819}(151,·)$, $\chi_{819}(25,·)$, $\chi_{819}(541,·)$, $\chi_{819}(415,·)$, $\chi_{819}(547,·)$, $\chi_{819}(421,·)$, $\chi_{819}(424,·)$, $\chi_{819}(298,·)$, $\chi_{819}(814,·)$, $\chi_{819}(688,·)$, $\chi_{819}(694,·)$, $\chi_{819}(697,·)$, $\chi_{819}(571,·)$, $\chi_{819}(190,·)$, $\chi_{819}(64,·)$, $\chi_{819}(352,·)$, $\chi_{819}(610,·)$, $\chi_{819}(79,·)$, $\chi_{819}(337,·)$, $\chi_{819}(463,·)$, $\chi_{819}(736,·)$, $\chi_{819}(226,·)$, $\chi_{819}(235,·)$, $\chi_{819}(109,·)$, $\chi_{819}(625,·)$, $\chi_{819}(499,·)$, $\chi_{819}(508,·)$, $\chi_{819}(382,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{9} a^{27} - \frac{1}{3} a^{24} - \frac{1}{3} a^{22} - \frac{1}{3} a^{21} - \frac{1}{3} a^{20} - \frac{1}{3} a^{16} - \frac{1}{3} a^{15} - \frac{1}{3} a^{14} + \frac{1}{3} a^{13} + \frac{1}{3} a^{12} + \frac{1}{3} a^{11} + \frac{1}{3} a^{10} - \frac{2}{9} a^{9} - \frac{1}{3} a^{8} - \frac{1}{3} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} + \frac{1}{9} a^{3} - \frac{1}{3} a^{2} - \frac{1}{3} a - \frac{1}{9}$, $\frac{1}{18} a^{28} - \frac{1}{18} a^{27} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{6} a^{25} - \frac{1}{3} a^{24} - \frac{1}{6} a^{23} - \frac{1}{2} a^{21} + \frac{1}{6} a^{20} - \frac{1}{6} a^{17} + \frac{1}{3} a^{14} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{5}{18} a^{10} + \frac{4}{9} a^{9} + \frac{1}{6} a^{8} + \frac{1}{3} a^{7} - \frac{1}{6} a^{6} - \frac{1}{6} a^{5} + \frac{1}{18} a^{4} + \frac{5}{18} a^{3} - \frac{7}{18} a + \frac{1}{18}$, $\frac{1}{18} a^{29} + \frac{1}{3} a^{26} - \frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{6} a^{24} - \frac{1}{6} a^{23} - \frac{1}{6} a^{22} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{6} a^{18} - \frac{1}{6} a^{17} + \frac{1}{3} a^{16} - \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{6} a^{14} - \frac{1}{3} a^{13} - \frac{1}{3} a^{12} - \frac{1}{9} a^{11} - \frac{1}{6} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{6} a^{8} + \frac{1}{6} a^{7} - \frac{4}{9} a^{5} + \frac{1}{3} a^{4} - \frac{1}{6} a^{3} - \frac{1}{18} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{18} a^{30} - \frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{6} a^{25} - \frac{1}{6} a^{24} - \frac{1}{6} a^{23} - \frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{6} a^{19} - \frac{1}{6} a^{18} + \frac{1}{3} a^{17} - \frac{1}{3} a^{16} + \frac{1}{6} a^{15} - \frac{1}{3} a^{14} - \frac{1}{3} a^{13} - \frac{1}{9} a^{12} - \frac{1}{6} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} + \frac{1}{6} a^{8} - \frac{4}{9} a^{6} + \frac{1}{3} a^{5} - \frac{1}{6} a^{4} - \frac{7}{18} a^{3} - \frac{1}{2} a + \frac{1}{3}$, $\frac{1}{18} a^{31} - \frac{1}{18} a^{27} - \frac{1}{6} a^{26} - \frac{1}{6} a^{25} - \frac{1}{2} a^{24} + \frac{1}{6} a^{22} - \frac{1}{3} a^{21} - \frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{6} a^{19} + \frac{1}{3} a^{18} - \frac{1}{3} a^{17} - \frac{1}{6} a^{16} + \frac{1}{3} a^{15} + \frac{1}{3} a^{14} + \frac{2}{9} a^{13} + \frac{1}{6} a^{12} - \frac{1}{6} a^{11} - \frac{1}{6} a^{10} + \frac{5}{18} a^{9} - \frac{1}{3} a^{8} - \frac{4}{9} a^{7} + \frac{1}{6} a^{5} - \frac{7}{18} a^{4} + \frac{4}{9} a^{3} + \frac{1}{6} a^{2} - \frac{4}{9}$, $\frac{1}{4572} a^{32} - \frac{5}{762} a^{31} - \frac{17}{1524} a^{30} - \frac{7}{1143} a^{29} - \frac{2}{127} a^{28} + \frac{5}{762} a^{27} - \frac{51}{508} a^{26} - \frac{475}{1524} a^{25} - \frac{545}{1524} a^{24} + \frac{487}{1524} a^{23} + \frac{172}{381} a^{22} - \frac{367}{1524} a^{21} - \frac{299}{762} a^{20} + \frac{149}{1524} a^{19} - \frac{361}{1524} a^{18} + \frac{37}{762} a^{17} + \frac{32}{381} a^{16} + \frac{73}{508} a^{15} + \frac{983}{2286} a^{14} + \frac{77}{254} a^{13} - \frac{8}{127} a^{12} + \frac{101}{4572} a^{11} + \frac{425}{1524} a^{10} + \frac{161}{1524} a^{9} + \frac{550}{1143} a^{8} + \frac{59}{254} a^{7} - \frac{71}{254} a^{6} - \frac{317}{1143} a^{5} + \frac{7}{762} a^{4} - \frac{547}{1524} a^{3} + \frac{103}{1143} a^{2} - \frac{21}{254} a + \frac{271}{1524}$, $\frac{1}{13716} a^{33} + \frac{1}{13716} a^{32} + \frac{289}{13716} a^{31} - \frac{85}{13716} a^{30} + \frac{19}{3429} a^{29} + \frac{7}{1143} a^{28} - \frac{545}{13716} a^{27} + \frac{439}{2286} a^{26} - \frac{269}{2286} a^{25} + \frac{1067}{2286} a^{24} + \frac{97}{1524} a^{23} + \frac{637}{1524} a^{22} + \frac{157}{1524} a^{21} - \frac{1117}{4572} a^{20} - \frac{5}{381} a^{19} + \frac{1075}{4572} a^{18} - \frac{158}{381} a^{17} - \frac{71}{508} a^{16} - \frac{2051}{13716} a^{15} + \frac{1486}{3429} a^{14} - \frac{824}{3429} a^{13} + \frac{4889}{13716} a^{12} - \frac{337}{6858} a^{11} + \frac{53}{381} a^{10} - \frac{4417}{13716} a^{9} + \frac{742}{3429} a^{8} - \frac{725}{3429} a^{7} + \frac{1399}{3429} a^{6} - \frac{347}{762} a^{5} - \frac{5419}{13716} a^{4} + \frac{1103}{13716} a^{3} + \frac{749}{3429} a^{2} + \frac{683}{4572} a - \frac{3499}{13716}$, $\frac{1}{12851892} a^{34} + \frac{7}{4283964} a^{33} - \frac{329}{4283964} a^{32} + \frac{219835}{12851892} a^{31} - \frac{147215}{6425946} a^{30} + \frac{104671}{6425946} a^{29} + \frac{221701}{12851892} a^{28} - \frac{50077}{3212973} a^{27} - \frac{25969}{237998} a^{26} + \frac{54398}{1070991} a^{25} + \frac{505451}{4283964} a^{24} - \frac{27721}{1427988} a^{23} + \frac{488603}{1427988} a^{22} - \frac{2132773}{4283964} a^{21} + \frac{505525}{1070991} a^{20} + \frac{1915225}{4283964} a^{19} - \frac{166552}{1070991} a^{18} + \frac{502295}{1427988} a^{17} + \frac{476929}{12851892} a^{16} - \frac{201479}{2141982} a^{15} + \frac{120769}{2141982} a^{14} + \frac{4154131}{12851892} a^{13} - \frac{1542619}{3212973} a^{12} - \frac{82480}{3212973} a^{11} + \frac{3304625}{12851892} a^{10} - \frac{948217}{3212973} a^{9} - \frac{242905}{2141982} a^{8} - \frac{825755}{2141982} a^{7} - \frac{588781}{3212973} a^{6} - \frac{3751669}{12851892} a^{5} - \frac{340415}{4283964} a^{4} - \frac{147029}{713994} a^{3} - \frac{3761537}{12851892} a^{2} + \frac{3982277}{12851892} a + \frac{892}{3429}$, $\frac{1}{17751936523320060348007224417041528314317046111264206630056387722931424571247515302027683796296013584316430372308877728049724840921062268538223298984164327098358425703086516458209337121889008332652714151332} a^{35} - \frac{22104258797365136508124832980235269687786492928519367740616564823760038754004438024827372322181718706091900290208023257183444177216721670113660269226726614286542906981926612416753452273624615478259}{1972437391480006705334136046337947590479671790140467403339598635881269396805279478003075977366223731590714485812097525338858315657895807615358144331573814122039825078120724050912148569098778703628079350148} a^{34} - \frac{487105373137182270495475588916665533834521013189358335502394309657925123102414822088991275199070871025513866540060434596196761505999706194816516065447116051929480757538554396246070928350254803675987961}{17751936523320060348007224417041528314317046111264206630056387722931424571247515302027683796296013584316430372308877728049724840921062268538223298984164327098358425703086516458209337121889008332652714151332} a^{33} + \frac{340445666028696766044888632457625032086054303169918677741478699205268465018399708286756001488673443407553075956474455247464306225126671160738372115848122064129891665878233587574393476538853847271189997}{5917312174440020116002408139013842771439015370421402210018795907643808190415838434009227932098671194772143457436292576016574946973687422846074432994721442366119475234362172152736445707296336110884238050444} a^{32} + \frac{49772604411054096698485708229103867508935004811567095316774367678291786318542773066104916873726548314579617806067122632900476607450220832352304852130338499695333294504427941805626538878467250218344523077}{4437984130830015087001806104260382078579261527816051657514096930732856142811878825506920949074003396079107593077219432012431210230265567134555824746041081774589606425771629114552334280472252083163178537833} a^{31} + \frac{53884126815794696020851977330112699378915377783553342023635832307692657310703014275206581326860805244015054848143183745677465561437372840542873184301296973433444952778177629419084938308595653675351935345}{2958656087220010058001204069506921385719507685210701105009397953821904095207919217004613966049335597386071728718146288008287473486843711423037216497360721183059737617181086076368222853648168055442119025222} a^{30} - \frac{92658106143180580374318366531818773664058025210541073269218326797929353272244631437422347439854613911970781363235249374631799420809066316418010624303706686439323001750735875061826182742543636907459726477}{5917312174440020116002408139013842771439015370421402210018795907643808190415838434009227932098671194772143457436292576016574946973687422846074432994721442366119475234362172152736445707296336110884238050444} a^{29} + \frac{27482475784848945494480534367482513230024100888242115541156634223890785152984781323096813925495607910604858083488233428309630650576608477712511986798228997610033692464903198402668878270183720037474221683}{8875968261660030174003612208520764157158523055632103315028193861465712285623757651013841898148006792158215186154438864024862420460531134269111649492082163549179212851543258229104668560944504166326357075666} a^{28} + \frac{2253213556382192756706358171366327478198110685596141446137083295874807893850974052568762304983501783880896251996847370567646267320344238543340592179917913237219191687757067241007804581988838741030175383}{8875968261660030174003612208520764157158523055632103315028193861465712285623757651013841898148006792158215186154438864024862420460531134269111649492082163549179212851543258229104668560944504166326357075666} a^{27} + \frac{52358476040844878599856269701250243330018367869025835332822761140262707627449425977765490346993428201809745077758680035386750289416602205971732351128554442299076550957523585757269929767047029019715595717}{493109347870001676333534011584486897619917947535116850834899658970317349201319869500768994341555932897678621453024381334714578914473951903839536082893453530509956269530181012728037142274694675907019837537} a^{26} + \frac{57726733092042376124405995348343699697222604326211563690521946854582539561525213263370630128885071804745259878888336048817594562074788875847836980289355242854103016926913282170188642789520109476651303071}{657479130493335568444712015445982530159890596713489134446532878627089798935093159334358659122074577196904828604032508446286105219298602538452714777191271374013275026040241350304049523032926234542693116716} a^{25} + \frac{1909882092404102747593045196244835945515383024052525943784608975325731057508905872542306672420569372680072844347773616228298712564876544731676046362213280728480433584196017183767206545725817790027174173359}{5917312174440020116002408139013842771439015370421402210018795907643808190415838434009227932098671194772143457436292576016574946973687422846074432994721442366119475234362172152736445707296336110884238050444} a^{24} - \frac{185039641608077865616368615917981766217343777308130237899321699566355669823872175316860335209675064580987976214180581969379275321100731175113137499608642769730056018999614772916946015401297750557327330551}{1972437391480006705334136046337947590479671790140467403339598635881269396805279478003075977366223731590714485812097525338858315657895807615358144331573814122039825078120724050912148569098778703628079350148} a^{23} - \frac{1454588080425653346439213572280567113841621100429780597954140804433043778106875452989348774382453270876505093517828890468526913308098482262622960040309820195887665285894925585580297358727803554117217774251}{5917312174440020116002408139013842771439015370421402210018795907643808190415838434009227932098671194772143457436292576016574946973687422846074432994721442366119475234362172152736445707296336110884238050444} a^{22} + \frac{1356618253291406583739073784700695985156650590759847658862842983931521800934572147278071099607784357749149105230816867171286092370655534536146893448247712707978653056960565131579410736249277716828473974093}{2958656087220010058001204069506921385719507685210701105009397953821904095207919217004613966049335597386071728718146288008287473486843711423037216497360721183059737617181086076368222853648168055442119025222} a^{21} + \frac{1398583655131998922776663785392535846749844303355382107215794843707380638178107685190573972577363139448247063021522165200233141994793842444878293785217302917975190636744665006494605745440930390530436668597}{5917312174440020116002408139013842771439015370421402210018795907643808190415838434009227932098671194772143457436292576016574946973687422846074432994721442366119475234362172152736445707296336110884238050444} a^{20} + \frac{26380280250635390600929182870088041121949167571970708425770172909132304290292054374923808827819948827566707634861499290713996035107621589620112222652529547157785600327079426414705886959795744399244210797}{2958656087220010058001204069506921385719507685210701105009397953821904095207919217004613966049335597386071728718146288008287473486843711423037216497360721183059737617181086076368222853648168055442119025222} a^{19} + \frac{1979970440362723015166234631462623865855959362223602740691861938791034229239609646606517355557035320463374177718779656372766361288552132553242369401080705205870084366890813812126688717236553508312511058261}{5917312174440020116002408139013842771439015370421402210018795907643808190415838434009227932098671194772143457436292576016574946973687422846074432994721442366119475234362172152736445707296336110884238050444} a^{18} + \frac{6654464394551495120722226435764832387462826085891816259896384428399760916231033201812298748762075268154375815665520857831300214942205938070332020714793758561547063980025911269886221111205858866843043401191}{17751936523320060348007224417041528314317046111264206630056387722931424571247515302027683796296013584316430372308877728049724840921062268538223298984164327098358425703086516458209337121889008332652714151332} a^{17} - \frac{699511818605304606082171784956292494926582351476290243263109210386814946192889027958200285931030142644240252036850040777713811716840258032383723568733210512833650095930350243081677994538224648350465272754}{1479328043610005029000602034753460692859753842605350552504698976910952047603959608502306983024667798693035864359073144004143736743421855711518608248680360591529868808590543038184111426824084027721059512611} a^{16} + \frac{3249824179151804763930061017868773928770856401116533845396963335701553961605178824168611074890011823345200042840966838175961002328334523772107454378142496691426169949411601233309002479603341170783381891611}{8875968261660030174003612208520764157158523055632103315028193861465712285623757651013841898148006792158215186154438864024862420460531134269111649492082163549179212851543258229104668560944504166326357075666} a^{15} + \frac{2661491637216776021266885095008584911766525135698504834620997074916609611246734734049649309850954322562616323306169820308688116150633709943040007522534951446580767974658650284537601036580095288702583276409}{5917312174440020116002408139013842771439015370421402210018795907643808190415838434009227932098671194772143457436292576016574946973687422846074432994721442366119475234362172152736445707296336110884238050444} a^{14} - \frac{4349091463479248220795671475656748721410396976884195986481400430922782178872612309837076048665305591748671457882503005875441807621534944554497719382575467799811310893054540644030114962734103808392086709367}{8875968261660030174003612208520764157158523055632103315028193861465712285623757651013841898148006792158215186154438864024862420460531134269111649492082163549179212851543258229104668560944504166326357075666} a^{13} + \frac{728136534488709615905325343272565748596648201356062056869163723256460188402832992398908324725132544372099743472645392018345067375617349922070986607371017523414810738314932736504354729816557657125683437447}{1479328043610005029000602034753460692859753842605350552504698976910952047603959608502306983024667798693035864359073144004143736743421855711518608248680360591529868808590543038184111426824084027721059512611} a^{12} + \frac{318547620791029790411790177334669633965566372087431686606170157940463668912201721429804957559985491286846210338769529678502074254436814972208201460394839365574062540988107234598650729536740046844921633921}{17751936523320060348007224417041528314317046111264206630056387722931424571247515302027683796296013584316430372308877728049724840921062268538223298984164327098358425703086516458209337121889008332652714151332} a^{11} + \frac{1536710470838381383467948175434655092269443790107338754821975728986615095607282901423733842281145687890649897427625802071230875909719714405055681383103292507575258659538818296639351606006026783431478247236}{4437984130830015087001806104260382078579261527816051657514096930732856142811878825506920949074003396079107593077219432012431210230265567134555824746041081774589606425771629114552334280472252083163178537833} a^{10} - \frac{3881544716027622045349371611240478506958496554990596183793486206750092835324073138065149148964675293144333821714706216546679703774087987937897150518400378591412029938217576858699016827138072971872167778841}{8875968261660030174003612208520764157158523055632103315028193861465712285623757651013841898148006792158215186154438864024862420460531134269111649492082163549179212851543258229104668560944504166326357075666} a^{9} + \frac{2211095294276496754783861211055388502165173008378873103037744463257171414936211410872517509587577631417394427571759451774922706645325767073413022081553709266662599376851390824342976814042246781493554473512}{4437984130830015087001806104260382078579261527816051657514096930732856142811878825506920949074003396079107593077219432012431210230265567134555824746041081774589606425771629114552334280472252083163178537833} a^{8} - \frac{640313934148472978186232641332206864398593861497572183712121170742111343520688007067114219465566095937084330380161357735733303921548896152309044139828054053225300199210623501753342264255839129181600840761}{4437984130830015087001806104260382078579261527816051657514096930732856142811878825506920949074003396079107593077219432012431210230265567134555824746041081774589606425771629114552334280472252083163178537833} a^{7} - \frac{760741116712364001815140311840529618439645789468690504745991641916163481493374566519735131070429658650622807054084954071074685240057435418920436400807719083546394677393070345362022927780960651154515246791}{17751936523320060348007224417041528314317046111264206630056387722931424571247515302027683796296013584316430372308877728049724840921062268538223298984164327098358425703086516458209337121889008332652714151332} a^{6} + \frac{1957361348053298431300927910951578400427258472916882604999976809808927200280216132439984286575376945768986839969817267077528934102267519492011760938937811270693947403798288048446036143387286094288162727123}{5917312174440020116002408139013842771439015370421402210018795907643808190415838434009227932098671194772143457436292576016574946973687422846074432994721442366119475234362172152736445707296336110884238050444} a^{5} + \frac{2849131850753317115373796843196920451958681953063078294106273215215372781463673510901314024681208327618478769247053253448182662768644849222412364063013485461582380467486356948479674175031682600463094476185}{8875968261660030174003612208520764157158523055632103315028193861465712285623757651013841898148006792158215186154438864024862420460531134269111649492082163549179212851543258229104668560944504166326357075666} a^{4} + \frac{1760093403852324821527977212929420781960426661002034255263344196062050599162282150468184364606704103106011408082413396424447553308474138127105541560171097472027150782182219650820116558149484886828162515633}{17751936523320060348007224417041528314317046111264206630056387722931424571247515302027683796296013584316430372308877728049724840921062268538223298984164327098358425703086516458209337121889008332652714151332} a^{3} + \frac{1841225786274388433701248661373851521062857159455906727938449377016262450827211236139560791018659596380844086071092245310630142463647010161894036978943497582867743851501849199098267047028355261981209329191}{5917312174440020116002408139013842771439015370421402210018795907643808190415838434009227932098671194772143457436292576016574946973687422846074432994721442366119475234362172152736445707296336110884238050444} a^{2} - \frac{1505349369693408300320182497592782647849325686964827109046776931955135905400862362348747393927159723196638306962559296698131398345924949866196093973885400390290080309930949299887622895052840654337100598586}{4437984130830015087001806104260382078579261527816051657514096930732856142811878825506920949074003396079107593077219432012431210230265567134555824746041081774589606425771629114552334280472252083163178537833} a - \frac{652214601546343545254741551924415576379600401887411541423890580445367589827688796957453914078509375155859942888434749321024234625075340684705192525269992982001463443688749279196122867360444523269376293}{9472751613297791007474506092338062067405040614335222321268083096548252172490669851668988151705450151716344915853189822865381451932263750554014567227408925879593610300473061076952687898553366239409132418}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_{12}$ (as 36T3):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{12}$
Character table for $C_3\times C_{12}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{13}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.3969.2, 3.3.3969.1, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 4.0.2197.1, 6.6.14414517.1, 6.6.34609255317.2, 6.6.34609255317.1, 6.6.5274997.1, 9.9.62523502209.1, 12.0.456488925854205933.1, 12.0.2631567816253252216764333.2, 12.0.2631567816253252216764333.1, 12.0.61132828589969773.1, 18.18.41454985178292648293852083940013.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.12.0.1}{12} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/5.12.0.1}{12} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/11.12.0.1}{12} }^{3}$ R ${\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/19.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/23.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/29.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/31.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/37.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/43.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/47.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/59.12.0.1}{12} }^{3}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$3$3.9.12.1$x^{9} + 18 x^{5} + 18 x^{3} + 27 x^{2} + 216$$3$$3$$12$$C_3^2$$[2]^{3}$
3.9.12.1$x^{9} + 18 x^{5} + 18 x^{3} + 27 x^{2} + 216$$3$$3$$12$$C_3^2$$[2]^{3}$
3.9.12.1$x^{9} + 18 x^{5} + 18 x^{3} + 27 x^{2} + 216$$3$$3$$12$$C_3^2$$[2]^{3}$
3.9.12.1$x^{9} + 18 x^{5} + 18 x^{3} + 27 x^{2} + 216$$3$$3$$12$$C_3^2$$[2]^{3}$
7Data not computed
$13$13.12.9.2$x^{12} - 52 x^{8} + 676 x^{4} - 79092$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
13.12.9.2$x^{12} - 52 x^{8} + 676 x^{4} - 79092$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
13.12.9.2$x^{12} - 52 x^{8} + 676 x^{4} - 79092$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$