↑

Properties

Label 36.0.11385793527...8125.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $3^{48}\cdot 5^{27}\cdot 7^{24}$
Root discriminant $52.94$
Ramified primes $3, 5, 7$
Class number $7252$ (GRH)
Class group $[14, 518]$ (GRH)
Galois group $C_3\times C_{12}$ (as 36T3)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![1, 6, 45, 286, 1881, 846, 10925, 693, 63297, 62761, 259680, 274491, 908302, 558075, 1609083, 853087, 2414307, 635940, 3532755, 697212, 4193811, 118787, 1329663, 22707, 358026, 52491, 85860, 12647, 17889, 1683, 1809, 132, 171, -4, 15, 0, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 + 15*x^34 - 4*x^33 + 171*x^32 + 132*x^31 + 1809*x^30 + 1683*x^29 + 17889*x^28 + 12647*x^27 + 85860*x^26 + 52491*x^25 + 358026*x^24 + 22707*x^23 + 1329663*x^22 + 118787*x^21 + 4193811*x^20 + 697212*x^19 + 3532755*x^18 + 635940*x^17 + 2414307*x^16 + 853087*x^15 + 1609083*x^14 + 558075*x^13 + 908302*x^12 + 274491*x^11 + 259680*x^10 + 62761*x^9 + 63297*x^8 + 693*x^7 + 10925*x^6 + 846*x^5 + 1881*x^4 + 286*x^3 + 45*x^2 + 6*x + 1)
 
gp: K = bnfinit(x^36 + 15*x^34 - 4*x^33 + 171*x^32 + 132*x^31 + 1809*x^30 + 1683*x^29 + 17889*x^28 + 12647*x^27 + 85860*x^26 + 52491*x^25 + 358026*x^24 + 22707*x^23 + 1329663*x^22 + 118787*x^21 + 4193811*x^20 + 697212*x^19 + 3532755*x^18 + 635940*x^17 + 2414307*x^16 + 853087*x^15 + 1609083*x^14 + 558075*x^13 + 908302*x^12 + 274491*x^11 + 259680*x^10 + 62761*x^9 + 63297*x^8 + 693*x^7 + 10925*x^6 + 846*x^5 + 1881*x^4 + 286*x^3 + 45*x^2 + 6*x + 1, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} + 15 x^{34} - 4 x^{33} + 171 x^{32} + 132 x^{31} + 1809 x^{30} + 1683 x^{29} + 17889 x^{28} + 12647 x^{27} + 85860 x^{26} + 52491 x^{25} + 358026 x^{24} + 22707 x^{23} + 1329663 x^{22} + 118787 x^{21} + 4193811 x^{20} + 697212 x^{19} + 3532755 x^{18} + 635940 x^{17} + 2414307 x^{16} + 853087 x^{15} + 1609083 x^{14} + 558075 x^{13} + 908302 x^{12} + 274491 x^{11} + 259680 x^{10} + 62761 x^{9} + 63297 x^{8} + 693 x^{7} + 10925 x^{6} + 846 x^{5} + 1881 x^{4} + 286 x^{3} + 45 x^{2} + 6 x + 1 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(113857935275994928933450454958497004305286414921283721923828125=3^{48}\cdot 5^{27}\cdot 7^{24}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $52.94$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $3, 5, 7$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(315=3^{2}\cdot 5\cdot 7\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{315}(256,·)$, $\chi_{315}(1,·)$, $\chi_{315}(4,·)$, $\chi_{315}(268,·)$, $\chi_{315}(142,·)$, $\chi_{315}(16,·)$, $\chi_{315}(274,·)$, $\chi_{315}(148,·)$, $\chi_{315}(277,·)$, $\chi_{315}(22,·)$, $\chi_{315}(151,·)$, $\chi_{315}(289,·)$, $\chi_{315}(163,·)$, $\chi_{315}(37,·)$, $\chi_{315}(169,·)$, $\chi_{315}(298,·)$, $\chi_{315}(43,·)$, $\chi_{315}(172,·)$, $\chi_{315}(46,·)$, $\chi_{315}(184,·)$, $\chi_{315}(58,·)$, $\chi_{315}(64,·)$, $\chi_{315}(193,·)$, $\chi_{315}(67,·)$, $\chi_{315}(79,·)$, $\chi_{315}(211,·)$, $\chi_{315}(214,·)$, $\chi_{315}(88,·)$, $\chi_{315}(226,·)$, $\chi_{315}(232,·)$, $\chi_{315}(106,·)$, $\chi_{315}(109,·)$, $\chi_{315}(247,·)$, $\chi_{315}(121,·)$, $\chi_{315}(253,·)$, $\chi_{315}(127,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $a^{18}$, $a^{19}$, $a^{20}$, $a^{21}$, $a^{22}$, $a^{23}$, $a^{24}$, $a^{25}$, $a^{26}$, $\frac{1}{126881} a^{27} - \frac{93}{701} a^{26} - \frac{17983}{126881} a^{25} + \frac{39144}{126881} a^{24} - \frac{31380}{126881} a^{23} - \frac{28209}{126881} a^{22} + \frac{54557}{126881} a^{21} + \frac{53338}{126881} a^{20} - \frac{45922}{126881} a^{19} - \frac{44108}{126881} a^{18} + \frac{59513}{126881} a^{17} + \frac{30406}{126881} a^{16} - \frac{43335}{126881} a^{15} + \frac{49261}{126881} a^{14} - \frac{53695}{126881} a^{13} + \frac{23417}{126881} a^{12} - \frac{17418}{126881} a^{11} + \frac{42426}{126881} a^{10} + \frac{19889}{126881} a^{9} - \frac{24181}{126881} a^{8} - \frac{6217}{126881} a^{7} - \frac{13282}{126881} a^{6} - \frac{16175}{126881} a^{5} + \frac{48995}{126881} a^{4} - \frac{7414}{126881} a^{3} + \frac{59772}{126881} a^{2} + \frac{1570}{126881} a - \frac{62444}{126881}$, $\frac{1}{253762} a^{28} + \frac{42141}{126881} a^{26} - \frac{28755}{126881} a^{25} + \frac{56710}{126881} a^{24} - \frac{21073}{126881} a^{23} + \frac{581}{126881} a^{22} + \frac{46641}{253762} a^{21} - \frac{8662}{126881} a^{20} - \frac{45041}{126881} a^{19} - \frac{14860}{126881} a^{18} + \frac{43620}{126881} a^{17} + \frac{34895}{126881} a^{16} - \frac{48403}{126881} a^{15} - \frac{10617}{253762} a^{14} + \frac{37863}{126881} a^{13} - \frac{29162}{126881} a^{12} - \frac{29829}{126881} a^{11} - \frac{18201}{126881} a^{10} + \frac{27639}{126881} a^{9} - \frac{5371}{126881} a^{8} - \frac{114099}{253762} a^{7} + \frac{49561}{126881} a^{6} + \frac{30923}{126881} a^{5} + \frac{62901}{126881} a^{4} + \frac{55407}{126881} a^{3} - \frac{11342}{126881} a^{2} - \frac{12941}{126881} a + \frac{493}{1402}$, $\frac{1}{253762} a^{29} - \frac{60973}{126881} a^{26} + \frac{100}{701} a^{25} - \frac{8496}{126881} a^{24} + \frac{31379}{126881} a^{23} + \frac{61401}{253762} a^{22} - \frac{11479}{126881} a^{21} + \frac{62097}{126881} a^{20} - \frac{4870}{126881} a^{19} - \frac{7802}{126881} a^{18} + \frac{27408}{126881} a^{17} - \frac{16430}{126881} a^{16} - \frac{46613}{253762} a^{15} + \frac{30103}{126881} a^{14} + \frac{62960}{126881} a^{13} + \frac{34792}{126881} a^{12} - \frac{12848}{126881} a^{11} + \frac{33744}{126881} a^{10} + \frac{28166}{126881} a^{9} - \frac{53679}{253762} a^{8} + \frac{30893}{126881} a^{7} - \frac{51287}{126881} a^{6} - \frac{38037}{126881} a^{5} - \frac{35256}{126881} a^{4} + \frac{41010}{126881} a^{3} - \frac{23181}{126881} a^{2} - \frac{23505}{253762} a - \frac{59336}{126881}$, $\frac{1}{253762} a^{30} + \frac{19647}{126881} a^{25} - \frac{1}{2} a^{23} - \frac{40788}{126881} a^{20} - \frac{1}{2} a^{16} + \frac{61973}{126881} a^{15} + \frac{18836}{126881} a^{10} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{27518}{126881} a^{5} - \frac{1}{2} a^{2} + \frac{47036}{126881}$, $\frac{1}{253762} a^{31} + \frac{19647}{126881} a^{26} - \frac{1}{2} a^{24} - \frac{40788}{126881} a^{21} - \frac{1}{2} a^{17} + \frac{61973}{126881} a^{16} + \frac{18836}{126881} a^{11} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{27518}{126881} a^{6} - \frac{1}{2} a^{3} + \frac{47036}{126881} a$, $\frac{1}{64455548} a^{32} - \frac{69}{64455548} a^{31} + \frac{15}{64455548} a^{30} - \frac{23}{64455548} a^{29} - \frac{61}{64455548} a^{28} - \frac{25}{32227774} a^{27} - \frac{7425978}{16113887} a^{26} - \frac{8246555}{64455548} a^{25} - \frac{7923453}{64455548} a^{24} + \frac{11213661}{64455548} a^{23} - \frac{18413065}{64455548} a^{22} - \frac{17414657}{64455548} a^{21} + \frac{5037618}{16113887} a^{20} - \frac{3208969}{16113887} a^{19} + \frac{10579673}{64455548} a^{18} + \frac{5577735}{64455548} a^{17} - \frac{7325}{91948} a^{16} + \frac{5736673}{64455548} a^{15} + \frac{27793615}{64455548} a^{14} + \frac{14897499}{32227774} a^{13} + \frac{7894763}{32227774} a^{12} + \frac{3416623}{64455548} a^{11} + \frac{3174485}{64455548} a^{10} - \frac{24244957}{64455548} a^{9} - \frac{8744599}{64455548} a^{8} + \frac{31088967}{64455548} a^{7} + \frac{2011979}{16113887} a^{6} + \frac{10606525}{32227774} a^{5} - \frac{20726589}{64455548} a^{4} + \frac{2262649}{64455548} a^{3} + \frac{9972987}{64455548} a^{2} + \frac{15062209}{64455548} a + \frac{17602525}{64455548}$, $\frac{1}{8333339380653968385716889714308} a^{33} - \frac{15479207098756095028673}{8333339380653968385716889714308} a^{32} + \frac{5756755708148889528969777}{8333339380653968385716889714308} a^{31} - \frac{232188106481341425430099}{8333339380653968385716889714308} a^{30} - \frac{12104327573023342386360409}{8333339380653968385716889714308} a^{29} - \frac{1141361933319562771375980}{2083334845163492096429222428577} a^{28} - \frac{7916260201560788689930375}{2083334845163492096429222428577} a^{27} + \frac{1675195455498058659952352041261}{8333339380653968385716889714308} a^{26} - \frac{259344989688749844563366617285}{8333339380653968385716889714308} a^{25} - \frac{1990572305757227812596764359697}{8333339380653968385716889714308} a^{24} - \frac{579089554430602268839173404101}{8333339380653968385716889714308} a^{23} + \frac{1394720270212418282387473591651}{8333339380653968385716889714308} a^{22} + \frac{194723768809883069018993253169}{4166669690326984192858444857154} a^{21} + \frac{253994629854164429745458053443}{2083334845163492096429222428577} a^{20} + \frac{3295045367375437404577097191449}{8333339380653968385716889714308} a^{19} + \frac{3514419758442826277520617765123}{8333339380653968385716889714308} a^{18} - \frac{3405582035535221645576857182327}{8333339380653968385716889714308} a^{17} - \frac{2415232058172654667645547064859}{8333339380653968385716889714308} a^{16} - \frac{3813325094176115568076035384973}{8333339380653968385716889714308} a^{15} - \frac{943882130022356061439544939997}{2083334845163492096429222428577} a^{14} + \frac{1902003315503534147354860510013}{4166669690326984192858444857154} a^{13} - \frac{1705788948841037111685856732993}{8333339380653968385716889714308} a^{12} + \frac{3426145876363210123832617235609}{8333339380653968385716889714308} a^{11} + \frac{784931311963506304350345007021}{8333339380653968385716889714308} a^{10} + \frac{2653641762147324805528901258929}{8333339380653968385716889714308} a^{9} - \frac{3865115374499418872124867379065}{8333339380653968385716889714308} a^{8} - \frac{39536952801642454198056760059}{4166669690326984192858444857154} a^{7} - \frac{1487772097832584134669893443461}{4166669690326984192858444857154} a^{6} - \frac{2920722238602363838040044167577}{8333339380653968385716889714308} a^{5} + \frac{1358571119227622417743748177657}{8333339380653968385716889714308} a^{4} - \frac{1770161869139045466543975379699}{8333339380653968385716889714308} a^{3} + \frac{2365808179430215879119556575193}{8333339380653968385716889714308} a^{2} + \frac{1872826062352575442851353301553}{8333339380653968385716889714308} a + \frac{1003502706702944808506915263399}{4166669690326984192858444857154}$, $\frac{1}{8333339380653968385716889714308} a^{34} + \frac{19955776036994358834723}{8333339380653968385716889714308} a^{32} + \frac{5504493459126394695101345}{8333339380653968385716889714308} a^{31} + \frac{299336640554915382520791}{8333339380653968385716889714308} a^{30} + \frac{1269629568075208142609478}{2083334845163492096429222428577} a^{29} + \frac{14233657207037693147338715}{8333339380653968385716889714308} a^{28} - \frac{12656625615136018756527169}{8333339380653968385716889714308} a^{27} + \frac{549119662349683169607531715925}{2083334845163492096429222428577} a^{26} + \frac{1290600249432639262470088046993}{8333339380653968385716889714308} a^{25} - \frac{1598700309769628584287943342491}{8333339380653968385716889714308} a^{24} + \frac{2290085775968503640293611113151}{8333339380653968385716889714308} a^{23} + \frac{44213282486565444623245079650}{2083334845163492096429222428577} a^{22} + \frac{3659848044441861828432917096465}{8333339380653968385716889714308} a^{21} + \frac{3704833213238616868977555773065}{8333339380653968385716889714308} a^{20} - \frac{636631689214194956281828783190}{2083334845163492096429222428577} a^{19} - \frac{3821929517707396072956295297313}{8333339380653968385716889714308} a^{18} - \frac{3445430337330981150113048302227}{8333339380653968385716889714308} a^{17} - \frac{4161475961251848069776650042457}{8333339380653968385716889714308} a^{16} + \frac{573904213408186914508810177960}{2083334845163492096429222428577} a^{15} - \frac{3253887683669288757830753569315}{8333339380653968385716889714308} a^{14} + \frac{652184656575964480343175932135}{8333339380653968385716889714308} a^{13} - \frac{1539277668734381709819916100983}{4166669690326984192858444857154} a^{12} + \frac{85959970066885098346770080379}{8333339380653968385716889714308} a^{11} + \frac{580481380889774769337494344247}{8333339380653968385716889714308} a^{10} + \frac{3490814477209510674639656389655}{8333339380653968385716889714308} a^{9} + \frac{1694361189778376668274465010067}{4166669690326984192858444857154} a^{8} + \frac{2942547326575182333101649467287}{8333339380653968385716889714308} a^{7} + \frac{3762163077673545453659358492301}{8333339380653968385716889714308} a^{6} + \frac{1964289948000823369180743547327}{4166669690326984192858444857154} a^{5} + \frac{741451718873831222649539442711}{8333339380653968385716889714308} a^{4} + \frac{22617609822933141863834532509}{65616845516960380989896769404} a^{3} - \frac{3104378250375401138886478706823}{8333339380653968385716889714308} a^{2} - \frac{69122815546727517729388377719}{2083334845163492096429222428577} a + \frac{2287744543766240693368584819963}{8333339380653968385716889714308}$, $\frac{1}{8333339380653968385716889714308} a^{35} + \frac{15220548863514878079845}{2083334845163492096429222428577} a^{32} - \frac{2762771598361350113288385}{2083334845163492096429222428577} a^{31} - \frac{10817440896201744601938203}{8333339380653968385716889714308} a^{30} - \frac{453464494352765502886103}{2083334845163492096429222428577} a^{29} - \frac{11063185686008694714786157}{8333339380653968385716889714308} a^{28} + \frac{5033776404112558848523255}{2083334845163492096429222428577} a^{27} - \frac{1573887757825937021350219217871}{4166669690326984192858444857154} a^{26} + \frac{783846207014370175102390559701}{2083334845163492096429222428577} a^{25} - \frac{173683842676735870597913796495}{4166669690326984192858444857154} a^{24} + \frac{2216586275489367241738908087171}{8333339380653968385716889714308} a^{23} - \frac{1546749306318320746125436909951}{4166669690326984192858444857154} a^{22} + \frac{2345531784558013655959172544659}{8333339380653968385716889714308} a^{21} - \frac{548794169286467545767553346781}{2083334845163492096429222428577} a^{20} + \frac{98003367639056682080171622298}{2083334845163492096429222428577} a^{19} - \frac{265575255796715178582395821735}{2083334845163492096429222428577} a^{18} + \frac{510480897034008108936629254735}{2083334845163492096429222428577} a^{17} - \frac{4139972216475436174252091671715}{8333339380653968385716889714308} a^{16} + \frac{606668431648556311937076742437}{4166669690326984192858444857154} a^{15} + \frac{1762270933104424428379892578855}{8333339380653968385716889714308} a^{14} - \frac{221080210142241072169565508188}{2083334845163492096429222428577} a^{13} + \frac{780267265112855912039676102775}{4166669690326984192858444857154} a^{12} + \frac{42374576254954259572792068197}{2083334845163492096429222428577} a^{11} + \frac{252354426943770900656775756693}{2083334845163492096429222428577} a^{10} + \frac{477499711607873145580950821539}{8333339380653968385716889714308} a^{9} - \frac{979980783920225675161506947316}{2083334845163492096429222428577} a^{8} + \frac{2436500065854397512694322084799}{8333339380653968385716889714308} a^{7} + \frac{320398082996185298985877704903}{2083334845163492096429222428577} a^{6} - \frac{503641661599937940666552319819}{4166669690326984192858444857154} a^{5} - \frac{719375527123553251975248402992}{2083334845163492096429222428577} a^{4} - \frac{1902576170205006178781657125843}{4166669690326984192858444857154} a^{3} + \frac{3910360942269900629848854624749}{8333339380653968385716889714308} a^{2} - \frac{1551934218029550155766364283843}{4166669690326984192858444857154} a + \frac{1855127833359903706239579091173}{4166669690326984192858444857154}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

$C_{14}\times C_{518}$, which has order $7252$ (assuming GRH)

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -\frac{478985409232447527350915499}{16404211379240095247474192351} a^{35} - \frac{319950399525535624511420664}{16404211379240095247474192351} a^{34} - \frac{7133903550774685054500072557}{16404211379240095247474192351} a^{33} - \frac{2882774194047335449640442474}{16404211379240095247474192351} a^{32} - \frac{79861838268674418054038531187}{16404211379240095247474192351} a^{31} - \frac{118133446855085807276724950077}{16404211379240095247474192351} a^{30} - \frac{899994888727310485160643665439}{16404211379240095247474192351} a^{29} - \frac{1378127809395313478405803057035}{16404211379240095247474192351} a^{28} - \frac{9014648832240494812653938888348}{16404211379240095247474192351} a^{27} - \frac{11694564884985779714559944358357}{16404211379240095247474192351} a^{26} - \frac{44258068235695792931476371910716}{16404211379240095247474192351} a^{25} - \frac{51958198113135608510102956565593}{16404211379240095247474192351} a^{24} - \frac{183879325937652064743855810578229}{16404211379240095247474192351} a^{23} - \frac{122696453083974778313340519775191}{16404211379240095247474192351} a^{22} - \frac{625774342594665432271241917182171}{16404211379240095247474192351} a^{21} - \frac{480923710481401121897571752670240}{16404211379240095247474192351} a^{20} - \frac{1978552521238790126126247479220213}{16404211379240095247474192351} a^{19} - \frac{1669123808283761398322126636637742}{16404211379240095247474192351} a^{18} - \frac{1699609509457636111682700861727623}{16404211379240095247474192351} a^{17} - \frac{1397510510231926969159731530002209}{16404211379240095247474192351} a^{16} - \frac{1173043566784605694519137449380857}{16404211379240095247474192351} a^{15} - \frac{1147297707206067964943452308505335}{16404211379240095247474192351} a^{14} - \frac{915888947852417336272007420450358}{16404211379240095247474192351} a^{13} - \frac{737401945436485606714577339686263}{16404211379240095247474192351} a^{12} - \frac{528361707955878158575068303990750}{16404211379240095247474192351} a^{11} - \frac{392364908554791199717929687546459}{16404211379240095247474192351} a^{10} - \frac{163920682979395390443778689598355}{16404211379240095247474192351} a^{9} - \frac{98512877517029407951461542764827}{16404211379240095247474192351} a^{8} - \frac{36044399051948850675064787976324}{16404211379240095247474192351} a^{7} - \frac{17228068119153257858842099799126}{16404211379240095247474192351} a^{6} - \frac{2088342248705356747341178118799}{16404211379240095247474192351} a^{5} - \frac{3862345032254201221726524339924}{16404211379240095247474192351} a^{4} - \frac{590509014976277889765462786415}{16404211379240095247474192351} a^{3} - \frac{776107012237326912760533287307}{16404211379240095247474192351} a^{2} - \frac{12790807857259863008265841083}{16404211379240095247474192351} a - \frac{2025218332800693096260705828}{16404211379240095247474192351} \) (order $10$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Units are too long to display, but can be downloaded with other data for this field from 'Stored data to gp' link to the right (assuming GRH)
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  \( 13624539961495.691 \) (assuming GRH)
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_3\times C_{12}$ (as 36T3):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
An abelian group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_3\times C_{12}$
Character table for $C_3\times C_{12}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), \(\Q(\zeta_{9})^+\), 3.3.3969.2, 3.3.3969.1, \(\Q(\zeta_{7})^+\), \(\Q(\zeta_{5})\), 6.6.820125.1, 6.6.1969120125.2, 6.6.1969120125.1, 6.6.300125.1, 9.9.62523502209.1, 12.0.84075626953125.1, 12.0.484679258335001953125.2, 12.0.484679258335001953125.1, 12.0.11259376953125.1, 18.18.7635133454060210702501953125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type ${\href{/LocalNumberField/2.12.0.1}{12} }^{3}$ R R R ${\href{/LocalNumberField/11.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/13.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/17.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/19.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/23.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/29.6.0.1}{6} }^{6}$ ${\href{/LocalNumberField/31.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/37.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/41.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/43.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/47.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/53.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/59.6.0.1}{6} }^{6}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
3Data not computed
$5$5.12.9.2$x^{12} - 10 x^{8} + 25 x^{4} - 500$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
5.12.9.2$x^{12} - 10 x^{8} + 25 x^{4} - 500$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
5.12.9.2$x^{12} - 10 x^{8} + 25 x^{4} - 500$$4$$3$$9$$C_{12}$$[\ ]_{4}^{3}$
7Data not computed