↑

Properties

Label 36.0.14771115794...0093.2
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $7^{24}\cdot 37^{35}$
Root discriminant $122.47$
Ramified primes $7, 37$
Class number $143883$ (GRH)
Class group $[3, 219, 219]$ (GRH)
Galois group $C_{36}$ (as 36T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![4902414383, -1001698929, -23963519122, 26637733490, 32045586448, -77278253614, 62024124864, -21147409719, -16828858702, 11987996706, 3056835180, 4756769209, -3520305170, -2456734881, 483104635, 210697572, 608277633, -134516572, 45675169, -43636654, 25738866, -5399226, 3786655, -2164168, 419248, -141082, 88912, -35632, 2258, -2258, 2258, -75, 75, -75, 1, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - x^35 + x^34 - 75*x^33 + 75*x^32 - 75*x^31 + 2258*x^30 - 2258*x^29 + 2258*x^28 - 35632*x^27 + 88912*x^26 - 141082*x^25 + 419248*x^24 - 2164168*x^23 + 3786655*x^22 - 5399226*x^21 + 25738866*x^20 - 43636654*x^19 + 45675169*x^18 - 134516572*x^17 + 608277633*x^16 + 210697572*x^15 + 483104635*x^14 - 2456734881*x^13 - 3520305170*x^12 + 4756769209*x^11 + 3056835180*x^10 + 11987996706*x^9 - 16828858702*x^8 - 21147409719*x^7 + 62024124864*x^6 - 77278253614*x^5 + 32045586448*x^4 + 26637733490*x^3 - 23963519122*x^2 - 1001698929*x + 4902414383)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - x^35 + x^34 - 75*x^33 + 75*x^32 - 75*x^31 + 2258*x^30 - 2258*x^29 + 2258*x^28 - 35632*x^27 + 88912*x^26 - 141082*x^25 + 419248*x^24 - 2164168*x^23 + 3786655*x^22 - 5399226*x^21 + 25738866*x^20 - 43636654*x^19 + 45675169*x^18 - 134516572*x^17 + 608277633*x^16 + 210697572*x^15 + 483104635*x^14 - 2456734881*x^13 - 3520305170*x^12 + 4756769209*x^11 + 3056835180*x^10 + 11987996706*x^9 - 16828858702*x^8 - 21147409719*x^7 + 62024124864*x^6 - 77278253614*x^5 + 32045586448*x^4 + 26637733490*x^3 - 23963519122*x^2 - 1001698929*x + 4902414383, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - x^{35} + x^{34} - 75 x^{33} + 75 x^{32} - 75 x^{31} + 2258 x^{30} - 2258 x^{29} + 2258 x^{28} - 35632 x^{27} + 88912 x^{26} - 141082 x^{25} + 419248 x^{24} - 2164168 x^{23} + 3786655 x^{22} - 5399226 x^{21} + 25738866 x^{20} - 43636654 x^{19} + 45675169 x^{18} - 134516572 x^{17} + 608277633 x^{16} + 210697572 x^{15} + 483104635 x^{14} - 2456734881 x^{13} - 3520305170 x^{12} + 4756769209 x^{11} + 3056835180 x^{10} + 11987996706 x^{9} - 16828858702 x^{8} - 21147409719 x^{7} + 62024124864 x^{6} - 77278253614 x^{5} + 32045586448 x^{4} + 26637733490 x^{3} - 23963519122 x^{2} - 1001698929 x + 4902414383 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1477111579412686758626382717553525114441635757641876379777829265275342440093=7^{24}\cdot 37^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $122.47$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 37$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(259=7\cdot 37\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{259}(1,·)$, $\chi_{259}(134,·)$, $\chi_{259}(135,·)$, $\chi_{259}(8,·)$, $\chi_{259}(25,·)$, $\chi_{259}(29,·)$, $\chi_{259}(30,·)$, $\chi_{259}(162,·)$, $\chi_{259}(36,·)$, $\chi_{259}(165,·)$, $\chi_{259}(39,·)$, $\chi_{259}(43,·)$, $\chi_{259}(44,·)$, $\chi_{259}(114,·)$, $\chi_{259}(46,·)$, $\chi_{259}(53,·)$, $\chi_{259}(64,·)$, $\chi_{259}(198,·)$, $\chi_{259}(200,·)$, $\chi_{259}(79,·)$, $\chi_{259}(207,·)$, $\chi_{259}(211,·)$, $\chi_{259}(85,·)$, $\chi_{259}(219,·)$, $\chi_{259}(93,·)$, $\chi_{259}(95,·)$, $\chi_{259}(226,·)$, $\chi_{259}(102,·)$, $\chi_{259}(232,·)$, $\chi_{259}(107,·)$, $\chi_{259}(109,·)$, $\chi_{259}(240,·)$, $\chi_{259}(242,·)$, $\chi_{259}(123,·)$, $\chi_{259}(253,·)$, $\chi_{259}(254,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $\frac{1}{47} a^{24} - \frac{20}{47} a^{23} - \frac{19}{47} a^{22} - \frac{7}{47} a^{21} + \frac{19}{47} a^{20} - \frac{15}{47} a^{19} - \frac{2}{47} a^{18} + \frac{8}{47} a^{17} - \frac{21}{47} a^{16} + \frac{17}{47} a^{15} - \frac{1}{47} a^{14} - \frac{14}{47} a^{13} - \frac{4}{47} a^{12} - \frac{12}{47} a^{11} + \frac{22}{47} a^{10} + \frac{15}{47} a^{9} + \frac{7}{47} a^{8} + \frac{1}{47} a^{7} + \frac{17}{47} a^{6} + \frac{20}{47} a^{5} - \frac{7}{47} a^{4} - \frac{17}{47} a^{3} - \frac{12}{47} a^{2} - \frac{23}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{25} + \frac{4}{47} a^{23} - \frac{11}{47} a^{22} + \frac{20}{47} a^{21} - \frac{11}{47} a^{20} - \frac{20}{47} a^{19} + \frac{15}{47} a^{18} - \frac{2}{47} a^{17} + \frac{20}{47} a^{16} + \frac{10}{47} a^{15} + \frac{13}{47} a^{14} - \frac{2}{47} a^{13} + \frac{2}{47} a^{12} + \frac{17}{47} a^{11} - \frac{15}{47} a^{10} - \frac{22}{47} a^{9} - \frac{10}{47} a^{7} - \frac{16}{47} a^{6} + \frac{17}{47} a^{5} - \frac{16}{47} a^{4} - \frac{23}{47} a^{3} + \frac{19}{47} a^{2} + \frac{10}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{26} + \frac{22}{47} a^{23} + \frac{2}{47} a^{22} + \frac{17}{47} a^{21} - \frac{2}{47} a^{20} - \frac{19}{47} a^{19} + \frac{6}{47} a^{18} - \frac{12}{47} a^{17} - \frac{8}{47} a^{15} + \frac{2}{47} a^{14} + \frac{11}{47} a^{13} - \frac{14}{47} a^{12} - \frac{14}{47} a^{11} - \frac{16}{47} a^{10} - \frac{13}{47} a^{9} + \frac{9}{47} a^{8} - \frac{20}{47} a^{7} - \frac{4}{47} a^{6} - \frac{2}{47} a^{5} + \frac{5}{47} a^{4} - \frac{7}{47} a^{3} + \frac{11}{47} a^{2} - \frac{2}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{27} + \frac{19}{47} a^{23} + \frac{12}{47} a^{22} + \frac{11}{47} a^{21} - \frac{14}{47} a^{20} + \frac{7}{47} a^{19} - \frac{15}{47} a^{18} + \frac{12}{47} a^{17} - \frac{16}{47} a^{16} + \frac{4}{47} a^{15} - \frac{14}{47} a^{14} + \frac{12}{47} a^{13} - \frac{20}{47} a^{12} + \frac{13}{47} a^{11} + \frac{20}{47} a^{10} + \frac{8}{47} a^{9} + \frac{14}{47} a^{8} + \frac{21}{47} a^{7} - \frac{12}{47} a^{5} + \frac{6}{47} a^{4} + \frac{9}{47} a^{3} - \frac{20}{47} a^{2} - \frac{11}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{28} + \frac{16}{47} a^{23} - \frac{4}{47} a^{22} - \frac{22}{47} a^{21} + \frac{22}{47} a^{20} - \frac{12}{47} a^{19} + \frac{3}{47} a^{18} + \frac{20}{47} a^{17} - \frac{20}{47} a^{16} - \frac{8}{47} a^{15} - \frac{16}{47} a^{14} + \frac{11}{47} a^{13} - \frac{5}{47} a^{12} + \frac{13}{47} a^{11} + \frac{13}{47} a^{10} + \frac{11}{47} a^{9} - \frac{18}{47} a^{8} - \frac{19}{47} a^{7} - \frac{6}{47} a^{6} + \frac{2}{47} a^{5} + \frac{1}{47} a^{4} + \frac{21}{47} a^{3} - \frac{18}{47} a^{2} + \frac{14}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{29} - \frac{13}{47} a^{23} - \frac{7}{47} a^{21} + \frac{13}{47} a^{20} + \frac{8}{47} a^{19} + \frac{5}{47} a^{18} - \frac{7}{47} a^{17} - \frac{1}{47} a^{16} - \frac{6}{47} a^{15} - \frac{20}{47} a^{14} - \frac{16}{47} a^{13} - \frac{17}{47} a^{12} + \frac{17}{47} a^{11} - \frac{12}{47} a^{10} - \frac{23}{47} a^{9} + \frac{10}{47} a^{8} - \frac{22}{47} a^{7} + \frac{12}{47} a^{6} + \frac{10}{47} a^{5} - \frac{8}{47} a^{4} + \frac{19}{47} a^{3} + \frac{18}{47} a^{2} - \frac{8}{47} a$, $\frac{1}{47} a^{30} + \frac{22}{47} a^{23} - \frac{19}{47} a^{22} + \frac{16}{47} a^{21} + \frac{20}{47} a^{20} - \frac{2}{47} a^{19} + \frac{14}{47} a^{18} + \frac{9}{47} a^{17} + \frac{3}{47} a^{16} + \frac{13}{47} a^{15} + \frac{18}{47} a^{14} - \frac{11}{47} a^{13} + \frac{12}{47} a^{12} + \frac{20}{47} a^{11} - \frac{19}{47} a^{10} + \frac{17}{47} a^{9} + \frac{22}{47} a^{8} - \frac{22}{47} a^{7} - \frac{4}{47} a^{6} + \frac{17}{47} a^{5} + \frac{22}{47} a^{4} - \frac{15}{47} a^{3} - \frac{23}{47} a^{2} - \frac{17}{47} a$, $\frac{1}{517} a^{31} + \frac{3}{517} a^{30} + \frac{2}{517} a^{29} - \frac{2}{517} a^{28} + \frac{5}{517} a^{27} + \frac{3}{517} a^{26} + \frac{5}{517} a^{25} - \frac{1}{517} a^{24} + \frac{19}{517} a^{23} + \frac{86}{517} a^{22} + \frac{89}{517} a^{21} + \frac{177}{517} a^{20} + \frac{83}{517} a^{19} - \frac{257}{517} a^{18} - \frac{194}{517} a^{17} - \frac{95}{517} a^{16} + \frac{45}{517} a^{15} + \frac{200}{517} a^{14} - \frac{46}{517} a^{13} + \frac{227}{517} a^{12} - \frac{178}{517} a^{11} - \frac{5}{47} a^{10} - \frac{73}{517} a^{9} + \frac{224}{517} a^{8} - \frac{151}{517} a^{7} + \frac{122}{517} a^{6} - \frac{211}{517} a^{5} - \frac{76}{517} a^{4} + \frac{228}{517} a^{3} + \frac{8}{517} a^{2} - \frac{4}{11} a + \frac{5}{11}$, $\frac{1}{517} a^{32} + \frac{4}{517} a^{30} + \frac{3}{517} a^{29} - \frac{1}{517} a^{27} - \frac{4}{517} a^{26} - \frac{5}{517} a^{25} + \frac{128}{517} a^{23} + \frac{95}{517} a^{22} + \frac{229}{517} a^{21} + \frac{14}{517} a^{20} - \frac{11}{47} a^{19} - \frac{237}{517} a^{18} + \frac{223}{517} a^{17} + \frac{4}{47} a^{16} + \frac{10}{517} a^{15} + \frac{36}{517} a^{14} - \frac{152}{517} a^{13} + \frac{65}{517} a^{12} - \frac{214}{517} a^{11} + \frac{213}{517} a^{10} - \frac{228}{517} a^{9} + \frac{244}{517} a^{8} - \frac{118}{517} a^{7} + \frac{61}{517} a^{6} - \frac{70}{517} a^{5} + \frac{126}{517} a^{4} - \frac{126}{517} a^{3} + \frac{184}{517} a^{2} - \frac{169}{517} a - \frac{4}{11}$, $\frac{1}{3328963} a^{33} + \frac{1897}{3328963} a^{32} - \frac{1291}{3328963} a^{31} + \frac{8722}{3328963} a^{30} - \frac{232}{3328963} a^{29} + \frac{6648}{3328963} a^{28} - \frac{5021}{3328963} a^{27} + \frac{35382}{3328963} a^{26} - \frac{12121}{3328963} a^{25} + \frac{16570}{3328963} a^{24} + \frac{70416}{302633} a^{23} - \frac{76170}{3328963} a^{22} - \frac{1658716}{3328963} a^{21} - \frac{393133}{3328963} a^{20} - \frac{992232}{3328963} a^{19} - \frac{464789}{3328963} a^{18} - \frac{439720}{3328963} a^{17} + \frac{93971}{302633} a^{16} + \frac{564158}{3328963} a^{15} - \frac{1306227}{3328963} a^{14} - \frac{885992}{3328963} a^{13} + \frac{69522}{302633} a^{12} - \frac{748797}{3328963} a^{11} + \frac{806367}{3328963} a^{10} - \frac{269856}{3328963} a^{9} - \frac{390167}{3328963} a^{8} - \frac{141584}{3328963} a^{7} + \frac{632562}{3328963} a^{6} + \frac{205316}{3328963} a^{5} - \frac{260798}{3328963} a^{4} + \frac{1118201}{3328963} a^{3} - \frac{1206673}{3328963} a^{2} + \frac{1472799}{3328963} a + \frac{8003}{70829}$, $\frac{1}{148733343041503} a^{34} + \frac{6248586}{148733343041503} a^{33} - \frac{38040634107}{148733343041503} a^{32} - \frac{409807141}{1085644839719} a^{31} - \frac{31021456646}{148733343041503} a^{30} + \frac{1435092943283}{148733343041503} a^{29} - \frac{446496794695}{148733343041503} a^{28} - \frac{182143543050}{148733343041503} a^{27} - \frac{954628611227}{148733343041503} a^{26} - \frac{743489169785}{148733343041503} a^{25} - \frac{893546218982}{148733343041503} a^{24} + \frac{49219886930389}{148733343041503} a^{23} + \frac{61045976030098}{148733343041503} a^{22} - \frac{55013767913692}{148733343041503} a^{21} - \frac{39791154098}{587878826251} a^{20} - \frac{22878781320831}{148733343041503} a^{19} - \frac{2738337488504}{148733343041503} a^{18} + \frac{71799659729092}{148733343041503} a^{17} - \frac{8749519514155}{148733343041503} a^{16} + \frac{68465227556848}{148733343041503} a^{15} + \frac{1084759691372}{6466667088761} a^{14} - \frac{68726037684721}{148733343041503} a^{13} + \frac{37115277529581}{148733343041503} a^{12} + \frac{6422661677296}{148733343041503} a^{11} + \frac{14925520553938}{148733343041503} a^{10} + \frac{28391201412593}{148733343041503} a^{9} - \frac{52485469516811}{148733343041503} a^{8} - \frac{3291582292683}{148733343041503} a^{7} + \frac{5415134199854}{13521213003773} a^{6} + \frac{44789043852933}{148733343041503} a^{5} - \frac{22590765794865}{148733343041503} a^{4} + \frac{7480375130807}{148733343041503} a^{3} - \frac{47266192210090}{148733343041503} a^{2} - \frac{48310297554675}{148733343041503} a - \frac{1183182375531}{3164539213649}$, $\frac{1}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{35} - \frac{13920923788064941927518011381907005961932063488382710135359319244730791130415517000358588783195980379229528163811813540261380032292094964864812120309546941361497200697653}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{34} - \frac{263809024937563827448763797483528418642598948639403675969411831747315193638253864203504345099261450759497793057777845763081310170110582858937233341693457627911655180653086605343}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{33} - \frac{3988885566531829714889657640537209224049234064163245599629706126783138552139452743510416655285492430938986176370162105809709426737575662874089641329022796783428651201149144565404557}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{32} - \frac{1139864705094964993689025021527651504944613913239678842642571359230818864709444236627279848447166611819624114811465200148730494395716271397310686463754152825190952468635508127236383}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{31} - \frac{1050514109056844519999504707009378771372335693684849544127297231327190894630962111361995018149813391821139477963231471593876250645997704620217660828129035637144095974379250241426531}{490542490600380040953698357002617949711505973758007773512521746231803388452633424517699384173018682386826473448143875386256711986457516196326639411895502302923795593555215068949233837} a^{30} - \frac{36367836304451753601865249822634652503370997064341662033628915529548444762855805942427529030804672606647264220112874298931222894788531643363461383323058120458345106991156391126378825}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{29} + \frac{312560391246078084372865759192699213436006230613051833703008250189492205794359443091655016890567830915322294204676084268665640937102956231170602465368954826787073123470107235535452}{1025679753073521903812278382823655713033148854221288980980727287575588903128233523991553257816311790445182626300664466716718579608047533865046609679417868451567936241069995144166579841} a^{28} + \frac{4277155205202429760334258681301367371218946929805217164982791757560377371876154960362856556198492654248867192399974380610808903948750662254767374554036445355170194452971269311584282}{490542490600380040953698357002617949711505973758007773512521746231803388452633424517699384173018682386826473448143875386256711986457516196326639411895502302923795593555215068949233837} a^{27} - \frac{102079045425813941472612472771015909472505108653965842672195651398933336303437150003399900160011804196656527722006600130871852060013999361005196927690864560910655767280442457491100145}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{26} + \frac{116094245736496592063109332196124659605039993094291633001448441130594001536693441793897067534970037436642605594488115890272293038343371640571512771252030402241595667000081251707153343}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{25} + \frac{45402004443683896518618009979383550269232783866757023690664263214519514449364399154498857141856094751368373537629101364872377803260956633699996413499437609519610602229521161515309062}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{24} + \frac{3851659478345666437791705488899617682477190039484697186065189212186165347180466031191186643297310826018933878712300743005545082901736891923713499757862757785708592472339152565805834412}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{23} + \frac{3745158574009247872723141149943211775059114353516819438096674399994816469368187486740086757903426191003160272236705070178916486369434693965046755219485008472858137428010737758971791181}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{22} - \frac{23238824673093100188048276821713162036366192658626680914211528354949262690507488829804827924483013720488492006564299348355260183392714707508889843496124333646532082622943843155963075}{240052708166143424296490685341706656241800795668812314697617024751733573072565292849086932680413397763766146581006577316678816504011124947138568222842479850366963801101488225230476133} a^{21} - \frac{4390340894090221747255633844558686440962518048317363670203990148655643755240017951903350344269920900237065321495564184031788971950977567817367326909228328067727374828572153196780397875}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{20} + \frac{2259935568328453459516786241755446798428986069915917961052663588101128011831157127030798329184014194159383718373600173072207139280943587324657735853837738999753501749866410890182582636}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{19} - \frac{1076169107712473916429084291485205611501785069250807641266024615936768938440388031485904432998030681301793306591170578105126877231171924390408422397277196597697662597131208505085093912}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{18} - \frac{4770143528416864559377770324148863931303221087072142145077970429397894183358624766080009977318679217283052614762171339514304631511135217448633821154313340040277020655255932736423510949}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{17} - \frac{5314040007767847560469783280273087089663179434775862101557685285665226625559013604866356249158904704562153378985618841583175454719767164558884548119615681849334735854860768613069290164}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{16} - \frac{899345253277043334862701378199484110809107236180052332529460706021933989856475346515932356643707066426982567454792122862321766738001020484280004129410926753173770094524339057340704840}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{15} + \frac{3644450671958811143472314819141009322445151929665173493587516302770099043825143135357709871557727704597716567042050235050045042789470750340599793096185647843970948489198305047097891205}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{14} - \frac{785235919188642698224582686644936745485482466801571818470790068575153591066230165270509986320347656821676571171607314620673535196791938971796904167102997877025038836200065780272982380}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{13} - \frac{4689532662837799160301032564462271801152978517288649759460270819458481295193945405189178107535460350991793891357254928508883004548001870118479435848432443249444581022564341610376652613}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{12} + \frac{656365487949106846457783774062050124149868486041517359293052497149276958706194070488313800350317096868957120090904514396013254610426169856224633898338457397096460622382926770443151873}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{11} - \frac{3219726034269178295491504302176053851426567342337020914985849306186894777403816753880106754897577111493276364662530584897834414491627533074849346179658087425921717533533416453788058806}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{10} - \frac{2793618544538933361635996779825394428191121693211248288781929683690527780363607525280476564097395364617098568855676845072828597639481519413597844872115005061008347281203691621738769525}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{9} - \frac{3326879686532359534141803021867121239226137986238250300954718231930129830925358933266022201971470952011551872585239153563674947430007139421948480193857311316112964734049017792451735601}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{8} - \frac{31525487675556577773872439885658333934680311401158316836924646151712626046301733498581179031805910649477741439909189683248181793168990478295509497296880216113157424696039417950415640}{240052708166143424296490685341706656241800795668812314697617024751733573072565292849086932680413397763766146581006577316678816504011124947138568222842479850366963801101488225230476133} a^{7} - \frac{4255005936898914474832685886949341239168902834497600879687714330881928080478354497142101569521242865717391209576289793353159322054323527593393431791296354588647388592626988389232345836}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{6} + \frac{1391738840462640757241425466847013356023385889846409826541444308352099637407603749963052479576735896039751145879090450377771860890589476539813553024552762616955260768100344910540978748}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{5} + \frac{961982034678032323552788281996121263178033122180802013254065549481299082286283582764765443618874272493312408682183124734067403107307922404215021681603254158601497625735922825204534252}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{4} - \frac{4743571511106642869833212086272867881004237766387394557801201314589051463041957204859355970767970225149214201413015679735841020764553921732275589030437421365872041294364792256111637275}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{3} + \frac{2784439106372389200059891385426543419549334559884157657314190759392050152649794798119229705191881404869755061083979906976384503734103884383953143152191682940231990873942939435219422702}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a^{2} + \frac{1268674409689309575865090339210228841309392420980671440815568874686544250564155780882285685310891543390583718391178763944117379126287182058598892205797216021689645828113226430494188017}{11282477283808740941935062211060212843364637396434178790788000163331477934410568763907085835979429694897008889307309133883904375688522872515512706473596552967247298651769946585832378251} a + \frac{38765729191374356600479330951748971788903927332936000887419023809775329970048400397825697577622914460835775880011151685322095674394718603277980890105612225115069049224569024385363}{1076469543345934638100855091218415498842156034389292891020704146868760417365763645063170101705889676070700208883437566442505903605431053574612413555347443275188178480275731951706171}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{3}\times C_{219}\times C_{219}$, which has order $143883$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 753515849420102000 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{36}$ (as 36T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_{36}$
Character table for $C_{36}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{37}) \), 3.3.1369.1, 4.0.50653.1, 6.6.69343957.1, 9.9.413239695274351729.2, 12.0.177917621779460413.1, 18.18.6318380692766245764071464704595709317.2

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $36$ $18^{2}$ $36$ R ${\href{/LocalNumberField/11.2.0.1}{2} }^{18}$ $36$ $36$ $36$ ${\href{/LocalNumberField/23.4.0.1}{4} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/29.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/31.12.0.1}{12} }^{3}$ R $18^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/47.1.0.1}{1} }^{36}$ ${\href{/LocalNumberField/53.9.0.1}{9} }^{4}$ $36$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$7$7.9.6.3$x^{9} - 14 x^{6} + 49 x^{3} - 1372$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.3$x^{9} - 14 x^{6} + 49 x^{3} - 1372$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.3$x^{9} - 14 x^{6} + 49 x^{3} - 1372$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.3$x^{9} - 14 x^{6} + 49 x^{3} - 1372$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
37Data not computed