↑

Properties

Label 36.0.14771115794...0093.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $7^{24}\cdot 37^{35}$
Root discriminant $122.47$
Ramified primes $7, 37$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{36}$ (as 36T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![3220122359, 19960512173, 39074748065, 31837565120, 26040564999, 9043770139, 8240704677, 20289170186, 6830622430, -10318189483, 5568096849, -16280549821, 8655990864, -3628140858, 2609795075, -435767982, -291942394, 29299115, -46277342, 56706162, 33634, 3695300, -4625406, -518223, 198321, 119990, 45400, -35632, 2258, -2258, 2258, -75, 75, -75, 1, -1, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - x^35 + x^34 - 75*x^33 + 75*x^32 - 75*x^31 + 2258*x^30 - 2258*x^29 + 2258*x^28 - 35632*x^27 + 45400*x^26 + 119990*x^25 + 198321*x^24 - 518223*x^23 - 4625406*x^22 + 3695300*x^21 + 33634*x^20 + 56706162*x^19 - 46277342*x^18 + 29299115*x^17 - 291942394*x^16 - 435767982*x^15 + 2609795075*x^14 - 3628140858*x^13 + 8655990864*x^12 - 16280549821*x^11 + 5568096849*x^10 - 10318189483*x^9 + 6830622430*x^8 + 20289170186*x^7 + 8240704677*x^6 + 9043770139*x^5 + 26040564999*x^4 + 31837565120*x^3 + 39074748065*x^2 + 19960512173*x + 3220122359)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - x^35 + x^34 - 75*x^33 + 75*x^32 - 75*x^31 + 2258*x^30 - 2258*x^29 + 2258*x^28 - 35632*x^27 + 45400*x^26 + 119990*x^25 + 198321*x^24 - 518223*x^23 - 4625406*x^22 + 3695300*x^21 + 33634*x^20 + 56706162*x^19 - 46277342*x^18 + 29299115*x^17 - 291942394*x^16 - 435767982*x^15 + 2609795075*x^14 - 3628140858*x^13 + 8655990864*x^12 - 16280549821*x^11 + 5568096849*x^10 - 10318189483*x^9 + 6830622430*x^8 + 20289170186*x^7 + 8240704677*x^6 + 9043770139*x^5 + 26040564999*x^4 + 31837565120*x^3 + 39074748065*x^2 + 19960512173*x + 3220122359, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - x^{35} + x^{34} - 75 x^{33} + 75 x^{32} - 75 x^{31} + 2258 x^{30} - 2258 x^{29} + 2258 x^{28} - 35632 x^{27} + 45400 x^{26} + 119990 x^{25} + 198321 x^{24} - 518223 x^{23} - 4625406 x^{22} + 3695300 x^{21} + 33634 x^{20} + 56706162 x^{19} - 46277342 x^{18} + 29299115 x^{17} - 291942394 x^{16} - 435767982 x^{15} + 2609795075 x^{14} - 3628140858 x^{13} + 8655990864 x^{12} - 16280549821 x^{11} + 5568096849 x^{10} - 10318189483 x^{9} + 6830622430 x^{8} + 20289170186 x^{7} + 8240704677 x^{6} + 9043770139 x^{5} + 26040564999 x^{4} + 31837565120 x^{3} + 39074748065 x^{2} + 19960512173 x + 3220122359 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(1477111579412686758626382717553525114441635757641876379777829265275342440093=7^{24}\cdot 37^{35}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $122.47$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $7, 37$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(259=7\cdot 37\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{259}(256,·)$, $\chi_{259}(1,·)$, $\chi_{259}(2,·)$, $\chi_{259}(4,·)$, $\chi_{259}(134,·)$, $\chi_{259}(8,·)$, $\chi_{259}(9,·)$, $\chi_{259}(128,·)$, $\chi_{259}(130,·)$, $\chi_{259}(16,·)$, $\chi_{259}(18,·)$, $\chi_{259}(151,·)$, $\chi_{259}(29,·)$, $\chi_{259}(32,·)$, $\chi_{259}(162,·)$, $\chi_{259}(163,·)$, $\chi_{259}(36,·)$, $\chi_{259}(170,·)$, $\chi_{259}(43,·)$, $\chi_{259}(172,·)$, $\chi_{259}(58,·)$, $\chi_{259}(64,·)$, $\chi_{259}(65,·)$, $\chi_{259}(67,·)$, $\chi_{259}(72,·)$, $\chi_{259}(205,·)$, $\chi_{259}(81,·)$, $\chi_{259}(211,·)$, $\chi_{259}(85,·)$, $\chi_{259}(86,·)$, $\chi_{259}(144,·)$, $\chi_{259}(232,·)$, $\chi_{259}(235,·)$, $\chi_{259}(116,·)$, $\chi_{259}(247,·)$, $\chi_{259}(253,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $a^{27}$, $a^{28}$, $a^{29}$, $a^{30}$, $a^{31}$, $a^{32}$, $\frac{1}{21535333} a^{33} + \frac{8420221}{21535333} a^{32} - \frac{9957264}{21535333} a^{31} + \frac{7448375}{21535333} a^{30} + \frac{5143441}{21535333} a^{29} + \frac{7585013}{21535333} a^{28} - \frac{8469795}{21535333} a^{27} + \frac{9200200}{21535333} a^{26} + \frac{7564718}{21535333} a^{25} + \frac{7542327}{21535333} a^{24} - \frac{5933350}{21535333} a^{23} + \frac{2511162}{21535333} a^{22} + \frac{2841293}{21535333} a^{21} + \frac{6601518}{21535333} a^{20} + \frac{6071336}{21535333} a^{19} - \frac{10017510}{21535333} a^{18} - \frac{1613406}{21535333} a^{17} + \frac{9487978}{21535333} a^{16} + \frac{8925431}{21535333} a^{15} + \frac{124518}{21535333} a^{14} + \frac{7900311}{21535333} a^{13} - \frac{4892444}{21535333} a^{12} + \frac{6166228}{21535333} a^{11} + \frac{7347501}{21535333} a^{10} - \frac{10460782}{21535333} a^{9} + \frac{1006539}{21535333} a^{8} - \frac{2360898}{21535333} a^{7} - \frac{9808575}{21535333} a^{6} + \frac{4058399}{21535333} a^{5} - \frac{1207053}{21535333} a^{4} + \frac{116921}{21535333} a^{3} + \frac{9231543}{21535333} a^{2} + \frac{7318073}{21535333} a - \frac{2707890}{21535333}$, $\frac{1}{294840244103} a^{34} - \frac{3163}{294840244103} a^{33} - \frac{119451314448}{294840244103} a^{32} + \frac{107256414994}{294840244103} a^{31} - \frac{87321118666}{294840244103} a^{30} + \frac{141099027879}{294840244103} a^{29} + \frac{83700411977}{294840244103} a^{28} - \frac{8932366416}{294840244103} a^{27} - \frac{133624208210}{294840244103} a^{26} + \frac{106828941334}{294840244103} a^{25} + \frac{127426324068}{294840244103} a^{24} - \frac{98923148645}{294840244103} a^{23} - \frac{110972691938}{294840244103} a^{22} - \frac{134211259700}{294840244103} a^{21} + \frac{147194516101}{294840244103} a^{20} - \frac{9303477976}{294840244103} a^{19} + \frac{125439779917}{294840244103} a^{18} - \frac{121371029882}{294840244103} a^{17} + \frac{139569939335}{294840244103} a^{16} + \frac{132993728917}{294840244103} a^{15} + \frac{85884737835}{294840244103} a^{14} + \frac{81239310492}{294840244103} a^{13} - \frac{8181997935}{294840244103} a^{12} - \frac{72993962879}{294840244103} a^{11} - \frac{50702782688}{294840244103} a^{10} + \frac{12608421184}{294840244103} a^{9} + \frac{123541938647}{294840244103} a^{8} - \frac{131126665231}{294840244103} a^{7} + \frac{43366580378}{294840244103} a^{6} - \frac{101676688166}{294840244103} a^{5} - \frac{38790859750}{294840244103} a^{4} - \frac{14866780135}{294840244103} a^{3} - \frac{68384873330}{294840244103} a^{2} + \frac{87939570247}{294840244103} a + \frac{98176693964}{294840244103}$, $\frac{1}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{35} - \frac{109560489189113651772717466919393096015995314046473875836641720646449434112947630820149642316522758813043211325873495247944921590521196377903675541930244174227285036377483718949207267109698}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{34} + \frac{961524622613500366533142084773050822775756308814974863255034674381824229328038692068449928311366446856641864425768015295274862931655336714568873584566924023888946308768032884504394102536460158}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{33} + \frac{31434627356398781424801640369486320715462939726454355365478030283407625103838800859818248570864877016843263833499718988409081603516478463655019381370495387258942888023177814216540168609629840753316343}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{32} - \frac{40251074434687985949998349124841359121046696570625411619782077822938320979535867831541781727330935715128695424204048674939621938231862542284041370375298262012655609159508725439431270536904879206456332}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{31} - \frac{31692156689471809575604782289832427513589603132592957173933537949790897937497917362957482595421240368188914070274624743088122260727737916913211749807645163969374307429768898336136489295892320913607363}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{30} + \frac{22300183857658899754357263751629247591495258678033337557150406638551732002594926402175510373885836472254378951011800963776990801293583918326106069069277103782325820405659336190430896964652972804456774}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{29} - \frac{19242043352387133580679517211404131920427074868343816802849639405054210150173965074797339340805812265274112430100760275364864789752459937277062677764058653818147248096312759299485667050669306348496284}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{28} + \frac{14975865587757191428932825353216121850996793648150051499880281810060857192126521393567404849687359558487408870901379844513201206602947880423406028045861408527339312092416695904529821346072781964563611}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{27} - \frac{7866503253369910600594702348607460584191318992209460500885854025000410941891893095395585259686587909404318841861251313446198073573950229247029684569049343960695188246745176438336374513677293975508832}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{26} - \frac{16134425952379316490604574778675685543151455708645088994023233516213094145809056024162503130504964467555704508909897791646046437453768022371435509399338644251519683274015487546097102024625344838618634}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{25} - \frac{40055431468881217812443791615710279746210726182687127064773888911055344756721203681641515021014124242270088975464833474179781824157820756829803237342321456971719883078852505463428151717086865818741285}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{24} + \frac{18510748938815366455545867738519933598164505566563109094991307071733257020051364154140678410752990570916051110097821252262251044606443724443370269048458072206517569266748971827210820036193665263955515}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{23} + \frac{24203753223722043032573684213954411112456891277823086583198866541937637969593881301819211106562445979639928534993612450226471694600766067848210160631615627936734190891373493396071390015192609468302149}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{22} + \frac{2368834118134808808322308277263252178156294415404688964777355749516415058109135449682447341901267966078537809735537348873824050524538772440717234026761236410860521253007122270274085273685520319041214}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{21} - \frac{576766877415203476465981546320139798514890215269023328669201298898917713855317297478598259640249880179266987762041389104723056638099861882814807841797601741331201390289831148987970848514600391529113}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{20} - \frac{41669880303467737205038464758100093761818271093342293977278852327085459181032786010640151819424302165814881099949742474981566578275579569275381925122087332226460702006842779590908734020052788319592399}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{19} - \frac{28227635713776896601152653069581543653119937727276957030329202244861705223644307593759798058716081483747426446265499267695907650265897140963323493898641025927074573167889381353956063150792673006561244}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{18} - \frac{27067474707647358692903751326548887868003516421094622754287074109691120897212407162998764622188632509916517553043895043685095863470186159325676265205886249533306404763882203147204879700666209183101573}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{17} - \frac{41395126048502673261865803151508491311586414288791557598523208292913076789959772065376146566865527355646836837726857781344972359436411823301112779493479244534665952584878846657760841181118152625909075}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{16} + \frac{15639056828824649972221929021488412578517564049388088876993833534928756184252242447601215317394659668054474395309169404066994335742966737764315102562692419841831215153578941034062937805697416112716850}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{15} + \frac{2301434141588953876079060298881201328482594980671506979726395652940453428549586005816637702055296286608693000958804741703545884073615715542659983688243580112564154927988456358258891842872639740347822}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{14} - \frac{11008865361344369061211622004468995009471494708167601396557946029388704048275511216290003154541130438889236937147167950609757458183952214162260149095901179037358899236071402133783210509326593783222947}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{13} - \frac{35067924026093011916212570787206678063819624986744538787311281862004875537675110441029465328098449865971337027189148376131704724836620337697806955477643197612577619500618629545602008353625730573104126}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{12} - \frac{21419212437362490296503157279670657996862474807948459639905581078803418273097867744655119023199696096692878017082815258549402168375859134821012996086110943264644922920486727422024717539856163283196132}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{11} + \frac{37336351463971601083753617776814297764161019725835809034711170156376329010914462090000986268187590044299639940767764383140246274481059369794879604359761431672082997271278109727299980966023362876227557}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{10} + \frac{36557223369055149617534934196523565322638855536654141380838190067981504340032536315000370391454629365394983455502815415348290075187486428358637473817295144690512751522476076097130839995455978768510786}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{9} + \frac{3136431050860994071470110251495733061716217180415286372653217396753036324794834868172882792560437912313368692346930698998780175857306717289193235527192777136321711459734527573060712558494419870543415}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{8} + \frac{33334366897679706812349574493551170992700117033828852520957540548242118164992545998501434865705108515629151493802123345426633055450101065230436946211359819031669037041512998272922801188303117942819782}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{7} - \frac{4069857942254025208596546216022729306731853952167373751136111980911723265162481137476559341129402155650016665380030730605668518367226549074324238151026152802258754937304629691373098805783190915914259}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{6} + \frac{15164851904578080954495926945232952748536288151365313760377590671872130513011014610675148436857452888433363484785606161449519657336762574955414597061537067459652496809855410311263296385873692418940201}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{5} - \frac{3549800967620356416664549008211908329514832131692563917014805238892690539395459371089742672932447203717391150215250762893418882040726794249862980931370323207441202255583773786203366670417602792113369}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{4} - \frac{3889230303593154755187433861260746345190213506562633187203887127699449679247594083607182628609580161217809590171016995134487440213258655015552254807184880707998453184969030187193139500796327049160471}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{3} + \frac{2444645951314497561751656107247882542963594320876826814579052913228985684148433915041682812446183771806937144326150005469807097484641121865942011524394860162920570481412717055228861746920309067776199}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a^{2} - \frac{41564027824545952570707467662257328282398909021004108210626416552518083063556027700029174787745670452657313955001945598884375724938147091609558886610084145667892138939646942029514465679012382575571753}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657} a + \frac{30277194663632210643165270181990676919869890639186821084205341253379289332907969980927416039322460897246071865691757503971905703764713875456985031337726845755729954119167072769295987214431943496328473}{91578017229474657699342882181040058488405586649614975779578409905182367299061187098328726695511335962663985370755758078971196664697913333471650446382074839163973170962530200414633642269571029790444657}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{36}$ (as 36T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_{36}$
Character table for $C_{36}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{37}) \), 3.3.1369.1, 4.0.50653.1, 6.6.69343957.1, 9.9.413239695274351729.1, 12.0.177917621779460413.1, 18.18.6318380692766245764071464704595709317.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type $36$ $18^{2}$ $36$ R ${\href{/LocalNumberField/11.6.0.1}{6} }^{6}$ $36$ $36$ $36$ ${\href{/LocalNumberField/23.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/31.12.0.1}{12} }^{3}$ R $18^{2}$ ${\href{/LocalNumberField/43.4.0.1}{4} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/47.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/53.9.0.1}{9} }^{4}$ $36$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
$7$7.9.6.2$x^{9} - 49 x^{3} + 686$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.2$x^{9} - 49 x^{3} + 686$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.2$x^{9} - 49 x^{3} + 686$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
7.9.6.2$x^{9} - 49 x^{3} + 686$$3$$3$$6$$C_9$$[\ ]_{3}^{3}$
37Data not computed