↑

Properties

Label 36.0.17105807243...4689.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $3^{18}\cdot 7^{24}\cdot 19^{30}$
Root discriminant $73.72$
Ramified primes $3, 7, 19$
Class number $2916$ (GRH)
Class group $[3, 3, 3, 6, 18]$ (GRH)
Galois group $C_6^2$ (as 36T4)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![10504081, -8212694, -65292451, 94941336, 309479289, -506053254, -241708081, 1533170167, -531048524, -622211603, 1895355654, -1838473868, 1314989350, -466686704, 205342047, -52547145, 55722175, -14119627, 5245819, 5098422, -2832566, 1507640, -377431, -153463, 129037, -36672, 3994, -9183, 10672, -2959, 649, 430, -81, 25, 14, -3, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 3*x^35 + 14*x^34 + 25*x^33 - 81*x^32 + 430*x^31 + 649*x^30 - 2959*x^29 + 10672*x^28 - 9183*x^27 + 3994*x^26 - 36672*x^25 + 129037*x^24 - 153463*x^23 - 377431*x^22 + 1507640*x^21 - 2832566*x^20 + 5098422*x^19 + 5245819*x^18 - 14119627*x^17 + 55722175*x^16 - 52547145*x^15 + 205342047*x^14 - 466686704*x^13 + 1314989350*x^12 - 1838473868*x^11 + 1895355654*x^10 - 622211603*x^9 - 531048524*x^8 + 1533170167*x^7 - 241708081*x^6 - 506053254*x^5 + 309479289*x^4 + 94941336*x^3 - 65292451*x^2 - 8212694*x + 10504081)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 3*x^35 + 14*x^34 + 25*x^33 - 81*x^32 + 430*x^31 + 649*x^30 - 2959*x^29 + 10672*x^28 - 9183*x^27 + 3994*x^26 - 36672*x^25 + 129037*x^24 - 153463*x^23 - 377431*x^22 + 1507640*x^21 - 2832566*x^20 + 5098422*x^19 + 5245819*x^18 - 14119627*x^17 + 55722175*x^16 - 52547145*x^15 + 205342047*x^14 - 466686704*x^13 + 1314989350*x^12 - 1838473868*x^11 + 1895355654*x^10 - 622211603*x^9 - 531048524*x^8 + 1533170167*x^7 - 241708081*x^6 - 506053254*x^5 + 309479289*x^4 + 94941336*x^3 - 65292451*x^2 - 8212694*x + 10504081, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 3 x^{35} + 14 x^{34} + 25 x^{33} - 81 x^{32} + 430 x^{31} + 649 x^{30} - 2959 x^{29} + 10672 x^{28} - 9183 x^{27} + 3994 x^{26} - 36672 x^{25} + 129037 x^{24} - 153463 x^{23} - 377431 x^{22} + 1507640 x^{21} - 2832566 x^{20} + 5098422 x^{19} + 5245819 x^{18} - 14119627 x^{17} + 55722175 x^{16} - 52547145 x^{15} + 205342047 x^{14} - 466686704 x^{13} + 1314989350 x^{12} - 1838473868 x^{11} + 1895355654 x^{10} - 622211603 x^{9} - 531048524 x^{8} + 1533170167 x^{7} - 241708081 x^{6} - 506053254 x^{5} + 309479289 x^{4} + 94941336 x^{3} - 65292451 x^{2} - 8212694 x + 10504081 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(17105807243512371509230217076280919792582365736923687236157265974689=3^{18}\cdot 7^{24}\cdot 19^{30}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $73.72$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 7, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(399=3\cdot 7\cdot 19\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{399}(1,·)$, $\chi_{399}(107,·)$, $\chi_{399}(134,·)$, $\chi_{399}(8,·)$, $\chi_{399}(11,·)$, $\chi_{399}(274,·)$, $\chi_{399}(277,·)$, $\chi_{399}(151,·)$, $\chi_{399}(284,·)$, $\chi_{399}(163,·)$, $\chi_{399}(37,·)$, $\chi_{399}(296,·)$, $\chi_{399}(170,·)$, $\chi_{399}(172,·)$, $\chi_{399}(46,·)$, $\chi_{399}(305,·)$, $\chi_{399}(50,·)$, $\chi_{399}(179,·)$, $\chi_{399}(58,·)$, $\chi_{399}(316,·)$, $\chi_{399}(191,·)$, $\chi_{399}(64,·)$, $\chi_{399}(65,·)$, $\chi_{399}(197,·)$, $\chi_{399}(331,·)$, $\chi_{399}(88,·)$, $\chi_{399}(221,·)$, $\chi_{399}(106,·)$, $\chi_{399}(235,·)$, $\chi_{399}(239,·)$, $\chi_{399}(368,·)$, $\chi_{399}(113,·)$, $\chi_{399}(373,·)$, $\chi_{399}(121,·)$, $\chi_{399}(379,·)$, $\chi_{399}(254,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $\frac{1}{7} a^{21} - \frac{3}{7} a^{15} + \frac{3}{7} a^{9} - \frac{1}{7} a^{3}$, $\frac{1}{7} a^{22} - \frac{3}{7} a^{16} + \frac{3}{7} a^{10} - \frac{1}{7} a^{4}$, $\frac{1}{7} a^{23} - \frac{3}{7} a^{17} + \frac{3}{7} a^{11} - \frac{1}{7} a^{5}$, $\frac{1}{7} a^{24} - \frac{3}{7} a^{18} + \frac{3}{7} a^{12} - \frac{1}{7} a^{6}$, $\frac{1}{7} a^{25} - \frac{3}{7} a^{19} + \frac{3}{7} a^{13} - \frac{1}{7} a^{7}$, $\frac{1}{7} a^{26} - \frac{3}{7} a^{20} + \frac{3}{7} a^{14} - \frac{1}{7} a^{8}$, $\frac{1}{7} a^{27} + \frac{1}{7} a^{15} + \frac{1}{7} a^{9} - \frac{3}{7} a^{3}$, $\frac{1}{49} a^{28} + \frac{2}{49} a^{27} + \frac{3}{49} a^{26} - \frac{1}{49} a^{25} - \frac{3}{49} a^{24} + \frac{1}{49} a^{23} - \frac{3}{49} a^{22} + \frac{1}{49} a^{21} + \frac{19}{49} a^{20} - \frac{11}{49} a^{19} - \frac{19}{49} a^{18} + \frac{18}{49} a^{17} - \frac{11}{49} a^{16} - \frac{15}{49} a^{15} + \frac{16}{49} a^{14} + \frac{4}{49} a^{13} - \frac{23}{49} a^{12} + \frac{17}{49} a^{11} + \frac{13}{49} a^{10} - \frac{9}{49} a^{9} + \frac{11}{49} a^{8} + \frac{1}{49} a^{7} - \frac{18}{49} a^{6} - \frac{8}{49} a^{5} + \frac{1}{7} a^{4} - \frac{1}{7} a^{3} - \frac{1}{7} a^{2}$, $\frac{1}{49} a^{29} - \frac{1}{49} a^{27} - \frac{1}{49} a^{25} + \frac{2}{49} a^{23} + \frac{3}{49} a^{21} - \frac{3}{7} a^{20} + \frac{3}{49} a^{19} - \frac{3}{7} a^{18} - \frac{19}{49} a^{17} - \frac{3}{7} a^{16} - \frac{10}{49} a^{15} - \frac{1}{7} a^{14} + \frac{18}{49} a^{13} - \frac{1}{7} a^{12} - \frac{1}{7} a^{10} - \frac{13}{49} a^{9} + \frac{3}{7} a^{8} - \frac{20}{49} a^{7} - \frac{2}{7} a^{6} + \frac{16}{49} a^{5} - \frac{2}{7} a^{4} + \frac{3}{7} a^{3} + \frac{2}{7} a^{2}$, $\frac{1}{2695} a^{30} + \frac{2}{245} a^{29} - \frac{4}{539} a^{28} - \frac{19}{539} a^{27} - \frac{86}{2695} a^{26} + \frac{109}{2695} a^{25} - \frac{81}{2695} a^{24} - \frac{16}{539} a^{23} + \frac{109}{2695} a^{22} - \frac{11}{245} a^{21} + \frac{734}{2695} a^{20} - \frac{131}{2695} a^{19} + \frac{256}{539} a^{18} + \frac{1053}{2695} a^{17} + \frac{472}{2695} a^{16} - \frac{271}{2695} a^{15} + \frac{248}{539} a^{14} + \frac{218}{539} a^{13} - \frac{1313}{2695} a^{12} - \frac{57}{2695} a^{11} - \frac{316}{2695} a^{10} - \frac{114}{539} a^{9} + \frac{408}{2695} a^{8} - \frac{683}{2695} a^{7} + \frac{234}{539} a^{6} - \frac{188}{385} a^{5} + \frac{24}{385} a^{4} - \frac{164}{385} a^{3} - \frac{4}{11} a^{2} + \frac{13}{55} a + \frac{14}{55}$, $\frac{1}{2695} a^{31} - \frac{9}{2695} a^{29} + \frac{3}{539} a^{28} + \frac{79}{2695} a^{27} - \frac{144}{2695} a^{26} + \frac{51}{2695} a^{25} - \frac{3}{2695} a^{24} - \frac{166}{2695} a^{23} + \frac{1}{245} a^{22} - \frac{69}{2695} a^{21} + \frac{166}{2695} a^{20} + \frac{1192}{2695} a^{19} + \frac{1108}{2695} a^{18} - \frac{309}{2695} a^{17} - \frac{96}{539} a^{16} - \frac{1268}{2695} a^{15} - \frac{134}{539} a^{14} + \frac{166}{385} a^{13} + \frac{614}{2695} a^{12} + \frac{718}{2695} a^{11} + \frac{552}{2695} a^{10} + \frac{243}{2695} a^{9} + \frac{956}{2695} a^{8} + \frac{576}{2695} a^{7} - \frac{1096}{2695} a^{6} - \frac{149}{539} a^{5} + \frac{78}{385} a^{4} + \frac{113}{385} a^{3} - \frac{129}{385} a^{2} + \frac{3}{55} a + \frac{2}{5}$, $\frac{1}{44065945} a^{32} - \frac{3939}{44065945} a^{31} + \frac{1033}{44065945} a^{30} + \frac{13955}{8813189} a^{29} + \frac{218639}{44065945} a^{28} - \frac{281108}{8813189} a^{27} + \frac{7355}{8813189} a^{26} + \frac{1609821}{44065945} a^{25} - \frac{540471}{44065945} a^{24} - \frac{204950}{8813189} a^{23} - \frac{36110}{801199} a^{22} + \frac{616608}{8813189} a^{21} - \frac{18577129}{44065945} a^{20} - \frac{344093}{899305} a^{19} + \frac{2448652}{6295135} a^{18} + \frac{17227367}{44065945} a^{17} - \frac{20962}{223685} a^{16} - \frac{1844541}{8813189} a^{15} + \frac{14073492}{44065945} a^{14} - \frac{5367099}{44065945} a^{13} + \frac{14133631}{44065945} a^{12} - \frac{21769809}{44065945} a^{11} - \frac{14619802}{44065945} a^{10} + \frac{13614604}{44065945} a^{9} - \frac{1664526}{6295135} a^{8} - \frac{3723981}{44065945} a^{7} - \frac{5046241}{44065945} a^{6} - \frac{17824826}{44065945} a^{5} + \frac{1242039}{6295135} a^{4} - \frac{1204514}{6295135} a^{3} - \frac{953713}{6295135} a^{2} - \frac{290244}{899305} a + \frac{4561}{179861}$, $\frac{1}{1233846460} a^{33} + \frac{3}{616923230} a^{32} + \frac{31484}{308461615} a^{31} - \frac{751}{12590270} a^{30} + \frac{12017351}{1233846460} a^{29} + \frac{2272769}{246769292} a^{28} - \frac{1637956}{44065945} a^{27} + \frac{14908618}{308461615} a^{26} + \frac{8858613}{246769292} a^{25} + \frac{19188557}{616923230} a^{24} + \frac{1428528}{308461615} a^{23} + \frac{77764881}{1233846460} a^{22} + \frac{16754978}{308461615} a^{21} - \frac{235183}{16023980} a^{20} - \frac{263060597}{1233846460} a^{19} + \frac{328253271}{1233846460} a^{18} - \frac{46915593}{123384646} a^{17} - \frac{573861741}{1233846460} a^{16} + \frac{452529141}{1233846460} a^{15} + \frac{141776274}{308461615} a^{14} + \frac{19822443}{88131890} a^{13} + \frac{59360331}{616923230} a^{12} + \frac{609103233}{1233846460} a^{11} + \frac{40248993}{112167860} a^{10} - \frac{18644443}{112167860} a^{9} - \frac{10775133}{308461615} a^{8} + \frac{377786561}{1233846460} a^{7} - \frac{563830259}{1233846460} a^{6} - \frac{38307477}{176263780} a^{5} - \frac{22324917}{176263780} a^{4} + \frac{2995213}{16023980} a^{3} - \frac{264332}{1259027} a^{2} + \frac{996311}{2518054} a - \frac{11181561}{25180540}$, $\frac{1}{8046882110796980894453835733414718966783260} a^{34} - \frac{1472106772000611273761370775379203}{4023441055398490447226917866707359483391630} a^{33} + \frac{3039115776737186187735768821246953}{287388646814177889087636990479097105956545} a^{32} + \frac{26195716427027103680366903856219149831}{4023441055398490447226917866707359483391630} a^{31} - \frac{13640492940717427972986338221226514961}{1609376422159396178890767146682943793356652} a^{30} + \frac{3496868861258656799850099648295114170943}{1149554587256711556350547961916388423826180} a^{29} - \frac{15114909752367966665181817711137606514212}{2011720527699245223613458933353679741695815} a^{28} - \frac{96198020913526822932506723250112397793686}{2011720527699245223613458933353679741695815} a^{27} + \frac{9722878095545667883933892060922310236455}{146306947469036016262797013334813072123332} a^{26} - \frac{273040940639130096692593869201890949533391}{4023441055398490447226917866707359483391630} a^{25} + \frac{25081596086943895524747757787915047360904}{402344105539849044722691786670735948339163} a^{24} + \frac{2036258928586004243995276183289028865635}{229910917451342311270109592383277684765236} a^{23} - \frac{87510123999064151500231224504750319093514}{2011720527699245223613458933353679741695815} a^{22} - \frac{183216450227221637220119456904355328814031}{8046882110796980894453835733414718966783260} a^{21} - \frac{1345267926231900375677753300876298335024081}{8046882110796980894453835733414718966783260} a^{20} + \frac{300289937637012180490422778011215986337}{17379874969323932817394893592688377898020} a^{19} - \frac{125821409020211389812174535751270076721923}{365767368672590040656992533337032680308330} a^{18} + \frac{106646221355494309859284371634951535024969}{229910917451342311270109592383277684765236} a^{17} - \frac{1148914747018021519647892603761979569288411}{8046882110796980894453835733414718966783260} a^{16} - \frac{199701527516797597611509947645560956653955}{402344105539849044722691786670735948339163} a^{15} + \frac{4507010589425022767714959264640711486609}{73153473734518008131398506667406536061666} a^{14} - \frac{591421144245274534288326597057768815989649}{4023441055398490447226917866707359483391630} a^{13} - \frac{116228265069895881902479131304008460659641}{1149554587256711556350547961916388423826180} a^{12} - \frac{343287344773642793527619355412565134216819}{1149554587256711556350547961916388423826180} a^{11} + \frac{63282158210067199093372297966917248029143}{164222083893815936621506851702341203403740} a^{10} - \frac{1927551475455540182561967244498986247816}{4847519343853602948466166104466698172761} a^{9} + \frac{2114120990986219178396551927200244336278141}{8046882110796980894453835733414718966783260} a^{8} + \frac{2353484966944411650516685170042758613394277}{8046882110796980894453835733414718966783260} a^{7} - \frac{246654744880755651749894876614075222706363}{8046882110796980894453835733414718966783260} a^{6} + \frac{84924334974297214702525275495744840434083}{1149554587256711556350547961916388423826180} a^{5} + \frac{41811911902130833900920605870840303551259}{229910917451342311270109592383277684765236} a^{4} - \frac{118518037475503601753640037296541080276268}{287388646814177889087636990479097105956545} a^{3} + \frac{1178483909059605403133198907017667688393}{82111041946907968310753425851170601701870} a^{2} - \frac{3033902511343274030536034973989166958231}{14929280353983266965591531972940109400340} a + \frac{11483941834493125442426106844104215779}{88672831476142514374463742819838662745}$, $\frac{1}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{35} - \frac{29991950135475097314055910083981659322469353110639286517155017031212823454689}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{34} + \frac{3664959800019612178244524984487920360641928256520222669772005086334306183222470977259499757474790943516616419}{548974624912520106969154310740902228797211669896032503124892794755458496512974477775815742591954301704758761502177144510} a^{33} - \frac{2084339927875343572512399089526525763520897406197402852752626726444348656009088960037556342781829319781513184871}{548974624912520106969154310740902228797211669896032503124892794755458496512974477775815742591954301704758761502177144510} a^{32} - \frac{174569473591124415089952546592213337756833472125291552624658331649616609898454685134776952642739253624679438303903383}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{31} + \frac{5175657663473644626991964158941042128817777566378268235337148944054236004181313378690005782091692138444625015349631}{54897462491252010696915431074090222879721166989603250312489279475545849651297447777581574259195430170475876150217714451} a^{30} + \frac{859531868958112327175692240389609968470219857139723427908821212801997948370751114425538706703216308696965039943253977}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{29} - \frac{224144606843175029348121426077863328945064896970928940950271191832318538130056043253732462431689795906962987203439634}{39212473208037150497796736481493016342657976421145178794635199625389892608069605555415410185139592978911340107298367465} a^{28} + \frac{59137132042573351277848032460915991248714233103524802636099458972281984036699099429799507105507905233438873745712657729}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{27} + \frac{69683130086803928359447448625079497167608585969387723444386716062749309371501935891059876444463486132157720121958372359}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{26} + \frac{38369132769419488188217780628204285583823375810758495662788249345072113000743107918719735439603143549526623735834966951}{548974624912520106969154310740902228797211669896032503124892794755458496512974477775815742591954301704758761502177144510} a^{25} + \frac{71607129213145570548972880320903688177860557492969773552932218683683570798430407785157997974930599051675748387602651361}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{24} - \frac{65284925219579355892345750109480265823953118258073841043084745312475321238474685344186837960698642652015846074687571459}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{23} - \frac{51318875964118257290411630961432886090146157882827304300169936022272743142521375285887859014290126428481808221501364163}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{22} + \frac{932947893828775709597961425700615054949246706556663498452422503108525170531549379197626420749518168152539297902534907}{24953392041478186680416105033677374036236894086183295596586036125248113477862476262537079208725195532034489159189870205} a^{21} - \frac{72008583300370721913162128878549041455128527431341640671967680318273205953425453239417602870134360154841829040227670773}{548974624912520106969154310740902228797211669896032503124892794755458496512974477775815742591954301704758761502177144510} a^{20} + \frac{1135388745570286430071442104188161272549744657994549604186365591654548442304569299062858174192876914821036684896334297}{14259081166558963817380631447815642306421082334961883198049163500141779130207129292878330976414397446876850948108497260} a^{19} - \frac{53010499301022446314791089700154691851167756381878987673415625575331432603804682421440272776571238902016736405855706743}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{18} + \frac{82666593103140499084439957030639786421930431529747914149055570841416745940391633629677122460897775835789798295032526564}{274487312456260053484577155370451114398605834948016251562446397377729248256487238887907871295977150852379380751088572255} a^{17} + \frac{114483699290351897102660482013207628734655954305693072631640020147040064556632388596325065409116985460843375578416057381}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{16} - \frac{36991332810415704337493064121713919984175036743762822308751513037622832182954696145024340966352589854065008818179043}{138805214895706727425829155686700942805868943083699747945611326107574841090511878072266938708458736208535717193976522} a^{15} - \frac{9038917743904847410932904082768782286117134441074977627749963604222851750593371826854459305809211528366111230415336572}{274487312456260053484577155370451114398605834948016251562446397377729248256487238887907871295977150852379380751088572255} a^{14} + \frac{498679254045426840290350372935261978269713183824133434411512937444981963288667166985522522221170555450427327320969485411}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{13} - \frac{16283393382983706339223978556839812823196707351149319816319804968136801814972512295423088267633476043416154695279069562}{39212473208037150497796736481493016342657976421145178794635199625389892608069605555415410185139592978911340107298367465} a^{12} + \frac{32408794582593614654055002240142898148659760410007016955368100532960326056853959990896618365911629927331426832108440171}{78424946416074300995593472962986032685315952842290357589270399250779785216139211110830820370279185957822680214596734930} a^{11} - \frac{151560123842574234782019008218225691450969473363101182089396523820467924286818372629362851225502345493701962925898901453}{1097949249825040213938308621481804457594423339792065006249785589510916993025948955551631485183908603409517523004354289020} a^{10} - \frac{16920714679134356944030964133865139733409257336879085421327266768993666868580651921800355304060145210583113641139572369}{99813568165912746721664420134709496144947576344733182386344144500992453911449905050148316834900782128137956636759480820} a^{9} - \frac{246945881353318083949198541978429555657134013378579280568370414469672694295961477737741249291687348425013241840293173817}{548974624912520106969154310740902228797211669896032503124892794755458496512974477775815742591954301704758761502177144510} a^{8} - \frac{97028294776454664849943657757476671002508361487603076186966173340892674393934441132082372244046322713298741961675254339}{548974624912520106969154310740902228797211669896032503124892794755458496512974477775815742591954301704758761502177144510} a^{7} - \frac{149479596776233582797817799798241561577756141198732563821699509215864774590731214078476777127819824852966358125526695263}{548974624912520106969154310740902228797211669896032503124892794755458496512974477775815742591954301704758761502177144510} a^{6} - \frac{314232105431166839775302961877420276057981079038822810213037988937014548457191303107237660404446365642568299152430077}{1425908116655896381738063144781564230642108233496188319804916350014177913020712929287833097641439744687685094810849726} a^{5} - \frac{1826872122817223592601441246373644834746639878974587127646529794534819987036746718574510547836634008461427837475116567}{14259081166558963817380631447815642306421082334961883198049163500141779130207129292878330976414397446876850948108497260} a^{4} - \frac{2370931537731201697342718487670217137795582723516821179846910285660943295848163608546967929223247078249652337176706603}{7129540583279481908690315723907821153210541167480941599024581750070889565103564646439165488207198723438425474054248630} a^{3} - \frac{4636071288555399863421380703052876169276348878651883541317200302845947053580420508865194472522164205597372266345891167}{22407127547449800284455277989424580767233129383511530739791542643079938633182631745951662962936910273663622918456209980} a^{2} + \frac{379276392844062212348468504129731041350376167322928736884886182834499086354219827698495819748620684057373545358460593}{3201018221064257183493611141346368681033304197644504391398791806154276947597518820850237566133844324809088988350887140} a + \frac{2410932192112127362834816196501446590310232248176374419835732088791631385883012055193794250599062611432361492506597}{12098880965145680499165916840941998254445534224358277937252452831036683927204444787230919526423817642366967018604865}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{3}\times C_{3}\times C_{3}\times C_{6}\times C_{18}$, which has order $2916$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( \frac{424609632987909626277322655667936271665285397095958557068434222385812018813281413}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{35} + \frac{105149956726707673325862281606657477729305360205351290004584212901259960096585955}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{34} + \frac{849781176751951167416985785203537433705299639575928519715456501779181872778313357}{43211107911629102122362611091462771664450199437746299089123681140591603409782681568346698} a^{33} + \frac{2175904534471410930701707242415564208074280798126952988681676300332048972744634269}{6173015415947014588908944441637538809207171348249471298446240162941657629968954509763814} a^{32} - \frac{1990555510810436756080891817086404155148572121071574602206397979338331700766201435}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{31} + \frac{2539785877085519919858676200984360813797483765050708392184638061300474719321495830}{3086507707973507294454472220818769404603585674124735649223120081470828814984477254881907} a^{30} + \frac{126223422073777708905396325624490660023125932586377854197271217577120243899177307715}{12346030831894029177817888883275077618414342696498942596892480325883315259937909019527628} a^{29} - \frac{105245649207971886877975604085820591868839924093737846234134631349353369263281253799}{21605553955814551061181305545731385832225099718873149544561840570295801704891340784173349} a^{28} + \frac{471306695621861535908681100118643615609348275154405465012498904560072381119319397689}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{27} + \frac{11305617337457079439149860945807359134003661417499801796146991156222728752002797331727}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{26} - \frac{6317888237955326976985197407299368561435324354296282807486563505385881712873660743099}{43211107911629102122362611091462771664450199437746299089123681140591603409782681568346698} a^{25} - \frac{6911067722679082564556437291187428209795055497987627666902768834426674534786902883035}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{24} + \frac{2314125633679022621447223990160154856300562761661087042950756681963942931898240593753}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{23} + \frac{118397285198349440575408492634290117044232058789482932466883245662513815666062925503009}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{22} - \frac{98678963042853515983260537367995356046179572436481464236684353061705815799705637320364}{21605553955814551061181305545731385832225099718873149544561840570295801704891340784173349} a^{21} + \frac{80667153664325231449583778272366844526694708240839833769180020744160066152637133111449}{43211107911629102122362611091462771664450199437746299089123681140591603409782681568346698} a^{20} + \frac{889262221210982443932761721994893186838238120562495751985379608594847776842867470545237}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{19} - \frac{1979850180043330522614314380492870088421555275873569025621998723814824063849666517596259}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{18} + \frac{2458614347822980748698963998991391209995790894987237631546287222895906749132334910331012}{21605553955814551061181305545731385832225099718873149544561840570295801704891340784173349} a^{17} + \frac{147754589638172823182773983308032597301390972610889840291060032452770475912296295972373}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{16} + \frac{20806952966782765241171882052024081609615167321370875086030610010214607935590959034973}{382399185058664620551881514083741342163276101218993797248882133987536313360908686445546} a^{15} + \frac{14312997063923960947549927978946857347979050743950810418350994505064420705405791299579217}{21605553955814551061181305545731385832225099718873149544561840570295801704891340784173349} a^{14} + \frac{986035240895106792425193940086701615143477623901171993268388563115293618891820669801417}{12346030831894029177817888883275077618414342696498942596892480325883315259937909019527628} a^{13} + \frac{25604897238138886650573584780091783786209699756812312707003984296464643015398878409809793}{21605553955814551061181305545731385832225099718873149544561840570295801704891340784173349} a^{12} - \frac{57856382468109436965387525156089513200211713663039285022069003840826955749685109748892085}{43211107911629102122362611091462771664450199437746299089123681140591603409782681568346698} a^{11} + \frac{1131318739498647445542335354833448577083380646203848826726006907986694524706250055181717695}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{10} - \frac{1962480165876979927515682349817093642006213460534505375949857855123062385512018087743172211}{86422215823258204244725222182925543328900398875492598178247362281183206819565363136693396} a^{9} + \frac{1411455524952565845033791409689484504748154910023149902185679528580871113045276503520717133}{43211107911629102122362611091462771664450199437746299089123681140591603409782681568346698} a^{8} - \frac{820223847495759461950809438445016774097816566126222774680692906296966225666610067382512695}{43211107911629102122362611091462771664450199437746299089123681140591603409782681568346698} a^{7} + \frac{215464210719293134936675595419431434570826778478315027587143414049278058968470033428128299}{43211107911629102122362611091462771664450199437746299089123681140591603409782681568346698} a^{6} + \frac{130709538836849417630567189309903880253960992926162645194196664486380254291468285337008553}{6173015415947014588908944441637538809207171348249471298446240162941657629968954509763814} a^{5} - \frac{87408935179913622552185759128461103836360561090348396011195332968413012411342206734667381}{12346030831894029177817888883275077618414342696498942596892480325883315259937909019527628} a^{4} - \frac{26397062782606970421712845385240364067253309440856829439152847437534328560039480147348407}{6173015415947014588908944441637538809207171348249471298446240162941657629968954509763814} a^{3} + \frac{11510002688446125805311237091643827800625069919541731934978021651645491068340299043581185}{1763718690270575596831126983325011088344906099499848942413211475126187894276844145646804} a^{2} + \frac{1246800441953366595554901186986668067492665461749914701266629781904656500678477590265427}{1763718690270575596831126983325011088344906099499848942413211475126187894276844145646804} a - \frac{248493887011793092355391721463854305010644953637972001150611065220294899901821113038}{952331906193615333062163597907673373836342386339011307998494317022779640538252778427} \) (order $6$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 24305501107073070 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_6^2$ (as 36T4):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_6^2$
Character table for $C_6^2$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{-3}) \), \(\Q(\sqrt{57}) \), \(\Q(\sqrt{-19}) \), 3.3.17689.1, \(\Q(\zeta_{7})^+\), 3.3.361.1, 3.3.17689.2, \(\Q(\sqrt{-3}, \sqrt{-19})\), 6.0.8448319467.2, 6.0.64827.1, 6.0.3518667.1, 6.0.8448319467.1, 6.6.160518069873.2, 6.0.5945113699.1, 6.6.444648393.1, 6.0.16468459.1, 6.6.66854673.1, 6.0.2476099.1, 6.6.160518069873.1, 6.0.5945113699.2, 9.9.5534900853769.1, 12.0.25766050755753310236129.1, 12.0.197712193397482449.1, 12.0.4469547301936929.1, 12.0.25766050755753310236129.2, 18.0.602991213815902363206590020563.2, 18.18.4135916735563274309234000951041617.1, 18.0.210126339255361190328405271099.2

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.6.0.1}{6} }^{6}$ R ${\href{/LocalNumberField/5.6.0.1}{6} }^{6}$ R ${\href{/LocalNumberField/11.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/13.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/17.6.0.1}{6} }^{6}$ R ${\href{/LocalNumberField/23.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/31.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/37.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/41.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/43.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/47.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/53.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/59.6.0.1}{6} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$3$3.12.6.2$x^{12} + 108 x^{6} - 243 x^{2} + 2916$$2$$6$$6$$C_6\times C_2$$[\ ]_{2}^{6}$
3.12.6.2$x^{12} + 108 x^{6} - 243 x^{2} + 2916$$2$$6$$6$$C_6\times C_2$$[\ ]_{2}^{6}$
3.12.6.2$x^{12} + 108 x^{6} - 243 x^{2} + 2916$$2$$6$$6$$C_6\times C_2$$[\ ]_{2}^{6}$
$7$7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
7.3.2.2$x^{3} - 7$$3$$1$$2$$C_3$$[\ ]_{3}$
19Data not computed