↑

Properties

Label 36.0.11166706806...0000.1
Degree $36$
Signature $[0, 18]$
Discriminant $2^{54}\cdot 5^{27}\cdot 19^{32}$
Root discriminant $129.55$
Ramified primes $2, 5, 19$
Class number Not computed
Class group Not computed
Galois group $C_{36}$ (as 36T1)

Related objects

Downloads

Learn more about

Show commands for: Magma / SageMath / Pari/GP

magma: R<x> := PolynomialRing(Rationals()); K<a> := NumberField(R![267925632607951, -126914368211520, 452582283671560, -200163531732820, 384697409362585, -159756732496364, 218505128213772, -85401470798108, 92814563432174, -34267775685784, 31320358989476, -10910788220836, 8682432478218, -2856431530224, 2023423052542, -627422642344, 401400108401, -116924953584, 68243623460, -18594206188, 9967083083, -2523795036, 1247034754, -290572940, 132518139, -28016984, 11787900, -2217384, 858930, -139724, 49642, -6676, 2159, -220, 64, -4, 1]);
 
sage: x = polygen(QQ); K.<a> = NumberField(x^36 - 4*x^35 + 64*x^34 - 220*x^33 + 2159*x^32 - 6676*x^31 + 49642*x^30 - 139724*x^29 + 858930*x^28 - 2217384*x^27 + 11787900*x^26 - 28016984*x^25 + 132518139*x^24 - 290572940*x^23 + 1247034754*x^22 - 2523795036*x^21 + 9967083083*x^20 - 18594206188*x^19 + 68243623460*x^18 - 116924953584*x^17 + 401400108401*x^16 - 627422642344*x^15 + 2023423052542*x^14 - 2856431530224*x^13 + 8682432478218*x^12 - 10910788220836*x^11 + 31320358989476*x^10 - 34267775685784*x^9 + 92814563432174*x^8 - 85401470798108*x^7 + 218505128213772*x^6 - 159756732496364*x^5 + 384697409362585*x^4 - 200163531732820*x^3 + 452582283671560*x^2 - 126914368211520*x + 267925632607951)
 
gp: K = bnfinit(x^36 - 4*x^35 + 64*x^34 - 220*x^33 + 2159*x^32 - 6676*x^31 + 49642*x^30 - 139724*x^29 + 858930*x^28 - 2217384*x^27 + 11787900*x^26 - 28016984*x^25 + 132518139*x^24 - 290572940*x^23 + 1247034754*x^22 - 2523795036*x^21 + 9967083083*x^20 - 18594206188*x^19 + 68243623460*x^18 - 116924953584*x^17 + 401400108401*x^16 - 627422642344*x^15 + 2023423052542*x^14 - 2856431530224*x^13 + 8682432478218*x^12 - 10910788220836*x^11 + 31320358989476*x^10 - 34267775685784*x^9 + 92814563432174*x^8 - 85401470798108*x^7 + 218505128213772*x^6 - 159756732496364*x^5 + 384697409362585*x^4 - 200163531732820*x^3 + 452582283671560*x^2 - 126914368211520*x + 267925632607951, 1)
 

Normalized defining polynomial

\( x^{36} - 4 x^{35} + 64 x^{34} - 220 x^{33} + 2159 x^{32} - 6676 x^{31} + 49642 x^{30} - 139724 x^{29} + 858930 x^{28} - 2217384 x^{27} + 11787900 x^{26} - 28016984 x^{25} + 132518139 x^{24} - 290572940 x^{23} + 1247034754 x^{22} - 2523795036 x^{21} + 9967083083 x^{20} - 18594206188 x^{19} + 68243623460 x^{18} - 116924953584 x^{17} + 401400108401 x^{16} - 627422642344 x^{15} + 2023423052542 x^{14} - 2856431530224 x^{13} + 8682432478218 x^{12} - 10910788220836 x^{11} + 31320358989476 x^{10} - 34267775685784 x^{9} + 92814563432174 x^{8} - 85401470798108 x^{7} + 218505128213772 x^{6} - 159756732496364 x^{5} + 384697409362585 x^{4} - 200163531732820 x^{3} + 452582283671560 x^{2} - 126914368211520 x + 267925632607951 \)

magma: DefiningPolynomial(K);
 
sage: K.defining_polynomial()
 
gp: K.pol
 

Invariants

Degree:  $36$
magma: Degree(K);
 
sage: K.degree()
 
gp: poldegree(K.pol)
 
Signature:  $[0, 18]$
magma: Signature(K);
 
sage: K.signature()
 
gp: K.sign
 
Discriminant:  \(11166706806076050240252573251230095765902100267008000000000000000000000000000=2^{54}\cdot 5^{27}\cdot 19^{32}\)
magma: Discriminant(Integers(K));
 
sage: K.disc()
 
gp: K.disc
 
Root discriminant:  $129.55$
magma: Abs(Discriminant(Integers(K)))^(1/Degree(K));
 
sage: (K.disc().abs())^(1./K.degree())
 
gp: abs(K.disc)^(1/poldegree(K.pol))
 
Ramified primes:  $2, 5, 19$
magma: PrimeDivisors(Discriminant(Integers(K)));
 
sage: K.disc().support()
 
gp: factor(abs(K.disc))[,1]~
 
This field is Galois and abelian over $\Q$.
Conductor:  \(760=2^{3}\cdot 5\cdot 19\)
Dirichlet character group:    $\lbrace$$\chi_{760}(1,·)$, $\chi_{760}(517,·)$, $\chi_{760}(9,·)$, $\chi_{760}(653,·)$, $\chi_{760}(529,·)$, $\chi_{760}(533,·)$, $\chi_{760}(157,·)$, $\chi_{760}(197,·)$, $\chi_{760}(161,·)$, $\chi_{760}(49,·)$, $\chi_{760}(169,·)$, $\chi_{760}(557,·)$, $\chi_{760}(93,·)$, $\chi_{760}(689,·)$, $\chi_{760}(693,·)$, $\chi_{760}(329,·)$, $\chi_{760}(441,·)$, $\chi_{760}(321,·)$, $\chi_{760}(453,·)$, $\chi_{760}(289,·)$, $\chi_{760}(201,·)$, $\chi_{760}(77,·)$, $\chi_{760}(397,·)$, $\chi_{760}(81,·)$, $\chi_{760}(213,·)$, $\chi_{760}(729,·)$, $\chi_{760}(733,·)$, $\chi_{760}(609,·)$, $\chi_{760}(613,·)$, $\chi_{760}(237,·)$, $\chi_{760}(481,·)$, $\chi_{760}(757,·)$, $\chi_{760}(681,·)$, $\chi_{760}(121,·)$, $\chi_{760}(253,·)$, $\chi_{760}(277,·)$$\rbrace$
This is a CM field.

Integral basis (with respect to field generator \(a\))

$1$, $a$, $a^{2}$, $a^{3}$, $a^{4}$, $a^{5}$, $a^{6}$, $a^{7}$, $a^{8}$, $a^{9}$, $a^{10}$, $a^{11}$, $a^{12}$, $a^{13}$, $a^{14}$, $a^{15}$, $a^{16}$, $a^{17}$, $\frac{1}{2} a^{18} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{19} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{20} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{21} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{22} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{23} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{24} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{2} a^{25} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{3}$, $\frac{1}{2} a^{26} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{12} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{4}$, $\frac{1}{2} a^{27} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{13} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{5}$, $\frac{1}{2} a^{28} - \frac{1}{2} a^{16} - \frac{1}{2} a^{14} - \frac{1}{2} a^{10} - \frac{1}{2} a^{8} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{2} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{29} - \frac{1}{2} a^{17} - \frac{1}{2} a^{15} - \frac{1}{2} a^{11} - \frac{1}{2} a^{9} - \frac{1}{2} a^{7} - \frac{1}{2} a^{3} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{30} - \frac{1}{2} a^{4} - \frac{1}{2}$, $\frac{1}{2} a^{31} - \frac{1}{2} a^{5} - \frac{1}{2} a$, $\frac{1}{2} a^{32} - \frac{1}{2} a^{6} - \frac{1}{2} a^{2}$, $\frac{1}{114458} a^{33} + \frac{21689}{114458} a^{32} + \frac{11379}{57229} a^{31} - \frac{2503}{114458} a^{30} - \frac{803}{114458} a^{29} - \frac{11712}{57229} a^{28} + \frac{11351}{57229} a^{27} + \frac{11185}{57229} a^{26} + \frac{3447}{114458} a^{25} - \frac{27631}{114458} a^{24} + \frac{120}{57229} a^{23} + \frac{4934}{57229} a^{22} + \frac{7205}{114458} a^{21} - \frac{5253}{114458} a^{20} + \frac{20777}{114458} a^{19} + \frac{4557}{114458} a^{18} - \frac{27295}{114458} a^{17} - \frac{5481}{57229} a^{16} + \frac{30977}{114458} a^{15} - \frac{22025}{57229} a^{14} - \frac{17131}{114458} a^{13} - \frac{49137}{114458} a^{12} - \frac{12933}{114458} a^{11} - \frac{12182}{57229} a^{10} - \frac{4411}{57229} a^{9} + \frac{7231}{114458} a^{8} - \frac{4688}{57229} a^{7} + \frac{51141}{114458} a^{6} - \frac{19795}{114458} a^{5} - \frac{23061}{57229} a^{4} - \frac{16873}{57229} a^{3} + \frac{40289}{114458} a^{2} + \frac{3289}{114458} a + \frac{339}{758}$, $\frac{1}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{34} - \frac{19460731949772756581207581714761908929084422902124282369098553155361}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{33} - \frac{617641797143654472478873634876806943764701036885773714428649247506472416}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{32} + \frac{192365974638090589698128008864120248261923578438404209620138060552884406}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{31} - \frac{572763157220735755867141290095291050334797082497568849542969383250099143}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{30} - \frac{1302713982834560690844923553331367103780579813580420493826567899357694639}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{29} + \frac{343990933351012283861280185484223792001012792029793173611603564283729}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{28} - \frac{1419087983313002303039576922813542098428566226067548771844376371254373695}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{27} + \frac{170981528865008271771041149667189829007814337557778669566199522583255219}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{26} + \frac{358399703748899038831339317050071065124661759969790363989883012275199862}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{25} + \frac{935981180458882672160390921666040682616362144052249351747397110569635911}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{24} + \frac{592613659072405878984336642212609390791832643212742530825295510549921257}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{23} + \frac{1652403201891143983994483761715052301605382750859087361724418509360814011}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{22} - \frac{157357204366590361889553155362902649091541225231736277501109899733124065}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{21} + \frac{23162901697467100338461921825855005786093743227663134011605070235032070}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{20} + \frac{556283057017407301809351579864153208742878764437343182155642562758855283}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{19} - \frac{758130777257085015220660214931305219216471800316105864909089998912121084}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{18} - \frac{811428330520352316455952024140480646099097513408937416064749068501157732}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{17} + \frac{1117098803775501128316089137521037965853295115145894106611646765249304047}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{16} + \frac{727340345993354479311923410263108549715528376608377802497364854641903921}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{15} + \frac{763468889076819073145066134182077278938129085990167753908680527820632443}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{14} + \frac{370989076643353142064978319686519091977058703100750813652582831920295860}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{13} - \frac{1611318774058395468174469323055056966498809478703019683892135897147583614}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{12} + \frac{539258179986200005084916435363436096913388510092255852737522629029896683}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{11} + \frac{742383680342268182101020150113418816214982964878942856226900535600467452}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{10} - \frac{1419510840450813786783024379333141609740542081405544467169702480761348043}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{9} + \frac{1670392538077942626305834806779709297583043434116986027002054874561336041}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{8} + \frac{3181777606078649841596540469420036874565702366209012968385050635826228695}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{7} + \frac{2870042049800944553134015674785218395027354140285657654195251843485139449}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{6} + \frac{1321025696858419994653234588673875154607863733725297934233714685823677141}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{5} + \frac{1557262629454409040276458086940924129815444724271892395519993747175406257}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{4} - \frac{272445188727201027432223986963943563524821257572544758569174274521452203}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a^{3} + \frac{713517035743204690286721761719182024338068459345193790054375806140447173}{6924342836814044801856760173754338778932071301594408969701753024672322802} a^{2} + \frac{1440292630984825929795347666868568829393813360520119505323156906783878778}{3462171418407022400928380086877169389466035650797204484850876512336161401} a - \frac{26781162076783952966657893153387717029713578973347467281819366700377}{200247052743400468546133785643145804648256783064704270502378698767238}$, $\frac{1}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{35} + \frac{4525832488211189500093508043597368427335335528345010964160188229297262684508516473631}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{34} - \frac{1835594812644051338395182394330528545677693235013276475714970738329876237428358980442040671232723863804721274389798276261444372906025967305141062377075176}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{33} - \frac{34319988356302023304240527851040620401605782505754813594199193384275590051098475529354023888081824615976811482318710467707557204055853787371916745573774250038}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{32} + \frac{41814333535724888281973384967169676810622184001683391541659328918944342266838517428698949525430377641568212737135997080650901250645575260413144089308464116504}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{31} - \frac{3341085123551867222554305872918051988032002074454735037888325894649975172244013059071654628981169882625367652182152146301512516880294093595353584318049195957}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{30} + \frac{152205543326709183821492779942024896143464324411952657457890328949781648941700427727853563922490438705845251473697494231264654661270051808326687097427808273761}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{29} - \frac{100967399871684914657628391284755523178021052733632509388875100715413176663001787050838192388496537274540004799656865965804724978865126052897346608994828905313}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{28} + \frac{78981381656774257865806554555010262816087858710715817424881144420518476537016073503614709105143879020084997818492268400513350422881750752878180659725203757643}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{27} + \frac{168546562973338694514113576257263731592563905436425860276246371323452098397067889076465680072345899000850005809450796953927768957379232810252349599093315180973}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{26} - \frac{74986831517995289940163780948641225880406822444148181770475658878820157489137685994630082869725011163691148010586116777426831436172114602338965841843784759629}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{25} + \frac{551827753843396311958899173432410596006847158127335207812101175183413669848445039044443014831783913566719451896352159882574812296183131098322208991185928003}{3535920640814117885298696458064140498468382132172837811209309785278607040501454792341121681498492417054288057811868649937981100587348136470987536234936475979} a^{24} + \frac{77948333135260928132744242331618616134713706718297535393015449378664389912845771131230415642214850238821140243699330808985083784186087164556842811486686473472}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{23} - \frac{159922444469634572343712490089126764175990072827365977314418039887793533971694886692574988336151149357426761386693734177389149656164419726673604993009118216207}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{22} + \frac{117185412925592277038008618310313321186666855260895654725133771290175570350872164841001198486285001104714927943407578412840210720549615020615239547092298230425}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{21} + \frac{123487869847745189636351894199717226779477247194818037731539531045877778505640082615699675009002338236764287300397662601003851033009389838555698511696604395570}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{20} + \frac{46779935429313093915076064340988550587048943511010421443028938113170256477353826339401728349733577733851611618948954672757385883644832191278496211886079323374}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{19} + \frac{190775865830846778409407222140792322417501257218284061381002858922469180970728846290905864347644649797432562593233782836757679299432539357704220784807027997755}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{18} + \frac{343826986247333402490538873994222020840684422146975345120904271697824401200521649253376421957079535782049439310447145518454721152750579279221876581586723518033}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{17} + \frac{123777618164106254739791576634163481678554373479767033307548623467963021992620199835185801534430667156030974308105599742501947531698110604726960412158426363262}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{16} - \frac{13601770189884160651601978377791339719387692360959095187439773948791925441683282483910924065984693040391014164632653727792127290476441044540679083094635659931}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{15} + \frac{55738520940875800852429674999124724601805206275434182470160979481944016248526618634337181503011451603794144408415442951730906300213016810253496807745734297891}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{14} + \frac{299642542763967100152373402481634858890781250050626816548988720432969775457420087713138274162027404921133222047620342563661111439376157099792924412878514685477}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{13} + \frac{142523797242511345767076559552835717203096178615378347724326717997673956525229788392281064013476258049419723712500217310521735737214760926064337917468689115443}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{12} - \frac{372708399807090720877858462630772316966670405254825239272069837180695793993936322901484004655086515392649876463243450780324527390545363102975178795270421511081}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{11} - \frac{126689249561494710492153183171553077455882820871726233937362457855279391331308990593866623977461946382865008518040335248636932729647545279283754147285127537376}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{10} - \frac{95893038963586406219558192659699359816913803093087791010877982043444280791458540919782715185799180515034112200967308170216225758789980672726423679674901656832}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{9} - \frac{253772417186118420986348601866885028662170777512926005744401858525367167633744495117538674915711988176927699400466459492466504586650478103460518259465720149920}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{8} + \frac{389431178757061248693678956945107161832677119708808294147556475582112330241829055990751927470957910273484177903835126191487387669384746977551679072354474459991}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{7} - \frac{160292760393899164908608100641827316988319902258416190410866914868059305259588784344162174363803596116777137022979223696471280181188092759429901190346206953461}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{6} + \frac{1368401428304399784350682414149321725014163890663838891129980171177722222748060542164953689312574666101415035264294324356686719290939041254539292557531159539}{7071841281628235770597392916128280996936764264345675622418619570557214081002909584682243362996984834108576115623737299875962201174696272941975072469872951958} a^{5} - \frac{137734127871509686091030071641044185152409086129093519776985773631328972503798763011184311671869481770914300901814182162668414087258158323194538133826124257210}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{4} - \frac{44025972243130859848447042979552580620080180124759476258628809683621467580480766059371540697355889338281643811920928143274258423487491106439493784058901688151}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a^{3} + \frac{233400088843812476362464548001592476260102769365610202015155473927879426950542439500246538751929711270462635749183279914393043672678042581849660714349124900569}{1067848033525863601360206330335370430537451403916197018985211555154139326231439347287018747812544709950394993459184332281270292377379137214238235942950815745658} a^{2} + \frac{16937919124174104705607866481558484687334177156623896887782863805071860072653261951296797905913604677245488939349098580179221748054983348010979734003828354347}{533924016762931800680103165167685215268725701958098509492605777577069663115719673643509373906272354975197496729592166140635146188689568607119117971475407872829} a - \frac{14904188931394492876410205758113793742939718189523923928520412047524187183816205348151432520087985172777240372044599561940756421852846074109944606695211}{33898356725074110079126987072741605495840571876701909329536713197538163259352741527292544605222845637782637802039782090202532852591069235985097582050882}$

magma: IntegralBasis(K);
 
sage: K.integral_basis()
 
gp: K.zk
 

Class group and class number

Not computed

magma: ClassGroup(K);
 
sage: K.class_group().invariants()
 
gp: K.clgp
 

Unit group

magma: UK, f := UnitGroup(K);
 
sage: UK = K.unit_group()
 
Rank:  $17$
magma: UnitRank(K);
 
sage: UK.rank()
 
gp: K.fu
 
Torsion generator:  \( -1 \) (order $2$)
magma: K!f(TU.1) where TU,f is TorsionUnitGroup(K);
 
sage: UK.torsion_generator()
 
gp: K.tu[2]
 
Fundamental units:  Not computed
magma: [K!f(g): g in Generators(UK)];
 
sage: UK.fundamental_units()
 
gp: K.fu
 
Regulator:  Not computed
magma: Regulator(K);
 
sage: K.regulator()
 
gp: K.reg
 

Galois group

$C_{36}$ (as 36T1):

magma: GaloisGroup(K);
 
sage: K.galois_group(type='pari')
 
gp: polgalois(K.pol)
 
A cyclic group of order 36
The 36 conjugacy class representatives for $C_{36}$
Character table for $C_{36}$ is not computed

Intermediate fields

\(\Q(\sqrt{5}) \), 3.3.361.1, 4.0.8000.2, 6.6.16290125.1, \(\Q(\zeta_{19})^+\), 12.0.8695584276992000000000.1, 18.18.563362135874260093126953125.1

Fields in the database are given up to isomorphism. Isomorphic intermediate fields are shown with their multiplicities.

Frobenius cycle types

$p$ 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59
Cycle type R $36$ R ${\href{/LocalNumberField/7.12.0.1}{12} }^{3}$ ${\href{/LocalNumberField/11.6.0.1}{6} }^{6}$ $36$ $36$ R $36$ ${\href{/LocalNumberField/29.9.0.1}{9} }^{4}$ ${\href{/LocalNumberField/31.3.0.1}{3} }^{12}$ ${\href{/LocalNumberField/37.4.0.1}{4} }^{9}$ ${\href{/LocalNumberField/41.9.0.1}{9} }^{4}$ $36$ $36$ $36$ ${\href{/LocalNumberField/59.9.0.1}{9} }^{4}$

In the table, R denotes a ramified prime. Cycle lengths which are repeated in a cycle type are indicated by exponents.

magma: p := 7; // to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
magma: idealfactors := Factorization(p*Integers(K)); // get the data
 
magma: [<primefactor[2], Valuation(Norm(primefactor[1]), p)> : primefactor in idealfactors];
 
sage: p = 7; # to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
sage: [(e, pr.norm().valuation(p)) for pr,e in K.factor(p)]
 
gp: p = 7; \\ to obtain a list of $[e_i,f_i]$ for the factorization of the ideal $p\mathcal{O}_K$:
 
gp: idealfactors = idealprimedec(K, p); \\ get the data
 
gp: vector(length(idealfactors), j, [idealfactors[j][3], idealfactors[j][4]])
 

Local algebras for ramified primes

$p$LabelPolynomial $e$ $f$ $c$ Galois group Slope content
2Data not computed
5Data not computed
$19$19.9.8.8$x^{9} - 19$$9$$1$$8$$C_9$$[\ ]_{9}$
19.9.8.8$x^{9} - 19$$9$$1$$8$$C_9$$[\ ]_{9}$
19.9.8.8$x^{9} - 19$$9$$1$$8$$C_9$$[\ ]_{9}$
19.9.8.8$x^{9} - 19$$9$$1$$8$$C_9$$[\ ]_{9}$